專題3.11拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)-重難點(diǎn)題型精講1．拋物線的定義(1)定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫作拋物線.點(diǎn)F叫作拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫作拋物線的準(zhǔn)線.

(2)集合語言表示

設(shè)點(diǎn)M(x,y)是拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)M到直線l的距離為d，則拋物線就是點(diǎn)的集合P={M||MF|=d}.2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與其在坐標(biāo)系中的位置的對(duì)應(yīng)關(guān)系：3．拋物線的幾何性質(zhì)拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)：4．拋物線與橢圓、雙曲線幾何性質(zhì)的差異拋物線與橢圓、雙曲線幾何性質(zhì)的差異：

①它們都是軸對(duì)稱圖形，但橢圓和雙曲線又是中心對(duì)稱圖形；

②頂點(diǎn)個(gè)數(shù)不同，橢圓有4個(gè)頂點(diǎn)，雙曲線有2個(gè)頂點(diǎn)，拋物線只有1個(gè)頂點(diǎn)；

③焦點(diǎn)個(gè)數(shù)不同，橢圓和雙曲線各有2個(gè)焦點(diǎn)，拋物線只有1個(gè)焦點(diǎn)；

④離心率取值范圍不同，橢圓的離心率范圍是0<e<1,雙曲線的離心率范圍是e>1，拋物線的離心率是e=1；

⑤橢圓和雙曲線都有兩條準(zhǔn)線，而拋物線只有一條準(zhǔn)線；

⑥橢圓是封閉式曲線，雙曲線和拋物線都是非封閉式曲線.5．與拋物線有關(guān)的最值問題求解此類問題一般有以下兩種思路：(1)幾何法：若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決，這就是幾何法.解題的關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確分析出最值問題所隱含的幾何意義，并能借助相應(yīng)曲線的定義求解.(2)代數(shù)法：由條件建立目標(biāo)函數(shù)，然后利用函數(shù)求最值的方法進(jìn)行求解，如利用二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值的求法，利用函數(shù)的單調(diào)性等，亦可用均值不等式求解.【題型1動(dòng)點(diǎn)的軌跡問題】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)拋物線的定義，拋物線是平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F，和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡，因此只要?jiǎng)狱c(diǎn)滿足拋物線的定義，就可以選擇利用定義法求出其軌跡方程.【例1】（2022·上海市高三開學(xué)考試）在平面上，到點(diǎn)A1,0的距離等于到直線x+2y=3的距離的動(dòng)點(diǎn)A．直線 B．圓 C．橢圓 D．拋物線【解題思路】根據(jù)拋物線的定義判斷即可.【解答過程】解：因?yàn)辄c(diǎn)A1,0不在直線x則到點(diǎn)A1,0的距離等于到直線x+2y=3的距離的動(dòng)點(diǎn)直線x+2故選：D.【變式1-1】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)M(2,2)，直線l:x-y-1=0，若動(dòng)點(diǎn)P到lA．橢圓 B．雙曲線C．拋物線 D．直線【解題思路】由拋物線的定義求解即可.【解答過程】由拋物線的定義（平面內(nèi)，到定點(diǎn)與定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線）可知，點(diǎn)P的軌跡是拋物線.故選：C.【變式1-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)Px,y到直線x=1的距離比它到定點(diǎn)-2,0的距離小1A．y2=2xC．y2=-4x【解題思路】根據(jù)拋物線的定義判斷軌跡，再由拋物線焦點(diǎn)、準(zhǔn)線得到方程即可.【解答過程】由題意知?jiǎng)狱c(diǎn)Px,y到直線x由拋物線的定義知，P的軌跡是以-2,0為焦點(diǎn)，x所以p=4，軌跡方程為y故選：D.【變式1-3】（2021·山東省滕州市高二階段練習(xí)）若點(diǎn)P到點(diǎn)(0,2)的距離比它到直線y=-1的距離大1，則點(diǎn)P的軌跡方程為（

A．y2=4x B．x2=4y【解題思路】將點(diǎn)P到點(diǎn)(0,2)的距離比它到直線y=-1的距離大1轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到點(diǎn)(0,2)的距離等于它到直線y=-2的距離，根據(jù)拋物線的定義，即可求得點(diǎn)P的軌跡為拋物線，進(jìn)而可求出點(diǎn)【解答過程】∵點(diǎn)P到點(diǎn)(0,2)的距離比它到直線y=-1的距離大1∴點(diǎn)P到點(diǎn)(0,2)的距離等于它到直線y=-2∴點(diǎn)P的軌跡是以0,2為焦點(diǎn)，y=-2為準(zhǔn)線的拋物線，則點(diǎn)P的軌跡方程是x故選：D.【題型2利用拋物線的定義解題】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)具體問題，利用拋物線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解.【例2】（2022·云南·高二開學(xué)考試）若拋物線C:y2=pxp>0上的一點(diǎn)AA．6 B．8 C．12 D．16【解題思路】根據(jù)題意，結(jié)合跑線的定義得到xA+【解答過程】由題意，拋物線C:y2=px根據(jù)拋物線的定義，可得xA+p故選：D.【變式2-1】（2022·云南·高三階段練習(xí)）已知拋物線D:y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)P在D上，過點(diǎn)P作準(zhǔn)線l的垂線，垂足為A，若PAA．2 B．22 C．23 D【解題思路】畫出圖像，利用拋物線的定義求解即可.【解答過程】由題知F1,0，準(zhǔn)線l:x=-1，設(shè)與x軸的交點(diǎn)為C，點(diǎn)由拋物線的定義及已知得PA=AF=解法1：因?yàn)椤螦PF=π3,AP∥x軸，所以直線PF由y2=4xy=所以PF=解法2：在Rt△ACF中，CF=2,∠解法3：過F作FB⊥AP于點(diǎn)B，則B為AP的中點(diǎn)，因?yàn)锳B=2故選：D.【變式2-2】（2022·廣東·高三階段練習(xí)）已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A，B是拋物線C上不同兩點(diǎn)，且A，B中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2A．4 B．5 C．6 D．8【解題思路】根據(jù)拋物線的定義結(jié)合已知可求得結(jié)果.【解答過程】設(shè)Ax1,y1,B可得x1所以|AF|+|BF故選：C．【變式2-3】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線x=14y2的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在拋物線上，且MF=3，則A．2 B．4716 C．23 D【解題思路】設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)，由焦半徑公式列出方程，求出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，從而求出縱坐標(biāo)，得到答案.【解答過程】由題意得y2所以準(zhǔn)線為x=-1又因?yàn)閨MF|=3，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為則有|MF解得：x將x0=2代入解析式得：y0所以M點(diǎn)到x軸的距離為22故選：D．【題型3拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程】【方法點(diǎn)撥】求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程的步驟：第一步：把拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程；第二步：明確拋物線開口方向；第三步：求出拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中參數(shù)p的值；第四步：寫出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程.【例3】（2022·遼寧鞍山·一模）拋物線y=43A．(0,13) B．(13,0)【解題思路】根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程以及焦點(diǎn)坐標(biāo)求解即可【解答過程】由題意，拋物線x2=故選：C.【變式3-1】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）拋物線y=-18A．x=132 B．y=2 C．【解題思路】先將拋物線方程化成標(biāo)準(zhǔn)式，即可解出．【解答過程】y=-18x2可化為x故選：B．【變式3-2】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）拋物線y=x2A．0,1 B．1,0 C．0,14 D【解題思路】化為標(biāo)準(zhǔn)方程，利用焦點(diǎn)坐標(biāo)公式求解.【解答過程】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2所以拋物線的焦點(diǎn)在y軸上，且p=12所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為0,1故選：C.【變式3-3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）拋物線y2=2xA．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程，即可得解；【解答過程】解：拋物線y2=2x的焦點(diǎn)為F所以焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離d=故選：A.【題型4求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程】【方法點(diǎn)撥】①直接法：直接利用題中已知條件確定參數(shù)p.②待定系數(shù)法：先設(shè)出拋物線的方程，再根據(jù)題中條件，確定參數(shù)p.③定義法：先判定所求點(diǎn)的軌跡符合拋物線的定義，進(jìn)而求出方程.【例4】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，關(guān)于x軸對(duì)稱，并且經(jīng)過點(diǎn)M-1,2的拋物線方程為（A．y2=4xC．x2=1【解題思路】設(shè)出拋物線方程，利用待定系數(shù)法求解作答.【解答過程】依題意，設(shè)拋物線方程為y2=mx,m所以所求拋物線方程是y2故選：B.【變式4-1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）焦點(diǎn)在直線3x-4A．y2=16x或x2=16C．y2=16x或x2=12【解題思路】分別求得直線3x-4y-12=0【解答過程】解：直線3x-4y-12=0與x軸的交點(diǎn)為（4，0），與當(dāng)以（4，0）為焦點(diǎn)時(shí)，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2當(dāng)由（0，-3）為焦點(diǎn)時(shí)，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2故選：B.【變式4-2】（2022·四川攀枝花·高二期末（理））焦點(diǎn)在y軸的正半軸上，且焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A．x2=4y B．x2=2y【解題思路】直接由焦點(diǎn)位置及焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離寫出標(biāo)準(zhǔn)方程即可.【解答過程】由焦點(diǎn)在y軸的正半軸上知拋物線開口向上，又焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2故選：A.【變式4-3】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若拋物線y2=2px（p>0）上一點(diǎn)P（2，y0A．y2=2x B．y2=4x C．y2=6x D．y2=8x【解題思路】由拋物線的定義可解答.【解答過程】拋物線y2=2px上一點(diǎn)P2,y0到焦點(diǎn)的距離等于到其準(zhǔn)線的距離，即為4，∴p2故選：D.【題型5與拋物線有關(guān)的最值問題】【方法點(diǎn)撥】求與拋物線有關(guān)的最值的常見題型是求拋物線上一點(diǎn)到定點(diǎn)的最值、求拋物線上一點(diǎn)到定直線的最值，解與拋物線有關(guān)的最值問題主要有兩種思路：一是利用拋物線的定義，進(jìn)行到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離的轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合，利用幾何意義解決；二是利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)行消元代換，得到有關(guān)距離的含變量的代數(shù)式，借助目標(biāo)函數(shù)最值的求法解決.【例5】（2022·河南·高三開學(xué)考試（文））已知A,B是拋物線y2=-6x上的兩點(diǎn)，且AB=11，則線段A．72 B．4 C．92 D【解題思路】過A,B作準(zhǔn)線的垂線，設(shè)AB的中點(diǎn)為E，過E作y軸的垂線，根據(jù)梯形中位線和拋物線的定義可知EG【解答過程】由拋物線方程知其焦點(diǎn)為F-32分別過A,B作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為C,D，AC與BD分別交則AM=AC-設(shè)AB的中點(diǎn)為E，過E作y軸的垂線，垂足為G，∴EG=12AM∴線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離的最小值為4．故選：B.【變式5-1】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知拋物線y2=16x的焦點(diǎn)為F，P點(diǎn)在拋物線上，Q點(diǎn)在圓C:xA．4 B．6 C．8 D．10【解題思路】利用拋物線定義，將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，再根據(jù)三點(diǎn)共線求最小距離.【解答過程】如圖，過點(diǎn)P向準(zhǔn)線作垂線，垂足為A，則PF=當(dāng)CP垂直于拋物線的準(zhǔn)線時(shí)，CP+此時(shí)線段CP與圓C的交點(diǎn)為Q，因?yàn)闇?zhǔn)線方程為x=-4，C半徑為2，所以PQ+PF的最小值為故選：C.【變式5-2】（2022·云南模擬預(yù)測(cè)（理））已知點(diǎn)P為拋物線y2=-4x上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P到l2:x=1的距離為d1，到直線A．52 B．522 C．2【解題思路】直線l2:x=1為拋物線y2=-4x的準(zhǔn)線，點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離，過焦點(diǎn)【解答過程】直線l2:x=1為拋物線y2=-4x的準(zhǔn)線，點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)P如下圖所示，此時(shí)d1+d2最小，為點(diǎn)F∵F(-1,0)，則故選：B．【變式5-3】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知拋物線x2=my焦點(diǎn)的坐標(biāo)為F(0,1)，P為拋物線上的任意一點(diǎn)，B(2,2)A．3 B．4 C．5 D．11【解題思路】先根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)求出m，結(jié)合拋物線的定義可求答案.【解答過程】因?yàn)閽佄锞€x2=my焦點(diǎn)的坐標(biāo)為0,1，所以m記拋物線的準(zhǔn)線為l，作PN⊥l于N，作BA⊥l于A，則由拋物線的定義得|PB故選：A.【題型6與拋物線有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問題】【方法點(diǎn)撥】①要解決這些實(shí)際問題中有關(guān)的計(jì)算，我們可以利用坐標(biāo)法建立拋物線方程，利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和其幾何性質(zhì)進(jìn)行推理、運(yùn)算.②解決此類問題要注意實(shí)際問題中的量與拋物線相關(guān)量之間的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化.【例6】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）蘇州市“東方之門”是由兩棟超高層建筑組成的雙塔連體建筑（如圖1所示），“門”的內(nèi)側(cè)曲線呈拋物線形．圖2是“東方之門”的示意圖，已知CD=30m，AB=60m，點(diǎn)D到直線AB的距離為150m，則此拋物線頂端OA．180m B．200m C．220m【解題思路】建立直角坐標(biāo)系，待定系數(shù)法求拋物線方程，即可求解O到AB的距離.【解答過程】以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的方程為x2=-2pyp>0，由題意設(shè)D15,h，h<0，B30,h-150故選:B．【變式6-1】（2022·湖南·高二期末）如圖，某橋是拋物線形拱橋，當(dāng)拱頂離水面2m，水面寬4m，那么水下降1m后，水面寬為（

）A．22m BC．25m D【解題思路】建立直角坐標(biāo)系，利用代入法，結(jié)合拋物線的方程進(jìn)行求解即可.【解答過程】如圖，以拱頂為原點(diǎn)，對(duì)稱軸為y軸建立直角坐標(biāo)系，則該拋物線方程為x2=-2pyp>0，依題點(diǎn)M2,-2在其上，所以4=-2p×-2，p=1，拋物線方程為故選：D.【變式6-2】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）一種衛(wèi)星接收天線如圖（1）所示，其曲面與軸截面的交線為拋物線.在軸截面內(nèi)的衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入形為拋物線的接收天線，經(jīng)反射聚集到焦點(diǎn)F處，如圖（2）所示.已知接收天線的口徑AB為4.8m，深度為1m.若P為接收天線上一點(diǎn)，則點(diǎn)P與焦點(diǎn)F的最短距離為（A．0.72m B．C．2.44m D．【解題思路】首先根據(jù)題意建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為y2=2pxp>0，代入【解答過程】在接收天線的軸截面所在平面建立直角坐標(biāo)系，使接收天線的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，焦點(diǎn)在x軸上，如圖所示：設(shè)拋物線方程為y2=2px所以2.42=2p則點(diǎn)P與焦點(diǎn)F的最短距離為p2故選：B.【變式6-3】（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）為響應(yīng)國(guó)家“節(jié)能減排，開發(fā)清潔能源”的號(hào)召，小華制作了