舟汞茫公式

尊裸前洌忒

【題目】課前測試

(3+1)(32+1)(3，+1)(38+1)=

【答案】,x.-I)

【解析】

解：(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)

二,x(3-1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)

乙

二等(32-1)(32+1)(3，+1)(38+1)

乙

=yX(34?1)(34+1)(38+1)

乙

多(3】6.1).

故答案為：(316?1).

乙

總結(jié)：本題考查的是平方差公式的應(yīng)用，平方差公式：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差相乘，等

于這兩個數(shù)的平方差，(a+b)(a-b);a2-b2.

【難度】4

【題目】課前測試

如果a+b+IVc^l_1l=4\/^2+2Vb+l-4,那么a+2b-3c=.

【答案】0

【解析】

解：原等式可變形為：

a-2+b+l+|Vc_l_11_4^/a-2+2Vb+1-5

(a-2)+(b+l)+|41-1|-4右互-2拒1+5=0

(a-2)-4ya-2+4+(b+1)-2Vb+1+1+1Vc_l-1|=0

(Va-2-2產(chǎn)+(Jb+i-1)2+|Vc-1-1|二。；

即：Va-2-2=0,Vb+1-1=0,Vc-1-1=0,

?，-Va-2=2，Vb+l=1，\rc-l=1，

/.a-2=4,b+l=l,c-1=1,

解得：a=6,b=0,c=2;

/.a+2b-3c=6+0-3x2=0.

總結(jié)：此題較復(fù)雜，能夠發(fā)現(xiàn)所給等式的特點，并能正璃地進(jìn)行配方是解答此題的關(guān)鍵.

【難度】3

如出走行

適用范圍北師大版，七年級

知識點概述：本章重點部分是平方差公式和完全平方公式的熟練運用，本章節(jié)要求學(xué)生能

獨立推導(dǎo)乘法公式、了解公式的幾何背景，并能利用公式進(jìn)行簡單運算。

適用對象：成績中等偏上的學(xué)生

注意事項：需要學(xué)生熟練掌握平方差和完全平方公式

重點選講：

r------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

①利用公式化簡求值

②找規(guī)律

③乘法公式的幾何應(yīng)用

◎如識梳理1：平后片公式

根據(jù)(X-1)(X+l)=X2-1,(X-1)(X2+X+l)=X3-1,(X-1)(X3+X2+X+l)MX4

-1，…的規(guī)律，則可以得出22。17+22。16+22。15+...+23+22+2+1的結(jié)果可以表示為

【答案】22018-1

【解析】

22017+22016+22015++23+22+2+1

=(2-1)(22017+220164-22015+...+23+22+2+1)

=22018-1.

故答案為：22018.1.

總結(jié)：考查了多項式乘多項式，本題主要鍛煉學(xué)生從已知的題中找規(guī)律，學(xué)生平時要注意培

養(yǎng)自己的總結(jié)概括能力.

【難度】4

【題目】題型1變式練習(xí)1:利用公式化簡求值

簡便計算:80002-16000x7998+79982=

【答案】4

【解析】

解:80002-16000x7998+79982

=80002-2x8000x7998+79982,

=(8000-7998)x(8000-7998),

=2x2,

=4.

故答案為：4.

總結(jié)：本題考查了對完全平方公式的靈活運用，主要考查學(xué)生運用公式進(jìn)行計算的能刀.

【難度】3

【題目】題型1變式練習(xí)2:利用公式化簡求值

2

已知x2-4x+l=0,那么dX：的值是______________

x4-4x

【答案】專

【解析】

解：把x2-4x+l=0方程兩邊都除以x得，x+§=4,

兩邊平方得，x?+今+2=16,

X

所以，x2+^-=14,

X

21

-_=-~~T=，」.

X4-4X2+1X14YI。

X

故答案為：點.

總結(jié)：本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，把已知條件與所求代數(shù)式進(jìn)行變形出現(xiàn)X互為倒數(shù)

的和的形式是解題的關(guān)鍵.

【難度】4

題型2:找規(guī)律

如圖，觀察下列各式：

(X-1)(X+1)=x2-1

(x-1)(x2+x+l)=x3-1

(x-1)(x3+x2+x+l)=x4-1,

根據(jù)前面各式的規(guī)律可得(X-1)(Xn+xn-1+...+X+l)=(其中n為正整數(shù)).

【答案】Xn+1-1

【解析】

解：(X-1)(Xn+XnT+...X+1)=Xn+1-1.

故答案為：Xn+1-1.

總結(jié)：本題考查了平方差公式，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：右邊X的指數(shù)正好比前邊X的最高指數(shù)大1是

解題的關(guān)鍵.

【難度】3

【題目】題型2變式練習(xí)1：找規(guī)律

若mi,m2….012015是從0,1,2這三個數(shù)中取值的一列數(shù)，若mi+m2+...+m2ois=1525,

(mi-1)2+(m2-1)2+...+(m2oi5-1)2=1510,則在rru,m2,...mzois中，取值為

2的個數(shù)為_____________

【答案】510

【解析】

2

解：.「(mi-1)2+(m2-1)2+...+(m2oi5-1)=1510,

?.mi,m2，…，m20i5是從0,1,2這三個數(shù)中取值的一列數(shù)，

/.mi,m2，…，012015中為1的個數(shù)是2015-1510=505,

■.,mi+m2+...+m2oi5=1525,

.?.2的個數(shù)為(1525-505)+2=510個.

故答案為：510.

總結(jié)：此題考查完全平方的性質(zhì)，找出運算的規(guī)律.利用規(guī)律解決問題.

【難度】3

【題目】題型2變式練習(xí)2:全等三角形的判定和性質(zhì)

觀察下列各式：(x-1)(x+1)=x2-1;(x-1)(x2+x+l)=x3-1;(x-1)(x3+x2+x+l)

=/-1...

(1)根據(jù)上面各式的規(guī)律得：(X-1)(xm-1+xm-2+xm-3+...+x+l)=；(其

中n為正整數(shù))；

(2)根據(jù)這一規(guī)律，計算1+2+22+23+24+…+268+20的值.

【答案】(l)Xm-l(2)27。-1

【解析】

解：(1)(X-1)(Xm-1+Xm'2+Xm'3+...+x2+x+l)=xm-1;

(2)根據(jù)上面的式子可得：l+x+x2+x3+...+xn=(xn+--1)^(x-1),

...1+2+22+...+268+269=(269+1-1)-(2-1)=270-1.

總結(jié)本題考查了平方差公式認(rèn)真觀察各式根據(jù)指數(shù)的變化情況總結(jié)規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

【難度】3

題型3：乘法公式的幾何應(yīng)用

如圖(1)所示在邊長為a的正方形中挖掉一個邊長為b的小正方形(a>b),把拿下的部

分剪拼成一個矩形如圖(2)所示，通過計算兩個圖形阻影部分的面積，驗證了一個等式，

則這個等式是()

圖⑴圖Q)

A.a2-b2=(a+b)(a-b)B.(a+b)2=a2+2ab+b2

C.(a-b)2=a2-2ab+b2D.(a+2b)(a-b)=a2+ab-2b2

【答案】A

【解析】

解:由題可得：a2-b2=(a-b)(a+b).

故選：A.

總結(jié)：此題主要考查了平方差公式的幾何背景.解題的關(guān)鍵是運用陰影部分的面積相等得出

關(guān)系式.

【難度】2

【題目】題型3變式練習(xí)1:乘法公式的幾何應(yīng)用

從邊長為a的正方形內(nèi)去掉一個邊長為b的小正方形（如圖1）,然后將剩余部分剪拼成一

個矩形（如圖2）,上述操作所能驗證的等式是（

C.(a+b)2=a2+2ab+b2D.a2+ab=a(a+b)

【答案】B

【解析】

解：?.從邊長為a的正方形內(nèi)關(guān)掉一個邊長為b的小正方形，剩余部分的面積是：水?b2,

拼成的矩形的面積是：（a+b）（a?b）,

..根據(jù)剩余部分的面積相等得:a2-b2=（a+b）（a-b）,

故選：B,

總結(jié)：本題考查了平方差公式的運用，解此題的關(guān)鍵是用算式表示圖形的面積，用的數(shù)學(xué)思

想是轉(zhuǎn)化思想，即把實際問題轉(zhuǎn)化成用數(shù)學(xué)式子表示出來.

【難度】3

【題目】題型3變式練習(xí)2:乘法公式的幾何應(yīng)用

如圖，由一個邊長為a的小正方形與兩個長、寬分別為a、b的小矩形拼接成矩形ABCD,

則整個圖形可表達(dá)出一些有關(guān)多項式分解因式的等式，請你寫出其中任意三個等式：

【答案】a2+2ab=a(a+2b);

a(a+b)+ab=a(a+2b);

a(a+2b)-a(a+b)=ab

【解析】

解：把圖形分割成一個正方形，兩個長方形計算面積，則有：a2+2ab=a(a+2b);

把圖形分割成兩個長方形，一邊長分別是a+b,b，寬都是a，則有或a+b)+ab=a(a+2b);

用整個圖形的面積減去一個邊長為的長方形，得到另外一個長方形，邊長是

a,a+ba,br

即：a(a+2b)-a(a+b)=ab.

故本題答案為：a2+2ab=a(a+2b);a(a+b)+ab=a(a+2b);a(a+2b)-a(a+b)

=ab.

總結(jié)：本題考蟄了用面積分割法檢驗乘法算式，是學(xué)習(xí)乘法運算最常見的形式，這種方法形

象直觀，容易理解.

【難度】2

【題目】興趣篇1

如圖，正方形ABCD的邊長為a,點E在AB邊上，四邊形EFGB也是正方形，它的邊長為

b(a>b)，連結(jié)AF、CF、AC.

(1)用含a、b的代數(shù)式表示GC二；

(2)若兩個正方形的面積之和為60,即a2+b2=60,又ab=20,圖中線段GC的長;

(3)若a=8,^AFC的面積為S,則S=.

【答案】(1)a+b(2)10(3)32

【解析】

解：(1)?.GC=GB+BC,

..GC=a+b

(2)-/(a+b)2=a2+b2+2ab=60+20x2=100

/.a+b=10

/.GC=10

(3)S&AFC二S&AFE+SnFGBE+SsABC-S&FGC

=4-b(a-b)+b2+-^a2-3b(b+a)

二,ab--yb2+b2+-^-a2--yb2--yab

=-^-x82

乙

=32

總結(jié)：本題主要考查了完全平方公式運用，解題的關(guān)鍵是完全平方公式展開與合并.運用幾

何直觀理解、通過幾何圖形之間的數(shù)量關(guān)系對完全平方公式做出幾何解釋的知識點.

【難度】3

【題目】興趣篇2

如圖，我校一塊邊長為2x米的正方形空地是八年級1-4班的衛(wèi)生區(qū)，學(xué)校把它分成大小

不同的四塊，采用抽簽的方式安排衛(wèi)生區(qū)，下圖是四個班級所抽到的衛(wèi)生區(qū)情況，其中1班

的衛(wèi)生區(qū)是一塊邊長為(x-2y)米的正方形，其中0<2y<x.

(1)分別用x、y的式子表示八年3班和八年4班的衛(wèi)生區(qū)的面積;

(2)求2班的衛(wèi)生區(qū)的面積比1班的衛(wèi)生區(qū)的面積多多少平方米？

【答案】(I)x2.4y2x2.4y2(2)8xy

【解析】

解：(1)八年3班的衛(wèi)生區(qū)的面積二(x-2y)[2x-(x-2y)]=x2-4y2;

八年4班的衛(wèi)生區(qū)的面積二(x-2y)[2x-(x-2y)]=x2-4y2;

(2)[2x-(x-2y)]2-(x-2y)2=8xy.

答：2班的衛(wèi)生區(qū)的面積比1班的衛(wèi)生區(qū)的面積多8xy平方米.

總結(jié)：本題考查的是平方差公式的幾何表示，根據(jù)幾何圖形表示出相關(guān)圖形的面積、正確應(yīng)

用平方差公式和完全平方公式是解題的關(guān)鍵.

【難度】3

【題目】備選題目1

4

已知實數(shù)x,y滿足方程(x?+2x+3)(3y2+2y+l)奇，則

x+y=_________________

【答案】-1

【解析】

4

解：?.?(x2+2x+3)(3y2+2y+l)=—,

/.[(x+l)2+2][3y2+2y+l]x3=4,

/.[(x+l)2+2][9y2+6y+3]=4,

2

.-.[(x+l)2+2][(3y+l)+2]=4,

v(x+l)2>0,(3y+l)2>0,

/.x+l=0,3y+l=0,

i1

??x=-1,y=,

4

--x+y=-y.

總結(jié)：本題考查了完全平方公式，巧妙運用了完全平方公式和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，整理成平方的

形式是解題的關(guān)鍵.

【難度】3

【題目】備選題目2

若|x+y-4|+(xy-3)2=0,求x?+y2的值.

【答案】10

【解析】

解:,/Ix+y-4|+(xy-3)2=0,

/.x+y=4,xy=3,

/.x2+y2=(x+y)2-2xy=16-6=10.

總結(jié)：本題主要