試題試題2024北京東直門中學(xué)高三（下）開學(xué)考數(shù)學(xué)2024.2考試時(shí)間：120分鐘總分：150分班級(jí)______姓名______學(xué)號(hào)______第一部分（選擇題，共40分）一、單選題（本大題共10小題，共40.0分．在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.已知全集，集合滿足，則（）A. B. C. D.2.復(fù)數(shù)，，其中，為實(shí)數(shù)，若為實(shí)數(shù)，為純虛數(shù)，則（）A. B. C.6 D.73.已知二項(xiàng)式的展開式中僅有第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則為（）A. B. C. D.4.設(shè)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，，，則（）A. B. C. D.5.若，則（）A. B. C. D.6.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)在截面上（含邊界），則線段的最小值等于（）A. B. C. D.7.已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，成等比數(shù)列，且，則（）A. B. C. D.8.直線與圓有公共點(diǎn)的一個(gè)充分不必要條件是（）A. B.C. D.9.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過且與一條漸近線平行的直線與的右支及另一條漸近線分別交于兩點(diǎn)，若，則的漸近線方程為（）A. B. C. D.10.在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的和，形成新的數(shù)列，再把所得新數(shù)列按照同樣的方法進(jìn)行構(gòu)造，可以不斷形成新的數(shù)列．現(xiàn)對(duì)數(shù)列1，2進(jìn)行構(gòu)造，第1次得到數(shù)列1，3，2；第2次得到數(shù)列1，4，3，5，2；…依次構(gòu)造，記第n（）次得到的數(shù)列的所有項(xiàng)之和為，則（）A.1095 B.3282 C.6294 D.9843第二部分（非選擇題，共110分）二、填空題（本大題共5小題，共25.0分）11.不等式的解集是______．12.設(shè)F為拋物線C：的焦點(diǎn)，直線l：，點(diǎn)A為C上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)A作于P，則_________．13.將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變，再將所得圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，若，則寫出a的一個(gè)可能值為______．14.已知函數(shù)則的單調(diào)遞增區(qū)間為___________；滿足的整數(shù)解的個(gè)數(shù)為___________．（參考數(shù)據(jù)：）15.如圖，的正方形紙片，剪去對(duì)角的兩個(gè)的小正方形，然后沿虛線折起，分別粘合AB與AH，ED與EF，CB與CD，GF與GH，得到一幾何體Ω，記Ω上的棱AC與EG的夾角為a，則下列說法正確的是___________.①幾何體Ω中，CG⊥AE；②幾何體Ω是六面體；③幾何體Ω的體積為；④.三、解答題（本大題共6小題，共85分）16.在①；②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中并作答.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，___________.（1）求角；（2）若，求的面積.17.為了調(diào)查居民對(duì)垃圾分類的了解程度，某社區(qū)居委會(huì)從A小區(qū)與B小區(qū)各隨機(jī)抽取300名社區(qū)居民（分為18-40歲、41歲-70歲及其他人群各100名，假設(shè)兩個(gè)小區(qū)中每組人數(shù)相等）參與問卷測(cè)試，分為比較了解（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分），并將問卷得分不低于60分的人數(shù)繪制頻數(shù)分布表如下分組A小區(qū)頻數(shù)B小區(qū)頻數(shù)18-40歲人群603041-70歲人群8090其他人群3050假設(shè)用頻率估計(jì)概率，所有居民的問卷測(cè)試結(jié)果互不影響．（1）從小區(qū)隨機(jī)抽取一名居民參與問卷測(cè)試，估計(jì)其對(duì)垃圾分類比較了解的概率；（2）從、小區(qū)41-70歲人群中各隨機(jī)抽取一名居民，記其對(duì)垃圾分類比較了解的居民人數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．18.如圖，在多面體中，底面為平行四邊形，，矩形所在平面與底面垂直，為的中點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）若平面與平面夾角的余弦值為，求與平面所成角的正弦值.19.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）若函數(shù)在區(qū)間上只有一個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍.20.已知橢圓過點(diǎn)，且．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)斜率為的直線與交于A，B兩點(diǎn)（異于點(diǎn)P），直線，分別與軸交于點(diǎn)M，N，求的值．21.若無窮數(shù)列滿足：，對(duì)于，都有（其中為常數(shù)），則稱具有性質(zhì)“”.（1）若具有性質(zhì)“”，且，，，求；（2）若無窮數(shù)列是等差數(shù)列，無窮數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，，，，判斷是否具有性質(zhì)“”，并說明理由；（3）設(shè)既具有性質(zhì)“”，又具有性質(zhì)“”，其中，，，求證：具有性質(zhì)“”.

參考答案第一部分（選擇題，共40分）一、單選題（本大題共10小題，共40.0分．在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.【答案】B【分析】根據(jù)補(bǔ)集概念進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)椋?，所以．故選：B．2.【答案】A【分析】由復(fù)數(shù)運(yùn)算和分類可解.【詳解】由題意，，因?yàn)闉閷?shí)數(shù)，為純虛數(shù)，所以，得，所以.故選：A.3.【答案】A【分析】分析可知，二項(xiàng)式的展開式共項(xiàng)，即可求出的值.【詳解】因?yàn)槎?xiàng)式的展開式中僅有第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則二項(xiàng)式的展開式共項(xiàng)，即，解得.故選：A.4.【答案】B【分析】由已知可得出，，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得的值.【詳解】，，，則，因此，.故選：B.5.【答案】B【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷與0，1的大小關(guān)系，利用三角函數(shù)在各象限的符號(hào)依次判斷即得.【詳解】，由是減函數(shù)得，即，因?yàn)?，所以，所以．故選:B．6.【答案】B【分析】利用等體積法求得正確答案.【詳解】設(shè)到平面的距離為，，，解得，所以線段的最小值等于.故選：B7.【答案】B【分析】由題目條件可得，再利用余弦定理代入求解即可.【詳解】因?yàn)?，，成等比?shù)列，得，且，得，由余弦定理，.故選：B8.【答案】C【分析】先根據(jù)直線與圓有公共點(diǎn)求出的范圍，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可得解.【詳解】的圓心，半徑.圓心到直線的距離，因?yàn)橹本€與圓有公共點(diǎn)，所以，即，解得.于是，區(qū)間的任何一個(gè)真子集是直線與圓有公共點(diǎn)的一個(gè)充分不必要條件.則四個(gè)選項(xiàng)只有C選項(xiàng)是區(qū)間的真子集，所以C正確.故選：C.9.【答案】C【分析】設(shè)直線，，由得到，再根據(jù)條件得出，代入方程，即可求出結(jié)果.【詳解】易知的漸近線方程為，不妨設(shè)直線，，聯(lián)立方程得，解得，，所以，又，而，，得到，解得，故，代入中，得，得到，又，得到，解得，故所求的漸近線方程為，故選：C.10.【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，得到第次構(gòu)造后數(shù)列的和與第次構(gòu)造后數(shù)列的和的關(guān)系，再求出數(shù)列的通項(xiàng)即可.【詳解】設(shè)第次構(gòu)造后得的數(shù)列為，則，則第次構(gòu)造后得到的數(shù)列為，于是，，顯然，而，因此數(shù)列是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，則，即,所以.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及數(shù)列新定義問題，關(guān)鍵是正確理解給出的定義，由給定的數(shù)列結(jié)合新定義探求數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，并進(jìn)行合理的計(jì)算、分析、推理等方法綜合解決.第二部分（非選擇題，共110分）二、填空題（本大題共5小題，共25.0分）11.【答案】【分析】利用分式不等式的解法列不等式組求解即可.【詳解】等價(jià)于，解得：，所以不等式的解集為.故答案為：12.【答案】3.【分析】設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，利用拋物線的焦半徑公式可得，由點(diǎn)到直線的距離公式可得，代入即可得解.【詳解】由可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，由拋物線的定義可得，因?yàn)檫^點(diǎn)A作于P，可得，所以．故答案為：.13.【答案】（答案不唯一）【分析】利用給定變換求出函數(shù)的解析式，再結(jié)合函數(shù)的奇偶性列式計(jì)算求出的值，取其一即得.【詳解】將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，再將所得圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，由得函數(shù)為偶函數(shù)，則，解得，令，可得的一個(gè)值為.故答案為：（答案不唯一）.14.【答案】①.②.215【分析】第一個(gè)空，作出的圖象，由圖可知的單調(diào)遞增區(qū)間；第二個(gè)空，分和兩種情況解不等式.【詳解】作出的圖象，由圖可知，的單調(diào)遞增區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，，解得，即，所以，當(dāng)時(shí)，，解得，故滿足的整數(shù)解的個(gè)數(shù)為215.故答案為：；215.15.【答案】①③④.【分析】利用線面垂直的判定定理可得CG⊥平面ANE,進(jìn)而判定①正確；證得AB⊥平面CBG,同理BE⊥平面CBG,從而判定該幾何體為四面體，故②錯(cuò)誤；看成以CBG為底面的兩個(gè)棱錐的和，計(jì)算體積可判定③正確；利用中位線找到異面直線所成的角，利用余弦定理計(jì)算，可判定④正確.【詳解】如圖所示，取AG,CG,CE,EG的中點(diǎn)M,N,O,P,連接AN,EN,MN,ON,OB,MP,OP,OM.由已知可得CE=CA=EG=AG=,∴AN⊥CG,NE⊥CG,又∵AN∩NE=N,∴CG⊥平面ANE,∴CG⊥AE，故①正確；∵AB⊥BC,AB⊥BG,∴AB⊥平面CBG,同理BE⊥平面CBG,∴面ACB與面CBE共面，面AGB與面GBE共面，AB與BE共線，∴該幾何體為四面體，故②錯(cuò)誤；∵BC=BG=1,CG=,∴△CBG為直角三角形，∠CBG=90°，∴,又∵AE⊥平面CBG,AE=2AB=2BE=4,∴該幾何體的體積為，故③正確;MP=2,OP=,又∵M(jìn)P∥AE，OP∥CG,CG⊥AE,∴MP⊥OP,∴MO=,ON=NM=,∴,又∵AC∥MN，EG∥NO,∴∠ONM為異面直線AC,EG所成的角或其補(bǔ)角，∴.故④正確.故答案為：①③④.【點(diǎn)睛】本題綜合考查線面垂直，幾何體的體積，異面直線所成的角，屬中高檔題，關(guān)鍵是要結(jié)合原式圖形找到對(duì)應(yīng)的幾何體的各棱的長(zhǎng)度，綜合線面垂直的判定定理進(jìn)行證明相關(guān)的垂直關(guān)系.三、解答題（本大題共6小題，共85分）16.【答案】（1）（2）【分析】（1）選擇①：利用正弦定理邊角互化，結(jié)合余弦定理可求得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；選擇②：由正弦定理?余弦定理可求得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；（2）利用余弦定理可求得的值，結(jié)合三角形面積公式可得出的面積.【小問1詳解】選擇①：因?yàn)?，由余弦定理可得，所以結(jié)合正弦定理可得.因?yàn)?，則，所以，即，因?yàn)?，所以；選擇②：因?yàn)?，由正弦定理得，由余弦定理?因?yàn)?，所以；【小?詳解】由（1）知，又已知，由余弦定理得，，即，所以，所以的面積為.17.【答案】（1）（2）分布列見解析，【分析】（1）根據(jù)古典概型的概率公式計(jì)算計(jì)算即可；（2）首先求出、小區(qū)比較了解的概率，則的可取取值為，，，求出所對(duì)應(yīng)的概率，即可得到分布列與數(shù)學(xué)期望；【小問1詳解】設(shè)從小區(qū)隨機(jī)抽取一名居民參與問卷測(cè)試其對(duì)垃圾分類比較了解為事件，則.【小問2詳解】依題意可知小區(qū)比較了解的概率為，小區(qū)比較了解的概率為，

則的可取取值為，，，所以，，，則的分布列為所以.18.【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）根據(jù)平面與平面平行的判定定理證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解.【小問1詳解】如圖，連接交于點(diǎn)，連接.因?yàn)榈酌鏋槠叫兴倪呅?，所以為的中點(diǎn).因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以.又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?因?yàn)闉榫匦?，所以平面平面，所以平?因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面平?【小問2詳解】因?yàn)椋?因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平?分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，所以，設(shè)平面的法向量為，則即，令，則，設(shè)平面的法向量為，則即，令，則，所以，解得，所以設(shè)與平面所成的角為，則.所以與平面所成的角的正弦值為.19.【答案】（1）（2）、（3）【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求出、的值，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得所求切線的方程；（2）當(dāng)時(shí)，求出，利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）令，分析可知，函數(shù)在上有且只有一個(gè)異號(hào)零點(diǎn)，對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，結(jié)合題意可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，綜合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】解：當(dāng)時(shí)，，則，所以，，，故當(dāng)時(shí)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.【小問2詳解】解：當(dāng)時(shí)，，該函數(shù)的定義域?yàn)椋?，由，即，解得或，因此，?dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為、.【小問3詳解】解：因?yàn)?，則，令，因?yàn)楹瘮?shù)在上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，則函數(shù)在上有一個(gè)異號(hào)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，，不合乎題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，只需，合乎題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象開口向下，對(duì)稱軸為直線，因?yàn)?，只需，不合乎題意，舍去.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.20.【答案】（1）（2）1【分析】（1）根據(jù)，把點(diǎn)代入，即可求出橢圓方程．（2）設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程，得，所以，，計(jì)算直線的斜率與直線的斜率的和，即可根據(jù)對(duì)稱求解.【小問1詳解】由于，設(shè)所求橢圓方程為，把點(diǎn)代入，得，，橢圓方程為．【小問2詳解】設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程，整理得，設(shè)，，，，所以,直線直線斜率為，直線直線斜率為，則所以，，即直線的斜率與直線的斜率互為相反數(shù)，故直線與直線關(guān)于對(duì)稱，因此．故【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中最值與范圍問題的常見求法：（1）幾何法，若題目的條件能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值.21.【答案】（1）（2）不具有性質(zhì)“”，理由見解析（3）證明見解析【分析】（1）由具有性質(zhì)“”，可得當(dāng)時(shí)，，結(jié)合題意計(jì)算即可