平面向量“四心”知識點總結與經(jīng)典習題向量本身是一個幾何概念，具有代數(shù)形式和幾何形式兩種表示方法，易于數(shù)形結合，而且向量問題在進行數(shù)形結合時具有新形式、新特點，因此可稱為高中數(shù)學的一個交匯點。三角形的“四心”（外心、內(nèi)心、重心、垂心）是與三角形有關的一些特殊點，各自有一些特殊的性質。在高考中，往往將“向量作為載體”對三角形的“四心”進行考查。這就需要我們在熟悉向量的代數(shù)運算的基礎上讀懂向量的幾何意義。四心知識點總結：1、重心：2、垂心：3、外心：4、內(nèi)心：（一）重心1、在△ABC中，D、E、F分別BC、CA、AB的中點，點M是△ABC的重心，則等于（） A． B． C． D． 答案：.C2、是所在平面內(nèi)一點，動點P滿足，則動點P的軌跡一定通過的A.內(nèi)心

B.重心

C.外心

D.垂心答案：B3、已知ABC是平面上不共線的三點，O為坐標原點，動點P滿足則點P的軌跡一定經(jīng)過（）A.內(nèi)心

B.重心

C.外心

D.垂心答案：B4．已知G為△ABC的重心，過點G的直線與邊AB,AC分別相交于點P,Q.若AP=λAB,則ΔABC與ΔAPQ的面積之比為【答案】3λ?1設AQAC=μ，AG=23×12AB+AC=135、在△ABC中，BC=6，若G，O分別為△ABC的重心和外心，且=6，則△ABC的形狀是（）A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．上述三種情況都有可能 答案：.C 【解答】解：在△ABC中，G，O分別為△ABC的重心和外心， 取BC的中點為D，連接AD、OD、GD，如圖： 則OD⊥BC，GD=AD， ∵，，由=6， 則（）==﹣（）=6， 即﹣（）（）=6，則， 又BC=6，則有||=||2+||2，即有C為直角．則三角形ABC為直角三角形． （二）垂心1、為△ABC所在平面內(nèi)一點，如果，則O必為△ABC的（）（A）外心（B）內(nèi)心（C）重心（D）垂心答案：D。事實上OB⊥CA2、已知O為三角形ABC所在平面內(nèi)一點，且滿足，則點O是三角形ABC的（）（A）外心（B）內(nèi)心（C）重心（D）垂心答案：D。事實上由條件可推出3、設是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三點，動點P滿足，，則動點P的軌跡一定通過△ABC的（）（A）外心（B）內(nèi)心（C）重心（D）垂心答案：D。解：由已知得，∴===0，∴，即AP⊥BC，所以動點P的軌跡通過△ABC的垂心，4．ΔABC的外接圓的圓心為O，若OH=OA+OB+OC，則HA．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心【答案】D因為OH?AB=(OB?OA)(OB+OA+OC)=5、已知為所在平面內(nèi)一點，滿足，則為的心．答案：垂心。分析：將，也類似展開代入，已知等式與例４的條件一樣．也可移項后，分解因式合并化簡，為垂心．（三）內(nèi)心1、是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三點，動點P滿足，，則動點P的軌跡一定通過△ABC的（）（A）外心（B）內(nèi)心（C）重心（D）垂心答案：B。事實上如圖設都是單位向量，易知四邊形AETF是菱形。2、已知O是△ABC所在平面上的一點，若=，則O點是△ABC的()A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心解：∵，，則=0，得.因為與分別為和方向上的單位向量，設，則平分∠BAC.又、共線，知AO平分∠BAC.同理可證BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，所以O點是△ABC的內(nèi)心.3、在三角形ABC中，動點P滿足：，則P點軌跡一定通過△ABC的：（）Ａ外心Ｂ內(nèi)心C重心D垂心【答案】B4．在中，,是的內(nèi)心，若，則A．B．C．D．【答案】B【解析】如圖所示，設三角形的三條內(nèi)角平分線BE、AD、CF相交于點I．∵A，I，D三點共線，∴存在實數(shù)λ使得，∵AB=BC=5，I是△ABC的內(nèi)心，∴AD平分BC，∴．∴，同理由C，I，F(xiàn)三點共線和角平分線的性質可得=，∴，解得，∴與=m+n比較可得：m=，，則m：n=6：5．故選：B．5、在中AB=5，AC=6，cosA=,點O為三角形的內(nèi)心，若其中x,y[0,1],則動點P的軌跡所覆蓋的面積為（四）外心1、已知O是△ABC所在平面上的一點，若===0，則O點是△ABC的()A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心解：由已知得：===0==0.所以O點是△ABC的外心.選A.2、設O為△ABC的外心,,則O為△ABC的內(nèi)角C的值為．3、已知是平面上的一定點，是該平面上不共線的三點，動點滿足，則動點的軌跡一定通過的（）內(nèi)心外心垂心重心A.重心B.垂心C.外心D.內(nèi)心答案：B4、△ABC中，AB=1,BC=,CA=2,△ABC的外接圓的圓心為O，若，求實數(shù)的值.解：，兩邊平方得.分別取AB、AC的中點M、N，連接OM、ON.則==.又O為△ABC的外接圓的圓心，則=0，即有.同理有=0，得.解得，.5、設是所在平面內(nèi)的一點,若且.則點是的A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心【答案】A【解析】由，得，即，所以，設D為AB的中點，則，故；因為，所以，所以，設BC的中點為E，同上可知，所以P為AB與BC的垂直平分線的交點．所以P是的外心．選A．6、設O為△ABC的外心（三角形外接圓的心），若=||2，則=（） A．1 B． C．2 D．答案及解析：.B 解：因為O是三角形的外心，所以， ，，兩式平方相減得2，即2，又=||2，所以2，所以7、的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點為H，，則實數(shù)m=．分析：本題除了利用特殊三角形求解外，純粹利