高中數(shù)學(xué)教案一導(dǎo)數(shù).定積分

一.課標要求：

1.導(dǎo)數(shù)與其應(yīng)用

(1)導(dǎo)數(shù)概念與其幾何意義

①通過對大量實例的分析，經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時變化

率的過程，了解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景，知道瞬時變化率就是導(dǎo)數(shù),

體會導(dǎo)數(shù)的思想與其內(nèi)涵；

②通過函數(shù)圖像直觀地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義。

(2)導(dǎo)數(shù)的運算

①能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)y=c,y=x,y=x2,y=x3,y=l/x,y=x

的導(dǎo)數(shù)；

②能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運算法

則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能求簡單的復(fù)合函數(shù)(僅限于形如f(ax+b))

的導(dǎo)數(shù)；

③會使用導(dǎo)數(shù)公式表。

(3)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用

①結(jié)合實例，借助幾何直觀探索并了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的

關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求不超過三次的多項式函數(shù)

的單調(diào)區(qū)間；

②結(jié)合函數(shù)的圖像，了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充

分條件；會用導(dǎo)數(shù)求不超過三次的多項式函數(shù)的極大值、極小值,

以與閉區(qū)間上不超過三次的多項式函數(shù)最大值、最小值；體會導(dǎo)

數(shù)方法在研究函數(shù)性質(zhì)中的一般性和有效性。

(4)生活中的優(yōu)化問題舉例

例如，使利潤最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問題，體會導(dǎo)數(shù)

在解決實際問題中的作用。

(5)定積分與微積分基本定理

①通過實例(如求曲邊梯形的面積、變力做功等)，從問題情

境中了解定積分的實際背景；借助兒何直觀體會定積分的基本思想,

初步了解定積分的概念；

②通過實例(如變速運動物體在某段時間內(nèi)的速度與路程的關(guān)

系)，直觀了解微積分基本定理的含義。

(6)數(shù)學(xué)文化

收集有關(guān)微積分創(chuàng)立的時代背景和有關(guān)人物的資料，并進行交流；體

會微積分的建立在人類文化發(fā)展中的意義和價值。具體要求見本《標

準》中〃數(shù)學(xué)文化〃的要求。

二.命題走向

導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的內(nèi)容，是解決實際問題的強有力的數(shù)

學(xué)工具，運用導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識，研究函數(shù)的性質(zhì)：單調(diào)性、極值和最

值是高考的熱點問題。在高考中考察形式多種多樣，以選擇題、填空

題等主觀題目的形式考察基本概念、運算與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，也經(jīng)常以解

答題形式和其它數(shù)學(xué)知識結(jié)合起來，綜合考察利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的

單調(diào)性、極值、最值.

三.要點精講

1.導(dǎo)數(shù)的概念

函數(shù)尸f(x),如果自變量X在X處有增量,則函數(shù)y相應(yīng)地

有增量二f(x+)-f(x),比值叫做函數(shù)kf(x)在

x到x+之間的平均變化率，即=o

如果當時，有極限，我們就說函數(shù)尸f(x)在點x處可導(dǎo),

并把這個極限叫做f(x)在點x處的導(dǎo)數(shù)，記作f'(x)或『

Io

即f(x。)=lim"二lim八…—6)。

ArAX-

說明：

(1)函數(shù)f(x)在點X處可導(dǎo)，是指時，有極限。如果

不存在極限，就說函數(shù)在點X處不可導(dǎo)，或說無導(dǎo)數(shù)。

(2)是自變量x在x處的改變量，時，而是函數(shù)值的

改變量，可以是零。

由導(dǎo)數(shù)的定義可知，求函數(shù)廠f(x)在點x處的導(dǎo)數(shù)的步驟

(可由學(xué)生來歸納):

(1)求函數(shù)的增量Ay=f(X0+AE)—f(x0)；

(2)求平均變化率包=/5。十八)一八％)；

AxAx

(3)取極限，得導(dǎo)數(shù)『(x)=o

2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義

函數(shù)y=f(x)在點x處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線y=f(x)

在點p(x,f(x))處的切線的斜率。也就是說，曲線y二f

(x)在點p(x,f(x))處的切線的斜率是f'(x)。相應(yīng)地,

切線方程為y—y二f/(x)(x—x)o

3.常見函數(shù)的導(dǎo)出公式.

(1)(cy=o(C為常數(shù))(2)a")』/

(3)(sinx)'=cosx(4)(cosx)'=-sinx

4.兩個函數(shù)的和、差、積的求導(dǎo)法則

法則L兩個函數(shù)的和(或差)的導(dǎo)數(shù)，等于這兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的

和(或差)，

即：(

法則2:兩個函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于第一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以第二個

函數(shù)，加上第一個

函數(shù)乘以第二個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即：

若C為常數(shù)，則.即常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)等于常數(shù)乘以函數(shù)

的導(dǎo)數(shù):

法則3兩個函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù)，等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母的積，減

去分母的導(dǎo)數(shù)與分子的積，再除以分母的平方：'=(v0)。

形如y=f的函數(shù)稱為復(fù)合函數(shù)。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)步驟：分解一

一求導(dǎo)一一回代。法則：y'I二y'I?u’|

5.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

(1)一般地，設(shè)函數(shù)在某個區(qū)間可導(dǎo)，如果，則為

增函數(shù)；如果，則為減函數(shù)；如果在某區(qū)間內(nèi)恒有，則

為常數(shù)；

(2)曲線在極值點處切線的斜率為0,極值點處的導(dǎo)數(shù)為0；曲

線在極大值點左側(cè)切線的斜率為正，右側(cè)為負；曲線在極小值點左側(cè)

切線的斜率為負，右側(cè)為正；

(3)一般地，在區(qū)間［a,b］上連續(xù)的函數(shù)f在［a,b］上必有

最大值與最小值。①求函數(shù)/在(a,b)內(nèi)的極值；②求函數(shù)/在

區(qū)間端點的值/(a)、/(b)；③將函數(shù)/的各極值與/(a)、/(b)比

較，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。

6.定積分

(1)概念

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)，用分點a=x0<xl<---<xi—

l〈xi<…xn=b把區(qū)間［a,b］等分成n個小區(qū)間,在每個小區(qū)間［xi—

1,xi］上取任一點gi(i=l,2,…n)作和式In=(€i)Ax(其

+Ax為小區(qū)間長度),把nf8即△x--0時，和式In的極限叫做

函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上的定積分，記作：，即=(U)Axo

這里，a與b分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間［a,b］叫做積

分區(qū)間，函數(shù)f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被

積式。

基本的積分公式：=C；=+C(meQ,mW—l)；dx

=ln+C；=+C；=+C；=sinx+C；=—cosx+C

(表中C均為常數(shù))。

(2)定積分的性質(zhì)

①=(4為常數(shù))；

②￡f(x)±g(x)dx=f\x)dx±fg(x)公;

③1/(X)“工=Jf(x)dx+1f(x)dx(其中aVC

(3)定積分求曲邊梯形面積

Oab

由三條直線x=a,x=b(a<b),x軸與

一條曲線y=f(x)(f(x)20)圍成的曲邊梯的面積。

如果圖形由曲線yl=fl(x),y2=f2(x)(不妨設(shè)fl(x)2f2(x)20),與直線x=a,x=b

(a<b)圍成，則所求圖形的面積S=S曲邊梯形AMNB-S曲邊梯形DMNC=。

四.典例解析

題型1：導(dǎo)數(shù)的概念

例1.已知s=,(1)計算t從3秒到3.1秒、3.001秒、3.0001

秒….各段內(nèi)平均速度；(2)求t=3秒是瞬時速度。

解析:(1)指時間改變量;

M=s(3.1)-.3)=gg3./_gg3?=0.3059.Av指時間改變量。

△0.3059

sv=—=-=--3.-0-59o

X1

其余各段時間內(nèi)的平均速度，事先刻在光盤上，待學(xué)生回答完

第一時間內(nèi)的平均速度后，即用多媒體出示，讓學(xué)生思考在各段時

間內(nèi)的平均速度的變化情況。

(2)從(1)可見某段時間內(nèi)的平均速度隨變化而變化，

越小，越接近十一個定值，由極限定義可知，這個值就是時，

的極限，

Ac—(3+Af)2—g32

_-77_5(3+Az)-5(3)2g26

vV-lrimAr-rlim------------=lrim----------------

=—glim(6+加)=3g=29.4(米/秒)。

2A.I—>0

例2.求函數(shù)y二的導(dǎo)數(shù)。

解析：，

Ay「2x+Ax_I_8

hm—=lim-4----------一一丁。

小->0—以-x)1Jt(x+Ar)~JT

點評：掌握切的斜率、瞬時速度，它門都是一種特殊的極限，為學(xué)

習(xí)導(dǎo)數(shù)的定義奠定基礎(chǔ)。

題型2:導(dǎo)數(shù)的基本運算

例3.(1)求的導(dǎo)數(shù)；

(2)求y=(，+ix3-l)的導(dǎo)數(shù)；

(3)求、=x-sin￡cos二的導(dǎo)數(shù);

"22

(4)求產(chǎn)上的導(dǎo)數(shù)；

sinx

(5)求丫=宜二迎工2r的導(dǎo)數(shù)。

Jx

解析：（1）

(2)先化簡，y=五-1=-/+x2

vxNx

(3)先使用三角公式進行化簡.

XXI

7=x-sin—cos—=x——sinx

222

=1x--sinxI=x--(sinx)=1--cosx

(x12)rsinx-x2*(sinx)'2xsinx-x2cosx

(4)y'=

sin-xsin~x

3j

(5)???y=3jJ—x+5—9戶

=3*(x8”-x'+5'—9(/)'=3*3——1+0—

2

1_1Q/—1

9*（——）x2=-Vx（l+—）-1o

22x2

點評：（1）求導(dǎo)之前，應(yīng)利用代數(shù)、三角恒等式等變形對函數(shù)

進行化簡，然后求導(dǎo)，這樣可以減少運算量，提高運算速度，減少

差錯；（2）有的函數(shù)雖然表面形式為函數(shù)的商的形式，但在求導(dǎo)前利

用代數(shù)或三角恒等變形將函數(shù)先化簡，然后進行求導(dǎo).有時可以避

免使用商的求導(dǎo)法則，減少運算量。

例4.寫出由下列函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)：

(1)y=cosu,u=l+X2(2)y=lnu,u=lnx

解析：(1)y=cos(l+)；

(2)y=ln(lnx)o

點評：通過對y二(3x-2展開求導(dǎo)與按復(fù)合關(guān)系求導(dǎo)，直觀的得到

=..給出復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，并指導(dǎo)學(xué)生閱讀法則的證明。

題型3:導(dǎo)數(shù)的幾何意義

例5.(1)若曲線的一條切線與直線垂直，則的方程為

()

A.B.C.D.

(2)過點(一1,0)作拋物線的切線，則其中一條切線為()

(A)2x+y+2=0(B)3x-y+3=0(C)x+y+l=0(D)x-y+l=0

解析：(1)與直線垂直的直線為，即在某一點的導(dǎo)數(shù)

為4,而，所以在(1,1)處導(dǎo)數(shù)為4,此點的切線為，故選A；

(2),設(shè)切點坐標為，則切線的斜率為2,且，于是

切線方程為,因為點(一1,0)在切線上，可解得=0或一4,代

入可驗正D正確，選D。

點評：導(dǎo)數(shù)值對應(yīng)函數(shù)在該點處的切線斜率。

例6.(1)半徑為r的圓的面積S(r)=r2,周長C(r)=2r,若

將r看作(0,+8)上的變量，貝ij(r2)'=2r,式可以用語言

敘述為：圓的面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于圓的周長函數(shù)。對于半徑為R的球,

若將R看作(0,+8)上的變量，請你寫出類似于的式子：

;式可以用語言敘述

為：。

(2)曲線)，=,和)，=/在它們交點處的兩條切線與x軸所圍成的

x

三角形面積是。

解析：(1)丫球=,又故式可填，用語言敘述為“球

的體積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于球的表面積函數(shù)。”；

(2)曲線和在它們的交點坐標是(1,1),兩條切線方程分別是

y二一x+2和y=2x—1,它們與軸所圍成的三角形的面積是。

點評：導(dǎo)數(shù)的運算可以和幾何圖形的切線、面積聯(lián)系在一起，對

于較復(fù)雜問題有很好的效果。

題型4:借助導(dǎo)數(shù)處理單調(diào)性、極值和最值

例7.(1)對于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f(x),若滿足(x—1)(0,

則必有()

A.f(0)+f(2)(2f(1)B.f(0)+f(2)(2f

(1)

C.f(0)+f(2)(2f(1)D.f(0)+f(2)(2f

(1)

(2)函數(shù)的定義域為開區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖象如圖

所示，則函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)有極小值點()

A.1個B.2個C.3個D.4

個

(3)已知函數(shù)。(I)設(shè)，討論的單調(diào)性；(II)若對任

意恒有，求的取值范圍。

解析：(1)依題意，當x(l時，f((x)(0,函數(shù)f(x)在(1,

+0上是增函數(shù)；當x(l時，f((x)(0,f(x)在(一(，1)上是

減函數(shù)，故f(x)當x=l時取得最小值，即有f(0)(f(1),f

(2)(f(1)，故選C；

(2)函數(shù)的定義域為開區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖象如圖

所示，函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)有極小值的點即函數(shù)由減函數(shù)變?yōu)樵龊?/p>

數(shù)的點，其導(dǎo)數(shù)值為由負到正的點，只有1個，選A。

(3):(I)f(x)的定義域為(一8,l)u(l,+8).對f(x)求導(dǎo)數(shù)

得f'(x)=e—axo

2x2

(i)當"2時，f，(x)=e-2x,f'(x)在(-8,0),(0,1)

和(1,+8)均大于0,所以f(X)在(一8,1),(1,+8).為增函數(shù);

(ii)當0<a<2時,f'(x)>0,f(x)在(一8,1),(1,+8)為增函

數(shù).；

a—2a~2

(iii)當a>2時,?！炊?令f’(x)二。，解得金

a-2

x=

2a

a-2

f(X)在(一為減函數(shù)。

(U)(i)當0<aW2時，由(I)知：對任意xe(0,1)恒有

f(x)>f(0)=l；

&-9

(ii)當a>2時,取XLg'二門。，1),則由(I)知

f(x0)<f(0)=1；

(iii)當aWO時，對任意x￡(0,1),恒有>1且e—ax^l,

得：f(x)=e—ax'〉1.綜上當且僅當aS(—8,2］時,對任意

x￡(0,1)恒有f(x)>l。

點評：注意求函數(shù)的單調(diào)性之前，一定要考慮函數(shù)的定義域。導(dǎo)

函數(shù)的正負對應(yīng)原函數(shù)增減。

例8.(1)在區(qū)間上的最大值是()

(A)-2(B)0(C)2

(D)4

(2)設(shè)函數(shù)f(x)=213-3(〃-1*2+1,其中〃之1.(I)求f(x)的單調(diào)

區(qū)間；(II)討論f(x)的極值。

解析：(1),令可得x=0或2(2舍去)，當一1(x(0時,

(0,當0&(1時-，(0,所以當x=0時，f(x)取得最大值為2。

選C；

(2)由已知得，令，解得o

(I)當時，，在上單調(diào)遞漕；

當時，

,隨

的變化

(-0)0(O,a-1)a-\(?-l,+oo)

情況如下

表：

X

f'M+0—0+

/(x)/極大值極小值/

從上表可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；在上

單調(diào)遞增。

(II)由(I)知，當時，函數(shù)沒有極值；當時，函數(shù)在

處取得極大值，在處取得極小值。

點評：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最大值和最小值的基

礎(chǔ)知識，以與運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力。

題型5:導(dǎo)數(shù)綜合題

例9.設(shè)函數(shù)分別在處取得極小值、極大值.平面上點

的坐標分別為、，該平面上動點滿足，點是點關(guān)于直線

的對稱點.求

(I)求點A、3的坐標；

(H)求動點。的軌跡方程.

解析：(I)令解得；

當時，，當時，，當時，。

所以，函數(shù)在x=-l處取得極小值，在x=l取得極大值，故

Xj=-l,x2=1,/(—1)=0,/(I)=4o

所以，點A.B的坐標為。

(H)設(shè)，，

,所以。

乂PQ的中點在上，所以，消去得。

點評：該題是導(dǎo)數(shù)與平面向量結(jié)合的綜合題。

例10.已知函數(shù)，數(shù)列｛｝滿足：證明：(i)；(ii)o

證明：(I).先用數(shù)學(xué)歸納法證明，n=l,2,3,…

(i).當n=l時，由已知顯然結(jié)論成立。

(ii).假設(shè)當n=k時結(jié)論成立，即0<4<1。

因為0<x<l時,,所以f(x)在(0,1)上是增函數(shù)。

又f(x)在［0,1］上連續(xù)，從而.故n=k+1時，結(jié)論成立。

由(i)、(ii)可知，對一切正整數(shù)都成立。

又因為時，，所以，綜上所述。

(II).設(shè)函數(shù)，，

由(I)知，當時，，

從而g*)=851-1+:1~=-2$抽25+5>-2(克2+5=。.所以g(X)在

(0,1)上是增函數(shù)。

又g(x)在［0,1］上連續(xù)，且g(0)=0,所以當時，g(x)>0成

立。

于是.故。

點評：該題是數(shù)列知識和導(dǎo)數(shù)結(jié)合到一塊。

題型6:導(dǎo)數(shù)實際應(yīng)用題

例11.請您設(shè)計一個帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長

為:加的正六棱錐(如右圖所示)。試問當帳篷的頂點0到底面中心的距離為多少時，帳篷

的體積最大？

本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最大值和最小值的基礎(chǔ)知

識，以與運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力。

解析：設(shè)001為xm,則由題設(shè)可得正六棱錐底面邊長為(單

位：m)o

于是底面正六邊形的面積為(單位：m2):

小3~+(x-1)?=/J8+2x—x?y=(8+2.x—x2)o

帳篷的體積為(單位：m3):

3

V")=￥(8+2X_M1(X_])+I=^(16+12X-X)

求導(dǎo)數(shù)，得；

令解得x=-2(不合題意，舍去)，x=2。

當l〈x<2時\,V(x)為增函數(shù)；當2<x<4時',V(x)為減函數(shù)。

所以當x=2時,V(x)最大。

答：當001為2nl時，帳篷的體積最大。

點評：結(jié)合空間幾何體的體積求最值，理解導(dǎo)數(shù)的工具作用。

例12.已知函數(shù)f(x)=x+x,數(shù)列IxI(x>0)的第一項x=1,以后各項按

如下方式取定：曲線x=f(x)在處的切線與經(jīng)過(0,0)和(x,f(x))兩點的直線平

行(如圖)求證：當n時，

（I）X：+x〃=3x"2x“+|；

(n)(lr,<<(lr2o

證明：(i)因為所以曲線在處的切線斜率

因為過(0,0)和區(qū),/(%))兩點的直線斜率是H+X”，所以

X"+X”=3x“+i+2x“+|,

(II)因為函數(shù)當時單調(diào)遞增，而

所以，即因此

又因為七+怎>2(匕+x向)，令”=七+七,則受弓.

因為MR+玉=2,所以y,二(fa.y=(夕-2

因此迎4片+Z(§廣2,故《尸

點評：本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、不等式等基礎(chǔ)知識，以與不

等式的證明，同時考查邏輯推理能力。

題型