21.2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系課題21.2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系授課人教學(xué)目標(biāo)知識(shí)技能掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，并會(huì)初步應(yīng)用.數(shù)學(xué)思考通過(guò)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的教學(xué)，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生分析、觀察、歸納的能力和推理論證的能力.問(wèn)題解決根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系確定兩根之和與兩根之積，并能根據(jù)這一關(guān)系解決簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題.情感態(tài)度通過(guò)情景教學(xué)過(guò)程，激發(fā)學(xué)生的求知欲，培養(yǎng)學(xué)生積極學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的態(tài)度，體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)中充滿著探索與創(chuàng)造，體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)中的成功感.教學(xué)重點(diǎn)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及其推導(dǎo)過(guò)程.教學(xué)難點(diǎn)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的推導(dǎo)過(guò)程及其應(yīng)用.授課類(lèi)型新授課課時(shí)教具多媒體教學(xué)活動(dòng)教學(xué)步驟師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖回顧1.一元二次方程的一般形式是什么？2.一元二次方程有實(shí)數(shù)根的條件是什么？3.當(dāng)Δ>0，Δ＝0，Δ<0時(shí)，一元二次方程根的情況如何？4.一元二次方程的求根公式是什么？師生活動(dòng)：教師指導(dǎo)學(xué)生回憶知識(shí)，學(xué)生進(jìn)行口答，教師指出重點(diǎn).通過(guò)對(duì)一元二次方程相關(guān)知識(shí)的復(fù)習(xí)，鞏固舊知識(shí)，并為新知識(shí)的學(xué)習(xí)做鋪墊.活動(dòng)一：創(chuàng)設(shè)情境導(dǎo)入新課【課堂引入】問(wèn)題：解下表中的方程，并完成填空：方程x1x2x1＋x2x1·x2x2－2x－3＝03－12－3x2－3x＋2＝01232x2＋5x＋6＝0－2－3－56師生活動(dòng)：學(xué)生自主選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠?，并完成填空，然后交流答?問(wèn)題：觀察、思考一元二次方程兩根之和與兩根之積與系數(shù)有何關(guān)系，你能從中發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？學(xué)生通過(guò)計(jì)算、觀察、分析，發(fā)現(xiàn)一元二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系，發(fā)展學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)，體會(huì)由特殊到一般的認(rèn)識(shí)過(guò)程.活動(dòng)二：實(shí)踐探究交流新知1.填寫(xiě)上表后思考：①一元二次方程的兩根之和與兩根之積與系數(shù)有何關(guān)系？②運(yùn)用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，你能解答下列問(wèn)題嗎？已知方程2x2－3x－2＝0的兩根分別是x1和x2，則x1＋x2＝eq\f(3,2)，x1·x2＝－1.③如何證明以上發(fā)現(xiàn)的規(guī)律呢？2.論證結(jié)論：教師與學(xué)生共同整理證明過(guò)程：證明：當(dāng)Δ>0時(shí)，由求根公式得x1＝eq\f(－b＋\r(b2－4ac),2a)，x2＝eq\f(－b－\r(b2－4ac),2a)，所以x1＋x2＝eq\f(－b＋\r(b2－4ac),2a)＋eq\f(－b－\r(b2－4ac),2a)＝－eq\f(2b,2a)＝－eq\f(b,a)，x1x2＝eq\f(－b＋\r(b2－4ac),2a)·eq\f(－b－\r(b2－4ac),2a)＝eq\f(（－b）2－（b2－4ac）,4a2)＝eq\f(c,a)；當(dāng)Δ＝0時(shí)，x1＝x2＝－eq\f(b,2a)，所以x1＋x2＝－eq\f(b,a)，x1x2＝eq\f(c,a).歸納并板書(shū)：若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的兩個(gè)根分別為x1和x2，則x1＋x2＝－eq\f(b,a)，x1x2＝eq\f(c,a).1.進(jìn)一步分析、驗(yàn)證所發(fā)現(xiàn)的一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，為從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)打好基礎(chǔ).2.通過(guò)證明過(guò)程使學(xué)生明確利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算需要滿足Δ≥0.3.探究一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度.活動(dòng)三：開(kāi)放訓(xùn)練體現(xiàn)應(yīng)用【應(yīng)用舉例】例1根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，求下列方程的兩個(gè)根x1，x2的和與積.（1）x2－6x－15＝0；（2）3x2＋7x－9＝0；（3）5x－1＝4x2.師生活動(dòng)：學(xué)生自主進(jìn)行解答，教師做好評(píng)價(jià)和總結(jié).注意：把一元二次方程整理為一般形式，確定a，b，c的值，比較b2－4ac與0的大小，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系代入求值.變式練習(xí)1已知x1，x2是一元二次方程x2－4x＋1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則x1x2等于（C）A.－4B.－1C.1D.4變式練習(xí)2若x1，x2為方程x2－2x－1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求x1＋x2－x1x2的值.問(wèn)題的設(shè)置是針對(duì)本課時(shí)的重點(diǎn)所學(xué)進(jìn)行及時(shí)鞏固，也是培養(yǎng)學(xué)生計(jì)算能力和熟記公式的關(guān)鍵.【拓展提升】例2解答下列問(wèn)題：（1）已知方程x2－3x＋c＝0的一個(gè)根為2，求另一個(gè)根和c的值.（2）關(guān)于x的方程2x2＋5x＋m－1＝0的兩根互為倒數(shù)，求m的值.例3若一元二次方程x2－x－1＝0的兩根分別為x1，x2，求eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)的值.師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行交流、討論，確定出解決問(wèn)題的方法，適時(shí)點(diǎn)撥，提示能否用多種方法進(jìn)行解答.拓展提升是根與系數(shù)關(guān)系的綜合應(yīng)用，有利于提高學(xué)生思考的廣度和深度，能夠給予學(xué)生必要的知識(shí)補(bǔ)充.活動(dòng)四：課堂總結(jié)反思【達(dá)標(biāo)測(cè)評(píng)】1.下列選項(xiàng)中，兩根均為負(fù)數(shù)的一元二次方程是（C）A.7x2－12x＋5＝0B.6x2－13x－5＝0C.4x2＋21x＋5＝0D.x2＋15x－8＝02.已知方程x2＋ax＋b＝0的兩個(gè)根分別為2和3，則a＝－5，b＝6Ｗ.3.已知方程x2－2x－c＝0的一個(gè)根是3，求方程的另一個(gè)根及c的值.4.已知方程2x2－4x－5＝0的兩個(gè)根分別為x1和x2，求下列式子的值.（1）（x1＋2）（x2＋2）；（2）x12x2＋x1x22.學(xué)生進(jìn)行當(dāng)堂檢測(cè)，完成后，教師進(jìn)行批閱、點(diǎn)評(píng)、講解.通過(guò)設(shè)置達(dá)標(biāo)測(cè)評(píng)，進(jìn)一步鞏固所學(xué)新知，同時(shí)檢測(cè)學(xué)習(xí)效果，做到“堂堂清”.1.課堂總結(jié)：（1）本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)？學(xué)習(xí)了哪些數(shù)學(xué)思想和方法？（2）本節(jié)課還有哪些疑惑？說(shuō)一說(shuō)！2.布置作業(yè)：（1）教材第17頁(yè)習(xí)題21.2第7題.（2）補(bǔ)充題：①若2x（x＋3）＝1的兩根分別為x1，x2，則x1＋x2＝，x1x2＝，eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)＝，x12＋x22＝，（x1－3）（x2－3）＝，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x1－x2))＝.②設(shè)m，n是一元二次方程x2＋2x－7＝0的兩個(gè)根，則m2＋3m＋n＝.（3）選做題：已知關(guān)于x的一元二次方程x2－6x＋（2m＋1）＝0有實(shí)數(shù)根.①求m的取值范圍；②如果方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1，x2，且2x1x2＋x1＋x2≥20，求m的取值范圍.1.指導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成系統(tǒng)整理知識(shí)的好習(xí)慣，加強(qiáng)教學(xué)反思，進(jìn)一步提高教學(xué)效果.2.因材施教，讓每一個(gè)學(xué)生都得到相應(yīng)的發(fā)展.【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】提綱挈領(lǐng)，重點(diǎn)突出.【教學(xué)反思】①[授課流程反思]在新知探究的環(huán)節(jié)中，關(guān)于兩根之和與兩根之積的計(jì)算看似復(fù)雜，教師進(jìn)行板演后，能夠使學(xué)生清晰認(rèn)識(shí)到結(jié)論的來(lái)由，并能夠順利地進(jìn)行應(yīng)用；在課堂訓(xùn)練的環(huán)節(jié)中，學(xué)生運(yùn)用新知解答問(wèn)題不甚靈活，教師的必要引導(dǎo)起到了關(guān)鍵作用，學(xué)生體驗(yàn)到方法的簡(jiǎn)便性和重要性.②[講授效果反思]重點(diǎn)應(yīng)用過(guò)程中，應(yīng)注意：（1）運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系首先保證一元二次方程有實(shí)數(shù)根；（2）運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系解答問(wèn)題方便運(yùn)算.③[師生互動(dòng)反思]從教學(xué)過(guò)程來(lái)看，學(xué)生能夠在教師的引導(dǎo)下進(jìn)行探索和交流，并能夠運(yùn)用知識(shí)解答問(wèn)題，還應(yīng)增加其興趣和思維敏捷性的訓(xùn)練.④[習(xí)題反思]好題題號(hào)錯(cuò)題題號(hào)反思教學(xué)過(guò)程和教師表現(xiàn)，進(jìn)一步優(yōu)化操作流程和提升自身素質(zhì).典案二導(dǎo)學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)目標(biāo)：1．理解并掌握根與系數(shù)關(guān)系：，；2．會(huì)用根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系解題.重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：理解并掌握根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系.難點(diǎn)：會(huì)用根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系解題；【課前預(yù)習(xí)】閱讀教材P15—16,完成課前預(yù)習(xí)1、知識(shí)準(zhǔn)備(1)一元二次方程的一般式：（2）一元二次方程的解法：（3）一元二次方程的求根公式：2、探究1：完成下列表格方程25x2+3x-10=0-3問(wèn)題：你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？①用語(yǔ)言敘述你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律；②x2+px+q=0的兩根為,，用式子表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。探究2：完成下列表格方程2x2-3x-2=02-13x2-4x+1=01問(wèn)題：上面發(fā)現(xiàn)的結(jié)論在這里成立嗎？請(qǐng)完善規(guī)律；①用語(yǔ)言敘述發(fā)現(xiàn)的規(guī)律；②ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根為,，用式子表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。3、利用求根公式推導(dǎo)根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根=,=========練習(xí)1：根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，求下列方程的兩根和與兩根積：（1）（2）（3）【課堂活動(dòng)】活動(dòng)1：預(yù)習(xí)反饋活動(dòng)2：典型例題例1：不解方程，求下列方程的兩根和與兩根積：（1）x2-6x-15=0（2）3x2+7x-9=0（3）5x-1=4x2例2：已知方程的一個(gè)根是-3，求另一根及k的值。例3:已知α,β是方程x2-3x-5=0的兩根,不解方程,求下列代數(shù)式的值例4:已知關(guān)于x的方程3x2-5x-2=0,且關(guān)于y的方程的兩根是x方程的兩根的平方,則關(guān)于y的方程是__________活動(dòng)3：隨堂訓(xùn)練不解方程，求下列方程兩個(gè)根的和與積：（1）x2-3x=15（2）5x2-1=4x2+x（3）x2-3x+2=10（4）4x2-144=0（5）3x（x-1）=2（x-1）（6）（2x-1）2=（3-x）2活動(dòng)4：課堂小結(jié)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系：【課后鞏固】一、填空1．若方程(a≠0)的兩根為，，則=，=__2．方程，則=，=__3．若方程的一個(gè)根為2，則它的另一個(gè)根為_(kāi)___，p=____4．已知方程的一個(gè)根1，則它的另一根是____，m=____5．若0和-3是方程的兩根，則p+q=____6．在解方程x2+px+q=0時(shí)，甲同學(xué)看錯(cuò)了p，解得方程根為x=1與x=-3；乙同學(xué)看錯(cuò)了q，解得方程的根為x=4與x=-2，你認(rèn)為方程中的p=____，q=____。二、選擇1．兩根均為負(fù)