試題試題2024北京大峪中學(xué)高三（上）開(kāi)學(xué)考數(shù)學(xué)2024.09第一部分（選擇題共40分）一?選擇題10小題，每小題4分，共40分?在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.已知全集，集合，則（）A. B. C. D.2.已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)（）A.1 B. C. D.03.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在上單調(diào)遞增的是（）A. B.C. D.4.已知向量，與共線，則=（）A.6 B.20 C. D.55.已知函數(shù)，則不等式的解集是（）．A. B.(?∞,?1)∪(1,+∞)C. D.(?∞,0)∪(1,+∞)6.若兩條直線，與圓的四個(gè)交點(diǎn)能構(gòu)成正方形，則（）A. B. C. D.47.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8.已知等差數(shù)列和等比數(shù)列，，，，，則滿足的數(shù)值m（）A.有且僅有1個(gè)值 B.有且僅有2個(gè)值 C.有且僅有3個(gè)值 D.有無(wú)數(shù)多個(gè)值9.函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，其圖象如圖所示，.設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，則關(guān)于x的不等式的解集是（）A. B. C. D.10.如圖，正方體中，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）①三棱錐的體積為定值：②且線與平面所成的角的大小不變：③直線與所成的角的大小不變：④.A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①③④第二部分（非選擇題共110分）二?填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.函數(shù)的定義域是____________．12.在的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_____．13.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線與該拋物線交于A，B兩點(diǎn)，，AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為4，則_____________．14.已知函數(shù)的部分圖象如圖，，則___________，___________．15.若函數(shù)的圖象上存在不同的兩點(diǎn)，坐標(biāo)滿足關(guān)系：，則稱函數(shù)與原點(diǎn)關(guān)聯(lián)．給出下列函數(shù)：①；②；③；④．其中與原點(diǎn)關(guān)聯(lián)的所有函數(shù)為_(kāi)____________（填上所有正確答案的序號(hào)）．三?解答題共6小題，共85分，解答應(yīng)寫(xiě)出文宇說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.16.如圖，在四棱錐中，平面，，為棱的中點(diǎn)．（1）求證：//平面；（2）當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值．17.在中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，且滿足．（1）求角A的大??；（2）試從條件①②③中選出兩個(gè)作為已知，使得存在且唯一，寫(xiě)出你的選擇___________，并以此為依據(jù)求的面積．(注：只需寫(xiě)出一個(gè)選定方案即可)條件①：；條件②：；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．18.每年8月8日為我國(guó)的全民健身日；倡導(dǎo)大家健康?文明?快樂(lè)的生活方式，為了激發(fā)學(xué)生的體育運(yùn)動(dòng)興趣，助力全面健康成長(zhǎng)，某中學(xué)組織全體學(xué)生開(kāi)展以體育鍛煉為主題的實(shí)踐活動(dòng)，為了解該校學(xué)生參與活動(dòng)的情況，隨機(jī)抽取100名學(xué)生作為樣本，統(tǒng)計(jì)他們參加體育鍛煉活動(dòng)時(shí)間（單位：分鐘），得到下表：（1）從該校隨機(jī)抽取1名學(xué)生，若已知抽到的是女生，估計(jì)該學(xué)生參加體育鍛煉活動(dòng)時(shí)間在50,60的概率；（2）從參加體育鍛煉活動(dòng)時(shí)間在80,90和的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，其中初中學(xué)生的人數(shù)記為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）假設(shè)同組中每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值代替，樣本中的100名學(xué)生參加體育鍛煉活動(dòng)時(shí)間的平均數(shù)記為，初中?高中學(xué)生參加體育鍛煉活動(dòng)時(shí)間的平均數(shù)分別記為，.寫(xiě)出一個(gè)的值，使得.（結(jié)論不要求證明）19.已知橢圓：的離心率為，A，B分別是E的左、右頂點(diǎn)，P是E上異于A，B的點(diǎn)，的面積的最大值為.（1）求E的方程；（2）設(shè)O為原點(diǎn)，點(diǎn)N在直線上，N，P分別在x軸的兩側(cè)，且與的面積相等.（i）求證：直線與直線的斜率之積為定值；（ⅱ）是否存在點(diǎn)P使得，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由.20.設(shè)函數(shù)，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值.（2）若在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（3）設(shè)，若在上至少存在一點(diǎn)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21.若有窮自然數(shù)數(shù)列：滿足如下兩個(gè)性質(zhì)，則稱為數(shù)列：①，其中，表示，這個(gè)數(shù)中最大的數(shù)；②，其中，表示，這個(gè)數(shù)中最小的數(shù).（1）判斷：2，4，6，7，10是否為數(shù)列，說(shuō)明理由；（2）若：是數(shù)列，且，，成等比數(shù)列，求；（3）證明：對(duì)任意數(shù)列：，存在實(shí)數(shù)，使得.（x表示不超過(guò)的最大整數(shù)）

參考答案第一部分（選擇題共40分）一?選擇題10小題，每小題4分，共40分?在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用補(bǔ)集的定義求解即得.【詳解】全集，集合，所以.故選：D2.【答案】A【分析】由題意可得且，從而可求出的值【詳解】解：因?yàn)閺?fù)數(shù)是純虛數(shù)，所以且，解得，故選：A3.【答案】D【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性判斷即可.【詳解】對(duì)于A：定義域?yàn)?，為非奇非偶函?shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：定義域?yàn)椋瑸槠婧瘮?shù)，但是函數(shù)在上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：為奇函數(shù)，定義域?yàn)?，但是函?shù)在上不單調(diào)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：令定義域?yàn)椋?，所以為奇函?shù)，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故D正確.故選：D4.【答案】C【分析】運(yùn)用平面向量共線及向量的模的坐標(biāo)計(jì)算公式求解即可.【詳解】由題意知，又，所以，所以，所以，所以，所以.故選：C5.【答案】D【分析】作出函數(shù)和的圖象，觀察圖象可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以等價(jià)于，在同一直角坐標(biāo)系中作出和的圖象如圖：兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為，不等式的解為或.所以不等式的解集為：?∞,0∪1,+∞故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了圖象法解不等式，屬于基礎(chǔ)題.6.【答案】B【分析】由直線方程知，由題意正方形的邊長(zhǎng)等于直線、的距離，又，結(jié)合兩線距離公式即可求的值.【詳解】由題設(shè)知：，要使，，，四點(diǎn)且構(gòu)成正方形，∴正方形的邊長(zhǎng)等于直線、的距離，則，若圓的半徑為r，，即，則，由正方形的性質(zhì)知：，∴，即有.故選：B.7.【答案】B【分析】將對(duì)數(shù)不等式進(jìn)行等價(jià)變換，結(jié)合a>0，，可判斷，的取值范圍，從而判斷與的關(guān)系.【詳解】因?yàn)?，又，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即，又，所以不能推出，所以是的不充分條件；又，所以是的必要條件，所以是的必要不充分條件.故選：B.8.【答案】A【分析】根據(jù)題意求公差和公比，令，分情況討論，結(jié)合數(shù)列單調(diào)性分析判斷.【詳解】設(shè)等差數(shù)列an的公差為，等比數(shù)列bn的公比為，因?yàn)椋?，，則，解得，令，可得，此時(shí)滿足只有成立；若，則，（1）若為奇數(shù)，則，不滿足；（2）若為偶數(shù)，則，且，即，可得，即不成立；綜上所述：滿足的數(shù)值m有且僅有1個(gè)值，該值為1.故選：A.9.【答案】D【分析】借助函數(shù)圖象與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系計(jì)算即可得.【詳解】由，且為偶函數(shù)，故，由導(dǎo)數(shù)性質(zhì)結(jié)合圖象可得當(dāng)時(shí)，f'x當(dāng)時(shí)，f'x>0，當(dāng)時(shí)，即，則由，有，解得，亦可得，或，或，或，由可得或，即，由可得，即，由，可得，即或（舍去，不在定義域內(nèi)），由，可得，綜上所述，關(guān)于x的不等式的解集為.故選：D.10.【答案】D【分析】由已知證得面判斷①；點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線與平面所成的角和直線與平面所成的角不相等判斷②；根據(jù)線面垂直的判定定理證得平面，再由線面垂直的性質(zhì)判斷③；由線面垂直的判定定理證得平面判斷④.【詳解】對(duì)于①，由，平面，平面，得平面，則上任意一點(diǎn)到平面的距離相等，又，因此三棱錐的體積不變，①正確；對(duì)于②，點(diǎn)到平面的距離相等，而，直線與平面所成的角不相等，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，由平面，平面，得，又，且都在面內(nèi)，則平面，又平面，則，因此點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線與直線所成的角的大小不變，③正確；對(duì)于④，在正方體中，平面，平面，則，又，且，平面，則平面，而平面，于是，同理，又，平面，則平面，又平面，因此，④正確，所以所給結(jié)論正確的是①③④.故選：D第二部分（非選擇題共110分）二?填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.【答案】(0,+∞)【分析】根據(jù)分母不為零、真數(shù)大于零列不等式組，解得結(jié)果.【詳解】由題意得，故答案為：(0,+∞)【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)定義域，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.12.【答案】60【分析】由二項(xiàng)式定理可得二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，令，運(yùn)算即可得解.【詳解】解：二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，解得，所以的二項(xiàng)展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：.13.【答案】【分析】根據(jù)拋物線定義有，結(jié)合已知即可求參數(shù)p的值.【詳解】由拋物線定義知：，而AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為4，即，所以，即.故答案為：14.【答案】①.②.##【分析】由求出，由圖像得，結(jié)合求解，根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性得，再結(jié)合求得結(jié)果.【詳解】結(jié)合題意可知，，，∵，∴，又由圖像可知，，即，解得.又由，即，即，，從而，故，令，，則，從而的對(duì)稱軸為，，由圖像可知，與關(guān)于對(duì)稱，即，，因?yàn)椋?，所以．故答案為：?#.15.【答案】①②④【分析】由“西數(shù)函數(shù)與原點(diǎn)關(guān)聯(lián)”的定義可知函數(shù)f（x）在其圖象上存在不同的兩點(diǎn)，使得、共線，即存在點(diǎn)A、B與點(diǎn)O共線，結(jié)合4個(gè)函數(shù)的圖象分別判斷即可.【詳解】設(shè)，則，由題意可知，即，即，所以，又，所以，即共線，亦即三點(diǎn)共線，也即存在過(guò)原點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，稱為西數(shù)函數(shù)與原點(diǎn)關(guān)聯(lián).對(duì)于①，易知函數(shù)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，存在點(diǎn)A、B與點(diǎn)O三點(diǎn)共線，故①是與原點(diǎn)關(guān)聯(lián)的函數(shù)；對(duì)于②，設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線為，作出函數(shù)與的圖象，如圖，所以存在實(shí)數(shù)k使得直線與函數(shù)圖象在R上有3個(gè)交點(diǎn)，即存在點(diǎn)A、B與點(diǎn)O三點(diǎn)共線，故②是與原點(diǎn)關(guān)聯(lián)的函數(shù)；對(duì)于③，設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線為，作出函數(shù)與的圖象，如圖，所以存在實(shí)數(shù)k使得直線與函數(shù)圖象在上有1個(gè)交點(diǎn)，即不存在點(diǎn)A、B與點(diǎn)O三點(diǎn)共線，故③不是與原點(diǎn)關(guān)聯(lián)的函數(shù)；對(duì)于④，設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線為，作出函數(shù)與的圖象，如圖，所以存在實(shí)數(shù)k使得直線與函數(shù)圖象在上有2個(gè)交點(diǎn)，即存在點(diǎn)A、B與點(diǎn)O三點(diǎn)共線，故④是與原點(diǎn)關(guān)聯(lián)的函數(shù)；故答案為：①②④.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)，理解新定義的本質(zhì)是求解的關(guān)鍵.三?解答題共6小題，共85分，解答應(yīng)寫(xiě)出文宇說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.16.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）取中點(diǎn)為，證明//，即可由線線平行證明線面平行；（2）過(guò)作平面的垂線，結(jié)合幾何特點(diǎn)求得，再求線面角的正弦值即可.【小問(wèn)1詳解】取中點(diǎn)為，連接，如下所示：在△中，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，故//；又，故//，則四邊形為平行四邊形，//；又面面，故//面.【小問(wèn)2詳解】過(guò)點(diǎn)作延長(zhǎng)線的垂線，垂足為，連接，如下所示：由（1）可知，//，故平面也即平面；因?yàn)?/，則；又面面，故；又面，故面；又面，則，又；面，故面，則即為與平面的夾角；在△中，因?yàn)?，則，；在△中，因?yàn)?，，則；又，，即直線與平面所成角的正弦值為.17.【答案】（1）（2）選②③不合題意；選①②，面積為；選①③，面積為【分析】（1）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)已知條件，從而求得的大小.（2）首先判斷選②③不合題意，然后結(jié)合正弦定理、余弦定理，計(jì)算出選①②或①③時(shí)三角形的面積.【小問(wèn)1詳解】，，，，，由于，所以.【小問(wèn)2詳解】若選②③，三個(gè)已知條件是，沒(méi)有一個(gè)是具體的邊長(zhǎng)，無(wú)法確定.若選①②，三個(gè)已知條件是，由正弦定理得，此時(shí)存在且唯一，，所以；若選①③，三個(gè)已知條件是，由余弦定理得，即，解得，此時(shí)存在且唯一，所以.18.【答案】（1）（2）分布列見(jiàn)解析，（3）【分析】（1）根據(jù)古典概型求解即可.（2）先寫(xiě)出隨機(jī)變量的所有可能取值，求出對(duì)應(yīng)概率，即可得分布列，再根據(jù)期望公式求期望即可.（3）補(bǔ)全初中段的人數(shù)表格，再分別計(jì)算關(guān)于的解析式可得答案.【小問(wèn)1詳解】從該校隨機(jī)抽取名學(xué)生，若已知抽到的是女生，估計(jì)該學(xué)生參加體育實(shí)踐活動(dòng)時(shí)間在的概率為；【小問(wèn)2詳解】依題意，的所有可能值為0，1，2，參加體育實(shí)踐活動(dòng)時(shí)間在的學(xué)生總?cè)藬?shù)為，其中初中生人，參加體育實(shí)踐活動(dòng)時(shí)間在的學(xué)生總?cè)藬?shù)為，其中初中生人，記事件為“從參加體育活動(dòng)時(shí)間在的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，抽到的是初中學(xué)生”，事件為“從參加體育活動(dòng)時(shí)間在的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，抽到的是初中學(xué)生”，事件相互獨(dú)立，且，則，，，所以的分布列為：的數(shù)學(xué)期望；【小問(wèn)3詳解】根據(jù)男女生人數(shù)先補(bǔ)全初中學(xué)生各區(qū)間人數(shù)：50,6060,7080,90性別男51213898女69101064學(xué)段初中10高中1312754內(nèi)初中生的總運(yùn)動(dòng)時(shí)間，內(nèi)高中生的總運(yùn)動(dòng)時(shí)間，則，，，由，得，解得.19.【答案】（1）（2）（?。┳C明見(jiàn)解析；（ⅱ）不存在點(diǎn)【分析】（1）利用待定系數(shù)法，列方程組，即可求解；（2）（?。┦紫壤米鴺?biāo)表示和，利用面積相等，以及點(diǎn)在橢圓上的條件，即可化簡(jiǎn)斜率乘積的公式，即可證明；（ⅱ）由條件，確定邊長(zhǎng)和角度的關(guān)系，再結(jié)合數(shù)形結(jié)合，即可判斷是否存在點(diǎn)滿足條件.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)點(diǎn)是短軸端點(diǎn)時(shí)，的面積最大，面積的最大值為，則，得，，所以橢圓的方程為；【小問(wèn)2詳解】（?。┰O(shè)Px0,y0，，由題意可知，，，即，所以；（ⅱ）假設(shè)存在點(diǎn)，使得，因?yàn)?，，，所以，，，則，由（?。┛芍?，又，所以三點(diǎn)共線，如圖，則，所以，則點(diǎn)與點(diǎn)重合，這與已知矛盾，所以不存在點(diǎn)，使.20.【答案】（1）函數(shù)的極大值為，極小值為；（2）或；（3）.【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可求函數(shù)的極值；（2）求導(dǎo)得，令，等價(jià)于在內(nèi)滿足或恒成立，因?yàn)椋援?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，時(shí)，,進(jìn)而得的取值范圍．（3）先假設(shè)存在，因?yàn)椋粼?，上存在?shí)數(shù)，使得，在區(qū)間，上分別求出和的最大值和最小值，然后討論求解．【小問(wèn)1詳解】解：由已知，得，時(shí)，．令，可得或，函數(shù)在，，上為單調(diào)增函數(shù)，在，上為單調(diào)減函數(shù)，所以函數(shù)的極大值為，極小值為.函數(shù)的極大值為，極小值為.【小問(wèn)2詳解】解：，令，要使在其定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，只需在內(nèi)，滿足或恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，因?yàn)?，所以?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，因?yàn)樵趦?nèi)有，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)在單調(diào)遞減，綜上，的取值范圍為或．【小問(wèn)3詳解】解：，在，上是減函數(shù)，時(shí)，；時(shí)，，即，.①時(shí)，由（2）知在，遞減（1），不合題意.②時(shí)，由，，不合題意③時(shí)，由（1