專題1.1空間向量及其運算教學(xué)目標1.了解空間向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量、共線向量等概念.2.會用平行四邊形法則、三角形法則作出向量的和與差，掌握數(shù)乘向量運算的意義及遠算律，3.掌握空間向量夾角概念及衣示方法4.掌握兩個向量的數(shù)量積的概念、性質(zhì)、計算方法及運算律;掌握兩個向量數(shù)量積的主要用途，能運用數(shù)量積求向量夾角和判斷的量的共線與垂直。教學(xué)重難點教學(xué)重點：會用圖形說明空間向量加法、減法、數(shù)乘向量及它們的運算律:教學(xué)難點：能用空間向量的運算意義及運算律解決簡單的立體幾何中的問題.知識點01空間向量的有關(guān)概念1、空間向量的有關(guān)概念（1）概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量，空間向量的大小叫做空間向量的長度或模；如空間中的位移速度、力等．（2）幾類特殊的空間向量名稱定義及表示零向量長度為0的向量叫做零向量，記為單位向量模為1的向量稱為單位向量相反向量與向量長度相等而方向相反的向量，稱為的相反向量，記為相等向量方向相同且模相等的向量稱為相等向量2、空間向量的表示表示方法：和平面向量一樣，空間向量有兩種表示方法：（1）幾何表示法：用有向線段來表示，叫向量的起點，叫向量的終點；【即學(xué)即練】（多選）下列關(guān)于空間向量的說法中不正確的是（

）A．方向相反的兩個向量是相反向量B．空間中任意兩個單位向量必相等D．相等向量其方向必相同【答案】ABC【分析】根據(jù)空間向量的定義直接判斷.【詳解】A選項：長度相等，方向相反的兩個向量是相反向量，A選項錯誤；B選項：空間中任意兩個單位向量的模長相等，但方向不一定一樣，所以不一定相等，B選項錯誤；C選項：向量模長可比較大小，向量不能比較大小；D選項：兩個向量相等，則方向相同，模長相等，D選項正確；故選：ABC.知識點02空間向量加法，減法運算4、空間向量的加法運算律A． B． C． D．【答案】C【分析】利用空間向量的加法運算，結(jié)合平行六面體計算即得.故選：C知識點03空間向量數(shù)乘運算1、定義：與平面向量一樣，實數(shù)與空間向量的乘積仍然是一個向量，稱為向量的數(shù)乘運算．2：數(shù)乘向量與向量的關(guān)系的范圍的方向的模與向量的方向相同與向量的方向相反3、對數(shù)乘向量與向量的關(guān)系的進一步理解：【即學(xué)即練】化簡下列算式：(2).【分析】（1）根據(jù)向量數(shù)乘運算即可求得答案；（2）根據(jù)向量的線性運算，即可求得答案.知識點04向量共線及共線定理在正確理解共線向量的定義時，要注意以下兩點：（1）零向量和空間任一向量是共線向量．3、共面向量定義：平行于同一個平面的向量，叫做共面向量．3.2空間共面向量的表示3.3拓展【答案】A【分析】直接根據(jù)正方體的性質(zhì)可解.故選：A.知識點05空間向量的夾角A． B． C． D．0【答案】D故選：D．知識點06空間兩個向量數(shù)量積特別提醒：兩個空間向量的數(shù)量積是數(shù)量,而不是向量,它可以是正數(shù)、負數(shù)或零;2、空間向量數(shù)量積的應(yīng)用【答案】【分析】利用空間向量的數(shù)量積運算求解.故答案為：12知識點07向量的投影【答案】2【分析】利用投影的定義計算然后求模即可．所以投影的模為．故答案為：．題型01空間向量的有關(guān)概念A(yù)． B． C． D．【答案】C【分析】由相等向量的定義依次判斷各個選項即可得到結(jié)果.【詳解】對于①，當(dāng)兩個空間向量起點相同，終點也相同時，這兩個向量必相等；但兩個向量相等，它們的起點和終點都不一定相同，①錯誤；對于②，根據(jù)向量相等的定義，要保證兩個向量相等，不僅模要相等，而且方向還要相同，但②中向量與的方向不一定相同，②錯誤；故選：C.【變式1】下列關(guān)于空間向量的說法中正確的是（

）A．方向相反的兩個向量是相反向量B．空間中任意兩個單位向量必相等D．相等向量其方向必相同【答案】D【分析】根據(jù)向量的相關(guān)概念逐一判斷即可.【詳解】相反向量指的是長度相等，方向相反的向量，故A錯誤；單位向量指的是模為1的向量，方向未定，故B錯誤；向量不能比較大小，故C錯誤；相等向量其方向必相同，故D正確；故選：D.【變式2】已知為三維空間中的非零向量，下列說法不正確的是（）A．與共面的單位向量有無數(shù)個B．與垂直的單位向量有無數(shù)個C．與平行的單位向量只有一個D．與同向的單位向量只有一個【答案】C【分析】利用向量的定義，有大小，有方向兩個方面進行判斷，即可確定每個選項的正確性．【詳解】解：與共面的單位向量，方向可任意，所以有無數(shù)個，故A正確；與垂直的單位向量，方向可任意，所以有無數(shù)個，故B正確；與平行的單位向量，方向有兩個方向，故不唯一，故C錯誤；與同向的單位向量，方向唯一，故只有一個，故D正確．故選：C．【變式3】（多選）下列說法正確的有（

）C．零向量與任何向量都共線D．兩個單位向量一定是相等向量【答案】BC【分析】根據(jù)共線向量以及單位向量的定義即可求解.【詳解】對于A，若為零向量時，則無法得到與共線，A錯誤，對于C，零向量與任意向量共線，故C正確，對于D，單位向量的模長相等，但是方向不一定相同,故D錯誤，故選：BC【變式4】（多選）以下關(guān)于向量的說法正確的有（

）【答案】BD【分析】根據(jù)空間向量模的性質(zhì)、相等向量、共線向量的定義逐一判斷即可.B：兩個空間向量相等，它們的模顯然相等，因此本選項正確；故選：BD題型02空間向量加減運算及幾何表示

【答案】C【分析】利用空間向量的運算法則求解即可.【詳解】如圖所示：故選：C.【答案】C【分析】由空間向量的加減法運算的幾何表示和數(shù)乘關(guān)系即可得到答案.故選：C.【答案】A【分析】根據(jù)空間向量的加減以及數(shù)乘運算，即可求得答案.故選：A.【答案】B故選：B.

【答案】C【分析】由圖及空間向量加減法可得答案.故選：C題型03空間向量的共線定理（空間向量共線的判定）【典例1】下列條件中，能說明空間中不重合的三點、、共線的是（

）【答案】C【分析】根據(jù)向量的加法運算可判斷A，根據(jù)向量的減法以及相反向量可判斷B，根據(jù)共線向量的定義可判斷C，向量的模長相等不一定能推出向量共線，即可判斷D.故選：C.【答案】平行【分析】利用向量共線定理求解.【詳解】解：如圖所示：設(shè)G是AC的中點，連接EG，F(xiàn)G，故答案為：平行【答案】證明見解析【詳解】設(shè)的中點為，連接GB，GD，，，

題型04空間向量的共線定理（由空間向量共線求參數(shù)）【答案】/故答案為：A．16 B．13 C．3 D．3【答案】C故選：C.【答案】故答案為：．【答案】0故答案為：.【答案】【分析】應(yīng)用向量平行結(jié)合平面向量基本定理計算求參.故答案為：題型05空間向量共面（空間向量共面的判定）【答案】證明見解析所以與、共面，【答案】D【分析】得用向量共面的充要條件計算可判斷結(jié)論成立.故選：D.【答案】C所以與共線，這和與不共線相矛盾，故假設(shè)不成立，則A不正確，同理B不正確，則D不正確；故選：C.【變式3】（多選）關(guān)于空間向量，，，下列結(jié)論正確的是（

）【答案】AC【分析】對于AC：根據(jù)平面向量基本定理分析判斷；對于BD：舉反例說明即可.【詳解】對于選項A：若向量共線，易知與共線，顯然共面；若向量不共線，根據(jù)平面向量基本定理可知與共面；綜上所述：與，共面，故A正確；此時無法判斷，，是否共面，故D錯誤.故選：AC.【變式4】如圖，M、N分別是空間四邊形ABCD的邊AB、CD的中點，則向量與、．（填“共面”或“不共面”）

【答案】共面【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量線性運算，再利用共面向量定理判斷即得.所以向量與、共面.故答案為：共面題型06空間向量共面（由空間向量共面求參數(shù)）A． B．1 C．2 D．3【答案】B故選：BA． B． C．1 D．3【答案】C【分析】根據(jù)四點共面的性質(zhì)求解即可.故選：C.A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)空間共面向量定理的推論可求的值.故選：B.【答案】故答案為：．【答案】/0.25故答案為：.題型07空間向量的數(shù)量積（求空間向量的數(shù)量積）A．1 B． C．2 D．【答案】D故選：DA． B．4 C．7 D．23【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積的運算律求解即得.故選：A【答案】A【詳解】根據(jù)題意可作圖，故選：A.【答案】/故答案為：.【答案】/【分析】結(jié)合圖形，將向量分解轉(zhuǎn)化，利用題設(shè)條件和向量數(shù)量積的定義即可求得.【詳解】故答案為：.題型08空間向量的數(shù)量積（空間向量的數(shù)量積的最值或范圍）又點是正三棱柱表面上的動點，由對稱性知，當(dāng)為正三棱柱的頂點時，的值最大，連接，并延長交于，A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)空間向量的加法運算和數(shù)量積的運算律求解.【詳解】由題意可得，球O的半徑為1．故選：B【答案】A而正八面體可視為兩個共底面的，故選：A.【答案】A【分析】設(shè)中點為，連接，設(shè)中點為，連接，，，利用轉(zhuǎn)化法求向量數(shù)量積的最值即可.【詳解】設(shè)中點為，連接，設(shè)中點為，連接，，，故選：.【答案】4【詳解】取的中點為，連接，如下圖所示：

故答案為：4平面向量是溝通代數(shù)與幾何的橋梁，是數(shù)形結(jié)合的完美典范．對于極化恒等式，可以借助圖形給出它的兩個幾何意義：題型09利用數(shù)量積求夾角A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)模長公式即可代入求解.故選：BA．30° B．45° C．60° D．以上都不對【答案】D故選：DA． B． C． D．【答案】B【詳解】故選：B.【答案】D故選：D【答案】【分析】求出后利用向量的夾角公式可求夾角的余弦值，從而可求夾角.故答案為：題型10空間向量的投影（投影向量）

【詳解】由題意，【答案】故答案為：題型11空間向量中的模（距離，長度）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量的線性運算，可得的表達式，兩邊平方即可求得.故選：.A． B．2 C． D．【答案】A故選：A【分析】根據(jù)空間向量的運算來求得正確答案.【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量數(shù)量積的運算律求解即得.故答案為：(1)用，，表示向量(2)【分析】（1）根據(jù)空間向量線性運算求解即可；【答案】B故選：B【答案】A故選：AA． B．1 C．2 D．3【答案】C故選：C.【答案】C【分析】利用向量共面的判定方法可得答案.故選：C【答案】D故選：D.A． B． C． D．【答案】B【分析】由數(shù)量積的定義以及運算律代入計算，即可得到結(jié)果.故選:B．【答案】B【分析】取的中點，連接，結(jié)合圖形由向量的加法和數(shù)量積的運算律以及數(shù)量積的定義計算可得.【詳解】取的中點，連接，故選：BA． B． C． D．【答案】B【分析】由題意作圖，根據(jù)空間向量的共面定理，求得參數(shù)，結(jié)合數(shù)量積的運算律，可得答案.【詳解】由題意可作圖如下：故選：B.【答案】ACD【分析】根據(jù)直四棱柱的幾何性質(zhì)，結(jié)合空間向量的線性運算以及數(shù)量積的運算律，可得答案.故