思維導(dǎo)圖第07講實數(shù)與近似值思維導(dǎo)圖一、實數(shù)的定義與分類實數(shù)是有理數(shù)和無理數(shù)的統(tǒng)稱。有理數(shù)包括正有理數(shù)、負(fù)有理數(shù)和0，其中正有理數(shù)又可分為正整數(shù)和正分?jǐn)?shù)，負(fù)有理數(shù)可分為負(fù)整數(shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)。無理數(shù)則是無限不循環(huán)小數(shù)，如圓周率π、開方開不盡的數(shù)（如√7）等。二、實數(shù)在數(shù)軸上的表示規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸。數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應(yīng)，即每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示，反過來，數(shù)軸上的每一個點也都表示一個實數(shù)。在數(shù)軸上，右邊的點表示的數(shù)大于左邊的點表示的數(shù)。三、相反數(shù)、倒數(shù)與絕對值1.相反數(shù)：實數(shù)a與a互為相反數(shù)，它們的和為0，即a+(a)=0。在數(shù)軸上，互為相反數(shù)的兩個點關(guān)于原點對稱。2.倒數(shù)：若兩個實數(shù)的乘積為1，則它們互為倒數(shù)。即，若ab=1，則a、b互為倒數(shù)。1和1的倒數(shù)都是它們本身，0沒有倒數(shù)。3.絕對值：一個數(shù)到原點的距離叫做這個數(shù)的絕對值，用“||”表示。正數(shù)的絕對值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，0的絕對值是0。絕對值具有非負(fù)性，即|a|≥0。四、實數(shù)的運算實數(shù)范圍內(nèi)，有理數(shù)的運算律都適用，包括加法交換律、加法結(jié)合律、乘法交換律、乘法結(jié)合律和乘法分配律。實數(shù)的運算順序為先乘方、開方，再乘除，最后加減。運算過程中，要注意數(shù)字的符號和運算順序。五、實數(shù)的比較大小實數(shù)的大小比較可以通過數(shù)軸、求差或求商等方法進(jìn)行。在數(shù)軸上，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。設(shè)a、b是實數(shù)，若ab>0，則a>b；若ab=0，則a=b；若ab<0，則a<b。對于正數(shù)，絕對值大的數(shù)較大；對于負(fù)數(shù)，絕對值大的數(shù)反而小。六、特殊實數(shù)的性質(zhì)1.平方根：正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒有平方根。2.立方根：一個數(shù)的立方根是指另一個數(shù)，這個數(shù)的立方等于原數(shù)。正數(shù)有一個正的立方根，負(fù)數(shù)有一個負(fù)的立方根，0的立方根是0。3.無理數(shù)的性質(zhì)：無理數(shù)具有無限不循環(huán)性，不能用分?jǐn)?shù)表示，也不能開方得到整數(shù)或有限小數(shù)。一、近似值與準(zhǔn)確值1.準(zhǔn)確值：與實際完全符合的數(shù)據(jù)，稱為準(zhǔn)確值。2.近似值：與準(zhǔn)確值相近的數(shù)據(jù)，稱為近似值。通常用度量工具測出的長度、質(zhì)量、時間、速度等數(shù)據(jù)都是近似值。二、近似值的精確度1.定義：近似值的精確度是指近似值與準(zhǔn)確值的接近程度。一般地，一個近似值四舍五入到哪一位，就說這個近似值精確到哪一位。2.表述方法：（1）用數(shù)位表示，如精確到千位、精確到千分位等；（2）用小數(shù)表示，如精確到0.1、精確到0.01等；（3）對帶有單位的數(shù)用單位表示，如精確到1kg、精確到1m等。三、取近似值的方法1.四舍五入法：最常用的取近似值的方法。使用四舍五入法取近似值時，關(guān)鍵是看準(zhǔn)精確度，需要注意的問題是近似值的舍入，只考慮精確度后面的第一個數(shù)字，且近似值小數(shù)點后末位數(shù)字是0時不能省略不寫。2.其他方法：特殊情況下使用去尾法、進(jìn)一法。四、科學(xué)記數(shù)法與近似值把一個絕對值大于10的數(shù)記做a×10^n的形式，其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)（即1≤|a|<10），n是整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法。在取近似值時，如果需要，也可以將近似值用科學(xué)記數(shù)法表示。教材習(xí)題01請你寫出一個比小且比大的無理數(shù)．∴比小且比大的無理數(shù)可以是．教材習(xí)題02若x是一個比大比小的有理數(shù)，則（寫出一個滿足條件的值）．教材習(xí)題03利用計算器比較和的大?。滩牧?xí)題04用計算器計算（結(jié)果保留小數(shù)點后兩位）：≈2.236?1.732＋0.145，＝0.649，≈0.65．≈1.817?3.142?1.414，＝?2.739，≈?2.74．教材習(xí)題05教材習(xí)題06(1)如果某場雷雨區(qū)域的直徑是，那么這場雷雨大約能持續(xù)多長時間？考點一、無理數(shù)1．下列實數(shù)是無理數(shù)的是（

）【答案】B【分析】本題主要考查了無理數(shù)的概念，零指數(shù)冪，解題關(guān)鍵是熟記常見無理數(shù)的種類，常見無理數(shù)的三種情況：①開方開不盡的數(shù)；②含有與有理數(shù)的和差積商；③有規(guī)律但無限不循環(huán)的小數(shù)．據(jù)此判斷即可．【詳解】解：A、1是有理數(shù)，不符合題意；B、是無理數(shù)，符合題意；D、2024是有理數(shù)，不符合題意；故選：B．【答案】2【分析】本題考查的是無理數(shù)的概念．熟練掌握和運用無理數(shù)的概念是解決本題的關(guān)鍵．無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)．根據(jù)無理數(shù)的概念求解即可．故答案為：2．3．教材第頁的合作學(xué)習(xí)，首次利用圖形引進(jìn)了帶開平方符號的無理數(shù)．請用教材中同樣的方法思考解答下列問題（設(shè)每一方格的邊長為個單位）．(2)求方格（圖）中陰影正方形的邊長．【答案】(1)陰影正方形面積為，陰影正方形邊長為；(2)陰影正方形邊長為．【分析】（）先出陰影部分的面積，然后根據(jù)算術(shù)平方根的定義求解即可；（）先出陰影部分的面積，然后根據(jù)算術(shù)平方根的定義求解即可；本題考查了算術(shù)平方根的應(yīng)用，掌握算術(shù)平方根的概念是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：由于每一方格邊長為，可得圖中陰影正方形面積為：所以，陰影正方形邊長為；（2）解：由于每一方格邊長為，可得圖中陰影正方形面積為：所以，陰影正方形邊長為．考點二、實數(shù)的分類【答案】A【分析】本題考查了實數(shù)的分類，熟練掌握實數(shù)的分類是解答本題的關(guān)鍵．實數(shù)分為有理數(shù)和無理數(shù)，有理數(shù)分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)，無理數(shù)分為正無理數(shù)和負(fù)無理數(shù)．根據(jù)實數(shù)的分類方法分析即可．【詳解】解：是負(fù)整數(shù)，0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，3是正整數(shù)，故選A．2．將下列各數(shù)進(jìn)行分類（填序號即可）：正整數(shù)：______；分?jǐn)?shù)：______；無理數(shù)：______．【答案】①⑤；④⑥；②⑦【分析】本題考查了實數(shù)的分類，求一個數(shù)的立方根，熟練掌握和運用實數(shù)的分類是解題的關(guān)鍵．根據(jù)有理數(shù)分為正整數(shù)，正分?jǐn)?shù)，0，負(fù)整數(shù)，負(fù)分?jǐn)?shù)；無理數(shù)是指無限不循環(huán)小數(shù)，進(jìn)行解答即可．正整數(shù)有①⑤；分?jǐn)?shù)有：④⑥；無理數(shù)有：②⑦；故答案為：①⑤；④⑥；②⑦．3．把下列各數(shù)填入相應(yīng)的括號里．(1)正實數(shù)：{

，…}；(2)負(fù)實數(shù)：{

，…}；(3)有理數(shù)：{

，…}；(4)無理數(shù)：{

，…}．【分析】本題考查了實數(shù)的分類，熟練掌握實數(shù)的分類是解答本題的關(guān)鍵．實數(shù)分為有理數(shù)和無理數(shù)，有理數(shù)分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)，無理數(shù)分為正無理數(shù)和負(fù)無理數(shù)．實數(shù)還可以分為正實數(shù)、零和負(fù)實數(shù)，正實數(shù)分為正有理數(shù)和正無理數(shù)，負(fù)實數(shù)分為負(fù)有理數(shù)和負(fù)無理數(shù)．（1）根據(jù)正實數(shù)包括正無理數(shù)和正有理數(shù)解答即可；（2）根據(jù)負(fù)實數(shù)包括負(fù)無理數(shù)和負(fù)有理數(shù)解答即可；（3）根據(jù)有理數(shù)包括整數(shù)和分?jǐn)?shù)解答即可；（4）根據(jù)無理數(shù)包括正無理數(shù)和負(fù)無理數(shù)解答即可．考點三、在數(shù)軸上表示無理數(shù)1．如圖所示，數(shù)軸上“？”表示的數(shù)有可能是（

）A． B． C． D．【答案】C∴符合x取值范圍的數(shù)有，故數(shù)軸上“？”表示的數(shù)有可能是，故選：C．2．如圖，在數(shù)軸上表示實數(shù)的點可能是．【答案】【分析】本題考查了無理數(shù)的大小估算，實數(shù)與數(shù)軸．熟練掌握無理數(shù)的大小估算，實數(shù)與數(shù)軸是解題的關(guān)鍵．先估算的值，即可判斷表示實數(shù)在數(shù)軸上的位置．∴在數(shù)軸上表示實數(shù)的點可能是點．故答案為：．(1)的值．(2)的長．【分析】本題主要考查數(shù)軸上的點表示實數(shù)，數(shù)軸上兩點之間的距離，掌握數(shù)軸的特點是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)數(shù)軸表示實數(shù)，數(shù)軸上點的移動計算即可；（2）根據(jù)兩點之間距離的計算方法即可求解．考點四、實數(shù)比較大小A． B．0 C．2 D．【答案】D【分析】本題考查比較實數(shù)的大小，根據(jù)正數(shù)大于0，0大于負(fù)數(shù)，兩個負(fù)數(shù)絕對值大的反而小，進(jìn)行判斷即可．故選：D．【答案】故答案為：．【分析】本題考查了實數(shù)的大小比較．考點五、估算無理數(shù)A．6和7之間 B．5和6之間 C．4和5之間 D．3和4之間【答案】B【分析】本題主要考查無理數(shù)比較大小，掌握無理數(shù)估算大小，比較大小的方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)無理數(shù)估算大小的方法即可求解．故選：B．【答案】（答案不唯一）【分析】本題考查了無理數(shù)的定義，熟知無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)無理數(shù)的定義即可求解．可以為，，……故答案為：，（答案不唯一）．3．如圖，將面積分別為10和5的正方形紙片放在數(shù)軸上，使正方形的一條邊恰好落在數(shù)軸上，一個頂點與原點重合，其另一個頂點分別在數(shù)軸上的點A和點B處．(1)點A表示的數(shù)為_______；點B表示的數(shù)為_______．(2)請你閱讀以下材料，并完成作答：根據(jù)以上材料可得點B所表示的數(shù)的整數(shù)部分為_______，小數(shù)部分為_______．(3)他不能裁出來，理由見詳解【分析】本題考查了無理數(shù)的估算，實數(shù)與數(shù)軸，算術(shù)平方根的應(yīng)用，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵將面積分別為10和5的正方形紙片放在數(shù)軸上，使正方形的一條邊恰好落在數(shù)軸上，一個頂點與原點重合，其另一個頂點分別在數(shù)軸上的點A和點B處．（2）解：由（1）得點B表示的數(shù)為，（3）解：他不能裁出來，理由如下：依題意，設(shè)長方形紙片的長為，∵一塊面積為6的長方形紙片，且它的長與寬的比為，則長方形紙片的長為，∴他不能裁出來．考點六、求一個數(shù)的近似數(shù)1．用四舍五入法將2.796精確到百分位，所得到的近似數(shù)為（

）A．2.79 B．2.7 C．2.80 D．2.8【答案】C【分析】本題考查近似數(shù)．根據(jù)精確度的要求和四舍五入法，即可解答本題．∴用四舍五入法將2.796精確到百分位，所得到的近似數(shù)為2.80，故選：C．【分析】本題考查了近似數(shù)：近似數(shù)與精確數(shù)的接近程度，可以用精確度表示．一般有，精確到哪一位，保留幾個有效數(shù)字等說法．把百位上的數(shù)字7進(jìn)行四舍五入即可．3．按括號里的要求，用四舍五入法對下列各數(shù)取近似數(shù)：(1)1.596（精確到0.01）(2)0.03057（精確到千分位）(3)（精確到萬位）(4)60290（保留兩個有效數(shù)字）【答案】(1)【分析】本題考查了近似數(shù)和有效數(shù)字：經(jīng)過四舍五入得到的數(shù)為近似數(shù)；從一個數(shù)的左邊第一個不是0的數(shù)字起到末位數(shù)字止，所有的數(shù)字都是這個數(shù)的有效數(shù)字，近似數(shù)與精確數(shù)的接近程度，可以用精確度表示：一般有，精確到哪一位，保留幾個有效數(shù)字等說法．（1）根據(jù)近似數(shù)的定義求解即可；（2）根據(jù)近似數(shù)的定義求解即可；（3）根據(jù)近似數(shù)的定義求解即可；（4）根據(jù)有效數(shù)字的定義求解即可．【詳解】（1）解：1.596精確到0.01為；考點七、求近似數(shù)的精確度【答案】B【分析】本題考查了近似數(shù)與精確度，熟練掌握精確度的定義是解答本題的關(guān)鍵．近似數(shù)的最后一個數(shù)字實際在什么位上，即精確到了什么位，要求精確到某一位，應(yīng)當(dāng)對下一位的數(shù)字進(jìn)行四舍五入．還原成原數(shù)看3所在的數(shù)位即可．∴該數(shù)精確到萬位．故選C．2．古人云：“盛年不再來，一日難再晨，及時當(dāng)勉勵，歲月不待人．”我們應(yīng)珍惜每一天，活在當(dāng)下，一個人一生大約2.9萬天，近似數(shù)2.9萬精確到．【答案】千位【分析】此題考查了近似數(shù)的精確度，根據(jù)最后一位是千位可得精確度．【詳解】近似數(shù)2.9萬精確到千位．故答案為：千位．3．指出下列各近似值精確到哪一位．(1)56.3(2)5.630(4)5.630萬(5)0.017(6)3800．【答案】(1)56.3精確到十分位；(2)5.630精確到千分位；(4)5.630萬精確到十位；(5)0.017精確到千分位；(6)3800精確到個位【分析】本題考查了近似數(shù)和有效數(shù)字：近似數(shù)與精確數(shù)的接近程度，可以用精確度表示．一般有，精確到哪一位，保留幾個有效數(shù)字等說法；從一個數(shù)的左邊第一個不是0的數(shù)字起到末位數(shù)字止，所有的數(shù)字都是這個數(shù)的有效數(shù)字．（1）所給數(shù)的數(shù)位最小到十分位，據(jù)此解答即可．（2）所給數(shù)的數(shù)位最小到千分位，據(jù)此解答即可．（3）所給數(shù)的數(shù)位最小到萬位，據(jù)此解答即可．（4）所給數(shù)的數(shù)位最小到十位，據(jù)此解答即可．（5）所給數(shù)的數(shù)位最小到千分位，據(jù)此解答即可．（6）所給數(shù)的數(shù)位最小到個位，據(jù)此解答即可．【詳解】（1）解：56.3精確到十分位；（2）解：5.630精確到千分位；（4）解：5.630萬精確到十位；（5）解：0.017精確到千分位；（6）解：3800精確到個位．考點八、程序下的實數(shù)【答案】B【分析】本題主要考查數(shù)的算術(shù)平方根的計算方法和有理數(shù)、無理數(shù)的定義，解題時要注意數(shù)值如何轉(zhuǎn)換．∴還需再求4的算術(shù)平方根，∵4的算術(shù)平方根是2，2是有理數(shù)，∴還需再求2的算術(shù)平方根，2的算術(shù)平方根是．是無理數(shù)，∴輸出的值是，故選：B．2．在如圖所示的運算程序中，輸入的值是64時，輸出的值是．【答案】【分析】本題考查算術(shù)平方根、立方根、無理數(shù)，代數(shù)式求值，根據(jù)程序框圖計算，直至結(jié)果是無理數(shù)即可．【詳解】解：輸入x的值是64時，因此2的算術(shù)平方根為是無理數(shù)，輸出y的值，故答案為：．(1)當(dāng)輸入的x為時，輸出的y值是______；(2)若輸入實數(shù)x后，始終輸不出y值，則所有滿足要求的x的值為______；(3)若輸出的y是，求x的負(fù)整數(shù)值．【答案】(1)；(2)1，2，3；(3)或．【分析】本題主要考查了算術(shù)平方根與實數(shù)的概念，熟練掌握其算術(shù)平方根與實數(shù)定義是解題的關(guān)鍵．（1）由題意利用框圖中的算法，直接計算求值即可；∴當(dāng)輸入的為時，輸出的值是；故答案為：；（2）∵0和1的算術(shù)平方根是它本身，∴所有滿足要求的的值為1，2，3；故答案為：1，2，3；（3）若第1次運算是，∵為負(fù)整數(shù)，∴輸入的值為；若第2次運算是，∵為負(fù)整數(shù)，∴輸入的值為，∴的負(fù)整數(shù)值均為或．知識導(dǎo)圖記憶【答案】D【分析】此題考查了近似數(shù)和有效數(shù)字，從左邊第一個不是0的數(shù)開始數(shù)起，到精確到的數(shù)位為止，所有的數(shù)字都叫做這個數(shù)的有效數(shù)字．最后一位所在的位置就是精確度．先利用近似數(shù)的精確度求解，再用科學(xué)記數(shù)法表示即可．故選D．2．有一個數(shù)學(xué)常數(shù)叫“分割比”，它的值約為0.，將0.用四舍五入法精確到0.001的近似數(shù)為（

）A．0.61 B．0.62 C．0.6 D．0.618【答案】D【分析】本題考查了近似數(shù)和有效數(shù)字：近似數(shù)與精確數(shù)的接近程度，可以用精確度表示．把萬分位上數(shù)字0進(jìn)行四舍五入即可．故選：D．3．下列四個實數(shù)中，最大的是（

）【答案】D【分析】本題考查了實數(shù)大小比較，解題關(guān)鍵是將所給的數(shù)排序．先將四個數(shù)從小到大排序，再找出最大即可．所以最大的是6，故選：D．4．如圖所示，一條數(shù)軸被一灘墨跡覆蓋了一部分，下列實數(shù)中，被墨跡覆蓋的是（

）【答案】B【分析】本題考查了無理數(shù)的估算，實數(shù)的大小比較，熟練掌握無理數(shù)的估算是解題的關(guān)鍵．根據(jù)無理數(shù)的估算方法，確定取值范圍，對照數(shù)軸覆蓋數(shù)的范圍判定即可．故選：B．【答案】D∵記右側(cè)最近的整數(shù)點為，∴點的數(shù)為2，表示的數(shù)為，表示的數(shù)為，故選：D．6．六億零六十萬零六十寫作，改寫成用“萬”作單位是，省略萬位后面的尾數(shù)是，精確到億位是．【答案】60060006060060.0060萬60060萬6億【分析】此題主要考查了整數(shù)的讀法，整數(shù)的改寫，以及四舍五入法求近似值問題的應(yīng)用，要熟練掌握．根據(jù)整數(shù)的讀法和四舍五入進(jìn)行改寫即可得到答案．【詳解】解：六億零六十萬零六十寫作600600060，改寫成用“萬”作單位是60060.0060萬,省略萬位后面的尾數(shù)是60060萬，精確到億位是6億．故答案為：600600060，60060.0060萬，60060萬，6億．7．在大自然中充滿著數(shù)學(xué)之美，向日葵上的螺旋線順時針有21條，逆時針有13條，那么順時針條數(shù)和逆時針條數(shù)的比值約為．（結(jié)果保留三位有效數(shù)字）【答案】【分析】此題考查了比．根據(jù)題意列式求出比值即可．故答案為：8．比較大?。?．（填“<”“=”或“>”）【答案】>故答案為：>．9．在如圖所示的運算程序中，若輸入x的值是64，則輸出的y值是．【答案】【分析】本題考查有理數(shù)的混合運算，代數(shù)式求值，根據(jù)程序框圖計算，直至結(jié)果是無理數(shù)即可．【詳解】解：輸入x的值是64時，因此2的算術(shù)平方根為是無理數(shù)，輸出y的值，故答案為：．【答案】【分析】此題主要考查了實數(shù)大小比較的方法，勾股定理的應(yīng)用，以及三角形的三邊的關(guān)系，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在一個三角形中，任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．故答案為：．11．用四舍五入法，按括號中的要求對下列各數(shù)取近似數(shù)：【答案】(1)【分析】本題考查求一個數(shù)的近似數(shù)，熟練掌握四舍五入法，是解題的關(guān)鍵：（1）對千分位上的數(shù)字進(jìn)行四舍五入即可；（2）對千分位上的數(shù)字進(jìn)行四舍五入即可；（3）對十萬位上的數(shù)字進(jìn)行四舍五入即可；（4）對十萬位上的數(shù)字進(jìn)行四舍五入即可．12．下列各數(shù)精確到什么位？請分別指出來．(3)．(3)精確到百分位【分析】（1）根據(jù)近似數(shù)的定義及求解方法即可求解；（2）根據(jù)近似數(shù)的定義及求解方法即可求解；（3）根據(jù)近似數(shù)的定義及求解方法即可求解；（4）根據(jù)近似數(shù)的定義及求解方法即可求解．