第六章數(shù)列

二、重難點(diǎn)擊

本章重點(diǎn)：數(shù)列的概念，等差數(shù)列，等比數(shù)列的定義，通

項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式及運(yùn)用，等差數(shù)列、等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)。注重提煉一些重要的

思想和方法，如：觀察法、累加法、累乘法、待定系數(shù)法、倒序相加求和法、錯(cuò)位相

減求和法、裂項(xiàng)相消求和法、函數(shù)及方程思想、分類及討論思想、化歸及轉(zhuǎn)化思想等。

知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

第一課時(shí)數(shù)列

四、數(shù)列通項(xiàng)an及前〃項(xiàng)和Sn的關(guān)系

1.S”=4+生+。3+…+

1=1

課前熱身

3.數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則數(shù)列各項(xiàng)中最小項(xiàng)是（B）

A.第4項(xiàng)B.第5項(xiàng)C.第6項(xiàng)D.第7項(xiàng)

4.已知數(shù)列是遞增數(shù)列，其通項(xiàng)公式為，則實(shí)數(shù)的雙值范圍是

5.數(shù)列的前項(xiàng)和,，則

題型一歸納、猜想法求數(shù)列通項(xiàng)

【例1】根據(jù)下列數(shù)列的前幾項(xiàng)，分別寫出它們的一個(gè)通項(xiàng)公式

(1)7,77,777,7777,…

⑶1,3,3,5,5,7,7,9,9-

解析：⑴將數(shù)列變形為，

⑶將已知數(shù)列變?yōu)?+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,8+1,9+0,…?？傻脭?shù)列的通項(xiàng)公式為

點(diǎn)撥：本例的求解關(guān)鍵是通過分析、比較、聯(lián)想、歸納、轉(zhuǎn)換獲得項(xiàng)及項(xiàng)數(shù)的一般規(guī)

律，從而求得通項(xiàng)。

5,

題型二應(yīng)用c求數(shù)列通項(xiàng)

5-SQ(〃>2)

例2.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，分別求其通項(xiàng)公式.

(1電=3"-2

解析：⑴當(dāng)，

當(dāng)〃>2時(shí),%=S”-SR=⑶-2)-(3,-2)

=2-3H-'

又不適合上式，故

三、利用遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)

【例3】根據(jù)下列各個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)和遞推關(guān)系，求其通項(xiàng)公式

解析：⑴因?yàn)?，所?/p>

an-an.=—(-------------------)

〃22/7-32〃-l

以上(〃-1)個(gè)式相加得

%=-(>

2n-V

4〃—24〃一2

點(diǎn)撥：在遞推關(guān)系中若求用累加法，若求用累乘法，若，求用待定系數(shù)法或迭代法。

課外練習(xí)

3設(shè)，（），則的大小關(guān)系是（C）

A.B.

C.D.不能確定

解：因?yàn)?/p>

111

ci..—（X--------------1--------------------------

2〃+22〃+3〃+1

11八

=----------------------<0

2?+32〃+2

所以，選C.

二、填空題

5.已知數(shù)列的前項(xiàng)和則

7.已知數(shù)列的通項(xiàng)（），則數(shù)列的前30項(xiàng)中最大項(xiàng)和最小項(xiàng)分別是

解：構(gòu)造函數(shù)

由函數(shù)性質(zhì)可知，函數(shù)在上遞減，且

函數(shù)在（J為，+8）上遞增且），>1

又癰￡（9,10）

6/10>an>an>…>%o>1>q>a2>???解答題

>%

??.《o最大，的最小

6.2等差數(shù)列

知識(shí)要點(diǎn)

2.遞推關(guān)系及通項(xiàng)公式特征：S“=*〃?+（4一勺〃,

遞推關(guān)系：2

an+）—an—d即S“=f（n）=An+Bn

通項(xiàng)公式：*=4]+（〃-1）4

S?=An2+Bn（A8為常數(shù)）

推廣：an=（n-ni）d

變式：a[=an-（n-\）d;是數(shù)列｛%｝成等差數(shù)列的充要條件。

5.等差數(shù)列的基本性質(zhì)

n-in⑴反之，不成立。

特征：=dn+（%-d）,

⑵an-am=（n-m）d

即：an=f｛n）=kn+m,（k,〃，為常數(shù)）

⑶2an=an_m+an+m

an=kn+m,（k,〃z為常數(shù)）是數(shù)列｛an｝

⑷仍成等差數(shù)列。

S”,S2n-S”,S3rt-S2M

成等差數(shù)列的充要條件。

6.判斷或證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列

3.等差中項(xiàng)：

的方法：

若成等差數(shù)列，則稱的等差中項(xiàng)，且；成

①定義法：

等差數(shù)列是的充要條件。%+[-%="（常數(shù)）（〃GN*）=>｛%｝是

4.前項(xiàng)和公式等差數(shù)列

②中項(xiàng)法:

na

S"=-----2-----:S.=\+---21=4”+。〃+2（〃￡、?）=>｛&｝是等差

數(shù)列4.已知等差數(shù)列的前10項(xiàng)和為100,前

③通項(xiàng)公式法：

100項(xiàng)和為10,則前1和項(xiàng)和為一110

（k,

an=kn+b〃為常數(shù)）=>{〃-}是等差

解」

數(shù)列

成等差數(shù)列，公差為D其首項(xiàng)為

④前項(xiàng)和公式法：,前10項(xiàng)的和為

S“=A/r+（AB為常數(shù)）=>{〃〃}是1()x9

Bn.-.100x10+------xD=10,D=-22

2

等差數(shù)列乂Su。-Soo=S]o+100

Sll0=100+10+10(-22)=-110

課前熱身

y=50n-98-12〃+“5-："4

L2

2.等差數(shù)列中，

=-2/I2+40A?-98

知+%+a\O+Cl\2=⑵，=-2(W-10)2+102

貝以9一；21的值為（。）

所以當(dāng)〃=1(時(shí)，ymax-102

6.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知

A.14B.15C.16D.17

%=⑵Sl2>0,S]3<0

解-§41=-§（〃9+2d）①求出公差的范圍，

②指出中哪一個(gè)值最大，并說明理由。

H

d%=f(n)nanSn{an}AZ>2”

解:①S[2=6(q+〃[2)=6(%+。10)

=6(2%+7d)〉0

/.24+7J>0d>

7

3.等差數(shù)列中，，則前10或11項(xiàng)的13(《+囚3)13

乂*3=-=不(%+

和最大。13

二水2%+8d)<0

解：vS9=Sl2,Si2-S9=0/.24+8c/<0/.d<—3

24

?+a+a=0,「.3a=0,從而-蘭<4<-3

10]]]2}l7

二.即=0,又q>0

②

???{4}為遞減等差數(shù)列:.兀=S“為最

*/S[2=6(。6+。7)>0

大。Sl3=13%<0

/.3<0,a6>0臬最大。

課外練習(xí)(V7-l)+(H-l)p|=V7+1

/.d=—vn-1>20

一、選擇題n-1

\d\W—，又d工0

已知數(shù)列是等差數(shù)列，，其前10項(xiàng)的和,111()

，---<d<0或0<d<—

則其公差等于（D）1010

三、解答題

等差數(shù)列的前項(xiàng)和記為，己知

①求通項(xiàng)：②若=242,求

解：ar=q+(n-\)d

已知等差數(shù)列中，等于（A）

--30,〃2o=50

A.15B.30C.31D.64

解方程組"+94=30

+19"=50

解：+。9=a4+《2

6/1=12

6Z1,=15

/.an=2/7+10

d=2

二、填空題

由，二242

1.設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，二54

，人/?（/?-1）c

.?.12"+---------2=242

2.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若2

解得〃=11或〃=-22（舍去）

設(shè)F是橢圓的右焦點(diǎn)，且橢圓上至少有

甲、乙兩物體分別從相距70的兩處同時(shí)

21個(gè)不同點(diǎn)

相向運(yùn)動(dòng)，甲第一分鐘走2,以后每分

加=1,2,…）使

由耳內(nèi)耳區(qū)凡…鐘比前一分鐘多走1,乙每分鐘走5,

組成公差為的等差數(shù)列，則的取值范圍①甲、乙開始運(yùn)動(dòng)后幾分鐘相遇？②

為如果甲乙到對(duì)方起點(diǎn)后立即折返，甲繼

解：橢圓的焦點(diǎn)F到橢圓上的點(diǎn)最大、最續(xù)每分鐘比前一分鐘多走1,乙繼續(xù)每

小距離分別為，由題意得：分鐘走5,那么，開始運(yùn)動(dòng)幾分鐘后第

二次相遇？

解:①設(shè)分鐘后第一次相遇，'衣題意有:

仆一1)???數(shù)列｛〃〃｝為等差數(shù)列。

In+-------+5〃=70

2

解得〃=7,〃=-20(舍去)②q=3,nan+l=(〃+\)an-1

a=2q—1=5

故第一次相遇是在開始運(yùn)動(dòng)后7分鐘。2

a2-?1=2

②設(shè)分鐘后第二次相遇，則：

即等差數(shù)列。的公差為2

2〃+“5T)+5〃=3X70

an=fl,+(n-\)d=3+(〃-1)?2

2

=2〃+1

解得〃=15,〃=-28(舍去)

③?/—=------J------

故第二次相遇是在開始運(yùn)動(dòng)后15分鐘(2〃+1)(2〃+3)

10.已知數(shù)列中，前和=_______

212〃+12??+3；

①求證：數(shù)列是等差數(shù)列

,1/11111、

T?=—(-----1-------F…H--------------)

②求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式“235572/7+12/2+3

@發(fā)數(shù)列的前項(xiàng)和為，是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)?切正

整數(shù)都成立？若存在，求的最小值，若不存在，試232〃+3

說明理由。又當(dāng)〃wN*時(shí)，T<-

n6

解：①;

要使得對(duì)一切正整數(shù)恒成立，只要2,

S“+i=：(〃+2)(〃"+]+1)-1

所以存在實(shí)數(shù)使得對(duì)一切正整數(shù)

-%+1=S/1+1-Sn

一g[(〃+2)(%+[+1)-(/I+1)((7,,+1)]都成立，的最小值為。

整理得,叫+[=(〃+1)〃”一1

.?.(九+1)〃?2=(〃+2)。/1-1

3+1)?！?2一叫+1=(n+2)《用-(〃+\)an

2(〃+1)。?]=5+1)(?！?2+。〃)

???24+|=4+2+%

6.3等比數(shù)列

知識(shí)要點(diǎn)一項(xiàng)及它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù),

1.定義：如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)

叫做等比數(shù)列的公比，記為。6.等比數(shù)列的判定法

①定義法：為等比數(shù)列：

2.遞推關(guān)系及通項(xiàng)公式

②中項(xiàng)法：為等比數(shù)列；

遞推關(guān)系：4“+]=/“③通項(xiàng)公式法：為等比數(shù)列；④前項(xiàng)和法：為等比數(shù)

列。

通項(xiàng)公式：

推廣：

1.=2+244-27+2,O4----4-23M+,°

3.等比中項(xiàng)：若三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則

(〃EN’)，貝曠(〃)等十(D)

稱為的等比中項(xiàng)，且為是成等比數(shù)列的

A.-(8n-l)B.-(8n+,-1)

77

必要而不充分條件。C號(hào)⑻+3_1)g⑻+4_])

4.前〃項(xiàng)和公式

已知數(shù)列是等比數(shù)列，且70(問

叫(4=1)

S“=<=4-("1)題引入)

i-q\-q

猜想：是等比數(shù)列，公比為。

等比數(shù)列的基本性質(zhì)，

證明如下：;

①反之不真！

②=&WN*)1,1、1

二"十九

a.n

③為等比數(shù)列，則下標(biāo)成等差數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)成等比數(shù)

列。

④4W-1時(shí)，s“，52n-5?,S.-S”…仍成即：，，是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)歹h

等比數(shù)列。

5.等比數(shù)列及等比數(shù)列的轉(zhuǎn)化二、性質(zhì)運(yùn)用

①{%}是等差數(shù)列。厚}(c>0,CW1)例2:⑴在等比數(shù)列中，

是等比數(shù)列；①求見，

②{%}是正項(xiàng)等比數(shù)列②若7；=lgq+lga2+…+Iga”，求7；

⑵在等比數(shù)列中，若，則有等式

O{loga}(c>0,cw1)是等差數(shù)列；

cn成立，類比上述性質(zhì)，相應(yīng)的在等比數(shù)列中，若則有

等式成立。

③{%}既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列

解：⑴①由等比數(shù)列的性質(zhì)可知：

o[“}是各項(xiàng)不為零的常數(shù)列。

32(小二111n

又4+4=33,q>a6

解得q=32,a6=1

〃

所以"=—,即—,〃

6323221-----?-

所以*=32己嚴(yán)=26-"

"、2'所以s“=%中

②由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，是等差數(shù)列，因?yàn)?/p>

綜上所述,

Ig^=lg26-w=(6-/7)lg2,lg=51g2

/7(/7+1)

5=1)

(lgq+lgan)n_〃(11一〃)~r

所以收2S“=,

22a(an-\)-n(a-\)

31)

⑵由題設(shè)可知，如果在等差數(shù)列中有

成立，我們知道，如果，而對(duì)于等比數(shù)列,則

點(diǎn)撥：①若數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)

有所以可以得出結(jié)論，若

成立，在本題中

列，則求數(shù)列的前項(xiàng)和時(shí)，可采用

則有他??也=納?也7.“

錯(cuò)位相減法;

(〃<37,，iwN")

二、②當(dāng)?shù)缺葦?shù)列公比為字母時(shí)，應(yīng)對(duì)字母是否為1

進(jìn)行討論；

點(diǎn)撥：歷年高考對(duì)性質(zhì)考查較多，主要

三、③當(dāng)將及相減合并同類項(xiàng)時(shí)，注意錯(cuò)位及未合并

項(xiàng)的正負(fù)號(hào)。

是利用“等積性”，題目“小而巧”且背

四、裂項(xiàng)相消法求和

景不斷更新，要熟練掌握。

例2:數(shù)列滿足=8,()

典例精析

①求數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式;

一、錯(cuò)位相減法求和

則d=幺

例1：求和:4-1

解：⑴所以，=8+(-1)X(-2)=-10-2

〃=1時(shí)，$“=l+2+3?—>-〃=----------

2

(2)4w］時(shí),因?yàn)閍工0

2

_A__|_...+2L(T)

/a”

1,2n—\ne

-S=―7H7+…-I----------1----------

anaaaa

由①一②得:

11得色y=3,所以的=2

bn=

〃(14一?！?2〃(〃+2)外

即d=a-6/1=1

111、2

=—(--------)4774-2_S

4nn+22tl

〃+「S〃

所以

②T〃=b1+&+..?+/?“(%+〃d+%)2〃

2

〃+2)(%+q)〃

4

2

i111、

=-(1+-----------------)2]%+〃+l)

42〃+ln+2

勺+1

31m

--->一

84(〃+l)4(〃+2)32所以對(duì)二〃

②由，有

對(duì)一切〃￡N?恒成立。

所以T；=p+2/+3p3+…+〃〃"①

QQ

m<12----------匚對(duì)一切〃GN.恒成立。

〃+1n+2當(dāng)〃=1時(shí)，Tn=

88

對(duì)〃(12)min=

n+\〃+2故當(dāng)”時(shí)，

12」一16

pT=p2+2〃3

1+11+23n+…+(〃_])〃"+叩〃"②

所以若

①一②得

加的最大整數(shù)值為5。(1一〃凡=P+"2+—

五、點(diǎn)撥：①若數(shù)列的通項(xiàng)能轉(zhuǎn)化為的形

pO-pn)npn+'

式，常采用裂項(xiàng)相消法求和。所以T?=

(1-p)21-P

六、②使用裂項(xiàng)消法求和時(shí).要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí),

(P=l)

消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng),~2~

w：T?=\n+}

七、奇偶分析法求和p(l-p")np

(pwl)

(1-P)2

例3:設(shè)二次函數(shù)

課外練習(xí)

數(shù)列的前項(xiàng)和為，若等于(B)

在等差數(shù)列中，=1,前項(xiàng)和滿足

①求數(shù)列｛*｝的通項(xiàng)公式

②汜，求數(shù)列的前項(xiàng)和。

解：①設(shè)數(shù)列的公差為，由

1

A.1B.-C.-D.故原式二0,選C。

6630

解：因?yàn)?=-----=------二、填空題

/?（7?+1）nn+1

5.設(shè)等比數(shù)列的公比及前項(xiàng)和分別為

所以窿…

12235O

5和，且W1,

6

4（T）只

方法一、，

4.的定義域?yàn)?，且是?為周1-2

s?。_4（1一/0）二g

期的周期函數(shù)，數(shù)列是首項(xiàng)為,1+,°（1+<7,0）（1-47）

方/去—?、S2（）=S]0+。12+—，+。20

公差為1的等差數(shù)列，那么的值=$0+心|0="（1+"。）

所以尋='。=8

為(C)

A.-1B.1C.0D.106.數(shù)列滿足

解：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，且是?為周,則數(shù)列的前項(xiàng)和為

期的周期函數(shù)，解：a=——（1+2+---+77）=—

nn+12

,_2_8

所以/(0)=0,且f(x+2)=/(x)

”一年用一〃5+1）=8（丁再）

又?jǐn)?shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列

所以aH=6/+z?-1,又awN'

f/⑷(〃為奇數(shù))7.數(shù)列的前100項(xiàng)的和為。()

+(〃為偶數(shù))

所以/(%)+/(。2)+…+/(%0)

=5/(〃)+5/(。+1)

=5[/(0)4-/(1)]=5/(1)

又/(-1)/(-1+2)=/(1)

所以—/⑴=/(1)即/(I)=0

典例精析

一、函數(shù)及數(shù)列的綜合問題

例1：己矢"(X)=log"工(〃>()且。工1),

設(shè)/(%),/(生)，…，/(〃〃)(〃€N")

是首項(xiàng)為4,公差為2的等差數(shù)列。

①設(shè)是常數(shù)，求證：成等差數(shù)列；

②若，的前項(xiàng)和是，當(dāng)時(shí)，求

解:①，

即log0%=2〃+2,所以4=/"+2

〃2"+2

所以a&=.=。2(〃22)為定值

所以｛%｝為等比數(shù)列。

②a=%/(%)

1.

點(diǎn)撥：本例是數(shù)列及函數(shù)綜合的基本題型之一，特征是以函數(shù)為載體構(gòu)建數(shù)列的遞推關(guān)系,

通過由函數(shù)的解析式獲知數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而問題得到求解。

已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，的等比中項(xiàng)，

①求證：數(shù)列是等差數(shù)列；

②若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求

③在②的條件下，是否存在常數(shù)，使得數(shù)列為等比數(shù)列？若存在，試求出：若不存在，說明理由。

解：①的等比中項(xiàng)，

所以S"=；(""+1尸

當(dāng)，7=1時(shí)，q=(⑷+1—，「.％=1

當(dāng)〃22時(shí)，S.T=；(4I+1)2

所以4=S〃—SI

二((%?“7+2%.2%)

即㈤+%」)&-%廣2)=。

因?yàn)閍“>0,所以4_%-2=0

即：&-%=2

所以數(shù)列｛4｝是等差數(shù)歹U。

②7；=3-^^

“2"

*=(32〃+3

+%)x

2"2H+3

3+4__1_

-2H+3-F

2.所以當(dāng)且僅當(dāng)3+=0,即二一3時(shí)，數(shù)列為等比數(shù)列。

己知在正項(xiàng)數(shù)列中，=2,且

在雙曲線上，

數(shù)列中，

點(diǎn)(,)在直線上，其中是數(shù)列的前項(xiàng)和，①求數(shù)列的通項(xiàng)公式；②求證：數(shù)列是等比數(shù)

歹h③若。

解：①由已知帶點(diǎn)在上知，

-=1,所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列。

所以a”=q+("—l)d=〃+I

②因?yàn)辄c(diǎn)(,)在直線上，

所以北=-3+1

所以加=-；%+1

兩式相減得：

所以a=§*

17

令〃=1得4———/?!+1,所以優(yōu)二—

所以也｝是一個(gè)以g為首項(xiàng)，

以！為公比的等比數(shù)列。

所以a=±7.（2I”T=7_￡

“333”

2

③G=凡也=（〃+1）三

22

所以C〃—C“=5+2）?尹—5+1）誕

2

二尸（_21）＜0

所以或＜Q

一、選擇題

1.（2009廣東卷理）已知等比數(shù)列滿足，口，則當(dāng)時(shí)，

A.B...C....D.

【解析】由得，，則，，選C.....

答案C

2.（2009遼寧卷理）設(shè)等比數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和為，若=3,則=

A....B....C......D.3

S6=（1+-）S

【解析】設(shè)公比為q,則S3S3=i+q3=3q3=2

Sg1+d+1+2+47

于是.=i+寸=F"=3

【答案】B

14.（20。9湖北卷理）已知數(shù)列滿足：（m為正整數(shù)），若，則m所有可能的取值為

答案4532

解析11）若為偶數(shù)，則為偶，故

①當(dāng)仍為偶數(shù)時(shí)，故

②當(dāng)為奇數(shù)時(shí),

故4得m=4。

（2）若為奇數(shù)，則為偶數(shù)，故必為偶數(shù)

,所以=1可得m=5

16.（2。09陜西卷文）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則...........

解析：由4=$3=12可得｛叫的公差d二2,首項(xiàng)/二2,故易得%=2n.

答案：2n

17.（2009陜西卷理）設(shè)等差數(shù)列也｝的前n項(xiàng)和為S〃，若^=53=12，則

q

n-xc/J

q+5d=12S..S〃〃+l

=nS“=〃(〃+l)=>V==>lim-f=lim----=1t

解析:k:;q+d=12nx?n—>oc〃

答案：1

22.（2009全國(guó)卷I理）在數(shù)列中，

（I）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式

（II）求數(shù)列以｝的前.〃項(xiàng)和S”

分析：（I）由已知有

b=2」

利用累差迭加即可求出數(shù)列也』的通項(xiàng)公式：”2〃一（nwN*）

a=2n——J

（II）由（I）知2”、

川H

SS（2"-布b）=Eff（2%）-f而L

/.°fi=k=\乙1=1氏=1N

而，又是一個(gè)典型的錯(cuò)位相減法模型,

寸k=4-〃+2〃+2

易得白尸一一尸二.3二〃(〃+1)+可工一

23.(2009北京理)已知數(shù)集人={%%，-。}(144<。2<?—之2)具有性質(zhì)「；對(duì)任意的

,及兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于.

(I)分別判斷數(shù)集及是否具有性質(zhì)，并說明理由；

(II)證明：，且；

(III)證明：當(dāng)時(shí)，成等比數(shù)列.

【解析】本題主要考查集合、等比數(shù)列的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力、推理論證能力、分

分類討論等數(shù)學(xué)思想方法.本題是數(shù)列及不等式的綜合題，屬于較難層次題.

(I)由于及均不屬于數(shù)集，，該數(shù)集不具有性質(zhì)P.

由于都屬于數(shù)集，

.??該數(shù)集具有性質(zhì)P.

(II)???具有性質(zhì)P,J及中至少有一個(gè)屬于A,

由于，??，故?..

從而，???

V,???，故.

—￡A(A=1,2,3,???,/?)

由A具有性質(zhì)P可知&

(III)由(II)知,當(dāng)時(shí)，有,即,

AA

由A具有性質(zhì)P可知生.

,得,且，???，

???，即是首項(xiàng)為1,公比為成等比數(shù)列.

25(2009江蘇卷)對(duì)于正整數(shù)22,用表示關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根的有序數(shù)組的組數(shù)，其

中(和可以相等)；對(duì)于隨機(jī)選取的(和可以相等)，記為關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根的概率。

(1)求分和與；

(2)求證：對(duì)任意正整數(shù)22,有.

【解析】［必做題］本小題主要考查概率的基本知識(shí)和記數(shù)原理，考查探究能力。滿分10分。

(I)解:因?yàn)榉匠蘕?+201+6=0有實(shí)數(shù)根,所以△=41-4620.即bWa'.

(i)當(dāng)n&aSn：時(shí).有1n：Wa,.又be{1.2.…,n”.故總有6《a,.此時(shí),a

有/?〃?1件取法J種取法,所以共有(解?n?1)八組有序數(shù)組

(a.6)滿足條件；

(ii)當(dāng)1WaSn-I時(shí),滿足I4bWJ的分有/個(gè),故共有

2

I+"+3,-1)，=---112。-1)組有序數(shù)組(＜:6)滿足

O

條件.

J

sr;nT.I\_Jn(nT)(2n-1)_n(6n-4n”+3"+I)

由(i)(ii)可伸％=(n-n+I)n+--------g?

=口6n'-4n2?3n?I

從血/o/==------z--------?

(2)證明:我們只需證明:對(duì)于隨機(jī)選取的%6Gli,2.…,川?方程/+2ox+6=。無

實(shí)數(shù)根的概率1?P.,若方程/?2=+6=0無實(shí)數(shù)根，則

△=4a'-46＜。.即a’＜6.由6^/1知。(方.因此,滿足，＜6的有序數(shù)

組(a.b)的組數(shù)小于n石，從而,方程/+2ax+6=。無實(shí)數(shù)根的假率

I-A＜崢=所以匕＞1-2?

nJRJn

29.(2009江西卷理)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列，，且對(duì)滿足的正整數(shù)都有

(1)當(dāng)時(shí)，求通項(xiàng)

(2)記明：對(duì)任意，存在及有關(guān)的常數(shù)，使得對(duì)于每個(gè)正整數(shù)，都有

解：⑴由得

q+/=9+4-_4

(l+q)(l+a“)(1+生)(1+%).將"一5'%一?代入化簡(jiǎn)得

2a.+1

a?二ir-

J%J>4",

所以1+為31+%'

故數(shù)列為等比數(shù)列，從而

=1_3”7

1+%一3〃’即見=正/

可驗(yàn)證，滿足題設(shè)條件.

4+4b=4+%二〃+“〃

(2)由題設(shè)(1+《〃)("%)的值僅及/〃+〃有關(guān),記為心〃，則(1+4)(1+%)(1+。)(1+4)

f(x)=————(x>0)

考察函數(shù)(1+。)(1+1),則在定義域上有

-----,a>1

l+a

/(幻之聲(〃)=，J,a=\

故對(duì).恒成立.....

b-2%

Ng(。)

又2"("a"

0<g(a)<—

注意到2,解上式得

______￡(￡)______=]_g(a)_Jl_2g(a)勺v—(〃)+Jl-2g(a)

l—g(a)+Jl-2g(a)g(a)一""-g(a)

取，即.......

30.(2009湖北卷理)已知數(shù)列的前n項(xiàng)和(n為正整數(shù))。

(I)令，求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

(II)4,試比較及的大小，并予以證明。

解(I)在中，令n=l,可得，即

當(dāng)時(shí)，，

2a=ci,+dyi,即2Z“=2"T見?+1

n/z-l'o''nn-l

又自=2q=1,.?.數(shù)列也｝是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列.

么=1+(〃-1)?1=〃=2"a,/.a=—

于是，'*2〃.

(H)由(I)得，所以

23M

7；l=2xl+3x(I)+4x(I)+K4-(/2+1)(1)

g7；=2x(g)2+3x(；)3+4x(J,+K+(〃+1)(；)z

rHG6陽"T+(；)2+4)3+K+4)n_5+Dn+l

由①-②得2222

；［1-(；尸］

5+1)《嚴(yán)3n+3

乙~2~2rt"

1--

2

__〃+3

T“=3----2--〃-

5/t_3n+35n_(〃+3)(2"-2〃-1)

2H+1--"T--2n+\~2"(2〃+l)

T與5”

于是確定"2〃+l的大小關(guān)系等價(jià)于比較2"與2〃+l的大小

^2<2xl+l;22<2x2+l;23<2x3+l;24<2x4+l;25<2x5;K

可猜想當(dāng)證明如下：

證法1：(1)當(dāng)n=3時(shí)，由上驗(yàn)算顯示成立。

(2)假設(shè)〃=4+1時(shí)戶=2鼻>2(2%+1)=44+2=2/+1)+1+(21)>2(&+1)+1

所以當(dāng)〃=4+1時(shí)猜想也成立

綜合(1)(2)可知，對(duì)一切的正整數(shù)，都有

證法2:當(dāng)時(shí)

2"=(1+1)“=C：+C：+c；+K+Cf:+C：>C；；+C：+C；；-1+C；=2〃+2>2〃+1

綜上所述，當(dāng)，當(dāng)時(shí)

31.(2009四川卷文)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意的正整數(shù)，都有成立，記。

(I)求數(shù)列｛"J及數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式；

(II)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，是否存在正整數(shù)，使得成立？若存在，找出一個(gè)正整數(shù)；若不存

在，請(qǐng)說明理由；

(TTT)記，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：對(duì)任意正整數(shù)都有；

解