第5課平面向量的數(shù)量積（一）

0目標(biāo)導(dǎo)航

課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀

1、通過(guò)閱讀課本在向量前面知識(shí)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步

1了.解向量數(shù)量積的物理背景，即物體在力

了解向量數(shù)量積的物理背景，即物體在力尸的作用下產(chǎn)

F的作用下產(chǎn)生位移s所做的功.

生位移$所做的功.

2.掌握向量數(shù)量積的定義及投影向量.

2、理解和掌握句量數(shù)量積的定義與投影向量的概念與

3會(huì).計(jì)算平面向量的數(shù)量積.

意義.

3、在認(rèn)真學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，深刻掌握平面向量數(shù)量積的

意義，為后續(xù)學(xué)習(xí)空間向量數(shù)量積打好基礎(chǔ).

趣:知識(shí)精講

知識(shí)點(diǎn)01兩向量的夾角與垂直

1.夾角：已知兩個(gè)非零向量a,b,。是平面上的任意一點(diǎn)，作次OB=h,則/八04=9（0W慮兀）叫

做向量a與b的夾角（如圖所示）.

B

當(dāng)0=0時(shí)，。與力同向:當(dāng)。=兀時(shí)，。與b反向.

2.垂直：如果a與b的夾角是與則稱a與b垂直，記作a±b.

【即學(xué)即練1】已知⑷=步|=2,且。與力的夾角為60。，則。+力與。的夾角是多少？。一力與。的夾角又

是多少？

解析如圖所示，作而=b,且NAO8=60。.

以蘇，方為鄰邊作平行四邊形0AC8,

則女=a+b,BA=a-b.

因?yàn)棰?|例=2,

所以平行四邊形0AC3是菱形，

又N4OB=60。，

所以比與晶的夾角為30。，放與晶的夾角為60。.

即a~\~b與a的夾角是30°,a—〃與a的夾角是60°.

反思感悟

求兩個(gè)向量夾角的關(guān)鍵是利用平移的方法使兩個(gè)向量起點(diǎn)重合，作兩個(gè)向量的夾角，按照“一作二證三算”

的步驟求出.

知識(shí)點(diǎn)02向量數(shù)量積的定義

已知兩個(gè)非零向量0,知它們的夾角為仇我們把數(shù)量MIWIcos0叫做向量a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作ab,

即ab=\a\\b\cos0.

規(guī)定：零向量與任?一向量的數(shù)量積為0.

思考若aWO,且〃?力=0,是否能推出力=0?

答案在實(shí)數(shù)中，若〃W0,且。力=0,則。=0；但是在數(shù)量積中，若。工0,且ab=O,不能推出》=0.因

為其中。有可能垂直于。

【即學(xué)即練2]若⑷=3,步|=4,處方的夾角為135。,則〃仍等于（）

A.—3y[2B.—6,\/2

C.6^2D.2

答案B

知識(shí)點(diǎn)03投影向量

1.如圖，設(shè)。，b是兩個(gè)非零向量，AB=a,CD=b,我們考慮如下的變換：過(guò)贏的起點(diǎn)A和終點(diǎn)8,分別

作而所在直線的垂線，垂足分別為A”B1,得到彳瓦，我們稱上述變換為向量。向向量力的投影，彳瓦叫

做向量a在向量b上的投影向量.

:b；一

CAtD

2.如圖，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,作m=mON=h,過(guò)點(diǎn)M作直線ON的垂線，垂足為例”則痂］就是

向最。在向量力上的投影向量.設(shè)與力方向相同的單位向最為e,。與力的夾角為"貝IJ而1與e,。之

間的關(guān)系為OMi=|a|cos0e.

【即學(xué)即練3］（1）已知⑷=12,g|=8,。仍=24,求。在b上的投影向量.

解析VaZ>=|a||^|cos0,

.z.（lb241

??8S夕―麗—而§一不

??a在b上的投影向量為⑷cos喘=12x/x，>=，

（2）已知|m|=6,|九|=3,加?"=-12,則向量m在向量71方向上的投影向量的長(zhǎng)度為（）

A.-4B.4

C.-2D.2

答案B

解析根據(jù)投影向量的定義，設(shè)m,〃的夾角為6,可得句量m在n方向上的投影向量的長(zhǎng)度是

rnn

ni||cos0|=inI=4.故選B.

知識(shí)點(diǎn)04平面向量數(shù)量積的性質(zhì)

設(shè)向量。與力都是非零向量，它們的夾角為〃，c是與力方向相同的單位向量.則

{\}ae=ea=1aleos0.

（2）a±/><=>?-/>=0.

（同|臼，。與b同向，

（3）當(dāng)a〃Z>時(shí)，ab=\「「j

［一同|b|,a與b反問.

特別地，as=|〃F或Ml

（4）|a6|W⑷步|.

【即學(xué)即練4］（多選）下列說(shuō)法正確的是（）

A.向量a在向量力上的投影向量可表示為署

B.若〃仍<0,則。與〃的夾角〃的范圍是（E冗

C.若△/WC是等邊三角形，則而，正的夾角為60。

D.若ab=0,則。_L。

答案AB

解析對(duì)于選項(xiàng)A,根據(jù)投影向量的定義，知A正確；對(duì)于選項(xiàng)B,丁。力=|a||A|cos0<（）,則cos。<0,又

???OWJWTI,???。￡仁，n,故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C,若△人4c是等邊三角形，則Q,正的夾角為120°,故

C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D,。力=0=aJ_8或a=0或）=0,故D錯(cuò)誤.

Q能力拓展

考法01向量的夾角

【典例1】在銳角S8C中，關(guān)于向量夾角的說(shuō)法，正確的是（）

A.與的夾角是銳角

B.4c與48的夾角是銳角

C.4c與8C的夾角是鈍角

D.AC與C8的夾角是銳角

【答案】B

【詳解】一ABC為銳角三角形，

A,A8與BC的夾角是鈍角，A錯(cuò)誤：

B,AC與4B的夾角是銳角，B正確；

C,A(j與8。的夾角是銳角，C錯(cuò)誤；

D,AC與C8的夾角是鈍角，D錯(cuò)誤.

故選：B

【變式訓(xùn)練】在JWC中，4B=石，BC=1，AC=2,D是AC的中點(diǎn)，則4萬(wàn)與80的夾角為.

【答案】120°

【詳解】如圖，.八3c中，AB2+BC1=AC2，所以N/SC=90。，而A5=石，BC=\,AC=2,所以

A=30°,C=60。，。是AC的中點(diǎn)，則AO=DC=8力，ZADB=I2O°,

所以A。與8。的夾角等于4=120。.

故答案為：120。.

考法02求兩向量的數(shù)量積

【典例2］若同=3,忖=4,。，〃的夾角為135。，則〃/=()

A.-372B.-672C.6&D.12

【答案】B

【詳解】因?yàn)橥?3,|可=4,且。，〃的夾角為135。,

所以〃/=悶.@.cosl35=3x4x1—一—j=-6V2,

故選：B

反思感悟

定義法求平面向量的數(shù)量積

若已知兩向量的模及其夾角，則直接利用公式〃功=|研步|cos。?運(yùn)用此法計(jì)算數(shù)量積的關(guān)鍵是確定兩個(gè)向量的

夾角，條件是兩向量的起點(diǎn)必須重合，否則，要通過(guò)平移使兩向量符合以上條件.

3

【變式訓(xùn)練］已知|回=3,4在方方向上的投影為,，則4力的值為

91

A.3B.-C.2D.-

22

【答案】B

【詳解】設(shè)4與〃的夾角為6,

3

|fl|cos^=—

----39

:.ab=\a\\b\cos。=3x—=—

22

故選：B.

考法03投影向量

【典例3】（多選）八卦是中國(guó)文化的基本哲學(xué)概念，如圖1船八卦模型圖，其平面圖形記為圖2中的正八

邊形ABCDEFGH,其中|OA|=1,則下列結(jié)論正確的有（）

A

圖1圖2

A.OAOD=~—B.OB+OH=-42OE

2

DA”在反向量上的投影為一等

C.AHOH=BCBO

【答案】ABC

【詳解】因?yàn)榘诉呅蜛BSEFGH是正八邊形，且|。4|=1,

所以|OAH051=10。|=|0E|=|0H|=l,

對(duì)于A：與0。之間的夾角為—x3=￥,OAOD=lxIxcos—>

8442

故選項(xiàng)A正確；

對(duì)卜B：。8與0”之間的夾角為9x2=g,可得OBOH=0,

o2

\OB+OH\=^OB+OH^=\IOH2+OH?=五,所以O(shè)B+OH=gOA=-6OE，

故選項(xiàng)B正確；

對(duì)「c：因?yàn)椴反?,4，|〃o|=|oq且夾角相等，由數(shù)最積的定義知

AHOH=BCBO,故選項(xiàng)C正曲；

對(duì)「D：NHAB若,所以A”在48向量上的投影為卜“卜0$,=一孝,叫，

因?yàn)椴贩讲?,所以通在通向量上的投影不是一*,胡選項(xiàng)D不正確；

故選：ABC.

反思感悟投影向量的求法

（1）向量。在向量力上的投影向量為⑷cosOe（其中e為與b同向的單位向量），它是一個(gè)向量，且與力共線,

其方向由向量。和力的夾角〃的余弦值決定.

（2）向量。在向量〃上的投影向量為⑷cos哈p

【變式訓(xùn)練】已知|i=3,日|=5，?=12,則向量）在向量了上的投影為（）

12

【詳解】設(shè)的夾角為氏所以；在己方向上的投影為lZ|cos6=|i4~==￡「

laM\b\

故選：A.

fii分層提分

題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

1.已知向量萬(wàn)與4心的夾角為120°,且卜可=2,卜q=3,若N=+目.，萬(wàn)—前，則實(shí)數(shù)/的

值為

312

A..B.13c.6D.7

【答案】D

【詳解】

4EAC=2x3xcosl200=-3，

uiiuuuu

「M1BC，??AP8C=0，即(XA5+AC)(AC-A8)=。，

(Z-\)ABAC-ZAB2+AC2=O^-3(2-l)-4A+9=0,

12

??/I=---?

7

2.若向曷”，b滿足H=l,忖=后，a_L(a+\)，則a與右的夾角為()

a冗八支「3兀c5乃

A.-B.-C.—D.■―

4346

【答案】c

【詳解】由已知得。?(a+0)=0,ab=-l，8s°=iqw=7W=-一相，

8g0,封，所以*丁.

4

故選：C.

3.已知向量滿足1。1=2,|切=3,|a-2"=2后則萬(wàn)與力的夾角為（）

71兀27r5兀

A.-B.-C.——D.—

6336

【答案】C

【詳解】」。-2M=2萬(wàn)，.?」〃一4|2=42一4。.〃+4〃2=52，

乂Ia1=2,|〃|=3,,,.a-b=-3?

設(shè)〃與人的夾角為e,

COS0=^-^7=--

I刑2'

從而e=g,所以。與人的夾角。二g.

故選：c

4.己知a，8是兩個(gè)互相垂直的單位向量，則向量2G在向量。上的投影向量為（）

1,

A.hB.-2bC.—bD.-h

2

【答案】B

【詳解】解：因?yàn)椤?石是兩個(gè)互相垂直的單位向量,

所以〃?〃—0,11.167=W=?'

所以（4-2〃）/=。/-2//二〃/一2卜「=-2

,1（a-2bYbb

所以向量a-2b在向?qū)廱上的投影向量為yH-nn-26

H\b\

故選：B

5.如圖，在平面四邊形A8CO中，ZABC=ZBCD=\20,AB=CD,則向量CQ在向量A8上的投影向量

為（）

A.-B.--ABC.-ABD.

22

【答案】B

【詳解】延長(zhǎng)A3，DC交「點(diǎn)、E,如圖所示,

D

ZABC=/BCD=120,ZCBE=/BCE=60°,

.\ZCEF=120°,

又1CQ|=M，

???向晟CO在向?qū)廇B上的投影向量為|c0|.cos〈A良CO〉?向=cos/CEr-48=（：6；120。,43=_；/^

故選:B.

6.在四邊形同9c。中，若八8ICD=0,八8八￡>=0,則該四邊形為（）

A.平行四邊形B.矩形C.等腰梯形D.菱形

【答案】B

【詳解】由AB+CO=0得A8=OC，

所以A4=DC,ABIIDC,

所以四邊形ABC。為平行四邊形，

—UUDUUU

又A8AO=（），所以ABJ_AO.

所以四邊形4BCD為矩形

故選：B

LU.IIKUIKILUU51

7.O,。是A3C所在平面上的兩點(diǎn)，滿足（。8-。。）（。8+。。一204）=0和|28—2€'|—|28+2。一2必|=0,

則M8C的形狀是（）

A.等腰直角三角形B.直角三角形

C.等腰（非等邊）三角形D.等邊三角形

【答案】A

LUUIIUULUILM.1ULMlULI

【詳解】由題知（。8-00.（08+0（：-204）=（）,所以（03—00.（。8—3+%—04）=0，即。8（48+40=0.

因?yàn)椤?=—AC，所以(AB-力C)?(AB+AC)=0,^\AB\2=\ACf,

所以|A6|=|AC|.

又因?yàn)閨尸8—PC|—|P8+PC—2PAi=0,所以|。8|—|（28—弘）+（。。—04）|=0,

UU1X11IR?1

所以|C4HA8+ACl，即|48-ACM48+ACI，

兩邊同時(shí)平方并展開化簡(jiǎn)可得/W.AC=0,即人B_LAC，所以A=].

綜上可知，一ABC的形狀是等腰直角三角形.

故選：A.

8.如圖-ABC中，AB=4,/ABC=￡,NBAC=g,DE//CA,且當(dāng)=',則筋.命

7TTT

【詳解】由.ABC中，AB=4,NABC=K，^BAC=^F

則/ACB=C,AC=-AB=2,

22

DF2-*2r

XDE//CA,且匕二一，g|JDE=-CA,

33

BE2AEIcm4人14八

故—=-n=一,L"Ah=—AH,

AB3AB33

TT->1T2T

從而AD=AE+ED=—AB+-AC,

33

Tf]->?->9f9->->4

^ADDE=(-AB+-AC)(-CA)=--ABAC--\ACf,

因?yàn)锳B?AC=|A8||4cleos/8AC=4x2x^=4,

Q

故答案為：

9.已知平面向量a,〃的夾角為120。，且W=2，W=1.若（3〃+力）1（加+助），貝1n=.

【答案】11

【詳解】因?yàn)槠矫嫦蛄?。，〃的夾角為120。，且,卜2,忖=1,

所以a〃=2xl*cosl2()o=-l，

因?yàn)?3a+b)_L(2a+勸)，

所以(3d+5)(2d+/l6)=6J+(3/l+2)小6+4尸=0,

所以6x4+(3/t+2)x(—l)+/lxl=0,解得人=”，

故答案為：11.

rr

10.已知向量a，力滿足卜1=2,W=l,a+h=43,貝(一力卜.

【答案】a

【詳解】由'+4=百可得，1d+2〃."W=3,即4+2a/+l=3,解得：〃功=-1，所以

,一耳='口—2a-〃十忖=V4+2+1—y/l.

故答案為：后.

11.已知向量a,Z?滿足同=3,4=2,ab=\'

(1)求慳-年

(2)若⑼2)斗一叫求實(shí)數(shù)Z的值.

【答案】⑴6

(2)攵=-1或2

【詳解】(1)[2。一61=4『-4。"，+//=36-4+4=36.

所以慳-+6；

(2)由題意可得：(&a+給)?(a-&〃)=。，HPka+(2-k2)ab-2kb'=0,

二%+(2-&2)xl-2Ax4=0,解得：攵=一1或2,

所以實(shí)數(shù)4的值是-1或2.

12.如圖，在△ABC中，AB=2,AC=3,ZBAC=CAf,DB=2AD^CE=2EB.

B,

⑴設(shè)CQ=r48+)，AC,求x,y的值，并求「斗；

(2)求的值.

【答案】⑴x=[y=—i,埋：⑵J

333

【詳解】(1)，?￡>3=2A￡>，?.?ADJAB,

：.CD=AD-AC^AB-AC=xAB+yAC,

1,

..A=-,j=-l,

=J1AB22ABACiAC2

3V93

Il2__1__V67

=?-x4A—x2x3x—+9=---.

,9323

(2)DE=BE-BD=--CB+-AB=--(AB-AC)+-AB=-AB+-AC

333333

/.A^DE=A8(-AH+-AC)=-Aif+-AB-AC=-+-x2x3x-=-.

33333323

題組B能力提升練

1.若單位向量a，〃滿足(a-28)_La,則。與人的夾角為()

71K71

A.——B.-C.一

632

【答案】B

【詳解】由(a-2A)_L*得@—27)2=0,

所以〃./?=二，所以cos(a,〃)=/J=一,

2'/\a\-\b\2

又”閆0,句，所以(詞=9.

故選:B.

2.已知向量〃,方滿足1。1=2,|〃|=3,|“-2〃|=2jB則。與〃的夾角為()

a71c兀c2nc5兀

A.-B.-C.—D.—

6336

【答案】C

【洋解】|。一2〃|=,.-Ja-2b^=a2-4ab+4b=52?

乂I。1=2,|力|=3,:.a-b=-3?

設(shè)a與方的夾角為e,

COS^=a=--

I刑2，

從而。=g,所以d與〃的夾角e=g.

故選：c

3.在/AC中，人BAC=9,68=3,點(diǎn)E滿足AE=2EC，則()

A.-6B.-3C.3D.6

【答案】B

2

【詳解】中，AE=2EC，所以AE—AC,

J

ABBE=AB(AE-AB)=AB(-AC-AB)=-ABAC-AB2

33

=1X9-32=-3,

3

故選:B.

4.（多選）對(duì)于任意向量〃，/小c，下列命題中不正確的是（）

A.若小。=0，則a與人中至少有一個(gè)為0B.若“_!_8，則〃力二0

C.向量〃與向量人夾角的范圍是。不）D.僅?。）4一（5。）6＞（?=（）

【答案】AC

【詳解】A,當(dāng)a,力為非零向量，且a_L)時(shí)，ab=O＞所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.

B,若a_L〃，則4?〃=卜，0?8$5=0,B選項(xiàng)正確.

C,向量〃與向量力夾角的范圍是［0,司，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

D,［倒?c)a-(c-a)b,c=(力?c)(a?c)-(c?祖力＜)=0,D選項(xiàng)正確.

故選：AC

5.(多選)已知a,〃,c是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，下列命題中正確的是()

A.\a-b\＜\a\\b\

B.若“./?=c?〃旦/"0，則4=8

C.兩個(gè)非零向量a,b?若IaT|=|a|+|。I，則々與〃共線且反向

D.已知。=(1,2),8=(1,1),且。與.+勸的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)％的取值范圍是(1,+8)

【答案】AC

【詳解】對(duì)于A,由平面向量數(shù)量積定義可知,出卜同網(wǎng)cos(a,Q,則|〃6兇4||/?|,所以人正確，

對(duì)于B,當(dāng)a與。都和在垂直時(shí)，。與c的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B錯(cuò)誤，

對(duì)于C兩個(gè)非零向量a,b,若1。-力1=1a1+1切，可得(。一力)2=(內(nèi)+|力|)2,即_蘇力=2山|力|,cos6＞=-l,

則兩個(gè)向量的夾角為"，則e與。共線且反向，故c正確；

對(duì)于D,已知4=(1,2),〃=(1/)且。與4+勸的夾角為銳角，

可得三?(5+勸)＞。1JF+必?/?＞0可得5+3義＞0,解得4＞一］,

V*

當(dāng)〃與〃+勸的夾角為0時(shí)，±+/=(1+42+/1)，所以2+2丸=2+/1=/1=0

所以a與a+4b的夾角為銳角時(shí)義＞-g且義工0,故D錯(cuò)誤；

故選:AC.

6.已知在“1BC中，A8=3,8C=5.。為.ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足O4+2OA+OC=0，則

BOAC=.

【答案】4

【詳解】取AC的中點(diǎn)4聯(lián)結(jié)

D

由。4+2O%+62=6，2OD+2OB=Zf則。為“。的中點(diǎn)，

因此BO=-(3A+BC),

TT1T-?T->1->2-2

故BO,AC=-(BA+BC)?(BC-BAt=-(BC-BA)=-(52-32)=4,

444

故答案為：4.

7.如圖，圓。是半徑為1的圓，。4=g,設(shè)凡C為圓上的任意2個(gè)點(diǎn)，則曲的取值范圍是

【答案】一：，3

O

【詳解】解：連接。A,08,設(shè)D是線段3C的中點(diǎn)，連接。。，則有QO_L8C.

設(shè)6為&和晶的夾角.

貝I」ACBC=\OC-0A\=OCBC-OA-BC

—-?-*i->*i->

=OCBCcosZBCO-OA-BCcos。=—BC—BCcos。，

22

[T-1—]一

-BC——BCcosO>-BC--5C|

222

（當(dāng)cos。—1即。一。時(shí)取等）

TT1I

因?yàn)?Ce[0,2],所以當(dāng)8。=不時(shí)，命有最小值

2o

1T

-BC--BCcos6><-BC+—BC

2222

（當(dāng)cosO=—l即。=乃時(shí)取等）

1BC\+[BC有最大值為

當(dāng)=2時(shí)，3,

22

即正?說(shuō)有最大值3,所以就?.曲的取值范圍是卜（，3]

故答案為：

_O

8.如圖，直徑AB=4的半圓，。為圓心，點(diǎn)C在半圓弧上，ZADC=^,線段AC上有動(dòng)點(diǎn)/>,則￡>P.84

的最小值為.

【答案】4

【詳解】設(shè)AP=/14C(OK4K1),

則DP=OA+AP=a4+/lAC=OA+/l(QC—QA)=(l—/l)￡)A+7lDC,

ZADC=y,|DC|=|DA|=||^|=2,則=4Hoqcos?=2,

所以，。2.加=[(1-/1)。乂+/1。。12。印=2(1-/1)。/+2/1雨03

=2X22(1-^)+2>IX2=8-4>IG[4.8].

因此，op.BA的最小值為4.

故答案為：4.

9.己知|〃|=3,|力=4,a與人的夾角為60。.試求:

(1)\a+b\x

(2)〃+〃與白一人的夾角。的余弦值.

【答案】(1)|〃+4=歷(2)-2^1

11481

【詳解】解：(1):|a+〃『=a-+〃-+2a〃=9+16+2x3x4xcos60=37,

/.\a+b\=s/yi.

(2)\a-b^—a+b—2a-Z?—9+16—2x3x4xcos60—13?

\a-b\=V13.

c(a+b)-(a-b)9-167^/48T

\a+b\\a-b\V37xV13481

10.如圖，在平行四邊形A8C。中，點(diǎn)E,F,G分別在邊48,AD,8c上，且滿足AF=^AD,

2

BG--BC,設(shè)A8=。，AD=b.

（1）用a，b表示EF，EG：

（2）若EFLEG,ABEG=2ab,求角4的值.

【答案】（1）E『=Ha,EG=-b+-a；（2）

33333

【詳解】（1）由平面向量的線性運(yùn)算可知M=A?八八卜力一拜玄-1,

2222

EG=EB+BG=-AB+-AD=-b+-a.

3333

（2）由題意，因?yàn)椤癬L￡G,所以￡7九氏；=耳（人-"）3,+4）=§（方-々）?（〃+〃）

=+==-|r/|j=0.解得|，=,~,

所以A8.￡G=a，g(〃+4)='||4〃cosA+gH=2p;||z?|cosA,則川-化簡(jiǎn)I:式為'|+'|cosA=2ccsA,解得

cosA=-,又Ae(Q加)，故人=生.

2'/3

題組c培優(yōu)拔尖練

1.己知e為單位向量，ae=\f20228=a+202Ie，當(dāng)va,力＞取到最大值時(shí)，|a-e|等于()

12022。2021

A.^022DC.V202Tn

2022

【答案】A

【詳解】根據(jù)題意：“與￡A共線，點(diǎn)4位于胡的2022等分點(diǎn)處(靠近E點(diǎn))

解法一：欲使＜a,b＞最大，根據(jù)"米勒最大角定理"，此時(shí)以AA為弦圓與OE相切，根據(jù)切割弦定理:

OE2=EAEB=EA^^EA=1,切。一同=EA=72022.

解法二：設(shè)E(l,0),A(l,a),則明焉。),有＜a,b＞=NAOB

a20212021

tanNAOB=tan(ZAOE-NBOE)=——2Q22,=2Q22一＜一平22_

1+a，L42巨'

2022a2022勺2022

當(dāng)且僅當(dāng)a=72022時(shí)成立.

故選:A

2.在?ABC中，內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊分別是a,b,c,(a+c)(sinA-sinC)+6sin〃=asin〃，〃+2a=4,

CA=3CD-2CB^則線段C。長(zhǎng)度的最小值為()

A.2B.半C.3D.苧

【答案】D

【詳解】解:由(a+c)(sinA-sinC)+bsinB=asinB及正弦定理,

得(a+c)(a-c)+=ab,即a1+b2-c2=ab,

由余弦定理得，cosC=q2+Z?2—=-,.?C?0,乃)，..C=g.

lab23

i2

由CA=3CO_2CB，CD=-CA+-CB,

2I4-4，2

兩邊平方，^CD=-CA+-CACB+-CB~

即CD1=-b2+-a2+-abcosC

999

1,24221Z,_22

=-b~H—u~4—ab=-lb+2aA)—ub

9999'79

心中"2。=Q+2a)2,

2

b=2a\a=\i\,24

當(dāng)且僅當(dāng)、c,即/c時(shí)取等號(hào)，WCD>-L（b+2a）=-t

〃+2a=4[b=2123

」?線段CO長(zhǎng)度的最小值為空.

3

故選：D.

3.（多選）平面向量〃，b，c，滿足忖=1,忖=2且a_L（a-"|,<二或">=30。，則下列說(shuō)法正確的

是（）

A.|2?+i|=2V3B.〃在〃方向上的投影向量為

C.卜|的最大值是2右+2D.若向量〃?滿足；八）=2，則的最小值為七

【答案】ACD

【詳解】因?yàn)殁?1,卜卜2且

所以所以公力=1，

8s百百=3,所以4,8的夾角為60，

因?yàn)?2a+Z?卜J（2a+Z?）=,4為+b，+4a〃=2有?所以A正確；

a在方方向上的投影向量為同=所以B錯(cuò)誤；

如圖，作半徑都等丁?2且公共弦K等于2的兩個(gè)圓中,

0A=2a,OB=b,OC=c，則AC=c-2a、BC=c-b,

因?yàn)閆AC8=30，所以k-2氏（*-。）=30。,符合題意，

由圖可知，當(dāng)0C同過(guò)兩圓的圓心時(shí)，最大，

此時(shí)F|的最大值等于圓心距加半徑為26+2,

所以C正確；

M

作OA=a,O8=〃,如圖，=(b-a)2=b2+a2-2ba=3=\oi^-\O^,

所以NQ48=90,

令OM=rn?由小a=2得cos/AOM=2,

在射線OA上取點(diǎn)E，使得O￡=2,過(guò)E作直線/_LQ4,

則有點(diǎn)M在直線/上，取。B中點(diǎn)C,過(guò)。作COJJ,垂足為。，

連接8W,CM,0M,

m(m-b)=OMBM=(OC+CM)(BC+CM)=(OC+CM)\-OC+CM)

?2-2

=CM~-OC>CD-\=\-OA+AE

2

當(dāng)且僅當(dāng)MQ重合時(shí)取得等號(hào),所以m'(/??-b）的最小值為

所以D正確.

故選:ACD.

4.（多選）如圖，在四邊形A8C。中，AB+AQ=AC，|人。|=21AB|=2,髭.送=1，七為C。的中點(diǎn)，AE

與03相交于P,則下列說(shuō)法一定正確的是（）

urnIiiun22皿

A.AF=-AB+-ADB.8戶在AB上的投影向量為0

IIISIIKU41._flJ3

c.AFAB=\D.若a="DEF,則iana=—

23

【答案】ABC

【詳解】解：因?yàn)樵谒倪呅蜛8C7)中，AB+AD^AC，所以四邊形A8CO為平行四邊形，

ULUUU1U

又|AO|=2|A8|=2,ABAD=\>加以N5>U)=60。，

對(duì)于A：AE=AD+DE=AD+-AB,設(shè)A尸=/lAE=%(AO+；+,

2\2/2

因?yàn)槿c(diǎn)共線，

12uu?iIUO7uun

所以+=解得彳=三，所以4"=篙8+9/),故選項(xiàng)A正確；

對(duì)于B：設(shè)8F,A8的夾角為6,因?yàn)锳4=I,AD=2,BD=6

所以A￡>?=+所以即。=90。，

4DA[)

所以8戶在44上的投影向量為IBF|cos9x----=0x----=0,故選項(xiàng)B正確；

IA例\AB\

對(duì)于C：由題意，AFAB=[\AB+^-AD\AB=148'+2A8AQ=』+2X1X2XL=1,故選項(xiàng)C正確:

U3)33332

I------------------/—AFAB_1x/21

：

對(duì)于D：|AF|=AB+iAD^^AB.AD=^~,則cosN-8=|A尸||A8「而二-F，

Vy973---

3

若tana=立，則。=30。，又因?yàn)閍=2NO￡F=1NQ18=30。，

322

57

所以N檸S=2rz=60°,不滿足cosN￡48二—^，故選項(xiàng)D不正確.

故選：ABC.

5.已知〃，人c是非零平面向量，忖=2,卜-+1,（夜。-6”=0,W=H，則子的最大值是.

【答案】V2+l##l+>/2

rriaruinmr

【詳解】由題，令a=OA,b=OB,c=OC,UMa-b=\^OA-OB=\^BA=\f

因?yàn)殁?2,令。=（2,0）,根據(jù)幾何性質(zhì)，點(diǎn)6在以（2,0）為圓心，1為半徑的圓上，

（近c(diǎn)-b）b=0n丘cb=￡,又因?yàn)閃=H，利用數(shù)展積公式展開可得cosG，c）=*=k，c）=45,

所以點(diǎn)C的軌跡為以（夜，⑹或（夜,一血）為圓心，半徑為1的圓，

所以C的橫坐標(biāo)的最大值為a+1，

片郵cos。,；）,r.F

『p|cos^a,cy,即為c在”L的投影,最大值為加十1.

nV

__c

\./

-'、/

、、-----'

故答案為：>/2+l.

6.已知平面向量〃、〃、C和實(shí)數(shù)％滿足卜|=忖=k+〃]=2,ac+bc=0^(?-2c)-(/?+2c)>0,則

卜一2W+、+4c|的取值范圍是______.

【答案】[2,2&]

【詳解】解：因?yàn)?。?卜+4=2,所以,+^二22=>a~+2ab+b~=4,

則?所以?力=一于是有〈》）=ab_-2_1

4+2a"4=4,a2,cos4H^|=2^2=~2,

因?yàn)榭?所以,6號(hào)

則加圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中A（2,0）,網(wǎng)

則〃=OA=（2,0）/=OB=（-1,#>）,設(shè)d=,力）,

因?yàn)镚C+岳c=。，所以（2,0）-（〃切+（-1,石＞（。/）=〃+同=0,則〃=—屏，即c=卜回力）,

因?yàn)椋╝—前）?伍+%）20,所以（（2,0）T（-收制+卜版,即20