1第三章復(fù)變函數(shù)的積分

§3.1復(fù)積分的概念22

1、復(fù)積分的概念及基本計(jì)算方法2、柯西-古薩積分定理3、復(fù)合閉路定理4、柯西積分公式與高階導(dǎo)數(shù)公式第三章復(fù)變函數(shù)的積分本章主要內(nèi)容：33

1、有向曲線§1復(fù)變函數(shù)積分的概念特別申明今后所說(shuō)的曲線總是指光滑或逐段光滑曲線,特別說(shuō)明的例外。44

閉曲線正向的定義:與之相反的方向就是曲線的負(fù)方向.曲線方向的說(shuō)明:一般:曲線C的正方向總是指從起點(diǎn)到終點(diǎn)的方向.那么終點(diǎn)到起點(diǎn)的方向就是曲線C的負(fù)向,記為C-對(duì)周線而言,逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎较?順時(shí)針?lè)较驗(yàn)樨?fù)方向C55

2、復(fù)積分的定義B

xyo（1）分割（2）取近似（3）求和66

.

)

(

,

)

(

)

(

ò

?

C

dz

z

f

B

A

C

z

f

I

C

z

f

記作

的積分

從

沿曲線

為

上可積，上述極限值

在

則稱

被積函數(shù)積分路徑（4）取極限77

----一元函數(shù)定積分的定義.注88

3、積分存在的條件1.必要條件2.充分條件

將各函數(shù)代數(shù)化99

因此積分存在的條件問(wèn)題，歸為尋求右端兩個(gè)式子極限存在的條件問(wèn)題，由分析可知，這只需u(x,y),v(x,y)均在C上連續(xù)即可，且極限分別為1010

這是實(shí)的第二型曲線積分記憶1111

4、復(fù)積分的性質(zhì)復(fù)積分與實(shí)變函數(shù)的定積分有類似的性質(zhì).被積函數(shù)的線性可加性1212

積分路徑的可加性積分估值定理3.21313

性質(zhì)(5),(6)的證明兩端取極限得[證畢]性質(zhì)5積分估值定理1414

5、復(fù)積分計(jì)算的參數(shù)方程法若能寫(xiě)出C的參數(shù)方程為:C:z(t)=x(t)+iy(t)

t

則因?yàn)镃是光滑曲線

x(t),y(t)

C[

,

]:1515

1616

定理設(shè)曲線C的參數(shù)方程為:z=z(t)=x(t)+iy(t)

t

2.f(z)沿曲線C連續(xù)

注:該公式可看成由下式形式相乘而得到1717

（1）連接z1和z2兩點(diǎn)的線段的參數(shù)方程為幾類常見(jiàn)曲線的復(fù)數(shù)方程（

2）1818

例12

，其中積分路徑為C

計(jì)算

dz

z

I

c

=

ò

x1+io11yAB于是，解:(i)C的參數(shù)方程1919

可以看出，沿著不同的積分路徑，該積分有相同的值.01+i1yxAB112020

于是，03+4i34yx解:(i)C的參數(shù)方程AB2121

可以看出，沿著不同的積分路徑，該積分有不同的值.03+4i34yxAB2222

例3解ox

y

r

C2323

綜上所述，我們有

記住這一結(jié)果，后面經(jīng)常用到，并且注意該結(jié)果與圓心、圓的半徑?jīng)]有關(guān)系2424

解：練習(xí)：這幾題結(jié)果都跟有關(guān)?。?！疑問(wèn)：這里邊到底有什么玄機(jī)呢？還需繼續(xù)研究2525

例5i2+iOxy練習(xí)計(jì)算積分：26

（1）

（重要積分）（2）

解

的參數(shù)方程為

27（4）（3）2828

小

結(jié)1、了解積分的定義與性質(zhì)2、掌握掌握積分的計(jì)算3、熟練掌握重要例子29作業(yè)P761(1,2);2(1).30第三章復(fù)變函數(shù)的積分

§3.2柯西積分定理31

復(fù)變函數(shù)的積分的實(shí)際上等同于對(duì)坐標(biāo)的曲線積分，這就很自然地引出積分與路徑無(wú)關(guān)的問(wèn)題.§2柯西-古薩積分定理31

1、

引言

我們的問(wèn)題是：在什么條件下復(fù)變函數(shù)的積分與積分路徑無(wú)關(guān)？此問(wèn)題等價(jià)于沿任意的閉曲線積分是否等于零的問(wèn)題.

3232

（1）被積函數(shù)f(z)=z2在復(fù)平面處處解析；復(fù)平面是單連通區(qū)域；結(jié)論：積分與積分路徑無(wú)關(guān)。（2)被積函數(shù)在復(fù)平面處處不解析；復(fù)平面是單連通區(qū)域；結(jié)論：積分與積分路徑有關(guān)。（3）結(jié)論：積分與積分路徑有關(guān)。3333

由此猜想：復(fù)積分的值與路徑無(wú)關(guān)或沿閉路的積分值等于零的條件可能與被積函數(shù)的解析性及解析區(qū)域的連通性有關(guān).2、

柯西積分定理（4）還是上一個(gè)積分在去掉的區(qū)域內(nèi)處處解析；此時(shí)的區(qū)域不是單連通區(qū)域；結(jié)論：積分與積分路徑有關(guān)。3434

本定理得證明實(shí)際是計(jì)算積分的問(wèn)題，其中一種方法為3535

推論1設(shè)f(z)在單連通區(qū)域D內(nèi)解析，則在D內(nèi)f(z)的積分與路徑無(wú)關(guān).

人們對(duì)此定理的評(píng)價(jià)是很高的，有人稱之為

積分的基本定理或函數(shù)論的基本定理，還有人

認(rèn)為它是研究復(fù)變函數(shù)論的一把鑰匙。36

C2xyOC1z0z137證:

取內(nèi)任意兩點(diǎn)與，設(shè)起點(diǎn)為

,終點(diǎn)為為連接與的任意

曲線,且連接成一個(gè)圍線則從而38

例1求解的奇點(diǎn)為，在的外部，

故在以為邊界的閉圓上解析，

。

故推論2

若f(z)在閉合曲線C上及C內(nèi)無(wú)奇點(diǎn)，則3939

3、

原函數(shù)

當(dāng)z在區(qū)域D內(nèi)變化時(shí)，積分值也變化，并且該積分在D內(nèi)確定了一個(gè)單值函數(shù)（變上限的單值函數(shù)），記作

當(dāng)f(z)在單連通區(qū)域D內(nèi)解析，則在D內(nèi)積分與路徑無(wú)關(guān)，即以為起點(diǎn)，z為終點(diǎn)的D內(nèi)任何路徑上的積分值都相等，可記為4040

定理2設(shè)f(z)在單連通區(qū)域D內(nèi)解析，則F(z)在D內(nèi)解析，且定義

若函數(shù)F(z)在區(qū)域D內(nèi)的導(dǎo)數(shù)等于f(z)，即

,稱F(z)為f(z)在D內(nèi)的原函數(shù).定理3：任何兩個(gè)原函數(shù)相差一個(gè)常數(shù)。4141

定理4

設(shè)f(z)在單連通區(qū)域D內(nèi)解析，

F(z)是f(z)的一個(gè)原函數(shù)，則--------復(fù)積分的牛頓—萊布尼茲公式說(shuō)明：在區(qū)域單連通而函數(shù)解析的情況下，可用此公式求復(fù)變函數(shù)的積分，特別是處處解析的函數(shù)的積分。4242

例2計(jì)算下列積分：43，例3

求從－1到1的上半單位圓周。。

解由于在平面解析44

例4分析在為（1）從－1到1的上半單位圓周；（2）從－1到1的下半單位圓周；

（3）從－1到-1+2i再到1+2i，最后到1的折線段時(shí)三者的關(guān)系45xy-1-1+2i1O1+2iC1C2C346

解：由于在平面僅有奇點(diǎn)故(1)=(3),(2)-(1)=2πi4747

定理54復(fù)合閉路定理下面把定理1推廣多連通域上.4848

證明DC4949

此式說(shuō)明一個(gè)解析函

數(shù)沿閉曲線的積分，

不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)

作連續(xù)變形而改變它

的積分值，只要在變

形過(guò)程中曲線不經(jīng)過(guò)

f(z)的不解析點(diǎn).

DCC1C1C1—閉路變形原理.50D變形過(guò)程中不能夠經(jīng)過(guò)f(z)不解析的點(diǎn)51。

例5

設(shè)為圍線內(nèi)部一點(diǎn)，求

解以為圓心作圓周,使全含于的內(nèi)部,

，

則在內(nèi)部、外部所成區(qū)域上解析，上連續(xù)在52CC’αDr53例6計(jì)算，其中（1）xy1CO54解:（1）由于的奇點(diǎn)在的內(nèi)部，而奇點(diǎn)的外部，在。

。

故在上解析，

于是。

故55，其中xy1C1C22O（2）例6計(jì)算C562）由于的奇點(diǎn)及均在的內(nèi)部,故在內(nèi)分別作以0、1為心，半徑，

均為的小圓、，則在以、

，

及為邊界的多連通區(qū)域內(nèi)解析

解:故57例7計(jì)算的值,c為包含圓周|z|=1在內(nèi)解:

函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)除z=0和z=1兩個(gè)奇點(diǎn)由于C是包含著圓周|z|=1在內(nèi)的任何正向簡(jiǎn)單的任何正向簡(jiǎn)單閉曲線.外是處處解析的.閉曲線,因此,它也包含這兩個(gè)奇點(diǎn).在C內(nèi)作兩個(gè)互不包含也互不相交的正向圓周C1與C2,C1只包含奇點(diǎn)z=0,C2只包含奇點(diǎn)z=1.58xyO1C1C2C59則根據(jù)復(fù)合閉路定理,可得60小

結(jié)1、Cauchy—Goursat基本定理2、原函數(shù)、不定積分3、復(fù)合閉路定理61作業(yè)：

P76:5(1,2,4);6(1)62§3.3柯西積分公式6363

一、

問(wèn)

題

的

提

出二、

柯

西

積

分

公

式三、

典

型

例

題四、

小

結(jié)

3.3柯西積分公式6464

一、問(wèn)題的提出相同點(diǎn)：(1)均是沿圍線的積分，且圍線內(nèi)只有一個(gè)奇點(diǎn)；(2)被積函數(shù)均為分式；(3)積分值均跟有關(guān)。上節(jié)課的兩個(gè)結(jié)果C1C21xyo回憶6565

?6666

6767

二、柯西積分公式證6868

[證畢]6969

關(guān)于柯西積分公式的說(shuō)明:(---這是解析函數(shù)的又一特征)結(jié)論：如果兩個(gè)解析函數(shù)在區(qū)域的邊界上處處相等，則它們?cè)谡麄€(gè)區(qū)域上也相等。?7070

(4)一個(gè)解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周C上的平均值.(3)解析函數(shù)可用復(fù)積分表示7171

三、典型例題解：C2xyC1O7272

解：被積函數(shù)有奇點(diǎn)

i和

-i.OC1C2Ci-ixy7373

例3解7474

例5解

：

7575

四、小結(jié)7676

柯西積分公式7777

四、高階導(dǎo)數(shù)公式

在以前的討論中我們?cè)恢挂淮蔚目吹剑盒聳|西的發(fā)現(xiàn)常常屬于勤于觀察、善于觀察的人。提問(wèn)：解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍是解析函數(shù)？經(jīng)思索、觀察，它可寫(xiě)成7878

提問(wèn)：當(dāng)f(z)滿足一定條件時(shí)，會(huì)有7979

顯然，該公式可視為柯西積分公式的推廣.

如何記住公式？8080

它從理論上揭示了解析函數(shù)的又一重要特征.8181

證明利用數(shù)學(xué)歸納法和導(dǎo)數(shù)定義來(lái)證明定理6.8282

令為I

8383

8484

依次類推，用數(shù)學(xué)歸納法可得8585

解：C內(nèi)有兩個(gè)奇點(diǎn)0,-1.-1xyO思考題：8686

OC1C2Ci-ixy8787

8888

8989

90小結(jié)91作業(yè)：P76:4（3）；6(2,4，6，8)第四章解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示93

4.1復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)第四章解析函數(shù)的冪級(jí)數(shù)表示

4.2復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

4.3泰勒級(jí)數(shù)

4.4洛朗級(jí)數(shù)94

1、

復(fù)數(shù)列的極限§4.1復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)復(fù)數(shù)數(shù)列一列無(wú)窮多個(gè)有序的復(fù)數(shù)95

定義4.1

不收斂的數(shù)列稱為發(fā)散數(shù)列.96

證明98

該定理說(shuō)明:可將復(fù)數(shù)列的斂散性轉(zhuǎn)化為判別兩個(gè)實(shí)數(shù)列的斂散性.可以證明，兩個(gè)收斂復(fù)數(shù)序列的和、差、積、商

仍收斂，并且其極限是相應(yīng)極限的和、差積、商。課堂練習(xí):下列數(shù)列是否收斂?如果收斂,求出其極限.99

2、復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)前n項(xiàng)的和

---級(jí)數(shù)的部分和

---無(wú)窮級(jí)數(shù)

定義4.2

設(shè)復(fù)數(shù)列100

說(shuō)明:

與實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)相同,判別復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的基本方法是:101

根據(jù)實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的有關(guān)結(jié)論，可以得出判斷復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的簡(jiǎn)單方法.事實(shí)上，由于判斷級(jí)數(shù)是否收斂，實(shí)際上比較困難.定理4.2102

解所以原級(jí)數(shù)發(fā)散.課堂練習(xí)所以原級(jí)數(shù)收斂.103

常見(jiàn)實(shí)級(jí)數(shù)斂散性判別法：1）比較法；2）比值法；3）根值法；4）交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茲判別法.啟示:判別級(jí)數(shù)的斂散性時(shí),可先考察?級(jí)數(shù)發(fā)散;應(yīng)進(jìn)一步判斷.104

證明105

定義4.4思考106

判斷復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的方法：(5)定義及其他方法107

解例2108

109

§4.2復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1、復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定義1

設(shè)復(fù)變函數(shù)列：-----稱為復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)；

級(jí)數(shù)前n項(xiàng)的和

-----級(jí)數(shù)的部分和；

111

112

2、冪級(jí)數(shù)

的復(fù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù),其中

c0,c1,c2,…,a都是復(fù)常數(shù).

冪級(jí)數(shù)是最簡(jiǎn)單的解析函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),為了搞清楚它的斂散性,先建立以下的阿貝爾(Abel)定理.形如若令z←z-a,則以上冪級(jí)數(shù)還可以寫(xiě)成如下形式113

定理4.5（阿貝爾定理)：z0收斂點(diǎn)0.xyz0發(fā)散點(diǎn)0.yx114

證明115

(2)用反證法，對(duì)于冪級(jí)數(shù)（1），請(qǐng)寫(xiě)出相應(yīng)的阿貝爾定理.116

定理4.5（阿貝爾定理)：(1)對(duì)所有的復(fù)數(shù)z都收斂.由阿貝爾定理知:級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處絕對(duì)收斂.收斂半徑為

例如,級(jí)數(shù)對(duì)任意固定的z,從某個(gè)n開(kāi)始,總有于是有故該級(jí)數(shù)對(duì)任意的z均收斂.3、冪級(jí)數(shù)的收斂圓與收斂半徑(2)除

z=0外都發(fā)散.級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)除原點(diǎn)外處處發(fā)散.收斂半徑為零。例如,級(jí)數(shù)故級(jí)數(shù)發(fā)散.通項(xiàng)不趨于零,119

顯然，

<

.

否則，級(jí)數(shù)將在

處發(fā)散.120

使得該級(jí)數(shù)在圓內(nèi)絕對(duì)收斂，而在圓的外部發(fā)散。..收斂圓收斂半徑收斂圓周冪級(jí)數(shù)的收斂范圍是以a點(diǎn)為中心的圓域.121

在收斂圓周上是收斂還是發(fā)散,不能作出一般的結(jié)論,要對(duì)具體級(jí)數(shù)進(jìn)行具體分析.注意問(wèn)題2:冪級(jí)數(shù)在收斂圓周上的斂散性如何?例如,級(jí)數(shù):收斂圓周上無(wú)收斂點(diǎn);在收斂圓周上處處收斂.122

如何求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑呢?我們先討論下面的一個(gè)定理:xyO123

xyO124

0((達(dá)朗貝爾）

柯西定理4.7

合于的系數(shù)如果冪級(jí)數(shù))()()(比值法)(根值法)125

例1解

所以

126

思考題:提示:本題不能直接利用定理4.7（為什么？）.綜上127

例2求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑：

解

(1)也可以利用絕對(duì)收斂比值判別法的思想，直接計(jì)算。128

129

4、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)

---冪級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)求導(dǎo)運(yùn)算130

---冪級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)積分運(yùn)算

實(shí)際上，冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)可以逐項(xiàng)求導(dǎo)至任意階導(dǎo)數(shù).注：定理4.8為今后將函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)提供了極大的方便.131

5、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算與實(shí)冪級(jí)數(shù)一樣，復(fù)冪級(jí)數(shù)也可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算.

---冪級(jí)數(shù)的加、減運(yùn)算則132

---冪級(jí)數(shù)的乘法運(yùn)算（即用第一個(gè)冪級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)乘第二個(gè)級(jí)數(shù)，然后合并同次冪系數(shù).）對(duì)角線法133

對(duì)角線法則134

在函數(shù)展成冪級(jí)數(shù)中很有用注：上面的運(yùn)算在兩個(gè)級(jí)數(shù)中的較小的收斂圓內(nèi)成立.但這并不意味著運(yùn)算后級(jí)數(shù)的收斂半徑就是上面兩個(gè)級(jí)數(shù)中的較小一個(gè)收斂半徑.

---冪級(jí)數(shù)的代換(復(fù)合)運(yùn)算135

例3解：注意到所以代換展開(kāi)136

還原137

本講小結(jié)1、級(jí)數(shù)收斂的定義和性質(zhì)2、Abel定理3、冪級(jí)數(shù)的收斂半徑4、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)138

非凡的數(shù)學(xué)家——阿貝爾Abel,NielsHenrik,1802-1829挪威數(shù)學(xué)家1824年，他解決了用根式求解五次方程的不可能性問(wèn)題1825年建議克萊爾創(chuàng)辦了《純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志》1823年，發(fā)表了關(guān)于用積分方程求解古老的“等時(shí)線”問(wèn)題的論文。139

非凡的數(shù)學(xué)家——阿貝爾阿貝爾（Abel,NielsHenrik,1802-1829）挪威數(shù)學(xué)家。1802年8月5日生于芬島，1829年4月6日卒于弗魯蘭。是克里斯蒂安尼亞（現(xiàn)在的奧斯陸）教區(qū)窮牧師的六個(gè)孩子之一。盡管家里很貧困，父親還是在1815年把阿貝爾送進(jìn)克里斯蒂安尼亞的一所中學(xué)里讀書(shū)，15歲時(shí)優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教師洪堡（BerntMichaelHolmbo1795-1850）發(fā)現(xiàn)了阿貝爾的數(shù)學(xué)天才，對(duì)他給予指導(dǎo)。使阿貝爾對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了濃厚的興趣。16歲時(shí)阿貝爾寫(xiě)了一篇解方程的論文。丹麥數(shù)學(xué)家戴根（CarlFerdinandDegen1766-1825）看過(guò)這篇論文后，為阿貝爾的數(shù)學(xué)才華而驚嘆，當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)界正興起對(duì)橢圓積分的研究，于是他給阿貝爾回信寫(xiě)到：“...與其著手解決被認(rèn)為非常難解的方程問(wèn)題，不如把精力和時(shí)間投入到對(duì)解析學(xué)和力學(xué)的研究上。例如，橢圓積分就是很好的題目，相信你會(huì)取得成功...”。于是阿貝爾開(kāi)始轉(zhuǎn)向?qū)E圓函數(shù)的研究。 阿貝爾18歲時(shí)，父親去世了，這使生活變得更加貧困。1821年在洪堡老師的幫助下，阿貝爾進(jìn)入克里斯蒂安尼亞大學(xué)。1823年，他發(fā)表了第一篇論文，是關(guān)于用積分方程求解古老的“等時(shí)線”問(wèn)題的。這是對(duì)這類方程的第一個(gè)解法，開(kāi)了研究積分方程的先河。1824年，他解決了用根式求解五次方程的不可能性問(wèn)題。這一論文也寄給了格丁根的高斯，但是高斯連信都未開(kāi)封。

141

1825年，他去柏林，結(jié)識(shí)了業(yè)余數(shù)學(xué)愛(ài)好者克萊爾（AugusteLeopoldCrelle1780-1856）。他與斯坦納建議克萊爾創(chuàng)辦了著名數(shù)學(xué)刊物《純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志》。這個(gè)雜志頭三卷發(fā)表了阿貝爾22篇包括方程論、無(wú)窮級(jí)數(shù)、橢圓函數(shù)論等方面的論文。

1826年，阿貝爾來(lái)到巴黎，他會(huì)見(jiàn)了柯西、勒讓德、狄利赫萊和其他人，但這些會(huì)面也是虛應(yīng)故事，人們并沒(méi)有真正認(rèn)識(shí)到他的天才。阿貝爾又太靦腆，不好意思在陌生人面前談?wù)撍睦碚?。雖然沒(méi)有像克萊爾那樣的熱心人，但他仍然堅(jiān)持?jǐn)?shù)學(xué)的研究工作。撰寫(xiě)了“關(guān)于一類極廣泛的超越函數(shù)的一般性質(zhì)”的論文，提交給巴黎科學(xué)院。阿貝爾在給洪堡的信中，非常自信地說(shuō)：“...已確定在下個(gè)月的科學(xué)院例會(huì)上宣讀我的論文,由柯西審閱,恐怕還沒(méi)有來(lái)142得及過(guò)目。不過(guò)，我認(rèn)為這是一件非常有價(jià)值的工作，我很想能盡快聽(tīng)到科學(xué)院權(quán)威人士的意見(jiàn)，現(xiàn)在正昂首以待...?！?/p>

可是，負(fù)責(zé)給阿貝爾審稿的柯西把論文放進(jìn)抽屜里，一放了之。（這篇論文原稿于1952年在佛羅倫薩重新發(fā)現(xiàn)）阿貝爾等到年末，了無(wú)音信。一氣之下離開(kāi)了巴黎，在柏林作短暫停留之后于1827年5月20日回到了挪威。由于過(guò)渡疲勞和營(yíng)養(yǎng)不良，在旅途上感染了肺結(jié)核。這在當(dāng)時(shí)是不治之癥。當(dāng)阿貝爾去弗魯蘭與女朋友肯普（ChristineKemp）歡度圣誕節(jié)時(shí)，身體非常虛弱，但他一邊與病魔作斗爭(zhēng)一邊繼續(xù)進(jìn)行數(shù)學(xué)研究。他原希望回國(guó)后能被聘為大學(xué)教授，但是他的這一希望又一次落空。他靠給私人補(bǔ)課謀生，一度143

當(dāng)過(guò)代課教師。阿貝爾和雅可比（CarlGustavJacobi1804-1851）是公認(rèn)的橢圓函數(shù)論的創(chuàng)始人。這是作為橢圓積分的反函數(shù)而為他所發(fā)現(xiàn)的。這一理論很快就成為十九世紀(jì)分析中的重要領(lǐng)域之一，他對(duì)數(shù)論、數(shù)學(xué)物理以及代數(shù)幾何有許多應(yīng)用。阿貝爾發(fā)現(xiàn)了橢圓函數(shù)的加法定理、雙周期性。此外，在交換群、二項(xiàng)級(jí)數(shù)的嚴(yán)格理論、級(jí)數(shù)求和等方面都有巨大的貢獻(xiàn)。這些工作使他成為分析學(xué)嚴(yán)格化的推動(dòng)者。在這個(gè)時(shí)候，阿貝爾的名聲隨著克萊爾雜志的廣泛發(fā)行而傳遍了歐洲的所有數(shù)學(xué)中心。雅可比看見(jiàn)這篇橢圓函數(shù)的論文，而且知道了巴黎科學(xué)院所作的蠢事之后，非常吃驚，在1829年3月14日寫(xiě)信給巴黎科學(xué)144

院表示抗議：“...這在我們生活的這個(gè)世紀(jì)中，恐怕是數(shù)學(xué)中最重要的發(fā)現(xiàn)，雖然向‘老爺們’的研究院提交此論文達(dá)兩年之久，但一直沒(méi)有得到諸位先生的注意，這是為什么呢？...”。而由于阿貝爾身處孤陋寡聞之地，對(duì)于這一切一無(wú)所知。阿貝爾的病情不斷發(fā)展，甚至連醫(yī)生也束手無(wú)策了

1829年4月5日夜間，阿貝爾的病情急劇惡化，于4月6日上午11點(diǎn)去世。作為命運(yùn)捉弄人的是，在他死后的第二天，克萊爾寫(xiě)信給阿貝爾“...我國(guó)教育部決定招聘您為柏林大學(xué)教授...，一個(gè)月之內(nèi)就能發(fā)出招聘書(shū)...?！边@封信還提到，希望阿貝爾能盡量用最好的藥物治療，不要考慮費(fèi)用支出。他的親人們聽(tīng)到這一消息，禁不住淚流滿面。

第四章解析函數(shù)的冪級(jí)數(shù)表示§4.3泰勒級(jí)數(shù)

我們知道一個(gè)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在它的收斂圓內(nèi)是解析函數(shù)，現(xiàn)在我們考慮與此相反的問(wèn)題：一個(gè)解析函數(shù)是否能用冪級(jí)數(shù)來(lái)表示？1、泰勒展開(kāi)定理

對(duì)實(shí)函數(shù)而言，一個(gè)關(guān)鍵性條件是：應(yīng)在展開(kāi)點(diǎn)處具有任意階導(dǎo)數(shù).

對(duì)于復(fù)變函數(shù)來(lái)說(shuō)，由于解析函數(shù)具有任意階的導(dǎo)數(shù)，所以這一條件是滿足的.147

預(yù)備知識(shí)2）公式

(<1)(zD)3)(解析函數(shù)的無(wú)窮可微性)148

定理1（Taylor定理）即149

Dk

證明：由柯西積分公式150

Dk

z把上面的式子代入(*),151

泰勒級(jí)數(shù)泰勒系數(shù)

事實(shí)上，設(shè)f(z)用另外的方法展開(kāi)為冪級(jí)數(shù):由此可見(jiàn)，解析函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)就是它的Taylor級(jí)數(shù)，因而是唯一的.注(1)

若f(z)有奇點(diǎn)，那么f(z)在解析點(diǎn)

的Taylor展開(kāi)式的收斂半徑R等于點(diǎn)

到f(z)的最近的一個(gè)奇點(diǎn)

之間的距離，即154

(1)直接法----利用公式;(2)間接法----由已知函數(shù)的展開(kāi)式，運(yùn)用級(jí)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算、代換、逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)積分等方法來(lái)展開(kāi).函數(shù)展開(kāi)成Taylor級(jí)數(shù)的方法：例如155

2、幾個(gè)初等函數(shù)的泰勒展開(kāi)式例1解:156

157

例2把下列函數(shù)展開(kāi)成

z的冪級(jí)數(shù):解:-1OR=1xy159

(2)因ln(1+z)在從z=-1向左沿負(fù)實(shí)軸剪開(kāi)的平面內(nèi)解析，ln(1+z)離原點(diǎn)最近的一個(gè)奇點(diǎn)是-1,所以它的展開(kāi)式的收斂范圍為

z

<1.注：以上幾個(gè)展式顯然與相應(yīng)的實(shí)函數(shù)展式一致.（逐項(xiàng)積分、求導(dǎo)，收斂半徑不變）160

一些常用展開(kāi)式161

例3將函數(shù)展開(kāi)為z-i的級(jí)數(shù)。解:f(z)只有一個(gè)奇點(diǎn),其收斂半徑為

解：例4將函數(shù)按z-1的冪展開(kāi)，并指明其收斂范圍.f(z)有奇點(diǎn)-2，其收斂半徑為165

思考題

解166

泰勒

(1685–1731)英國(guó)數(shù)學(xué)家，早期牛頓派最優(yōu)秀的代表人物之一?！墩暮头吹脑隽糠椒ā?1715)

《線性透視論》(1719)

他在1712年就得到了現(xiàn)代形式的泰勒公式.他是有限差分理論的奠基人.第四章解析函數(shù)的冪級(jí)數(shù)表示例如，都不解析,但在圓環(huán)域及內(nèi)都是解析的.而所以即內(nèi)可以展開(kāi)成級(jí)數(shù).§4洛朗(Laurent)級(jí)數(shù)也可以展開(kāi)成級(jí)數(shù)：由此推想，若f(z)在R

1<

z-