第08講相似三角形的性質（知識清單+6大題型+好題必刷）題型匯聚題型匯聚題型一利用相似三角形的性質求解題型二證明三角形的對應線段成比例題型三相似三角形——動點問題題型四相似三角形的判定與性質綜合題型五相似三角形的綜合問題題型六重心的有關性質知識清單知識清單知識點1．相似三角形的性質相似三角形的定義：如果兩個三角形的對應邊的比相等，對應角相等，那么這兩個三角形相似．（1）相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等．（2）相似三角形（多邊形）的周長的比等于相似比；相似三角形的對應線段（對應中線、對應角平分線、對應邊上的高）的比也等于相似比．（3）相似三角形的面積的比等于相似比的平方．由三角形的面積公式和相似三角形對應線段的比等于相似比可以推出相似三角形面積的比等于相似比的平方．知識點2．相似三角形的判定與性質（1）相似三角形是相似多邊形的特殊情形，它沿襲相似多邊形的定義，從對應邊的比相等和對應角相等兩方面下定義；反過來，兩個三角形相似也有對應角相等，對應邊的比相等．（2）三角形相似的判定一直是中考考查的熱點之一，在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構造相似三角形；或依據(jù)基本圖形對圖形進行分解、組合；或作輔助線構造相似三角形，判定三角形相似的方法有時可單獨使用，有時需要綜合運用，無論是單獨使用還是綜合運用，都要具備應有的條件方可．知識點3．相似三角形的應用（1）利用影長測量物體的高度．①測量原理：測量不能到達頂部的物體的高度，通常利用相似三角形的性質即相似三角形的對應邊的比相等和“在同一時刻物高與影長的比相等”的原理解決．②測量方法：在同一時刻測量出參照物和被測量物體的影長來，再計算出被測量物的長度．（2）利用相似測量河的寬度（測量距離）．①測量原理：測量不能直接到達的兩點間的距離，常常構造“A”型或“X”型相似圖，三點應在一條直線上．必須保證在一條直線上，為了使問題簡便，盡量構造直角三角形．②測量方法：通過測量便于測量的線段，利用三角形相似，對應邊成比例可求出河的寬度．（3）借助標桿或直尺測量物體的高度．利用桿或直尺測量物體的高度就是利用桿或直尺的高（長）作為三角形的邊，利用視點和盲區(qū)的知識構建相似三角形，用相似三角形對應邊的比相等的性質求物體的高度．知識點4．作圖相似變換（1）兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作由另一個圖形放大或縮小得到．（2）相似圖形的作圖在沒有明確規(guī)定的情況下，我們可以利用相似的基本圖形“A”型和“X”型進行簡單的相似變換作圖．如圖所示：（3）如果題目有條件限制，可根據(jù)相似三角形的判定條件作為作圖的依據(jù)．比較簡單的是把原三角形的三邊對應的縮小或放大一定的比例即可得到對應的相似圖形．知識點5．射影定理（1）射影定理：①直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項．②每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項．（2）Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜邊BC上的高，則有射影定理如下：①AD2＝BD?DC；②AB2＝BD?BC；AC2＝CD?BC．題型練習題型練習【題型一】利用相似三角形的性質求解A． B． C． D．【舉一反三】1．（2425九年級上·安徽安慶·階段練習）小明同學拿一個放大鏡將三角形的一條邊由原圖中的放大變成了，則放大后的三角形的面積是原圖中三角形面積的（

）A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．9倍【題型二】證明三角形的對應線段成比例【例2】（2324九年級上·安徽滁州·期中）若兩個相似三角形的對應中線之比為，則它們的對應高之比為（

）A． B． C． D．【舉一反三】

【題型三】相似三角形——動點問題

A． B． C．或 D．或【舉一反三】A．或 B．C． D．或【題型四】相似三角形的判定與性質綜合【舉一反三】（1）的長為．【題型五】相似三角形的綜合問題【例5】（安徽馬鞍山·二模）如圖，在矩形ABCD中，點E是邊AD上一點，過點E作EF⊥BC，垂足為點F，將△BEF繞著點E逆時針旋轉，使點B落在邊BC上的點N處，點F落在邊DC上的點M處，若點M恰好是邊CD的中點，那么的值是（

）【舉一反三】1．如圖，在?ABCD中，E為CD上一點，連接AE、BD，且AE、BD交于點F，若EF：AF=2：5，則S△DEF：S四邊形EFBC為（）A．2：5 B．4：25 C．4：31 D．4：352．（安徽蚌埠·一模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．翻折∠C，使點C落在斜邊上某一點D處，折痕為EF（點E、F分別在邊AC、BC上）．若△CEF與△ABC相似，則AD的長為．（1）求證：△GAD∽△EAB；（2）猜想GD與BE之間的位置關系，并證明你的結論；（3）請連接DE，BG，若AB=6，AE=3，求DE2+BG2的值．【題型六】重心的有關性質A．3 B．6 C．2 D．4【舉一反三】1．（2023·安徽蚌埠·模擬預測）下列說法中正確的是（

）①等邊三角形三條高的交點就是它的重心；②三角形的重心到一邊的距離等于這邊上中線長的三分之一；③三角形的重心到一邊中點的距離等于這邊上中線長的三分之一；④三角形的重心到一邊的距離等于這邊上高的三分之一A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④3．閱讀材料：三角形的三條中線必交于一點，這個交點稱為三角形的重心．好題必刷好題必刷一、單選題1．若△ABC∽△A′B′C′，且相似比為2∶3，則對應邊上的高的比等于(

)A．2∶3 B．3∶2 C．4∶9 D．9∶43．若△ABC∽△DEF，相似比為1：2，且△ABC的面積為2，則△DEF的面積為（）A．16 B．8 C．4 D．25．在△ABC中，三條邊的長分別為2、3、4，△A′B′C′的兩邊長分別為1、1.5，要使△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的第三邊長應該是(

)A．2 B． C．4 D．2A．1種 B．2種 C．3種 D．4種A．1:2 B．1:3 C．1:4 D．2:38．如圖，一束光線從y軸的點A（0，2）出發(fā)，經過x軸上的點C反射后經過點B（6，6），則光線從點A到點B所經過的路程是（）A．10 B．8 C．6 D．4A．①②③④⑤ B．①②③⑤ C．①②③ D．①④⑤10．如圖，已知D、E、F分別是等邊△ABC的邊AB、BC、AC上的點，且DE⊥BC、EF⊥AC、FD⊥AB，則下列結論不成立的是（）A．△DEF是等邊三角形B．△ADF≌△BED≌△CFEC．DE=ABD．S△ABC=3S△DEF二、填空題12．如圖，△ABC中，DE∥BC，AE：EB=2：3，則△AED的面積與四邊形DEBC的面積之比為．13．如圖，在△ABC中，AC＝BC，在邊AB上截取AD＝AC，連接CD，若點D恰好是線段AB的一個分割點，則∠A的度數(shù)是．

三、解答題15．如圖，A、B、C三點均在邊長為1的小正方形網格的格點上．(1)請在BC上標出