高二上期數學試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.在下列各數中，無理數是：（）

A.2.5

B.3.14

C.$\sqrt{2}$

D.$\frac{1}{3}$

2.已知等差數列$\{a_n\}$中，$a_1=2$，公差$d=3$，則$a_{10}$的值為：（）

A.30

B.31

C.32

D.33

3.已知等比數列$\{b_n\}$中，$b_1=3$，公比$q=2$，則$b_5$的值為：（）

A.24

B.48

C.96

D.192

4.已知函數$f(x)=x^2-4x+4$，則該函數的圖像與x軸的交點坐標為：（）

A.(1,0)，(3,0)

B.(0,1)，(4,0)

C.(2,0)，(0,2)

D.(1,2)，(3,2)

5.已知等差數列$\{c_n\}$中，$c_1=1$，公差$d=-2$，則$c_6$與$c_9$的差為：（）

A.-10

B.-8

C.-6

D.-4

6.已知等比數列$\{d_n\}$中，$d_1=8$，公比$q=\frac{1}{2}$，則$d_3$與$d_6$的比值是：（）

A.$\frac{1}{4}$

B.$\frac{1}{2}$

C.2

D.4

7.已知函數$f(x)=x^3-6x^2+9x$，則該函數的圖像與y軸的交點坐標為：（）

A.(0,0)

B.(1,0)

C.(3,0)

D.(0,3)

8.已知等差數列$\{e_n\}$中，$e_1=5$，公差$d=2$，則$e_8$與$e_{12}$的差是：（）

A.10

B.20

C.30

D.40

9.已知等比數列$\{f_n\}$中，$f_1=2$，公比$q=3$，則$f_4$與$f_7$的比值是：（）

A.$\frac{1}{3}$

B.$\frac{1}{9}$

C.3

D.9

10.已知函數$f(x)=x^4-8x^3+24x^2-32x$，則該函數的圖像與x軸的交點個數為：（）

A.1

B.2

C.3

D.4

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列各數中，屬于實數集的有：（）

A.$\sqrt{3}$

B.$\pi$

C.$-\frac{1}{2}$

D.$\sqrt{-1}$

E.$\frac{1}{3}$

2.在下列各函數中，屬于奇函數的有：（）

A.$f(x)=x^3$

B.$f(x)=|x|$

C.$f(x)=x^2$

D.$f(x)=\frac{1}{x}$

E.$f(x)=\sinx$

3.下列各方程中，屬于二次方程的有：（）

A.$x^2-5x+6=0$

B.$2x^3-3x+1=0$

C.$x^2+x-6=0$

D.$x^2-3x+4=0$

E.$x^3-2x^2+x-2=0$

4.下列各函數中，屬于單調遞增函數的有：（）

A.$f(x)=2x+1$

B.$f(x)=x^2$

C.$f(x)=\sqrt{x}$

D.$f(x)=\log_2x$

E.$f(x)=\frac{1}{x}$

5.下列各數列中，屬于等差數列的有：（）

A.$\{a_n\}=\{3,6,9,12,\ldots\}$

B.$\{b_n\}=\{2,4,8,16,\ldots\}$

C.$\{c_n\}=\{1,4,9,16,\ldots\}$

D.$\{d_n\}=\{1,3,5,7,\ldots\}$

E.$\{e_n\}=\{0,1,2,3,\ldots\}$

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知等差數列$\{a_n\}$中，$a_1=5$，公差$d=2$，則第10項$a_{10}$的值為______。

2.函數$f(x)=x^2-6x+9$的頂點坐標為______。

3.已知等比數列$\{b_n\}$中，$b_1=4$，公比$q=\frac{1}{2}$，則$b_5$與$b_8$的比值為______。

4.函數$f(x)=\frac{x}{x-1}$的定義域為______。

5.已知數列$\{c_n\}$的前$n$項和$S_n=3n^2-2n$，則第10項$c_{10}$的值為______。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.計算題：已知函數$f(x)=2x^3-9x^2+12x-3$，求：

（1）函數的零點；

（2）函數的對稱軸；

（3）函數的增減性。

2.計算題：已知等差數列$\{a_n\}$中，$a_1=3$，公差$d=2$，求：

（1）第10項$a_{10}$；

（2）前10項和$S_{10}$；

（3）如果$a_n=49$，求$n$的值。

3.計算題：已知等比數列$\{b_n\}$中，$b_1=8$，公比$q=2$，求：

（1）第5項$b_5$；

（2）前5項和$S_5$；

（3）如果$b_n=64$，求$n$的值。

4.計算題：已知函數$f(x)=x^2-4x+3$，求：

（1）函數的圖像與x軸的交點坐標；

（2）函數的圖像與y軸的交點坐標；

（3）函數的頂點坐標。

5.計算題：已知數列$\{c_n\}$的前$n$項和$S_n=4n^2-5n+6$，求：

（1）第n項$c_n$；

（2）如果$c_n=100$，求$n$的值；

（3）數列$\{c_n\}$的通項公式。

本專業(yè)課理論基礎試卷答案及知識點總結如下：

一、選擇題

1.C

解題過程：無理數是不能表示為兩個整數比例的數，$\sqrt{2}$是無理數，因為它不能表示為兩個整數的比例。

2.A

解題過程：等差數列的第$n$項公式為$a_n=a_1+(n-1)d$，代入$a_1=2$和$d=3$，得到$a_{10}=2+(10-1)\times3=30$。

3.C

解題過程：等比數列的第$n$項公式為$b_n=b_1q^{n-1}$，代入$b_1=3$和$q=2$，得到$b_5=3\times2^{5-1}=3\times16=48$。

4.A

解題過程：函數$f(x)=x^2-4x+4$可以寫成$f(x)=(x-2)^2$，所以頂點坐標為(2,0)。

5.A

解題過程：等差數列的相鄰項之差為常數，即$d$，所以$c_6-c_9=(c_9-c_8)+(c_8-c_7)+\ldots+(c_4-c_3)+(c_3-c_2)+(c_2-c_1)=4d=4\times(-2)=-8$。

6.B

解題過程：等比數列的相鄰項之比為常數，即$q$，所以$\frac{d_3}{d_6}=\frac{q^2}{q^4}=\frac{1}{q^2}=\frac{1}{(\frac{1}{2})^2}=4$。

7.A

解題過程：函數$f(x)=x^3-6x^2+9x$在x軸的交點即$f(x)=0$的解，通過因式分解得到$x(x-1)(x-3)=0$，所以交點坐標為(0,0)。

8.B

解題過程：等差數列的相鄰項之差為常數，即$d$，所以$e_8-e_{12}=4d=4\times2=8$。

9.C

解題過程：等比數列的相鄰項之比為常數，即$q$，所以$\frac{f_4}{f_7}=\frac{q^3}{q^6}=\frac{1}{q^3}=\frac{1}{(\frac{1}{2})^3}=8$。

10.A

解題過程：函數$f(x)=x^4-8x^3+24x^2-32x$在x軸的交點即$f(x)=0$的解，通過因式分解得到$x(x-2)(x-4)(x-8)=0$，所以交點個數為1。

二、多項選擇題

1.ABCE

解題過程：實數集包括有理數和無理數，$\sqrt{3}$和$\pi$是無理數，$-\frac{1}{2}$和$\frac{1}{3}$是有理數。

2.ADE

解題過程：奇函數滿足$f(-x)=-f(x)$，$x^3$和$\frac{1}{x}$滿足這個條件，$|x|$和$\sinx$不是奇函數。

3.AC

解題過程：二次方程的最高次項為2，$x^2-5x+6=0$和$x^2+x-6=0$是二次方程。

4.ACDE

解題過程：單調遞增函數在定義域內，隨著$x$的增加，函數值也增加，$2x+1$，$x^2$，$\sqrt{x}$和$\log_2x$滿足這個條件。

5.ADE

解題過程：等差數列的定義是相鄰項之差為常數，$3,6,9,12,\ldots$，$1,3,5,7,\ldots$和$0,1,2,3,\ldots$滿足這個條件。

三、填空題

1.$a_{10}=55$

解題過程：等差數列的第$n$項公式$a_n=a_1+(n-1)d$，代入$a_1=5$和$d=2$，得到$a_{10}=5+(10-1)\times2=55$。

2.頂點坐標為(2,-3)

解題過程：函數$f(x)=x^2-6x+9$可以寫成$f(x)=(x-3)^2$，所以頂點坐標為(3,-3)，但題目要求的是與x軸的交點，所以是(2,-3)。

3.$b_5:b_8=1:16$

解題過程：等比數列的相鄰項之比為常數，即$q$，所以$\frac{b_5}{b_8}=\frac{q^4}{q^7}=\frac{1}{q^3}=\frac{1}{(\frac{1}{2})^3}=16$，所以$b_5:b_8=1:16$。

4.定義域為$\{x|x\neq1\}$

解題過程：函數$f(x)=\frac{x}{x-1}$在$x=1$時分母為0，所以定義域為所有實數除了1。

5.$c_{10}=300$

解題過程：數列的前$n$項和$S_n=3n^2-2n$，第10項$c_{10}=S_{10}-S_9=3\times10^2-2\times10-(3\times9^2-2\times9)=300$。

四、計算題

1.解題過程略。

2.解題過程略。

3.解題過程略。

4.解題過程略。

5.解題過程略。

知識點總結：

-數列：包括等差數列、等比數列、數列的通項公式、數列的前$n$項和等。

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