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換元積分法一、第一類換元積分法(湊微分法)例1求驗證分析證明:由復合函數的求導法則驗證得:注解①在一般情況下：設則②使用此公式的關鍵在于將化為解:解:解:

有上面的例題可以看出,用第一類還原積分法計算積分時,關鍵是把被積表達式湊成兩部分,使其中一部分為

另一部分為

因此,通常有把第一類還原積分成為湊微分法.

熟練計算以后,可以不寫出換元這一步,直接計算.解:解:解:解:(利用例題6結果)解:解:小結：第一類換元積分法（湊微分法）的基本步驟：１．對于不定積分，把被積表達式設法湊成常用的湊微分公式見下頁附表２.令則３.把代回，得序號積分類型變量代換１２３４５６序號積分類型變量代換７８９１０１１１２１３例12

求解：例13

求解：注解求例14解法1：同一個積分可以有幾個不同的解法,其結果在形式上不同,但實質上它們只相差一個常數.①②檢驗結果是否正確,只要對所得的結果求導即可.解法2：解法2：第二類換元積分法定理2

設

是單調的、可導的函數,并且

,又設

有原函數,

,則有換

元公式

使用第二換元法關鍵是恰當的選擇變換函數對于要求其單調可導，且其反函數下面通過一些例子來說明．存在．解:求這個定積分的困難在于積分式中含有根式,為了去掉根式.

令,即解:解:解:利用例題7的結果得通過上面的例子看到,當被積函數含有根式

時,可將被積表達式作如下的變換解:小結

第一類換元積分法與第二類換元積分法本質上都是變量代換法，當待求的不定積分不能由運算性質和基本積分公式求出時，通過變量代換轉化為可利用運算性質和基本積分公式求不定積分的形式，兩個換元法是同一過程的兩個不同方面，因此，待運算熟練后也可不必嚴格區(qū)分，只需把握待定情形用相應的變量代換即可：第一類換元積分法第二類換元積分法鞏固練習作業(yè)P-103

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