第一章小結(jié)一導(dǎo)學(xué)全書的導(dǎo)學(xué)部分與思考題參考了：華中科技大學(xué)數(shù)學(xué)系.復(fù)變函數(shù)與積分變換（第二版）。高等教育出版社，2003年。全書的導(dǎo)學(xué)部分與思考題參考了：華中科技大學(xué)數(shù)學(xué)系.復(fù)變函數(shù)與積分變換（第二版）。高等教育出版社，2003年。本章學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)概念、復(fù)數(shù)運(yùn)算及其表示；復(fù)變函數(shù)概念及其極限、連續(xù)等內(nèi)容。由于全體復(fù)數(shù)可與復(fù)平面上點(diǎn)之間建立一一對應(yīng)，故一個復(fù)數(shù)集可視為一個平面點(diǎn)集；由于復(fù)數(shù)（復(fù)函數(shù)）的實(shí)部與虛部都是實(shí)數(shù)（實(shí)函數(shù)），所以，我們在學(xué)習(xí)時一定要注意將復(fù)數(shù)（復(fù)函數(shù)）與實(shí)數(shù)（實(shí)函數(shù)）進(jìn)行比較，并注意其幾何意義，以及復(fù)、實(shí)函數(shù)的異同。特別是，復(fù)函數(shù)的極限、連續(xù)性的判定都可以轉(zhuǎn)化為其實(shí)部函數(shù)與虛部函數(shù)的極限與連續(xù)性來判定。學(xué)習(xí)本章的基本要求如下:（1）熟練掌握用復(fù)數(shù)的三角表示式與指數(shù)表示式進(jìn)行運(yùn)算的技能；掌握根據(jù)由給定非零復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上的位置確定輻角主值的方法；掌握用復(fù)數(shù)形式的方程(或不等式)表示平面圖形來解決有關(guān)幾何問題的方法。（2）注意理解復(fù)變函數(shù)及與之有關(guān)的概念；正確理解區(qū)域、單連通區(qū)域、多連通區(qū)域、簡單曲線等概念。（3）能夠利用復(fù)函數(shù)的實(shí)部與虛部函數(shù)來判定復(fù)函數(shù)的極限與連續(xù)性。二內(nèi)容提要設(shè)為兩實(shí)數(shù)，則表示一個復(fù)數(shù)，而i稱為的共軛復(fù)數(shù)，記作。這里，i。設(shè)、是任意兩個復(fù)數(shù)，有（1）；（2）；（3），；（4）如果復(fù)數(shù)，則；[1]（5）；（6），，（7）稱為復(fù)數(shù)的三角表示式；而稱為復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式。；；令，則；令，則；（8）基本定理=1\*GB3①若復(fù)變函數(shù)在點(diǎn)有極限，則其和、差、積、商(在商的情形，要求分母的極限不等于零)在點(diǎn)仍然有極限，并且其極限值等于在點(diǎn)的極限值的和、差、積、商。設(shè)在上有定義，其中，，則的充要條件是，=2\*GB3②如果復(fù)變函數(shù)，在點(diǎn)連續(xù)，則其和、差、積、商(在商的情形，要求分母在不為零)在點(diǎn)連續(xù)；如果復(fù)變函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，復(fù)變函數(shù)在連續(xù)，則復(fù)變函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)。=3\*GB3③函數(shù)在處連續(xù)的充要條件是:和在處連續(xù)。三疑難解析1注意復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)的不同點(diǎn)：(1)任一異于零的復(fù)數(shù)總可以開方，所得結(jié)果是多值的。一個復(fù)數(shù)開次方就有個根。(2)實(shí)數(shù)能比較大小，但復(fù)數(shù)不能比較大小。(3)復(fù)數(shù)模的概念與實(shí)數(shù)中絕對值的概念在幾何上都是描述點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離，兩者可統(tǒng)稱為絕對值，但由于復(fù)數(shù)有輻角的概念，故作為復(fù)數(shù)域中的實(shí)數(shù)也都有一個輻角(0或π)，這顯然與實(shí)數(shù)域中的實(shí)數(shù)是不同的。例如，3作為實(shí)數(shù)域中的數(shù)與作為復(fù)數(shù)域中的數(shù)是不一樣的。因為3在復(fù)數(shù)域中除了模為3以外，還有一個輻角是0，但3在實(shí)數(shù)域中沒有輻角的意義。2對于區(qū)域的概念，一定要注意它是一個開的連通集。例如，由兩個圓的內(nèi)部所構(gòu)成的點(diǎn)集是開集但不是區(qū)域，因為它不連通。四.雜例例1.1下面的解題過程錯在何處？解：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，上述方法是正確的。而在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，應(yīng)當(dāng)是例1.2將復(fù)數(shù)化為三角形式與指數(shù)形式。解，所以（三角形式）=（指數(shù)形式）例1.3設(shè)。解。注：。例1.4證明：若z在圓周上，則。證，所以，。例1.5證明；雙曲線可以寫成。證所以，雙曲線方程可以寫為。例1.6指出下列各情形相應(yīng)的區(qū)域。（1）；（2）解（1）復(fù)平面上除去原點(diǎn)及負(fù)半實(shí)軸的區(qū)域；（2）即，為復(fù)平面上第1，3象限分角線與第2，4象限分角線所夾的部分區(qū)域。思考題1.一個復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部是否唯一確定？又其模和輻角是否唯一確定？復(fù)數(shù)0的輻角是否確定？為什么？2.如何運(yùn)用復(fù)數(shù)的代數(shù)表示式進(jìn)行四則運(yùn)算？要注意些什么？如何運(yùn)用復(fù)數(shù)的三角表示式與指數(shù)表示式進(jìn)行乘法、除法、乘方與開方運(yùn)算，要注意些什么？3.下面的表示式或說法是否成立:（1）因為，所以，；（2）復(fù)數(shù)之間不能比較大小；（3）一個復(fù)數(shù)的輻角為；（4）是一個有限復(fù)數(shù)。第二章小結(jié)一.導(dǎo)學(xué)解析函數(shù)是復(fù)變函數(shù)的主要研究對象。一個復(fù)變量函數(shù)的極限、連續(xù)性和導(dǎo)數(shù)的定義與高等數(shù)學(xué)中相應(yīng)的定義表面上看是一樣的，但是由于z是二維的，所以實(shí)際上定義中的條件得到了加強(qiáng)。特別當(dāng)Δz→0時，極限的存在蘊(yùn)涵著函數(shù)之間一個很重要的關(guān)系，即柯西一黎曼方程。若函數(shù)在一個區(qū)域D內(nèi)可微，則稱它在區(qū)域D內(nèi)解析。一個解析函數(shù)的實(shí)部與虛部都是調(diào)和函數(shù)，即它們滿足拉普拉斯方程，并且它們的二階偏導(dǎo)數(shù)都是連續(xù)的。在一個區(qū)域D內(nèi)給定一個調(diào)和函數(shù),可以構(gòu)造另一個調(diào)和函數(shù),使得在這區(qū)域D內(nèi)解析；這樣的函數(shù)稱為的共軛調(diào)和函數(shù)。學(xué)習(xí)本章的基本要求如下（1）正確理解復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與解析函數(shù)等基本概念、熟練掌握判斷復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)與解析的方法，掌握解析函數(shù)的和、差、積、商、復(fù)合函數(shù)以及反函數(shù)的求導(dǎo)公式；（2）了解調(diào)和（共軛調(diào)和）函數(shù)的性質(zhì)，掌握利用共軛調(diào)和函數(shù)構(gòu)造解析函數(shù)的方法；（3）熟悉復(fù)變量初等函數(shù)的定義和主要性質(zhì)，特別要注意那些實(shí)初等函數(shù)所不具有的性質(zhì)，掌握復(fù)初等函數(shù)的運(yùn)算。二.內(nèi)容提要1．基本概念（1）（可導(dǎo)性）設(shè)為定義在區(qū)域D內(nèi)的復(fù)變函數(shù)，如果極限存在有限的極限值，就說在點(diǎn)處可導(dǎo)，并稱此極限為在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)。（2）（解析性）如果函數(shù)f（z）在點(diǎn)及的某個領(lǐng)域內(nèi)處處可導(dǎo).那么稱f（z）在點(diǎn)解析。如果f（z）在區(qū)域D每一點(diǎn)解析，那么稱f（z）在D內(nèi)解析，或稱f（z）是D內(nèi)的一個解析函數(shù)。如果函數(shù)f（z）在點(diǎn)處不解析，則叫做f（z）的奇點(diǎn)。（3）（調(diào)和函數(shù)）凡具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)而且滿足拉普拉斯方程的二元實(shí)函數(shù)，稱為調(diào)和函數(shù)；在區(qū)域D內(nèi)滿足C-R方程的兩個調(diào)和函數(shù)，中，稱為的共軛調(diào)和函數(shù)。2．基本定理（1）（可導(dǎo)性與解析性判定）設(shè)f（z）=+是區(qū)域D內(nèi)的復(fù)變函數(shù)，則在D內(nèi)一點(diǎn)z=x+iy上f(z)可導(dǎo)的充分必要條件是：和在此點(diǎn)z=x+iy可微，而且滿足C-R方程：；且有。此時，函數(shù)f（z）在其定義的區(qū)域D內(nèi)解析的充要條件是：和在D內(nèi)任一點(diǎn)可微，而且滿足C-R方程。（2）（解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系）設(shè)函數(shù)f（z）=+i在區(qū)域D內(nèi)解析，則f（z）的實(shí)部和虛部都是區(qū)域D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)；且f（z）在區(qū)域D內(nèi)解析的充要條件是：在D內(nèi)，f（z）的虛部是實(shí)部的共軛調(diào)和函數(shù)。（3）（初等函數(shù)的解析性）=1\*GB3①指數(shù)函數(shù)是復(fù)平面內(nèi)的解析函數(shù)，且；=2\*GB3②對數(shù)函數(shù)Lnz的各個分支在復(fù)平面上除去z=0和負(fù)半實(shí)軸的單連通區(qū)域內(nèi)解析，且有相同的導(dǎo)數(shù)值；=3\*GB3③冪函數(shù)的各個分支在除去原點(diǎn)與負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面內(nèi)解析；=4\*GB3④sinz、cosz在復(fù)平面內(nèi)處處解析。3.一些常用公式（1），；（2），；（3）sinz=，cosz=；（4）shz=chz=。三.疑難解析1.利用定理2.2.2判斷一個復(fù)變量函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)或解析時一定要注意定理中的兩個條件缺一不可,僅有可微或僅有柯西-黎曼方程成立都不能推出函數(shù)解析的結(jié)論。例如，函數(shù)，其實(shí)部與虛部均可微，但它在整個復(fù)平面上不滿足柯西-黎曼方程，所以它在整個復(fù)平面上處處不可導(dǎo)，處處不解析。又如，函數(shù)，在原點(diǎn)滿足柯西-黎曼方程，事實(shí)上，由二元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義，有，，，但是，故在原點(diǎn)不可導(dǎo)，不解析。2.復(fù)變量函數(shù)在一個點(diǎn)解析，不僅要求函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)，而且要求函數(shù)在該點(diǎn)的某一個鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)。有時，一個復(fù)變量函數(shù)即使在一條曲線（直線）上可導(dǎo)，也不能判定該函數(shù)是否解析。例如，函數(shù)，其四個偏導(dǎo)數(shù)在復(fù)平面上處處存在且連續(xù)，但僅當(dāng)時柯西-黎曼方程成立。故在直線上可導(dǎo)，但由于它在復(fù)平面上其它點(diǎn)處不可導(dǎo)，所以它在復(fù)平面上處處不解析（即使在直線上也是處處不解析）。3.復(fù)指數(shù)函數(shù)何時為實(shí)數(shù)？答由于，所以要為實(shí)數(shù)，只要其虛部，也即只要。也就是當(dāng)點(diǎn)在實(shí)軸上或在實(shí)軸上下每相距為的直線上時，為實(shí)數(shù)。4.復(fù)指數(shù)函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)。這一性質(zhì)是實(shí)指數(shù)函數(shù)所沒有的。5.復(fù)三角函數(shù)的?？赡艽笥?，甚至是無界的。6.能否用函數(shù)作為實(shí)部做一個解析函數(shù)？解不能。因為。故當(dāng)時，不是一個調(diào)和函數(shù)。雖然其在直線上滿足拉普拉斯方程，但直線不是區(qū)域。因此，在復(fù)平面的任何區(qū)域內(nèi)，函數(shù)都不能成為一個解析函數(shù)的實(shí)部。7.在復(fù)數(shù)運(yùn)算中，一定要注意一些在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的運(yùn)算公式不一定成立。例如，等。事實(shí)上，對任何非零復(fù)數(shù)因為：當(dāng)時，的輻角都在之間，從而；當(dāng)時，，從而，；四.雜例例2.1判斷下列命題的真假，并說明理由。（1）若存在，則函數(shù)在點(diǎn)解析；（2）若是函數(shù)的奇點(diǎn)，則在點(diǎn)不可導(dǎo)；（3）若和的偏導(dǎo)數(shù)存在，則函數(shù)f（z）=+i可導(dǎo)。解都是假命題。（1）例如函數(shù)在處可導(dǎo)，但不解析。（2）為函數(shù)的奇點(diǎn)，但它在該點(diǎn)可導(dǎo)。（3）例如，，的偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，但在整個復(fù)平面上除去原點(diǎn)外不可導(dǎo)。例2.2證明：。證，所以，。例2.3（1）討論函數(shù)的解析性；（2）設(shè)為解析函數(shù)，確定的值。解（1），所以，這四個偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)（即可微）C—R方程在時成立。即在處可導(dǎo)，在全平面上不解析。（2），因為為解析函數(shù)，所以，，解得。例2.4計算（1）；（2）。解（1）=；（2）。例2.5證明洛比達(dá)法則：若函數(shù)與在點(diǎn)解析，且，，則。證，結(jié)論成立。例2.6證明極坐標(biāo)形式的柯西——黎曼方程為證設(shè)，則，利用C—R公式，比較這4個式子，可得上面的極坐標(biāo)形式的柯西——黎曼方程。例2.7證明，若是在D內(nèi)的共軛調(diào)和函數(shù)，則在D內(nèi)的共軛調(diào)和函數(shù)是。證因是在D內(nèi)的共軛調(diào)和函數(shù)，則，所以，即是在D內(nèi)的共軛調(diào)和函數(shù)。思考題1.復(fù)變函數(shù)在點(diǎn)處“可導(dǎo)”與“解析”有什么不同?在一個區(qū)域呢？2.能否說“實(shí)部與虛部滿足柯西一黎曼方程的復(fù)變函數(shù)是解析函數(shù)”?3.若函數(shù)是的共軛調(diào)和函數(shù),那么是不是的共軛調(diào)和函數(shù)?4.復(fù)初等函數(shù)與實(shí)初等函數(shù)的性質(zhì)有那些不同？第3章小結(jié)一.導(dǎo)學(xué)本章研究了解析函數(shù)的積分理論，介紹了復(fù)變函數(shù)積分的概念與積分的基本性質(zhì)；給出了柯西積分定理與柯西積分公式，使得閉區(qū)域上一點(diǎn)的函數(shù)值與其邊界上的積分相聯(lián)系，從而揭示了解析函數(shù)的一些內(nèi)在聯(lián)系；又從柯西積分公式得出一系列推論，如平均值公式、最大模原理等。學(xué)習(xí)本章的基本要求如下：（1）明確復(fù)變函數(shù)積分的意義，掌握復(fù)變函數(shù)積分的基本性質(zhì)與由曲線的參數(shù)方程積分的方法。（2）掌握柯西積分定理與柯西積分公式，以及應(yīng)用多種方法進(jìn)行復(fù)變函數(shù)積分的方法，如牛頓-萊布尼茨公式、復(fù)合閉路原理、高階柯西積分公式等，明了解析函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)也是解析函數(shù)。（3）了解最大模原理與代數(shù)基本定理等。二.內(nèi)容提要基本定理（1）設(shè)是C上的連續(xù)函數(shù)，則復(fù)積分存在，且。若設(shè)曲線的參數(shù)方程為，則（2）（柯西積分定理）如果函數(shù)在單連通區(qū)域內(nèi)解析，則在內(nèi)沿任一條簡單閉曲線的積分。（3）(復(fù)合閉路定理)設(shè)函數(shù)f(z)在以表示的復(fù)合閉路上及以其為邊界的區(qū)域G內(nèi)解析，則。（4）若函數(shù)f（z）在單連通區(qū)域D內(nèi)解析，則F(z)=也在D內(nèi)解析，并且（5）（柯西積分公式）設(shè)函數(shù)在簡單閉曲線C上及其內(nèi)部內(nèi)是解析的，而是D內(nèi)的任意一點(diǎn)，則。（6）（高階導(dǎo)數(shù)公式）如果函數(shù)在簡單閉曲線C上及其所圍成的單連通區(qū)域D內(nèi)是解析的，則在D內(nèi)任意一點(diǎn)，函數(shù)有任意階導(dǎo)數(shù)，并且在D內(nèi)下列公式成立（7）（最大模原理）若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析且不為常數(shù)，則在內(nèi)取不到最大值。（8）（柯西不等式）設(shè)函數(shù)在圓內(nèi)解析，且，則（9）（Liouville定理）如果整函數(shù)在整個平面上是有界的，即滿足不等式，則必定是一個常數(shù)。（10）（代數(shù)學(xué)基本定理）任意一個復(fù)系數(shù)多項式必有零點(diǎn)，亦即，方程必有根。三.疑難解析1對于復(fù)積分來說，其結(jié)果一般與積分路徑有關(guān)；而對于解析函數(shù)來說，其結(jié)果與積分路徑無關(guān)。如下面雜例中的例3.1與例3.2。2等式成立嗎？答不成立。例如，取，則，而。3證明，并說明這兩個積分的幾何意義。證.幾何意義是曲線弧的內(nèi)接折線長小于（不超過）相應(yīng)的弧之長。4.對什么樣的封閉曲線有解的兩個根為，僅當(dāng)曲線有以下兩種情形時積分才為0。（1）全在的外部，這時由柯西積分定理知其積分為0；（2）全在的內(nèi)部，則有注請讀者自己驗證另兩種積分不為0的情形。5.下面解題過程是否正確？如果不正確，指出錯誤原因并改正。答錯誤。原因為在應(yīng)用柯西積分公式時沒有考慮公式的條件是否滿足?？挛鞣e分公式要求其中的函數(shù)在的內(nèi)部處處解析?，F(xiàn)在函數(shù)為在圓周的內(nèi)部的處不解析，所以不能應(yīng)用柯西積分公式來解。正確的解法是四.雜例例3.1計算積分，其中積分路徑為：（1）自原點(diǎn)到1+i的直線段；（2）圓周。解（1）直線段的參數(shù)方程為：，即，，，所以；（2）的參數(shù)方程為：，所以。例3.2計算下列積分，積分路徑為任意曲線。（1）；（2）。解（1）由于被積函數(shù)是一個指數(shù)函數(shù)，在全平面解析，故積分與路徑無關(guān)，所以；（2）由于被積函數(shù)是一個多項式函數(shù)，在全平面解析，故積分與路徑無關(guān)，所以。例3.3下面積分是否正確？為什么？。解不正確。正確積分過程為。例3.4計算積分解積分區(qū)域內(nèi)只有一個不解析點(diǎn)1，應(yīng)用高階導(dǎo)數(shù)的柯西積分公式=。例3.5設(shè)n是自然數(shù)，證明；。分析觀察兩個積分的特征，可以想到應(yīng)該應(yīng)用歐拉公式：。解=令，則當(dāng)由0變到時，的軌跡是逆時針的圓周，且，故比較等式兩端的實(shí)部與虛部，即得證明。思考題1復(fù)函數(shù)的積分與實(shí)函數(shù)的曲線積分有什么不同？2柯西積分定理與柯西積分公式有什么異同與聯(lián)系？3復(fù)積分與路徑有關(guān)嗎？4設(shè)在單連通區(qū)域內(nèi)解析，為內(nèi)任一條簡單閉曲線，則等式是否成立，為什么？第4章小結(jié)一.導(dǎo)學(xué)本章討論了復(fù)變函數(shù)的冪級數(shù)與洛朗級數(shù)。冪級數(shù)與解析函數(shù)具有密切聯(lián)系。一方面冪級數(shù)在一定的區(qū)域內(nèi)收斂于一個解析函數(shù)，另一方面一函數(shù)在其解析點(diǎn)的鄰域內(nèi)能展開成冪級數(shù)，所以冪級數(shù)是研究解析函數(shù)性質(zhì)時所必不可少的有力工具。進(jìn)一步地，在實(shí)際計算中，把函數(shù)展開成冪級數(shù)，應(yīng)用起來也比較方便。所以，冪級數(shù)在復(fù)變函數(shù)論中有著特別重要的意義。洛朗級數(shù)是冪級數(shù)的進(jìn)一步發(fā)展，它由一個通常(非負(fù)次的)冪級數(shù)與一個只含負(fù)次冪的級數(shù)組合而成。洛朗級數(shù)的和函數(shù)是一個圓環(huán)域內(nèi)的解析函數(shù)。圓環(huán)的一種蛻化情形是一點(diǎn)的去心鄰域，而當(dāng)函數(shù)在一點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)為解析，但并不在該點(diǎn)解析時，這一點(diǎn)就是函數(shù)的孤立奇點(diǎn)。所以，洛朗級數(shù)是研究解析函數(shù)孤立奇點(diǎn)的有力工具。學(xué)習(xí)本章的基本要求如下：（1）熟悉復(fù)數(shù)項級數(shù)性質(zhì)，理解級數(shù)收斂、發(fā)散、絕對收斂等概念以及無窮級數(shù)收斂的各種條件。（2）掌握冪級數(shù)收斂半徑與收斂區(qū)域的求法與基本性質(zhì)，記住一些基本初等函數(shù)冪級數(shù)的展開式，掌握將比較簡單的解析函數(shù)展開為冪級數(shù)的基本方法。（3）掌握比較簡單函數(shù)環(huán)繞它的孤立奇點(diǎn)展開為洛朗級數(shù)的基本方法。二.內(nèi)容提要1．基本定理（1）復(fù)數(shù)項級數(shù)（=+i，）收斂的充分必要條件是實(shí)數(shù)項級數(shù)、同時收斂；復(fù)數(shù)項級數(shù)收斂的必要條件是=0；每個絕對收斂的復(fù)數(shù)項級數(shù)一定是收斂的。（2）若冪級數(shù)在點(diǎn)收斂，則它在以原點(diǎn)為中心，為半徑的圓周內(nèi)收斂且絕對收斂；若級數(shù)在點(diǎn)處發(fā)散，則它在滿足的點(diǎn)z處發(fā)散。（3）（冪級數(shù)收斂半徑）對于冪級數(shù)，若極限（或極限），包括為0或的情形，則它的收斂半徑。（4）設(shè)級數(shù)的收斂半徑為，則=1\*GB3①它的和函數(shù)在內(nèi)解析；=2\*GB3②在收斂圓內(nèi)，冪級數(shù)=可以逐項求任意階導(dǎo)數(shù)，且=3\*GB3③設(shè)為收斂圓盤內(nèi)任一條分段光滑曲線，則級數(shù)在上可積，且=（5）（泰勒展開定理）設(shè)函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)解析，是D內(nèi)的一點(diǎn)，R為到D的邊界的距離，則當(dāng)時，有其中，，為以為心且落在內(nèi)的任一圓周。（6）函數(shù)在點(diǎn)解析當(dāng)且僅當(dāng)在點(diǎn)附近可用冪級數(shù)表示。（7）若洛朗級數(shù)有收斂域，則該域必為圓環(huán)域：且在內(nèi)絕對收斂，和函數(shù)在內(nèi)解析，而且可以逐項積分，逐項求導(dǎo)。（8）（洛朗展開定理）若函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)解析，則=，其中，這里為圓環(huán)域內(nèi)任意的圓周：。2．一些常用初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式（1），；（2）；（3）；（4）；（5）.三.疑難解析1將函數(shù)在點(diǎn)處展開為一個冪級數(shù)時，要求在及其某一個鄰域內(nèi)解析，這個鄰域就是所展冪級數(shù)的收斂域。在使用間接法求冪級數(shù)時，一定要注意所引用的已有函數(shù)展開式成立的條件。一般地說，所引用函數(shù)展開式的條件即為所展級數(shù)收斂的范圍。例如，將函數(shù)在處展開為冪級數(shù)時，由于此函數(shù)在及其鄰域（以為心的最大范圍的解析域）內(nèi)解析。因此，該級數(shù)展開為冪級數(shù)的收斂范圍即為。又如，利用間接法將函數(shù)展開為關(guān)于的冪級數(shù)時，由于，這里的，既是按照所引用函數(shù)的展開式中要求得出的。2將函數(shù)在點(diǎn)處展開為一個洛朗級數(shù)時，要求在某個圓環(huán)內(nèi)解析。這個圓環(huán)有的題目條件中已經(jīng)給出，有的未給出，這時可以考慮在復(fù)平面上畫出函數(shù)的定義域的草圖以找出圓環(huán)來。要注意的是，所求的圓環(huán)經(jīng)常是不惟一的。同上，在使用間接法求洛朗級數(shù)時，一定要注意所引用的已有函數(shù)的展開式成立的條件。一般地說，所引用函數(shù)展開式的條件即為所展級數(shù)收斂的范圍。具體可見例4.4.2，4.4.3等。3試說明級數(shù)收斂、條件收斂、絕對收斂的概念之間的異同。答一個級數(shù)如果在某個范圍內(nèi)收斂，有可能是絕對收斂的，也有可能是條件收斂的。絕對收斂的級數(shù)一定是收斂級數(shù)，但收斂級數(shù)不一定是絕對收斂級數(shù)。4.對于一般函數(shù)要通過直接展開方法展開為冪級數(shù)，由于求其各階導(dǎo)數(shù)的通式比較困難，所以通常采用間接的方法，實(shí)際上這是根據(jù)冪級數(shù)展開式的惟一性，利用一些已知函數(shù)冪級數(shù)展開式，再通過對冪級數(shù)進(jìn)行變量代換、四則運(yùn)算、分析運(yùn)算（逐項微分、逐項積分等）求出所給函數(shù)的冪級數(shù)展開式。所以必須記住一些基本函數(shù)的冪級數(shù)展開式，如，等等。四.雜例例4.1設(shè)級數(shù)收斂，而級數(shù)發(fā)散，證明冪級數(shù)的收斂半徑是1。證級數(shù)收斂，相當(dāng)于冪級數(shù)在處收斂。由阿貝爾定理，對于滿足的，冪級數(shù)絕對收斂，從而該級數(shù)的收斂半徑。另一方面，若，則冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)絕對收斂，特別在處也絕對收斂，即有收斂，與條件矛盾。所以，冪級數(shù)的收斂半徑是1。例4.2求下列冪級數(shù)的收斂半徑（1）；（2）.解（1）因為，所以，。當(dāng)時，；當(dāng)時，。（2）級數(shù)是缺項級數(shù)，，所以，。例4.3求在處的冪級數(shù)展開式，并證明。解=所以，=而級數(shù)在整個復(fù)平面上是收斂的，其和函數(shù)在復(fù)平面上解析，有界。所以，。例4.4將函數(shù)在內(nèi)展開為洛朗級數(shù)。解當(dāng)時，例45求積分.解內(nèi)，收斂，其和函數(shù)，所以。思考題1冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂圓的內(nèi)部是否有奇點(diǎn)?在收斂圓周上是否處處收斂?這個和函數(shù)在收斂點(diǎn)上是否解析?2任一復(fù)變函數(shù)是否可展為冪級數(shù)?任一解析函數(shù)是否可展開為冪級數(shù)？3將函數(shù)展開為冪級數(shù)或洛朗級數(shù)應(yīng)注意什么問題？第五章小結(jié)一.導(dǎo)學(xué)本章討論了留數(shù)基本定理以及其在定積分計算中的應(yīng)用。留數(shù)基本定理是把解析函數(shù)沿封閉曲線的積分計算問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在該封閉曲線內(nèi)部各個孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)問題，而第三章的柯西定理與柯西積分公式就是留數(shù)基本定理的特例。留數(shù)理論為計算某些類型的實(shí)變量函數(shù)的定積分和廣義積分提供了極為有效的方法，尤其是對那些計算比較復(fù)雜、或不能直接用不定積分來計算的定積分，甚至對那些用普通方法也能求出來的定積分，如果應(yīng)用留數(shù)計算則比較簡捷省力。計算留數(shù)時，對于有限孤立奇點(diǎn)，最基本的方法是尋求其洛朗展開式中負(fù)一次冪的系數(shù)，但如果知道孤立奇點(diǎn)的類型，則可根據(jù)相應(yīng)的方法進(jìn)行計算。學(xué)習(xí)本章的基本要求如下：（1）理解孤立奇點(diǎn)的分類，掌握極點(diǎn)階數(shù)的判別方法.（2）理解留數(shù)概念，掌握留數(shù)計算（特別是在極點(diǎn)處留數(shù)計算）的基本方法。（3）會用留數(shù)計算某些類型實(shí)變量函數(shù)的定積分和廣義積分。二.內(nèi)容提要1.基本定理（1）設(shè)函數(shù)（z）在0<∣z-∣<內(nèi)解析，則=1\*GB3①是（z）的可去奇點(diǎn)的充分必要條件是：存在有限極限（z）；=2\*GB3②是（z）的級極點(diǎn)的充分必要條件為在內(nèi)可表示為（z）=g（z），其中在∣z-∣<內(nèi)是解析的函數(shù)，且g（）≠0；=3\*GB3③是（z）的極點(diǎn)的充要條件是：（z）=；=4\*GB3④是（z）的本性奇點(diǎn)的充要條件是：不存在有限或無窮的極限（z）。（2）（留數(shù)定理）設(shè)C是一條正向的簡單閉曲線，若函數(shù)在C上及C的內(nèi)部D除去有限個孤立奇點(diǎn)外處處解析，那么。（3）如果函數(shù)在擴(kuò)充的復(fù)平面內(nèi)只有有限個奇點(diǎn)，那么在所有各奇點(diǎn)（包括點(diǎn)）的留數(shù)總和必等于零。2．基本公式（1）如果為函數(shù)的可去奇點(diǎn)，則；（2）如果為的m級極點(diǎn)，則；（3）如果為的一級極點(diǎn)，那么；（4）設(shè)，及Q（z）在點(diǎn)解析，如果，那么為的一級極點(diǎn)，并且；（5）函數(shù)在本性奇點(diǎn)處的留數(shù)一般需求出其洛朗展開式，再定出留數(shù)；（6）；（7）；（8）；（9）當(dāng)被積函數(shù)是的有理函數(shù)，而分母的次數(shù)至少比分子的次數(shù)高二次，并且在實(shí)軸上沒有奇點(diǎn)時，積分是存在的。若設(shè)在上半平面的極點(diǎn)為…，，則；（10）當(dāng)被積函數(shù)是的有理函數(shù)，而分母次數(shù)至少比分子的次數(shù)高一次，并且在實(shí)軸上沒有奇點(diǎn)時，積分是存在的。若設(shè)在上半平面內(nèi)的極點(diǎn)為，則。三.疑難解析1.無窮遠(yuǎn)點(diǎn)是任何函數(shù)的孤立奇點(diǎn)嗎？答不一定。無窮原點(diǎn)是任何函數(shù)的奇點(diǎn)，但它未必是任何函數(shù)的孤立奇點(diǎn)。例如，無窮原點(diǎn)就不是函數(shù)的孤立奇點(diǎn)，卻是冪函數(shù)的孤立奇點(diǎn)。2.設(shè)分別是函數(shù)的階極點(diǎn)，則，其中，在點(diǎn)的一去心鄰域內(nèi)解析，且。（1）又顯然各分子在的鄰域內(nèi)解析，于是當(dāng)時，點(diǎn)是的階極點(diǎn)；當(dāng)時，若，是的階極點(diǎn)；若，是的低于階的極點(diǎn)或可去奇點(diǎn)（請讀者自證明）。（2），因為在點(diǎn)的一去心鄰域內(nèi)解析，且，所以，是的階極點(diǎn)。（3）3.一個解析函數(shù)在其孤立奇點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)可以展開為洛朗級數(shù)，但在非孤立奇點(diǎn)的鄰域內(nèi)卻不能展開為洛朗級數(shù)。例如，函數(shù)就不能在內(nèi)展開為洛朗級數(shù)。這是因為的奇點(diǎn)是其分母的零點(diǎn)：，），及當(dāng)，所以是個非孤立奇點(diǎn)。從而不存在一個去心鄰域使得該函數(shù)在其內(nèi)解析，從而就不能在內(nèi)把該函數(shù)展開為洛朗級數(shù)。4.關(guān)于留數(shù)的計算，對于有限的孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)，最基本的方法就是尋求其洛朗展開式中負(fù)一次冪項的系數(shù)。當(dāng)知道孤立奇點(diǎn)的類型時，若為可去奇點(diǎn)，則=0（切記當(dāng)時結(jié)論不成立）；若為極點(diǎn)，則可根據(jù)極點(diǎn)的階數(shù)應(yīng)用相應(yīng)的公式或規(guī)則。5.學(xué)習(xí)了留數(shù)定理后，我們在第三章中對閉曲線上與復(fù)合閉路上的許多積分都可利用留數(shù)來計算。應(yīng)用留數(shù)計算積分時，一般應(yīng)先求出被積函數(shù)在積分路徑內(nèi)部的孤立奇點(diǎn)、判斷其類型并計算出留數(shù)，然后應(yīng)用留數(shù)定理得到所求的積分。例如，計算積分為整數(shù)）。由于被積函數(shù)在內(nèi)有孤立奇點(diǎn)：，且均為一階極點(diǎn)，由公式于是，四.雜例例5.1下面解題過程正確嗎？若不正確，指出錯在何處。題目：計算函數(shù)在點(diǎn)處的留數(shù)。解因為為函數(shù)的一級極點(diǎn)，所以.此種解法錯在應(yīng)用公式（5.2.6）時沒有注意：公式的條件是。此題中，所以不能應(yīng)用公式（5.2.6）。正確解法：.例5.2計算下列函數(shù)在所有孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)（1）；（2）.解（1）函數(shù)有孤立奇點(diǎn)0與。易知，在有洛朗展式這既可以看成是該函數(shù)在的去心鄰域內(nèi)的洛朗展開式，又可以看成是該函數(shù)在點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)的展開式。所以，（2）函數(shù)以與的根為孤立奇點(diǎn)，且為函數(shù)的一級極點(diǎn)，所以；例5.3（解析函數(shù)零點(diǎn)的孤立性）證明不恒為0的解析函數(shù)的零點(diǎn)是孤立的。分析設(shè)在某個區(qū)域內(nèi)不恒為0且，利用函數(shù)在點(diǎn)的泰勒展開式知，總存在自然數(shù)，使（否則，對所有，，由泰勒定理，矛盾）。于是可設(shè)為的級零點(diǎn)，然后由零點(diǎn)的特征來討論。證為的級零點(diǎn)內(nèi)解析，則有。令，存在著，當(dāng)時，有，從而，當(dāng)時，即在的一個鄰域：內(nèi)，，從而在該鄰域內(nèi)，即題設(shè)結(jié)論成立。例5.4計算積分，C為正向圓周:.解除點(diǎn)外，被積函數(shù)的奇點(diǎn)是：-i，1與4。根據(jù)（5.2.9）式，有=0其中由于與1在C之內(nèi)部，由留數(shù)基本定理與定理5.2.4得到==另一方面

==0從而例5.5計算積分（a>b>0）解設(shè)，則于是==其中，，，是方程=0的兩個根，且，，在圓內(nèi)有兩個孤立奇點(diǎn)：z=0，，它們分別是的二級極點(diǎn)和一級極點(diǎn)。并且======由（5.3.1）式，得到=。思考題1.什么是函數(shù)在孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)?孤立奇點(diǎn)的分類對于計算留數(shù)的作用是什么?2．為什么說柯西積分公式是留數(shù)定理的一種特殊情形？3.如何計算函數(shù)在極點(diǎn)處的留數(shù)?如何計算函數(shù)在本性奇點(diǎn)處的留數(shù)?4.留數(shù)定理的內(nèi)容是什么?其證明依據(jù)是什么?怎樣運(yùn)用留數(shù)定理來計算積分〈包括解析函數(shù)沿封閉曲線的積分和某些實(shí)積分)?5．結(jié)合例5.2.5，5.2.9，5.2.10說明定理5.2.4的意義與作用。第六章小結(jié)一、導(dǎo)學(xué)本章通過導(dǎo)函數(shù)的幾何性質(zhì)分析，引入解析函數(shù)共形映射的特性與應(yīng)用。共形映射的基本點(diǎn)：一是解決已知一個區(qū)域共形映射到另一個區(qū)域的解析函數(shù)如何構(gòu)成，二是解決已知一個區(qū)域在已知解析函數(shù)的作用下共形映射找出另一個區(qū)域的問題。為了解決這兩個問題，引入了最簡單的分式線性映射。分式線性映射具有保角性、保圓性、保對稱性的性質(zhì)。特別是它可以將直線與圓進(jìn)行變換。同時我們利用冪函數(shù)與根式函數(shù)解決了角形區(qū)域之間的變換；利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)解決了角形區(qū)域與帶形區(qū)域之間的變換，為解決上述兩個問題帶來了方便。在解決上述兩個問題的同時，我們引入上（下）半平面映成上（下）半平面的分式線性變換、上半平面映成單位圓內(nèi)部的分式線性變換和單位圓映成單位圓的分式線性變換。這些線性變換提供了解決其它區(qū)域的變換方法。二、內(nèi)容提要1解析函數(shù)導(dǎo)數(shù)的輻角與模的幾何意義（1）曲線在一點(diǎn)切線方向：若平面內(nèi)有一條有向連續(xù)曲線。在點(diǎn)有切線，并且。則表示的向量與相切于點(diǎn)。規(guī)定，這個向量的方向是曲線上點(diǎn)處切線的方向。并且有a）表示曲線上點(diǎn)處切線的正向與軸正向之間的夾角；b)相交于一點(diǎn)的兩條曲線與正向之間的夾角，就是交點(diǎn)處兩條切線正向之間的夾角。（2）轉(zhuǎn)動角：解析函數(shù)在解析區(qū)域內(nèi)一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為經(jīng)過點(diǎn)的一條有向光滑曲線，其參數(shù)方程為正向相對于參數(shù)增大方向，則a)稱輻角為曲線經(jīng)過映射后在處轉(zhuǎn)動角。b)轉(zhuǎn)動角的大小和方向跟曲線的大小和方向無關(guān)。則映射稱具有轉(zhuǎn)動角的不變性。（3）伸縮率：稱|是經(jīng)過映射后通過的曲線在的伸縮率，它與曲線的形狀和方向無關(guān)，則映射稱具有伸縮率的不變性。2．共形映射（1）在點(diǎn)的鄰域內(nèi)有定義，如果點(diǎn)的任意兩條曲線間的夾角在映射下既保持大小又保持方向，則稱映射在處具有保角性。若映射在某區(qū)域內(nèi)的每點(diǎn)處都具有保角性。則稱映射是該區(qū)域內(nèi)的保角映射。（2）若在點(diǎn)的鄰域內(nèi)是一一對應(yīng)的則在處具有保角性和具有伸縮率的不變性。那么稱映射在處共形的稱為第一類共形映射。若在鄰域內(nèi)是一一對應(yīng)的在鄰域內(nèi)每點(diǎn)具有保角性和具有伸縮率的不變性。那么稱映射在處共形的稱為共形映射。3解析函數(shù)的映射性質(zhì)若在鄰域內(nèi)解析且則映射在處具有性質(zhì)：保角性；b)保伸縮率的不變性。4．若映射在處具有保伸縮率的不變性，但僅保持夾角的絕對值不變，而方向相反，則稱映射為第二類共形映射。5．保域性：若映射在區(qū)域內(nèi)每點(diǎn)解析，且不恒為常數(shù)，則的像也是區(qū)域。6．若映射是區(qū)域內(nèi)到區(qū)域的共形映射，那么)映射在區(qū)域內(nèi)每點(diǎn)解析且。)反函數(shù)將區(qū)域內(nèi)共形映射到區(qū)域內(nèi)，且7．分式線性變換：定義，為分式線性變換，也稱為雙線性變換。注1）分式線性變換的逆變換（映射）為2）兩個線性變換的復(fù)合仍是分式線性變換。8．分式線性變換的分解分式線性變換可以分解為以下三個簡單變換（假設(shè)平面與平面重疊）。)平移變換：為復(fù)數(shù)）)旋轉(zhuǎn)與伸縮映射：復(fù)數(shù)）)反演變換（倒數(shù)變換）：；是兩個對稱變換，與的疊合。9．對稱點(diǎn)若，稱與關(guān)于圓周對稱，規(guī)定無窮遠(yuǎn)點(diǎn)與圓心對稱。10．分式線性變換的性質(zhì)1)保角性;2)保圓性;3)保對稱性11．唯一決定分式線性變換的條件當(dāng)給定平面上任意三個相異的點(diǎn)以及平面上任意三個相異的點(diǎn)時就唯一決定一個將變換為分式線性變換。公式：或：=：12．由11,可得分式線性變換的交比不變性。得到在擴(kuò)充平面上的相異四點(diǎn)有：。與分式線性變換的交比不變性相應(yīng)的有：。13．分式線性變換下確定區(qū)域的幾個法則：1)若封閉曲線，如果在的內(nèi)部任取一點(diǎn)而的像在的內(nèi)部，則的內(nèi)部就變換為的內(nèi)部。如果的像在的外部，則的內(nèi)部就變換為的外部。2)（繞向法則）若在上任取三點(diǎn)變換為上三點(diǎn)。如果依的繞向與依繞向相同，的內(nèi)部就變換為的內(nèi)部，相反時，則的內(nèi)部就變換為的外部。3)區(qū)域由兩個圓周的弧圍成時對應(yīng)區(qū)域；)當(dāng)兩個圓周上沒有點(diǎn)變換成無窮遠(yuǎn)點(diǎn)時，這兩個圓周的弧圍成區(qū)域變換成兩個圓周的弧所圍成區(qū)域。)當(dāng)兩個圓周上有一點(diǎn)變換成無窮遠(yuǎn)點(diǎn)時，，這兩個圓周的弧圍成區(qū)域變換成一個圓弧與一直線所圍成區(qū)域。)當(dāng)兩個圓周上有交點(diǎn)中的一個變換成無窮遠(yuǎn)點(diǎn)時，，這兩個圓周的弧圍成區(qū)域變換角形區(qū)域。14.幾個典型的分式線性變換)上（下）半平面映成上（下）半平面的分式線性變換且為實(shí)數(shù)。)上半平面映成單位圓內(nèi)部的分式線性變換為實(shí)數(shù)。)單位圓映成單位圓的分式線性變換，為實(shí)數(shù)。15．幾個初等函數(shù)構(gòu)成的映射)冪函數(shù)冪函數(shù)所構(gòu)成映射的特點(diǎn)是把以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的角形域映射以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的角形域，但張角變成為原來的倍。注：是反函數(shù)，特點(diǎn)是將輻角壓縮為)指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)所構(gòu)成映射的特點(diǎn)是處處保角的，它把水平的帶形域映射成角形域。注：是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，特點(diǎn)是把角形域映射成帶形域。.)儒可夫斯基函數(shù)特點(diǎn)是除極點(diǎn)外，處處解析，除極點(diǎn)和外處處共形。儒可夫斯基函數(shù)。是由，復(fù)合而成。它將通過點(diǎn)與的圓周的外部一一對應(yīng)地共形映射成除去一個連接點(diǎn)與的圓弧的擴(kuò)充平面。當(dāng)為圓周時將退化為線段三.疑難解析1.問函數(shù)將經(jīng)過點(diǎn)且平行于實(shí)軸正向的曲線的切線的方向映射成平面曲線上那一個方向。解因為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。所以函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)旋轉(zhuǎn)角的幾何意義知，過點(diǎn)且平行于實(shí)軸正向的曲線的切線的方向經(jīng)過函數(shù)映射成平面曲線在過且平行虛軸正向的曲線的切線方向。（輻角旋轉(zhuǎn)角）2.當(dāng)分式線性變換將單位圓周映射成平面上直線，其系數(shù)只須滿足條件對嗎？解回答的不完整。因為不是常數(shù)，理應(yīng)滿足條件。要使單位圓周映射成平面上直線，則單位圓周上有一點(diǎn)應(yīng)映射為無窮大。即所以，解得。得。故應(yīng)滿足條件且才行。3.將平面上單位圓內(nèi)部映射成平面上單位圓內(nèi)部的映射中，實(shí)數(shù)的幾何意義是什么？解的幾何意義是是映射在點(diǎn)處的旋轉(zhuǎn)角為而所以。4.說明對稱映射不是分式線性映射解因為對稱映射可以化為，所以。又因為。所以不滿足柯西-黎曼條件，對稱映射不解析。而分式線性映射是解析的。故對稱映射不是分式線性映射。四.雜例例6.1..映射將區(qū)域映為什么區(qū)域？解：因為映射可以看成射所以，解得，由條件區(qū)域且即區(qū)域，推出即故即，這說明映射將區(qū)域映射為后，再平移一個單位為為區(qū)域例6.2.求將映為同心圓環(huán)域的分式線性映射。并求出。解本題是已知兩個區(qū)域求分式線性映射的問題。所以我們先在平面上取四點(diǎn)3、1、-1、-3依次對應(yīng)平面上四點(diǎn)1、-1、，由分式線性映射的交比不變性得解出解出后整理可得?？梢则炞C將；將將；將。例6.3.試求分式線性映射。并使得。解由條件知所求的映射要將點(diǎn)映射成.可設(shè)映射公式.又知條件，帶入公式得.即。取的對稱點(diǎn)，而對稱點(diǎn)對應(yīng)點(diǎn)為，故知帶入映射公式得.推出由方程，。解出。從而得所求的映射為例6.4設(shè)區(qū)域為相交于和處且夾角為的兩圓弧所圍內(nèi)部，試求區(qū)域映射為上半平面的共形映射。解第一步先取平面上點(diǎn)映射成平面上點(diǎn)，得將區(qū)域映射為角形區(qū)域；（其中映為負(fù)實(shí)軸）第二步取指數(shù)函數(shù)把區(qū)域旋轉(zhuǎn)為角形區(qū)第三步取冪函數(shù)將映射為上半平面。即四思考題1具有伸縮率不變性與保角性的映射為什么稱為共形映射？2為什么說解析函數(shù)的映射在的旋轉(zhuǎn)角和伸縮率與過的曲線C的形狀與方向無關(guān)？3分式線性映射有幾個復(fù)參數(shù)，幾個實(shí)參數(shù)？有幾種方法可以唯一確定一個分式線性映射？4關(guān)于圓周C的對稱點(diǎn)有什么特性？在分式線性映射中怎樣利用對稱點(diǎn)的不變性？5怎樣理解一個分式線性映射？6映射能否將平面上單位圓映射成平面上單位圓，為什么？7冪函數(shù)具有將角度擴(kuò)大倍的性質(zhì)，為什么它對以為頂點(diǎn)、張角為的角形域構(gòu)成保形映射？第七章小結(jié)一.導(dǎo)學(xué)本章從周期函數(shù)的傅氏級數(shù)出發(fā)，導(dǎo)出非周期函數(shù)的傅氏積分公式，并由此得到傅氏變換，進(jìn)而討論了傅氏變換的一些基本性質(zhì)及應(yīng)用。從分析角度看，傅氏級數(shù)是用簡單函數(shù)去逼近(或代替)復(fù)雜函數(shù)；從幾何觀點(diǎn)看，它是以一族正交函數(shù)為基向量，將函數(shù)空間進(jìn)行正交分解，相應(yīng)的系數(shù)即為坐標(biāo)；從變換角度看，它建立了周期函數(shù)與序列之間的對應(yīng)關(guān)系；而從物理意義上看，它將信號分解為一系列簡諧波的復(fù)合，從而建立了頻譜理論。傅氏變換是傅氏級數(shù)由周期函數(shù)向非周期函數(shù)的演變，它通過特定形式的積分建立了函數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系。它既能從頻譜的角度來描述函數(shù)(或信號)的特征，又能簡化運(yùn)算，方便問題的求解。需要指出的是，本章所討論的傅氏變換均是針對實(shí)值函數(shù)的，而傅氏變換對于復(fù)值函數(shù)也是成立的。隨著信息數(shù)字化的發(fā)展，在傅氏變換之后，又出現(xiàn)了用于處理離散時間函數(shù)的離散傅氏變換及有限離散傅氏變換(DFT)，特別是20世紀(jì)60年代出現(xiàn)的針對DFT的快速算法(FFT)，使得傅氏變換在數(shù)字領(lǐng)域也同樣發(fā)揮著巨大的作用。學(xué)習(xí)本章的基本要求為（1）了解傅立葉積分及積分定理，理解頻譜的概念，理解傅立葉變換的概念。（2）了解單位脈沖函數(shù)（函數(shù)）的概念及篩選性質(zhì)。（3）正確理解傅立葉變換的基本性質(zhì)，如線性性質(zhì)、位移性質(zhì)、微分與積分性質(zhì)、卷積概念與定理等，并會用這些性質(zhì)求傅立葉變換，以及運(yùn)用傅立葉變換解微分方程。二.內(nèi)容提要1.傅立葉積分的概念、頻譜的概念、傅立葉積分定理。2.傅立葉變換：；傅立葉逆變換：；傅立葉變換的性質(zhì)：1）線性性：如果則其中為常數(shù)2）對稱性：如果，則，則 。3)相似性：如果則4）象原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：如果則當(dāng)時有5）象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：如果則則一般公式：6）積分的象函數(shù)：如果且則7)象函數(shù)的平移：如果則8)象原函數(shù)的平移---時間延遲：如果則9)乘積定理：如果則；10)能量積分：如果則；11)卷積定理：=1\*GB3①；=2\*GB3②如果，則.12)頻譜卷積定理：如果則.傅立葉變換物理意義——頻譜函數(shù)為頻譜函數(shù)，其中為頻譜，頻譜為偶函數(shù)，為相角（位）頻譜，并且。3.單位脈沖函數(shù)及篩分性質(zhì)1）2）4.基本公式1）2）3）4）5）6）。三.疑難解析1.下面的傅立葉變換正確么？若不正確，請糾正。解：不正確。事實(shí)上2.設(shè)是函數(shù)的傅氏變換，問？解：正確。事實(shí)上，由，則3.問下列傅立葉變換解法正確么？若不正確，請給出正確解法。解：因為傅立葉變換，所以利用傅立葉變換平移性質(zhì)得。不正確。利用傅立葉變換平移性質(zhì)中指數(shù)函數(shù)含有虛數(shù)單位，而所給的題沒有虛數(shù)單位。所以要先添上虛數(shù)單位后才能使用平移性質(zhì)。正確解法：四.雜例例7.1．求傅立葉變換。解：因為函數(shù)不是絕對可積，因此引入積分因子再令。所以。故當(dāng)時。例7.2．求函數(shù)傅立葉逆變換。解：傅立葉逆變換====其中有書上指數(shù)衰減函數(shù)例子得到。例7.3．證明傅立葉變換，并且求出函數(shù)傅立葉變換。證明：有傅立葉變換定義知而例7.4．高頻指數(shù)脈沖，求其頻譜函數(shù)。解：因為（其波形如圖）所以，其頻譜函數(shù)為=+=+其波形如圖7.1所示它表示當(dāng)調(diào)制信號的頻譜已知時，將其頻譜分別向處搬移，并且將幅度減少一半，即得的已調(diào)幅信號的頻譜。圖7.1例7.5．求積分。解：，由性質(zhì)則可得則于是，得=4積分二邊同除16得=。思考題1傅立葉級數(shù)的三角形式和復(fù)指數(shù)形式是什么？2傅立葉積分定理與傅立葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)形式有什么關(guān)系3任何一個非周期函數(shù)是否都可以展開其傅立葉積分公式?4單位脈沖函數(shù)是怎樣的函數(shù)，如何定義？引進(jìn)單位脈沖函數(shù)實(shí)際意義是什么?5傅立葉積分公式共有幾種表示形式?6傅立葉變換物理意義是什么?它與頻譜函數(shù)和振幅頻譜有什么關(guān)系？如何求非周期函數(shù)的頻譜函數(shù)?7如何利用卷積定理來求傅立葉變換？8如何正確引用傅立葉變換性質(zhì)求傅立葉變換?第八章小結(jié)一.導(dǎo)學(xué)本章從傅氏變換引出拉氏變換的概念。拉氏變換在傅氏變換的基礎(chǔ)上，引入了指數(shù)衰減函數(shù)和單位階躍函數(shù)，從而放寬了對函數(shù)的限制并使之更適合工程實(shí)際，同時它仍保留了傅氏變換中許多好的性質(zhì)，特別是其中有些性質(zhì)(如微分性質(zhì)、卷積等)比傅氏變換更實(shí)用、更方便。另外，拉氏變換仍具有明顯的物理意義，它將頻率ω變成復(fù)頻率s，從而不僅能刻畫函數(shù)的振蕩頻率，而且還能描述振蕩幅度的增長(或衰減)速率。對于拉氏逆變換來說，，原則上講，反演積分公式是一種求拉氏逆變換的通用方法，但有時應(yīng)根據(jù)象函數(shù)的具體情況而靈活地采用其它方法，應(yīng)充分利用拉氏變換的各種性質(zhì)。通常是將象函數(shù)分解為一些基本函數(shù)的相加或相乘，再利用線性性質(zhì)、位移性質(zhì)、延遲性質(zhì)、卷積定理等，并結(jié)合這些基本函數(shù)的象原函數(shù)求出總的象原函數(shù)。拉氏變換的應(yīng)用領(lǐng)域相當(dāng)廣泛，如解微分方程。由于拉氏變換能將微分變成乘法，將微分方程變?yōu)榇鷶?shù)方程，而且初始條件包含在變換式中，因而能有效、簡便地求解微分方程。學(xué)習(xí)本章的基本要求是（1）正確理解拉普拉斯變換的概念，了解拉氏變換存在定理，會求一些常用函數(shù)的拉氏變換。（2）理解拉氏變換的性質(zhì)，會用它們求解拉氏變換以及一些拉氏逆變換。（3）掌握拉氏變換的卷積性質(zhì)，會用它求一些函數(shù)的拉氏逆變換；會用拉氏變換求解一些微分、積分方程（組）。二。內(nèi)容提要1.基本概念拉普拉斯變換拉普拉斯逆變換拉普拉斯變換存在定理如果函數(shù)滿足條件：（1）在的任一有限區(qū)間上分段連續(xù)；（2）當(dāng)時滿足指數(shù)增長性，即