第03講兩條直線的平行與垂直、交點(diǎn)問題題型梳理題型梳理易錯分析易錯點(diǎn)一根據(jù)兩直線的位置關(guān)系求參數(shù)時，因考慮不全面而致錯易錯點(diǎn)二兩條直線相交求參數(shù)時考慮不全面致誤題型方法題型一兩條直線平行與垂直的判定題型二平行與垂直的應(yīng)用題型三兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)的應(yīng)用知識清單知識清單知識點(diǎn)1兩條直線(不重合)平行的判定類型斜率都存在斜率都不存在圖示對應(yīng)關(guān)系l1∥l2?k1=k2兩直線斜率都不存在?l1∥l2知識點(diǎn)2兩條直線垂直的判定類型斜率都存在一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0圖示對應(yīng)關(guān)系l1⊥l2?k1k2=1l1的斜率不存在，l2的斜率知識點(diǎn)3兩條直線平行1.利用直線方程判定直線平行(1)已知直線l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，則l1∥l2?k1=k2，且b1≠b2.(2)已知直線l1：A1x+B1y+C1=0(A1，B1不全為0)，l2：A2x+B2y+C2=0(A2，B2不全為0)，則l1∥l2?A1B當(dāng)A2B2C2≠0時，l1∥l2?A1A2=B2.與已知直線平行的直線方程的設(shè)法(1)與直線y=kx+b平行的直線的方程可設(shè)為y=kx+m(m≠b)；(2)與直線Ax+By+C=0(A，B不全為0)平行的直線的方程可設(shè)為Ax+By+m=0(m≠C).知識點(diǎn)4兩條直線垂直1.利用直線方程判定直線垂直(1)已知直線l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，則l1⊥l2?k1·k2=1.(2)已知直線l1：A1x+B1y+C1=0(A1，B1不全為0)，l2：A2x+B2y+C2=0(A2，B2不全為0)，則l1⊥l2?A1A2+B1B2=0.當(dāng)B1B2≠0時，l1⊥l2?A1B1·2.與已知直線垂直的直線方程的設(shè)法(1)與直線y=kx+b(k≠0)垂直的直線的方程可設(shè)為y=1k(2)與直線Ax+By+C=0(A，B不全為0)垂直的直線的方程可設(shè)為BxAy+m=0.知識點(diǎn)5平行、垂直關(guān)系的應(yīng)用1.利用平行、垂直關(guān)系求參數(shù)已知兩條直線平行、垂直關(guān)系求參數(shù)時，根據(jù)定點(diǎn)1、定點(diǎn)2中平行、垂直的判定條件建立方程(組)求解.用點(diǎn)的坐標(biāo)表示斜率，通過斜率列關(guān)系式時，要注意對參數(shù)的討論.2.利用平行、垂直判斷圖形形狀的步驟(1)描點(diǎn)：在坐標(biāo)系中描出給定的點(diǎn).(2)猜測：根據(jù)描出的點(diǎn)猜測圖形的形狀.(3)求斜率：若斜率不存在，則直接說明；若斜率存在，則根據(jù)給定點(diǎn)的坐標(biāo)求出直線的斜率.(4)結(jié)論：由斜率之間的關(guān)系判斷圖形形狀.注意在求解過程中既要考慮斜率是否存在，又要考慮圖形可能出現(xiàn)的各種情形.知識點(diǎn)6兩條直線的交點(diǎn)1.設(shè)兩條直線l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，將兩條直線的方程聯(lián)立，得到方程組：A1x+知識點(diǎn)7兩條直線的位置關(guān)系與方程組解的聯(lián)系已知直線l1：A1x+B1y+C1=0，直線l2：A2x+B2y+C2=0.方程組A1一組無數(shù)組無解直線l1，l2的公共點(diǎn)一個無數(shù)個零個直線l1，l2的位置關(guān)系相交重合平行知識點(diǎn)8求過兩條直線交點(diǎn)的直線方程的方法?1.直接法：求出兩直線的交點(diǎn)，作為待求直線上的已知點(diǎn)，再根據(jù)已知條件求出待求直線的方程.2.待定系數(shù)法：設(shè)經(jīng)過兩直線l1：A1x+B1y+C1=0(A1，B1不全為0)，l2：A2x+B2y+C2=0(A2，B2不全為0)的直線方程為A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ為任意實(shí)數(shù))，然后根據(jù)條件求λ.注意該設(shè)法中直線的方程可表示除l2外所有過兩直線交點(diǎn)的直線.知識點(diǎn)9求解直線過定點(diǎn)問題的常用方法1.將直線方程轉(zhuǎn)化為yy0=k(xx0)的形式，則直線必過定點(diǎn)(x0，y0).2.應(yīng)用分離參數(shù)的方法，將直線方程轉(zhuǎn)化為a1x+b1y+c1+λ(a2x+b2y+c2)=0，由a13.應(yīng)用特殊值法，給方程中的參數(shù)賦兩個特殊值，可得關(guān)于x，y的兩個方程，將其聯(lián)立并求解，則解出的x，y的值分別為所求定點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)易錯分析易錯分析【易錯點(diǎn)一】根據(jù)兩直線的位置關(guān)系求參數(shù)時，因考慮不全面而致錯【答案】C【分析】根據(jù)兩直線方程垂直，分類求解的值.故選：C【答案】1【分析】由條件結(jié)合直線平行結(jié)論列方程求，并對所得結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn).故答案為：1(2)【答案】(1)a=4或a=2(2)a=（2）根據(jù)，由4a=2(a2）求解.所以a(a2)2×4=0，解得a=4或a=2．（2）因?yàn)椋?a=2(a2），解得a=．所以當(dāng)時，a=.【變式3】（2021高二·江蘇·專題練習(xí)）設(shè)常數(shù)m∈R，已知兩條直線l1：mx+3y﹣1＝0，l2：x+（m﹣2）y+1＝0．（1）若l1與l2垂直，求m的值．（2）若l1與l2平行，求m的值．【分析】（1）根據(jù)題意，由直線垂直的判斷方法，分析可得m+3（m﹣2）＝0，解可得m的值；（2）根據(jù)題意，由直線平行的性質(zhì)可得m（m﹣2）＝1×3＝3，解可得m的值，驗(yàn)證直線是否重合即可得答案．【詳解】（1）根據(jù)題意，直線l1：mx+3y﹣1＝0，l2：x+（m﹣2）y+1＝0．若l1與l2垂直，必有m+3（m﹣2）＝0，（2）直線l1：mx+3y﹣1＝0，l2：x+（m﹣2）y+1＝0，若l1與l2平行，必有m（m﹣2）＝1×3＝3，解可得：m＝﹣1或3，當(dāng)m＝﹣1時，直線l1：﹣x+3y﹣1＝0，l2：x﹣3y+1＝0，兩條直線重合，不合題意；當(dāng)m＝3時，直線l1：3x+3y﹣1＝0，l2：x+y+1＝0，兩條直線平行，符合題意；故m＝3．【易錯點(diǎn)二】兩條直線相交求參數(shù)時考慮不全面致誤【例2】（2022高三·江蘇·專題練習(xí)）已知直線l1：3x﹣y﹣1＝0，l2：x＋2y﹣5＝0，l3：x﹣ay﹣3＝0不能圍成三角形，則實(shí)數(shù)a的取值不可能為（

）A．1 B． C．﹣2 D．﹣1【答案】A故選：A【分析】分線線平行和三線共點(diǎn)討論即可.

【詳解】為使三條直線能構(gòu)成三角形，需三條直線兩兩相交且不共點(diǎn)．(1)若這三條直線交于一點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的值；(2)若三條直線能構(gòu)成三角形，求m滿足的條件.【答案】(1)2；(2)當(dāng)m≠2且m≠－2且m≠.【分析】(1)聯(lián)立和的方程求得交點(diǎn)坐標(biāo)，將此交點(diǎn)坐標(biāo)代入的方程即可求出m的值；(2)由題意得到三條直線不能構(gòu)成三角形的情況，求出每一種情況下的值，則答案可求．（2）當(dāng)三條直線相交于一點(diǎn)或其中兩直線平行時三條直線不能構(gòu)成三角形．題型方法題型方法【題型一】兩條直線平行與垂直的判定【例1】（2021高二·江蘇·專題練習(xí)）下列說法中正確的有（

）（1）若兩條直線斜率相等，則兩直線平行；（3）若兩直線中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率存在，則兩直線相交；（4）若兩條直線的斜率都不存在，則兩直線平行．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】根據(jù)直線平行和斜率之間的關(guān)系分別判斷即可．【詳解】①若兩直線斜率相等，則兩直線平行或重合，所以錯誤．③若兩直線中有一條直線的斜率不存在，另一條直線斜率存在，則兩直線相交，正確．④若兩直線斜率都不存在，則兩直線平行或重合，所以錯誤．故選：A解題技巧判斷兩條不重合的直線是否平行的方法利用斜率公式來判定兩直線垂直的方法(1)一看：就是看所給兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是否相等，若相等，則直線的斜率不存在；再看另一條直線的兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)是否相等，若相等，則垂直；若不相等，則進(jìn)行第二步．(2)二代：就是將點(diǎn)的坐標(biāo)代入斜率公式．(3)求值：計算斜率的值，進(jìn)行判斷．尤其是點(diǎn)的坐標(biāo)中含有參數(shù)時，應(yīng)用斜率公式要對參數(shù)進(jìn)行討論．提醒：若已知點(diǎn)的坐標(biāo)含有參數(shù)，利用兩直線的垂直關(guān)系求參數(shù)值時，要注意討論斜率不存在的情況．A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形【答案】B因此該三角形為直角三角形.故選：B.【變式2】（多選）（2324高二上·江蘇揚(yáng)州·期末）已知為兩條不重合的直線，則下列說法中正確的有（

）A．若斜率相等，則平行B．若平行，則的斜率相等C．若的斜率乘積等于，則垂直D．若垂直，則的斜率乘積等于．【答案】AC【分析】利用兩直線平行或垂直與斜率之間的關(guān)系逐項判斷即可得出結(jié)論.【詳解】根據(jù)兩直線的位置關(guān)系可知若斜率相等，則平行；若平行，當(dāng)都與軸平行時，的斜率不存在，即可得A正確，B錯誤；易知若的斜率乘積等于，則垂直；若垂直,當(dāng)與軸平行，與軸平行時，直線的斜率為，的斜率不存在，即可得C正確，D錯誤；故選：AC【變式3】（2023高二上·江蘇·專題練習(xí)）判斷下列各組中的直線與是否平行或垂直：【答案】(1)不平行也不垂直(2)平行(3)不平行也不垂直【分析】先判斷直線是否存在斜率，若不存在，則易判斷兩直線位置關(guān)系；若不存在，則求出斜率，并判斷斜率是否相等，或乘積是否為1，斜率相等時注意是否重合即可.【題型二】平行與垂直的應(yīng)用A． B． C．1 D．或1【答案】C【分析】根據(jù)兩直線平行的公式求解即可.故選：C解題技巧已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0，則：l1∥l2?A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．解決此類與垂直有關(guān)的平面幾何問題需注意的兩個關(guān)鍵點(diǎn)(1)通過條件結(jié)合圖形尋找相關(guān)的垂直關(guān)系．(2)直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0，若l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.A．0 B． C．3 D．【答案】C【分析】利用兩條直線相互垂直列式計算得解.故選：C【題型三】兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)的應(yīng)用A． B． C．3 D．【答案】C故選：C解題技巧(1)求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)可直接建立方程組求解，并可利用解的個數(shù)判斷直線的位置關(guān)系．(2)當(dāng)多條直線相交于同一點(diǎn)時，先選兩直線求交點(diǎn)，此點(diǎn)必滿足其他直線．解含參數(shù)的直線恒過定點(diǎn)問題的策略(1)方法一：任給直線中的參數(shù)賦兩個不同的值，得到兩條不同的直線，然后驗(yàn)證這兩條直線的交點(diǎn)就是題目中含參數(shù)直線所過的定點(diǎn)，從而問題得解．(2)方法二：含有一個參數(shù)的二元一次方程若能整理為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是參數(shù)，這就說明了它表示的直線必過定點(diǎn)，其定點(diǎn)可由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))解得．若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，則表示的所有直線必過定點(diǎn)(x0，y0)．A． B． C． D．【答案】D故選：D.【分析】求出過原點(diǎn)與已知直線垂直的直線方程，聯(lián)立已知方程求解可得.(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求邊所在直線的方程．【分析】（1）由與的方程聯(lián)立得出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)中點(diǎn)的計算公式結(jié)合已知列式求解得出答案；好題必刷好題必刷一、單選題A．3 B． C． D．2【答案】C【分析】利用兩條直線垂直列式計算即得.故選：C【答案】D故選:D.A． B． C．0 D．4【答案】B【分析】利用兩直線的垂直關(guān)系及點(diǎn)在線上計算即可.故選：BA．3 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)垂直的充要條件判斷即可.故選：C.A． B．2 C．或2 D．1或【答案】A【分析】利用兩直線平行關(guān)系，可得的系數(shù)成比例，再檢驗(yàn)是否有重合情況，從而可作出判斷.故選：A.【答案】A【分析】先求出直線的交點(diǎn)，再設(shè)直線的平行直線，最后代入交點(diǎn)求參.故選：A.二、多選題【答案】AB【分析】利用反證法可判斷A的正誤，利用平行或垂直的判斷方法可判斷BC的正誤，求出過的定點(diǎn)后可判斷D的正誤.但不為零，故C錯誤；故選：AB【答案】AD【分析】分離參數(shù)可得直線過定點(diǎn)，聯(lián)立直線方程可得交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)直線間位置關(guān)系可列方程，解得參數(shù)值.故選：AD.【答案】AC【分析】利用截距概念可判斷A；根據(jù)直線方程可判斷B；利用兩直線垂直時，斜率之積為可判斷C；舉反例可判斷D.故選：AC.【答案】ABD【分析】對取值后運(yùn)用直線方程逐項分析即可.故選：ABD.三、填空題【答案】即實(shí)數(shù)的值為.故答案為：.【分析】求出給定的兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，并求出它關(guān)于點(diǎn)對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用平行四邊形的性質(zhì)求出方程.四、解答題(1)求直線的方程；【分析】（1）兩點(diǎn)式求斜率，應(yīng)用點(diǎn)斜式寫出直線方程；（2）根據(jù)直線垂直的判定列方程求參數(shù).16．（2425高二上·江蘇淮安·期中）分別寫出滿足下列條件的直線方程（用一般式表示）17．（2023高二上·江蘇·專題練習(xí)）判斷下列各組中的直線與是否平行或垂直：【答案】(1)平行(2)重合(3)垂直