第06講比例線段（知識清單+7大題型+好題必刷）題型梳理題型梳理題型一成比例線段題型二比例的性質(zhì)題型三比例線段題型四由平行判斷成比例的線段題型五由平行截線求相關線段的長或比值題型六分割題型七相似多邊形的性質(zhì)知識清單知識清單知識點1．比例的性質(zhì)（1）比例的基本性質(zhì)：組成比例的四個數(shù)，叫做比例的項．兩端的兩項叫做比例的外項，中間的兩項叫做比例的內(nèi)項．（2）常用的性質(zhì)有：①內(nèi)項之積等于外項之積．若＝，則ad＝bc．②合比性質(zhì)．若＝，則＝．③分比性質(zhì)．若＝，則＝．④合分比性質(zhì)．若＝，則＝．⑤等比性質(zhì)．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），則＝．知識點2．比例線段（1）對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等，如ab＝cd（即ad＝bc），我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段．（2）判定四條線段是否成比例，只要把四條線段按大小順序排列好，判斷前兩條線段之比與后兩條線段之比是否相等即可，求線段之比時，要先統(tǒng)一線段的長度單位，最后的結(jié)果與所選取的單位無關系．知識點3．分割（1）分割的定義：如圖所示，把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項（即AB：AC＝AC：BC），叫做把線段AB分割，點C叫做線段AB的分割點．其中AC＝AB≈0.618AB，并且線段AB的分割點有兩個．（2）三角形：三角形是一個等腰三角形，其腰與底的長度比為比值．三角形分兩種：①等腰三角形，兩個底角為72°，頂角為36°．這樣的三角形的底與一腰之長之比為比：；②等腰三角形，兩個底角為36°，頂角為108°；這種三角形一腰與底邊之長之比為比：．（3）矩形：矩形的寬與長之比確切值為．知識點4．平行線分線段成比例（1）定理1：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例．推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例．（2）推論1：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊．（3）推論2：平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應成比例．知識點5．相似圖形（1）相似圖形我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形．（2）相似圖形在現(xiàn)實生活中應用非常廣泛，對于相似圖形，應注意：①相似圖形的形狀必須完全相同；②相似圖形的大小不一定相同；③兩個物體形狀相同、大小相同時它們是全等的，全等是相似的一種特殊情況．（3）相似三角形對應角相等，對應邊成比例的三角形，叫做相似三角形．題型方法題型方法【題型一】成比例線段【例1】（2425九年級上·安徽亳州·階段練習）下列四組長度的線段中，是成比例線段的是（

）【答案】A【知識點】成比例線段【分析】本題考查了成比例線段，根據(jù)成比例線段的定義逐項分析即可得解．故選：A．【舉一反三】【答案】A【知識點】成比例線段根據(jù)比例中項的定義解答即可．【詳解】解：∵b是a，c的比例中項，故選：A．【答案】【知識點】成比例線段【詳解】解：設兩地的實際距離是，故答案為：．3．（2425九年級上·安徽六安·期中）已知：線段a，b，c，根據(jù)以下條件回答問題．【知識點】成比例線段【分析】本題考查了比例線段，寫比例式的時候一定要注意順序，再根據(jù)比例的基本性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：∵c是a，b的比例中項線段，∴（負值舍去）即c的長為；【題型二】比例的性質(zhì)【例2】（2425九年級上·安徽合肥·階段練習）已知兩個數(shù)2、8，則2和8的比例中項為（

）A．2 B． C． D．4【答案】C【知識點】比例的性質(zhì)【分析】本題考查比例中項，根據(jù)比例中項的定義，列出比例式進行求解即可．【詳解】解：設2和8的比例中項為，故選C．【舉一反三】A． B． C． D．【答案】B【知識點】成比例線段、比例的性質(zhì)【分析】本題考查了比例中項，成比例線段，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵．是線段，故選：B．【答案】/2【知識點】比例的性質(zhì)【分析】此題考查了比例的基本性質(zhì)，解題的關鍵是根據(jù)基本性質(zhì)靈活進行變形，從而求解．故答案為：．【答案】33【知識點】比例的性質(zhì)【分析】本題考查了比例性質(zhì)，解題的關鍵是求出比值，從而求出、、的值．【題型三】比例線段A．2400米 B．24000米 C．米 D．米【答案】C【知識點】比例線段【分析】本題考查了比例尺．根據(jù)比例尺圖上距離實際距離進行計算．淮北到合肥的實際距離是米，故選：C．【舉一反三】1．（2324九年級上·安徽合肥·階段練習）一種精密零件長毫米，把它畫在圖紙上，圖上零件長厘米，這張圖紙的比例尺是（

）【答案】D【知識點】比例線段【分析】本題考查比例尺，關鍵是掌握比例尺的定義．比例尺圖上距離與實際距離的比，由此即可計算．這張圖紙的比例尺是：．故選：D．【答案】60【知識點】比例線段【分析】本題主要考查了比例尺，根據(jù)比例尺及圖上距離可得實際距離．故答案為：60．【知識點】比例線段、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題【點睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合、比例的性質(zhì)，根據(jù)比例式求出點的坐標是解題關鍵．【題型四】由平行判斷成比例的線段【答案】D【知識點】由平行判斷成比例的線段【分析】本題考查了平行線分線段成比例．根據(jù)平行線分線段成比例對各選項判斷作答即可．故選：D．【舉一反三】【答案】B【知識點】由平行判斷成比例的線段【分析】本題考查了由平行線判斷成比例的線段，根據(jù)由平行線判斷成比例的線段進行解答即可，解題的關鍵是掌握知識點的應用．故選：．（1）的長為；（2）的值為．【知識點】用勾股定理解三角形、由平行判斷成比例的線段【分析】本題考查了勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，全等三角形的判定與性質(zhì)．故答案為：．

【答案】【知識點】由平行判斷成比例的線段【題型五】由平行截線求相關線段的長或比值A．2 B．3 C． D．【答案】D【知識點】由平行截線求相關線段的長或比值故選：D．【舉一反三】A．4 B．6 C．7 D．8【答案】B【知識點】由平行截線求相關線段的長或比值故選B．

【答案】【知識點】由平行截線求相關線段的長或比值故答案為：．【答案】(1)6(2)5【知識點】由平行截線求相關線段的長或比值【分析】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，靈活運用所學知識是解題的關鍵．（1）根據(jù)平行線分線段成比例定理求解即可；∴的長為5．【題型六】分割【答案】D【知識點】分割【分析】根據(jù)分割點的定義即點把線段分成兩條線段，較長線段是較短線段和全長線段的比例中項，這個點就是線段的分割點，列式判斷即可．本題考查了分割點的定義，熟練掌握分割是解題的關鍵．故選：D．【舉一反三】【答案】C【知識點】分割故選：C．【答案】【知識點】分割故答案為：．【知識點】分割、分式方程的其它實際問題【題型七】相似多邊形的性質(zhì)【答案】B【知識點】相似多邊形的性質(zhì)故選：B．【舉一反三】【答案】C【知識點】相似多邊形的性質(zhì)【分析】本題主要考查了相似多邊形的性質(zhì)，根據(jù)相似形的對應邊的比相等，把幾何問題轉(zhuǎn)化為方程問題，正確分清對應邊，以及正確解方程是解決本題的關鍵．根據(jù)相似多邊形對應邊的比相等，設出原來矩形的長與寬，就可得到一個方程，解方程即可求得．故選：C．【答案】【知識點】相似多邊形的性質(zhì)故答案為：．【點睛】本題考查了相似圖形，熟練掌握相似圖形的性質(zhì)是解題關鍵．【知識點】解分式方程（化為一元一次）、根據(jù)矩形的性質(zhì)求線段長、根據(jù)正方形的性質(zhì)求線段長、相似多邊形的性質(zhì)【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)和相似多邊形的性質(zhì)等知識點，能熟記知識點是解此題的關鍵．好題必刷好題必刷一、單選題1．下列說法正確的是（

）A．菱形都是相似圖形 B．各邊對應成比例的多邊形是相似多邊形C．等邊三角形都是相似三角形 D．矩形都是相似圖形【答案】C【分析】根據(jù)相似圖形的定義，對應邊成比例，對應角相等對各選項分析判斷即可．【詳解】解：A、菱形的對應邊成比例，對應角不一定相等，所以不一定是相似圖形，故本選項錯誤；B、各邊對應成比例的多邊形對應角不一定相等（如菱形），所以不一定是相似多邊形，故本選項錯誤；C、等邊三角形對應角相等，對應邊成比例，所以是相似三角形，故本選項正確；D、矩形對應角相等，對應邊不一定成比例，所以不一定是相似圖形，故本選項錯誤；故選：C．【點睛】本題考查了相似圖形的定義，熟記定義是解題的關鍵，要注意從邊和角兩個方面考慮．A．10 B．15 C．16 D．18【答案】C【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理，即可求．∴EC=10∴AC=AE+EC=16．故選：C．【點睛】本題考查了相似三角形的基礎—平行線分線段成比例定理，解題的關鍵是熟悉平行線分線段成比例定理．A．2000cm2 B．cm2C．4000cm2 D．cm2【答案】B求出即可．【詳解】解：設一塊面積為2cm2的區(qū)域表示的實際面積是Scm2，解得：S＝，故選B．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，注意：相似多邊形的面積比等于相似比的平方．【答案】C【詳解】設AB為整體1，BC的長為x，則AC=1x，所以B選項正確，不符合題意；所以A、D選項正確，不符合題意；所以C選項錯誤，符合題意；故選C【點睛】本題考查了分割，掌握分割的定義是解題關鍵．【答案】D故選：D．【答案】C【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)逐項判斷即可．故選：C．【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，解題的關鍵是熟悉平行線的性質(zhì)．【答案】B∴A＜B＜C．故選：B．【點睛】本題考查了比例的性質(zhì)，根據(jù)比例式用同一個未知數(shù)得出x，y，z的值進而求出是解題的關鍵．A．甲、乙不相似 B．甲、丁不相似 C．丙、乙相似 D．丙、丁相似【答案】A【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)以及已知條件AP：PC=AD：AB=4：3，求得結(jié)果，采用排除法，得出正確答案．【詳解】如圖，∵AP：PC=AD：AB=4：3，AD∥BC，∴甲與丁相似，故選項B錯誤，AM=EP，∴甲與丙一定不相似，∴丙和丁不相似，故選項D錯誤，∴甲與乙一定不相似，故選項A正確，無法確定丙、乙是否相似，故選項C錯誤，故選A．【點睛】本題考查的是相似形的識別，關鍵要聯(lián)系圖形，根據(jù)相似圖形的定義得出．9．如圖，已知AB∥CD∥EF，AC＝6，CE＝2，BD＝4，則DF的值為（）A． B． C． D．1【答案】B【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵直線AB∥CD∥EF，AC=6，CE=2，BD=4，故選：B．【點睛】此題考查的是平行線分線段成比例定理，熟知三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例是解答此題的關鍵．10．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90o，AC=BC=4，CD⊥AB，垂足為D，E為BC的中點，AE與CD交于點F，則DF的長為（

）

【答案】C【分析】過點F作FH⊥AC于H，則△AFH∽△AEC，設FH為x，由已知條件可證明△CHF是等腰直角三角形，用x分別表示出FH、CH，利用FH=CH列方程即可求出x的值，利用DF=CDCF即可求解．【詳解】如圖，過點F作FH⊥AC于H．

在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=BC=4，∵CD⊥AB，∵FH∥EC，∵EC=EB=2，∴設FH=，則AH=，CH=4，∵∠FCH=45°∴CH=FH故選C．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理的運用，解題的關鍵是做垂直，構(gòu)造相似三角形．二、填空題11．勾股定理與分割是幾何中的雙寶，前者好比，后者堪稱珠玉，生活中到處可見分割的美．如圖是一種貝殼的俯視圖，點C分線段AB近似于分割，已知AB=10cm，AC＞BC，那么AC的長約為cm（結(jié)果精確到0.1cm）．【答案】6.2【分析】分割又稱率，是指事物各部分間一定的數(shù)學比例關系，即將整體一分為二，較大部分與較小部分之比等于整體與較大部分之比，其比值為1：0.618或1.618：1，即長段為全段的0.618，0.618被公認為最具有審美意義的比例數(shù)字．上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被稱為分割．【詳解】由題意知AC:AB=BC:AC，∴AC:AB≈0.618，∴AC=0.618×10cm≈6.2(結(jié)果精確到0.1cm)故答案為6.2.【點睛】本題考查分割，解題關鍵是掌握分割定理.【分析】根據(jù)分割的定義進行計算即可解答．【詳解】解：∵點P是AB的分割點（AP＞BP），線段AB的長為6cm，【點睛】本題考查了分割，熟練掌握分割的定義是解題的關鍵．【答案】【分析】根據(jù)比例性質(zhì)可得7b=3（3a+5b），8b=9a,可得.所以，8b=9a,故答案為.【點睛】本題考核知識點：比例性質(zhì).解題關鍵點：熟記比例性質(zhì).14．已知點P在線段AB上，且AP：PB=2：5，則AB：PB=，AP：AB=．【答案】7：5；2：7．【分析】根據(jù)直接求解即可．【詳解】解：由題意AP：PB=2：5，AB：PB=（AP+PB）：PB=（2+5）：5=7：5；AP：AB=AP：（AP+PB）=2：（2+5）=2：7．

故答案為7：5；2：7．【點睛】本題考查比例的合比性質(zhì)和反比性質(zhì)，解題關鍵是能夠根據(jù)已知條件得到線段之間的關系．三、解答題【答案】【詳解】解：已知a，b，c，d是成比例線段，16．已知C、D是線段AB上的點，CD＝(﹣2)AB，AC＝BD，則C、D是分割點嗎？為什么？【答案】C、D是分割點.【分析】根據(jù)題意求出AC與AB的關系，計算出AD與AB的關系，根據(jù)比值進行判斷即可．【詳解】解：C、D是分割點，∵AC+CD+BD＝AB，CD＝(﹣2)AB，AC＝BD，∴D是AB的分割點，同理C也是AB的分割點．【點睛】本題考查分割，關鍵是掌握分割的概念和比.【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】(1)根據(jù)a與b的比值，設a=2k，b=3k，再將a，b的值代入代數(shù)式化簡可求解.(2)由(1)中的a=2k，b=3k，分別代入等式的左右兩邊，即可