第1頁/共1頁2025年內(nèi)蒙古自治區(qū)中考數(shù)學真題試卷及答案解析注意事項：1．本試卷共6頁，滿分100分．2．作答時，將答案寫在答題卡上，寫在試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回．一、選擇題（共8小題．每小題3分，共24分。每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求）1.我國是歷史上最早認識和使用負數(shù)的國家．若盈利元記作元，則虧損元應記作（）A.元 B.元 C.元 D.元2.下列汽車電子控制裝置顯示的圖案中，是中心對稱圖形的為（）A. B. C. D.3.不等式組解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A. B.C. D.4.如圖，在平面直角坐標系中，的頂點坐標分別是，，，以原點為位似中心，在第三象限畫與位似，若與的相似比為，則點的對應點的坐標為（）A. B. C. D.5.如圖，是一個矩形草坪，對角線，相交于點，是邊的中點，連接，且，，則該草坪的面積為（）A. B. C. D.6.如圖，直線，點，分別在直線，上，連接，以點為圓心，適當長為半徑畫?。簧渚€于點，交于點，再分別以點，為圓心，大于的長為半徑畫?。▋苫“霃较嗟龋瑑苫≡诘膬?nèi)部相交于點，畫射線交于點，若，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.7.在閉合電路中，通過定值電阻的電流（單位：A）是它兩端的電壓（單位：）的正比例函數(shù)，其圖象如圖所示，當該電阻兩端的電壓為時，通過它的電流為（）A. B. C. D.8.已知點，都在反比例函數(shù)的圖象上，則下列結(jié)論一定正確的是（）A. B.C.當時， D.當時，二、填空題（共4小題．每小題3分，共12分）9.在單詞（班級）中隨機選擇一個字母，則選中字母“”概率是________．10.冰糖葫蘆是我國傳統(tǒng)小吃，若大串冰糖葫蘆每根穿5個山楂，小串冰糖葫蘆每根穿3個山楂，則穿根大串和根小串冰糖葫蘆需要的山楂總個數(shù)用代數(shù)式表示為________．11.如圖，因地形原因，湖泊兩端，的距離不易測量，某科技小組需要用無人機進行測量．他們將無人機上升并飛行至距湖面的點處．從點測得點的俯角為，測得點的俯角為（，，三點在同一豎直平面內(nèi)），則湖泊兩端，的距離為________（結(jié)果保留根號）．12.如圖，在菱形中，，對角線的長為，是的中點，是上一點，連接．若，則的長為________．三、解答題（共6小題，共64分）13計算：（1）；（2）．14.每年的6月6日是全國愛眼日，某校為了解八年級學生的視力健康狀況，從該年級學生今年的體檢結(jié)果中隨機抽取了40名學生的視力數(shù)據(jù)，將所得視力數(shù)據(jù)進行整理后分為5組，得到如下的頻數(shù)分布表：分組ABCDE人數(shù)（頻數(shù)）2814124請根據(jù)所給信息，解答下列問題：（1）這40名學生視力中位數(shù)落在哪個組內(nèi)?（2）該校八年級共有500名學生．①根據(jù)上表數(shù)據(jù)，請估計這500名八年級學生的視力在范圍內(nèi)的人數(shù)；②從去年同期這500名學生的體檢結(jié)果中可知，視力在范圍內(nèi)的人數(shù)為263人．如果你是該校的一名學生，請說明這500名學生今年和去年視力在范圍內(nèi)的人數(shù)變化情況，并為學校提一條保護學生視力的合理化建議．15.智能機器人的廣泛應用是智慧農(nóng)業(yè)的發(fā)展趨勢之一．某品牌蘋果采摘機器人的機械手能自動對成熟的蘋果進行采摘，一個機器人可以搭載多個機械手同時工作．在正常工作狀態(tài)下，該機器人的每一個機械手平均秒采摘一個成熟的蘋果，它的一個機械手用800秒采摘蘋果的個數(shù)比用600秒采摘蘋果的個數(shù)多25個．（1）求的值；（2）現(xiàn)需要一定數(shù)量的蘋果發(fā)往外地，采摘工作由多個機器人共同完成．每個機器人搭載4個相同的機械手，那么至少需要多少個這樣的機器人同時工作1小時，才能使采摘的蘋果個數(shù)不少于10000個?16.如圖，是的直徑，半徑，垂足為，，是延長線上一點，連接，交于點，連接，．過點作的切線，切點為，交的延長線于點．（1）求的長；（2）求的度數(shù)；（3）求的值．17.問題背景：綜合與實踐課上，老師讓同學們設計一個家電裝置圖案，某小組設計的效果圖如圖所示．外形參數(shù)：如圖1，裝置整體圖案為軸對稱圖形，外形由上方的拋物線，中間的矩形和下方的拋物線組成．拋物線的高度為，矩形的邊，，拋物線的高度為．在裝置內(nèi)部安裝矩形電子顯示屏，點，在拋物線上，點，在拋物線上．問題解決：如圖2，該小組以矩形的頂點為原點，以邊所在的直線為軸，以邊所在的直線為軸．建立平面直角坐標系．請結(jié)合外形參數(shù)，完成以下任務：（1）直接寫出，，三點的坐標；（2）直接寫出拋物線和的頂點坐標，并分別求出拋物線和的函數(shù)表達式；（3）為滿足矩形電子顯示屏的空間要求，需要邊的長為，求此時邊的長．18.如圖，是一個平行四邊形紙片，是一條對角線，，．（1）如圖1，將平行四邊形紙片沿折疊，點的對應點落在點處，交于點．①試猜想與數(shù)量關系，并說明理由；②求的面積；（2）如圖2，點，分別在平行四邊形紙片的，邊上，連接，且，將平行四邊形紙片沿折疊，使點的對應點落在邊上，求的長．2025年內(nèi)蒙古自治區(qū)中考數(shù)學真題試卷及答案解析1.我國是歷史上最早認識和使用負數(shù)國家．若盈利元記作元，則虧損元應記作（）A.元 B.元 C.元 D.元【答案】B【解析】【分析】本題考查利用正負數(shù)表示具有相反意義的量，需根據(jù)題意確定相反意義的量及其符號表示即可．【詳解】解：若盈利元記作元，則虧損應用負數(shù)表示，虧損元應記作元，故選：B．2.下列汽車電子控制裝置顯示的圖案中，是中心對稱圖形的為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了中心對稱圖形的識別，解題的關鍵在于熟練掌握：在平面內(nèi)，把一個圖形繞著某個點旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形．根據(jù)中心對稱圖形的定義即可判斷．【詳解】解：A、該圖形不是中心對稱圖形，不符合題意；B、該圖形是中心對稱圖形，符合題意；C、該圖形不是中心對稱圖形，不符合題意；D、該圖形不是中心對稱圖形，不符合題意；故選：B．3.不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查解一元一次不等式組，在數(shù)軸上表示不等式組的解集，熟練掌握解一元一次不等式組的步驟是解題的關鍵．先解一元一次不等式組，再在數(shù)軸上表示即可．【詳解】解：，解不等式，得，∴不等式組的解集為，∴不等式組的解集在數(shù)軸上表示是：故選：C．4.如圖，在平面直角坐標系中，的頂點坐標分別是，，，以原點為位似中心，在第三象限畫與位似，若與的相似比為，則點的對應點的坐標為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了位似變換，正確掌握位似圖形的性質(zhì)得出對應點的位置是解題的關鍵．利用相似比為，，直接利用相似比可得出坐標．【詳解】解：∵與位似，相似比為，∴，∵，位似中心原點，∴，故選：B．5.如圖，是一個矩形草坪，對角線，相交于點，是邊的中點，連接，且，，則該草坪的面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】此題考查了矩形的性質(zhì)和三角形中位線定理．根據(jù)三角形中位線定理得到，根據(jù)矩形的面積公式計算即可．【詳解】解：∵是一個矩形草坪，對角線，相交于點，∴，∵是邊的中點，∴是的中位線，∴，∴，∵，∴矩形的面積為，故選：C6.如圖，直線，點，分別在直線，上，連接，以點為圓心，適當長為半徑畫弧．交射線于點，交于點，再分別以點，為圓心，大于的長為半徑畫弧（兩弧半徑相等），兩弧在的內(nèi)部相交于點，畫射線交于點，若，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】2025年內(nèi)蒙古自治區(qū)中考數(shù)學真題試卷及答案解析【分析】本題考查角平分線的作圖，平行線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的作法和平行線的性質(zhì)是解題的關鍵．由作圖可知，結(jié)合，求出，再利用平行線的性質(zhì)即可求解，【詳解】解：由作圖可知，∵，∴，∵，∴，故選：D．7.在閉合電路中，通過定值電阻的電流（單位：A）是它兩端的電壓（單位：）的正比例函數(shù)，其圖象如圖所示，當該電阻兩端的電壓為時，通過它的電流為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了正比例函數(shù)的實際應用，正確求出函數(shù)解析式是解題的關鍵．通過待定系數(shù)法求出電流關于電壓的函數(shù)解析式，再將代入函數(shù)解析式即可求解．【詳解】解：由題意得設電流關于電壓的函數(shù)解析式為：，由圖象可代入得：，解得：，∴，當，則故選：A．8.已知點，都在反比例函數(shù)的圖象上，則下列結(jié)論一定正確的是（）A. B.C.當時， D.當時，【答案】D【解析】【分析】本題考查反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵．根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，分情況討論的取值范圍，比較和的大小關系即可．【詳解】解：對于反比例函數(shù)的圖象上，在各個象限內(nèi)，隨的增大而增大，且第二象限的函數(shù)值大于第四象限的函數(shù)值，∵，當時，即時，則，當時，即時，則，當時，即時，則，綜上，只有選項D正確，故選：D．二、填空題（共4小題．每小題3分，共12分）9.在單詞（班級）中隨機選擇一個字母，則選中字母“”的概率是________．【答案】【解析】【分析】此題考查概率的求法：如果一個事件有種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件出現(xiàn)種可能，那么事件的概率．利用簡單事件的概率計算公式即可得．【詳解】解：單詞中字母“”有2個，單詞中總共有5個字母，∴選中字母“”的概率，故答案為：．10.冰糖葫蘆是我國傳統(tǒng)小吃，若大串冰糖葫蘆每根穿5個山楂，小串冰糖葫蘆每根穿3個山楂，則穿根大串和根小串冰糖葫蘆需要的山楂總個數(shù)用代數(shù)式表示為________．【答案】##【解析】【分析】本題考查了列代數(shù)式的運用，理解數(shù)量關系，掌握代數(shù)式表示數(shù)或數(shù)量關系的計算是關鍵．根據(jù)“大串冰糖葫蘆每根穿5個山楂，小串冰糖葫蘆每根穿3個山楂，則穿根大串和根小串冰糖葫蘆”即可列代數(shù)式．【詳解】解：由題意得，山楂總個數(shù)用代數(shù)式表示為：，故答案為：．11.如圖，因地形原因，湖泊兩端，的距離不易測量，某科技小組需要用無人機進行測量．他們將無人機上升并飛行至距湖面的點處．從點測得點的俯角為，測得點的俯角為（，，三點在同一豎直平面內(nèi)），則湖泊兩端，的距離為________（結(jié)果保留根號）．【答案】【解析】2025年內(nèi)蒙古自治區(qū)中考數(shù)學真題試卷及答案解析【分析】本題考查解直角三角形的應用，特殊角的三角函數(shù)值，平行線的性質(zhì)，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值及其相關解直角三角形是解題的關鍵．過點作于點，則，求出，，利用，得出，，相加即可求解．【詳解】解：如圖，過點作于點，則，∵，，，∴，，∵，∴，∴，，∴，故答案為：．12.如圖，在菱形中，，對角線的長為，是的中點，是上一點，連接．若，則的長為________．【答案】【解析】【分析】本題考查菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握相關性質(zhì)與判定是解題的關鍵．連接，交于點，過點作于點，利用四邊形是菱形，得出，，，得出，，即可證明，即可計算出，，求出，再利用勾股定理即可求解．【詳解】解：連接，交于點，過點作于點，∵四邊形是菱形，∴，，，∴，，∴，∴，∵是的中點，∴，∴，，∴，∴，故答案為：．三、解答題（共6小題，共64分）13.計算：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查實數(shù)的混合運算，涉及算術(shù)平方根，絕對值，還考查了分式的乘法，熟練掌握相關運算法則是解題的關鍵．（1）先化簡絕對值和算術(shù)平方根，再進行計算即可；（2）利用分式的乘法的運算法則化簡即可．【小問1詳解】解：；【小問2詳解】解：．2025年內(nèi)蒙古自治區(qū)中考數(shù)學真題試卷及答案解析14.每年的6月6日是全國愛眼日，某校為了解八年級學生的視力健康狀況，從該年級學生今年的體檢結(jié)果中隨機抽取了40名學生的視力數(shù)據(jù)，將所得視力數(shù)據(jù)進行整理后分為5組，得到如下的頻數(shù)分布表：分組ABCDE人數(shù)（頻數(shù)）2814124請根據(jù)所給信息，解答下列問題：（1）這40名學生視力的中位數(shù)落在哪個組內(nèi)?（2）該校八年級共有500名學生．①根據(jù)上表數(shù)據(jù)，請估計這500名八年級學生的視力在范圍內(nèi)的人數(shù)；②從去年同期這500名學生的體檢結(jié)果中可知，視力在范圍內(nèi)的人數(shù)為263人．如果你是該校的一名學生，請說明這500名學生今年和去年視力在范圍內(nèi)的人數(shù)變化情況，并為學校提一條保護學生視力的合理化建議．【答案】（1）組（2）①200人；②合理即可【解析】【分析】本題考查了頻數(shù)分布表，中位數(shù)，用樣本估計總體等知識點，正確理解題意是解題的關鍵．（1）由中位數(shù)的意義即可求解；（2）①用樣本估計總體的方法即可求解；②比較數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)今年學生視力在范圍內(nèi)的人數(shù)相比去年減少，然后提出合理性的建議即可．【小問1詳解】解：∵隨機抽取了40名學生，∴中位數(shù)為第名學生的視力的平均數(shù)，由頻數(shù)分布表可得第名學生在組，∴這40名學生視力的中位數(shù)落在組；【小問2詳解】解：①由題意得，（人）答：500名八年級學生的視力在范圍內(nèi)有200人；②因為，所以今年學生視力在范圍內(nèi)的人數(shù)相比去年減少，建議：①讀書時，坐姿要端正，不要在光線不好的地方看書；②保證充足的睡眠，飲食均衡；③減少電子產(chǎn)品的使用（合理即可）．15.智能機器人的廣泛應用是智慧農(nóng)業(yè)的發(fā)展趨勢之一．某品牌蘋果采摘機器人的機械手能自動對成熟的蘋果進行采摘，一個機器人可以搭載多個機械手同時工作．在正常工作狀態(tài)下，該機器人的每一個機械手平均秒采摘一個成熟的蘋果，它的一個機械手用800秒采摘蘋果的個數(shù)比用600秒采摘蘋果的個數(shù)多25個．（1）求的值；（2）現(xiàn)需要一定數(shù)量的蘋果發(fā)往外地，采摘工作由多個機器人共同完成．每個機器人搭載4個相同的機械手，那么至少需要多少個這樣的機器人同時工作1小時，才能使采摘的蘋果個數(shù)不少于10000個?【答案】（1）8（2）至少需要6個這樣的機器人【解析】【分析】本題考查了分式方程和一元一次不等式的實際應用，正確理解題意是解題的關鍵．（1）根據(jù)“一個機械手用800秒采摘蘋果的個數(shù)比用600秒采摘蘋果的個數(shù)多25個”建立分式方程求解即可；（2）設需要個這樣的機器人同時工作1小時，由總采摘量不少于10000個建立一元一次不等式求解．【小問1詳解】解：由題意得，，解得：，經(jīng)檢驗：是原方程的解，且符合題意，∴的值為8；【小問2詳解】解：1小時，設需要個這樣的機器人，由題意得：，解得：，∵為正整數(shù)，∴最小值為6，答：至少需要6個這樣的機器人．16.如圖，是的直徑，半徑，垂足為，，是延長線上一點，連接，交于點，連接，．過點作的切線，切點為，交的延長線于點．（1）求的長；（2）求的度數(shù)；（3）求的值．【答案】（1）（2）（3）【解析】2025年內(nèi)蒙古自治區(qū)中考數(shù)學真題試卷及答案解析【分析】本題考查圓的相關性質(zhì)與計算，涉及切線的性質(zhì)，弧長的計算，還考查等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，含角的直角三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)，熟練掌握相關性質(zhì)與定義是解題的關鍵．（1）連接，判定是等邊三角形，得出，利用弧長公式求解即可；（2）利用，求出，再利用，等邊對等角即可求解；（3）連接，求出，即可得，利用是的切線，求出，，證明，再利用三角函數(shù)定義求解即可．【小問1詳解】解：如圖，連接，在中，，又∵，∴是等邊三角形，∴，∵，∴的長；【小問2詳解】解：∵，∴，∴，∵在中，，∴；【小問3詳解】解：如圖，連接，∵，，∴，∴，∵是的切線，∴，，∴，∵，∴，∴，∴．17.問題背景：綜合與實踐課上，老師讓同學們設計一個家電裝置圖案，某小組設計的效果圖如圖所示．外形參數(shù)：如圖1，裝置整體圖案為軸對稱圖形，外形由上方的拋物線，中間的矩形和下方的拋物線組成．拋物線的高度為，矩形的邊，，拋物線的高度為．在裝置內(nèi)部安裝矩形電子顯示屏，點，在拋物線上，點，在拋物線上．問題解決：如圖2，該小組以矩形的頂點為原點，以邊所在的直線為軸，以邊所在的直線為軸．建立平面直角坐標系．請結(jié)合外形參數(shù)，完成以下任務：（1）直接寫出，，三點的坐標；（2）直接寫出拋物線和的頂點坐標，并分別求出拋物線和的函數(shù)表達式；（3）為滿足矩形電子顯示屏的空間要求，需要邊的長為，求此時邊的長．【答案】（1），，（2）拋物線和的頂點坐標分別為，，的表達式為；的表達式為；（3）【解析】【分析】（1）由矩形性質(zhì)可得，，，，即可得出坐標；（2）由裝置整體圖案為軸對稱圖形，作出對稱軸，分別交拋物線于，交拋物線于，交矩形于，，結(jié)合矩形和拋物線的對稱性，可得直線是拋物線和的對稱軸，，，由矩形中，拋物線的高度為，拋物線的高度為，直線是拋物線和的對稱軸，即可得出拋物線和的頂點坐標分別為，，分別設拋物線和的表達式為，，分別將將和代入求解即可；（3）由裝置整體圖案為軸對稱圖形，得出，，證明軸，設，則，，則，求得，由拋物線對稱性可得．【小問1詳解】解：∵矩形的邊，，∴，，，，∴，，；【小問2詳解】2025年內(nèi)蒙古自治區(qū)中考數(shù)學真題試卷及答案解析解：∵裝置整體圖案為軸對稱圖形，如圖，作出對稱軸，分別交拋物線于，交拋物線于，交矩形于，，結(jié)合矩形和拋物線的對稱性，可得直線是拋物線和的對稱軸，，，∴四邊形是矩形，∴，∵拋物線的高度為，拋物線的高度為，直線是拋物線和的對稱軸，∴，，∴拋物