專題01圓中的重要模型之四點(diǎn)共圓模型四點(diǎn)共圓是初中數(shù)學(xué)的?？贾R(shí)點(diǎn)，近年來(lái)，特別是四點(diǎn)共圓判定的題目出現(xiàn)頻率較高。相對(duì)四點(diǎn)共圓性質(zhì)的應(yīng)用，四點(diǎn)共圓的判定往往難度較大，往往是填空題或選擇題的壓軸題，而計(jì)算題或選擇中四點(diǎn)共圓模型的應(yīng)用（特別是最值問(wèn)題），通常能簡(jiǎn)化運(yùn)算或證明的步驟，使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單。本文主要介紹四點(diǎn)共圓的四種重要模型。TOC\o"14"\h\z\u 1模型來(lái)源 1真題現(xiàn)模型 2提煉模型 4模型運(yùn)用 6模型1.定點(diǎn)定長(zhǎng)共圓模型（圓的定義） 6模型2.定邊對(duì)雙直角共圓模型 8模型3.定邊對(duì)定角共圓模型 11模型4.對(duì)角互補(bǔ)共圓模型 14TOC\o"14"\h\z\u 17漢代數(shù)學(xué)家張丘建在《九章算術(shù)》中首次提出四點(diǎn)共圓的理論雛形，宋代數(shù)學(xué)家基于《九章算術(shù)》進(jìn)一步研究，明確“對(duì)角互補(bǔ)的四邊形必共圓”的判定條件，與阿拉伯研究形成互補(bǔ)。托勒密在《天文學(xué)大成》中提出?托勒密定理?：若凸四邊形內(nèi)接于圓，則兩對(duì)角線乘積等于兩組對(duì)邊乘積之和，并給出嚴(yán)謹(jǐn)證明。該定理首次將四點(diǎn)共圓與定量關(guān)系結(jié)合，成為后世判定核心依據(jù)之一。四點(diǎn)共圓模型從東西方獨(dú)立的定性認(rèn)知起步，歷經(jīng)托勒密的定量跨越，最終在近現(xiàn)代整合為系統(tǒng)化工具，成為解決圓相關(guān)幾何問(wèn)題的通用模型。其發(fā)展體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想從經(jīng)驗(yàn)到邏輯、從孤立到互聯(lián)的演進(jìn)本質(zhì)。初中幾何體系將四點(diǎn)共圓判定歸納為四大核心模型。

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】A【詳解】解：①連接、，如圖所示：

∴點(diǎn)A，C，E，B在以點(diǎn)O為圓心，以為圓心的圓上，∴點(diǎn)A，C，E，B四點(diǎn)共圓，故②正確；（2425九年級(jí)上·浙江杭州·期中）探究與實(shí)踐：“善思”小組開(kāi)展“探究四點(diǎn)共圓的條件”活動(dòng)，得出結(jié)論：對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓．該小組繼續(xù)利用上述結(jié)論進(jìn)行探究．∴點(diǎn)，，，四點(diǎn)在同一個(gè)圓上（對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓）∴點(diǎn)，都在點(diǎn)，，所確定的上（依據(jù)）；∴點(diǎn)，，，四點(diǎn)在同一個(gè)圓上；【反思?xì)w納】圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)；對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓；過(guò)不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)圓；同圓中，同弧所對(duì)的圓周角相等；（）上述探究過(guò)程中的“依據(jù)”、“依據(jù)”分別是指什么？依據(jù)：；依據(jù)：．（從框內(nèi)選一個(gè)選項(xiàng)，直接填序號(hào)）∴點(diǎn)，，，四點(diǎn)在同一個(gè)圓上（對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓）∴點(diǎn)，在點(diǎn)，，所確定的上（過(guò)不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)圓）∴點(diǎn)，，，四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，故答案為：，；1.定點(diǎn)定長(zhǎng)共圓模型（圓的定義）若四個(gè)點(diǎn)到一定點(diǎn)的距離相等，則這四個(gè)點(diǎn)共圓。這也是圓的基本定義，到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)點(diǎn)的集合。條件：如圖1，平面內(nèi)有五個(gè)點(diǎn)O、A、B、C、D，使得OA=OB=OC=OD。結(jié)論：A、B、C、D四點(diǎn)共圓（其中圓心為O）。證明：∵OA=OB=OC=OD∴根據(jù)圓的定義：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)點(diǎn)的集合為圓，確定A、B、C、D四點(diǎn)共圓。圖1圖2（同側(cè)型）圖3（異側(cè)型）2.定邊對(duì)雙直角共圓模型定邊對(duì)雙直角模型：一定邊所對(duì)的角為兩個(gè)直角，分同側(cè)型和異側(cè)型兩種情況進(jìn)行討論。1）定邊對(duì)雙直角模型（同側(cè)型）結(jié)論：A、B、C、D四點(diǎn)共圓，其中AD為直徑。2）定邊對(duì)雙直角模型（異側(cè)型）結(jié)論：A、B、C、D四點(diǎn)共圓，其中AD為直徑。注意：由于同側(cè)型與異側(cè)型證明相同，故下面證明一次即可?！喔鶕?jù)圓的定義：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)點(diǎn)的集合為圓，確定A、B、C、D四點(diǎn)共圓。3.定邊對(duì)定角共圓模型定邊對(duì)定角模型：一定邊同側(cè)所對(duì)的角為兩個(gè)相等（為定值）。圖1圖2圖3圖44.對(duì)角互補(bǔ)共圓模型模型1.定點(diǎn)定長(zhǎng)共圓模型（圓的定義）

A． B． C． D．4【答案】C

∵點(diǎn)G是的中點(diǎn)，點(diǎn)F是的中點(diǎn)，例2（2425九年級(jí)下·北京·開(kāi)學(xué)考試）如圖，點(diǎn)O為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)B，C，D到點(diǎn)O的距離相等，連接，．則下面結(jié)論不一定成立的是（

）【答案】D模型2.定邊對(duì)雙直角共圓模型【答案】2

【答案】A

模型3.定邊對(duì)定角共圓模型【答案】見(jiàn)解析【詳解】解：如圖，連接，

例3（2425九年級(jí)上·廣東江門·期末）【綜合與實(shí)踐】九年級(jí)同學(xué)小明在劉老師的指導(dǎo)下開(kāi)展“探究四點(diǎn)共圓的條件”的數(shù)學(xué)活動(dòng)，得出結(jié)論：對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓．繼續(xù)探究如下：∴點(diǎn)B，D在點(diǎn)A，C，E所確定的上．∴點(diǎn)A，B，C，D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上．【反思?xì)w納】（1）上述探究過(guò)程中的“依據(jù)1”、“依據(jù)2“分別是指什么？依據(jù)1：；依據(jù)2：．【答案】（1）圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，過(guò)不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)圓（2）①詳見(jiàn)解析②詳見(jiàn)解析【詳解】（1）解：依據(jù)1：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；依據(jù)2：過(guò)不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)圓；故答案為：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，過(guò)不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)圓；模型4.對(duì)角互補(bǔ)共圓模型【答案】見(jiàn)解析

【答案】

例3（2024·河南·?？家荒＃┚C合實(shí)踐課上，劉老師介紹了四點(diǎn)共圓的判定定理：若平面上四點(diǎn)連成四邊形的對(duì)角互補(bǔ)或一個(gè)外角等于其內(nèi)對(duì)角，那么這四點(diǎn)共圓．在實(shí)際應(yīng)用中，如果運(yùn)用這個(gè)定理，往往可以讓復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，以下是小明同學(xué)對(duì)一道四邊形問(wèn)題的分析，請(qǐng)幫助他補(bǔ)充完整．小明的思考如下：填空：①依據(jù)1應(yīng)為_(kāi)__________，②依據(jù)2應(yīng)為_(kāi)__________，③依據(jù)3應(yīng)為_(kāi)__________；【答案】(1)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；同弧所對(duì)的圓周角相等；等角對(duì)等邊【詳解】（1）解：由題意可知：①兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，②同弧所對(duì)的圓周角相等，③等角對(duì)等邊，故答案為：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；同弧所對(duì)的圓周角相等；等角對(duì)等邊；（2）解：（1）中結(jié)論仍然成立，理由如下：連接DQ，如圖1所示：

A．①③④ B．②③⑤ C．②④ D．①③④⑤【答案】A

對(duì)于，如下圖所示；作EM和EN關(guān)于和的對(duì)稱線段；【答案】A【答案】①③④∵、、、四點(diǎn)共圓，如圖所示：4.（2024?連云港九年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)O為線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A、C、D到點(diǎn)O的距離相等，若∠ABC＝40°，則∠ADC的度數(shù)是．【詳解】由題意得到OA＝OB＝OC＝OD，作出圓O，如圖所示，∴四邊形ABCD為圓O的內(nèi)接四邊形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC＝40°，∴∠ADC＝140°，故答案為：140°．【詳解】解：如圖：作過(guò)A、B、F作⊙O,過(guò)O作OG⊥AB，連OB∵∠ABC=∠ABE+∠EBC=60°∴∠ABE+∠BAD=60°∴∠AFB=120°∵∠AFB是弦AB同側(cè)的圓周角∴∠AOB=120°；∵OG⊥AB,OA=OB∴∠BOG=∠AOG=∠AOB=60°,BG=AB=∴∠OBG=30°設(shè)OB=x，則OG=x7．（2022·江蘇無(wú)錫·中考真題）△ABC是邊長(zhǎng)為5的等邊三角形，△DCE是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，直線BD與直線AE交于點(diǎn)F．如圖，若點(diǎn)D在△ABC內(nèi)，∠DBC=20°，則∠BAF＝________°；現(xiàn)將△DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)1周，在這個(gè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段AF長(zhǎng)度的最小值是________．【詳解】解：∵△ABC和△DCE都是等邊三角形，∴AC=BC，DC=EC，∠BAC=∠ACB=∠DCE=60°，∴∠DCB+∠ACD=∠ECA+∠ACD=60°，即∠DCB=∠ECA，∵∠DBC=20°，∴∠EAC=20°，∴∠BAF=∠BAC+∠EAC=80°；設(shè)BF與AC相交于點(diǎn)H，如圖：∵△ACE≌△BCD∴AE=BD，∠EAC=∠DBC，且∠AHF=∠BHC，∴∠AFB=∠ACB=60°，∴A、B、C、F四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，∵點(diǎn)D在以C為圓心，3為半徑的圓上，當(dāng)BF是圓C的切線時(shí)，即當(dāng)CD⊥BF時(shí)，∠FBC最大，則∠FBA最小，∴此時(shí)線段AF長(zhǎng)度有最小值，在Rt△BCD中，BC=5，CD=3，∴AF=AEFE=4，故答案為：80；4．

【答案】見(jiàn)解析.以點(diǎn)為圓心，為半徑作，【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)見(jiàn)詳解13．（2425·山東九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，△ABC中，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分別為E、F，M為BC的中點(diǎn)．（1）求證：ME=MF．（2）若∠A=50°，求∠FME的度數(shù)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）80°．【詳解】（1）證明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，M為BC的中點(diǎn)，∴ME=BC，MF=BC，∴ME=MF；（2）解：∵CF⊥AB，∠A=50°，∴∠ACF=40°，∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴B、C、E、F四點(diǎn)共圓，∴∠FME=2∠ACF=80°．14．（2425九年級(jí)上·山西陽(yáng)泉·期中）請(qǐng)閱讀下列材料，完成相應(yīng)任務(wù)．我們知道，過(guò)任意一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)能作一個(gè)圓，那么過(guò)任意一個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)能作一個(gè)圓嗎？李雷經(jīng)過(guò)實(shí)踐探究發(fā)現(xiàn)了如下結(jié)論：如果線段同側(cè)兩點(diǎn)（與線段在同一平面內(nèi)）分別與線段兩端點(diǎn)的連線所組成的夾角相等，那么這兩點(diǎn)和線段兩端點(diǎn)四點(diǎn)共圓．下面是李雷證明上述命題的過(guò)程（不完整）．如圖③，若點(diǎn)D在內(nèi)，……任務(wù)：(1)上述證明過(guò)程中的“依據(jù)1”“依據(jù)2”分別指什么？依據(jù)1：______；依據(jù)2：______．(2)請(qǐng)按照材料中的證明思路，寫出該證明的剩余部分．【答案】(1)同弧所對(duì)的圓周角相等，三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和(2)見(jiàn)解析【詳解】（1）解：依據(jù)一：同弧所對(duì)的圓周角相等；依據(jù)二：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；故答案為：同弧所對(duì)的圓周角相等；三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）．【詳解】（1）證明：連接，取的中點(diǎn)，連接、，∴、、、四點(diǎn)在以點(diǎn)O為圓心，以為半徑的圓上．16．（2425九年級(jí)上·福建·期末）綜合與實(shí)踐：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，興趣小組開(kāi)展“探究四點(diǎn)共圓的條件”活動(dòng)．如圖3，假設(shè)點(diǎn)在外，；【歸納結(jié)論】（1）上述探究過(guò)程中的括號(hào)內(nèi)填的依據(jù)是_____；（2）如圖3，請(qǐng)你幫助小聰按照上面的思路，寫出該證明的省略部分；【答案】（1）同弧所對(duì)的圓周角相等；（2）見(jiàn)解析；（3）【詳解】解：（1）同弧所對(duì)的圓周角相等；（2）證明：如圖3，假設(shè)點(diǎn)在外，設(shè)交于點(diǎn)，連接，17．（2024·陜西渭南·一模）【結(jié)論理解】“善思”小組開(kāi)展“探究四點(diǎn)共圓的條件”活動(dòng)