第二章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析南京航空航天大學(xué)電子信息工程學(xué)院主要內(nèi)容系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)引言13系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)2連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的全響應(yīng)4指數(shù)信號(hào)激勵(lì)下系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)5主要內(nèi)容系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)引言13系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)2連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的全響應(yīng)4指數(shù)信號(hào)激勵(lì)下系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)52.1引言在上一章最后一節(jié)，我們建立了連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.1引言在上一章最后一節(jié)，我們建立了連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型——線(xiàn)性常系數(shù)微分方程。因此，連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析歸結(jié)為建立并求解線(xiàn)性常系數(shù)微分方程。2.1引言在上一章最后一節(jié)，我們建立了連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型——線(xiàn)性常系數(shù)微分方程。因此，連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析歸結(jié)為建立并求解線(xiàn)性常系數(shù)微分方程。求解微分方程通常有兩種方法：一種是直接求解，由于涉及的函數(shù)變量都是時(shí)間t，所以又稱(chēng)為時(shí)域分析法；2.1引言在上一章最后一節(jié)，我們建立了連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型——線(xiàn)性常系數(shù)微分方程。因此，連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析歸結(jié)為建立并求解線(xiàn)性常系數(shù)微分方程。求解微分方程通常有兩種方法：一種是直接求解，由于涉及的函數(shù)變量都是時(shí)間t，所以又稱(chēng)為時(shí)域分析法；另一種是變換的方法，將時(shí)間變量變換為其他變量來(lái)求解，又稱(chēng)為變換域方法。2.1引言在高等數(shù)學(xué)中，直接求解線(xiàn)性常系數(shù)微分方程的方法主要分為三個(gè)步驟：2.1引言在高等數(shù)學(xué)中，直接求解線(xiàn)性常系數(shù)微分方程的方法主要分為三個(gè)步驟：1、求通解：求解齊次方程，包含待定系數(shù)；2.1引言在高等數(shù)學(xué)中，直接求解線(xiàn)性常系數(shù)微分方程的方法主要分為三個(gè)步驟：1、求通解：求解齊次方程，包含待定系數(shù)；2、求特解：要根據(jù)方程右端函數(shù)的具體形式確定，也包含待定常數(shù)，可代回到原微分方程中確定；2.1引言在高等數(shù)學(xué)中，直接求解線(xiàn)性常系數(shù)微分方程的方法主要分為三個(gè)步驟：1、求通解：求解齊次方程，包含待定系數(shù)；2、求特解：要根據(jù)方程右端函數(shù)的具體形式確定，也包含待定常數(shù)，可代回到原微分方程中確定；3、將通解和特解相加，根據(jù)初始條件確定待定常數(shù)。2.1引言這種解法中的通解容易求得，只要求出特征方程的根即可寫(xiě)出通解的一般形式。2.1引言這種解法中的通解容易求得，只要求出特征方程的根即可寫(xiě)出通解的一般形式。然而，方程右邊函數(shù)一般是系統(tǒng)的激勵(lì)，其形式可能比較復(fù)雜，這時(shí)特解的形式就難以確定。在此，本章將介紹疊加積分法，其主要步驟為：2.1引言這種解法中的通解容易求得，只要求出特征方程的根即可寫(xiě)出通解的一般形式。然而，方程右邊函數(shù)一般是系統(tǒng)的激勵(lì)，其形式可能比較復(fù)雜，這時(shí)特解的形式就難以確定。在此，本章將介紹疊加積分法，其主要步驟為：1、求零輸入響應(yīng)：零輸入響應(yīng)是指系統(tǒng)輸入為零時(shí)的響應(yīng)，可以通過(guò)求解齊次方程得到；2.1引言2、求零狀態(tài)響應(yīng)：零狀態(tài)響應(yīng)是指不考慮系統(tǒng)的初始狀態(tài)，由加到系統(tǒng)的激勵(lì)信號(hào)產(chǎn)生的響應(yīng)。2.1引言2、求零狀態(tài)響應(yīng)：零狀態(tài)響應(yīng)是指不考慮系統(tǒng)的初始狀態(tài)，由加到系統(tǒng)的激勵(lì)信號(hào)產(chǎn)生的響應(yīng)。為了求零狀態(tài)響應(yīng)，首先可將信號(hào)分解為簡(jiǎn)單信號(hào)的疊加，而系統(tǒng)對(duì)這些簡(jiǎn)單信號(hào)的響應(yīng)是容易求得的；然后，根據(jù)線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的性質(zhì)將這些響應(yīng)疊加起來(lái)。因此，該方法稱(chēng)為疊加積分法。主要內(nèi)容系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)引言13系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)2連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的全響應(yīng)4指數(shù)信號(hào)激勵(lì)下系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)52.2系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)對(duì)于一個(gè)n階線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)，其輸入輸出關(guān)系可以用一個(gè)n階線(xiàn)性微分方程描述：2.2系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)對(duì)于一個(gè)n階線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)，其輸入輸出關(guān)系可以用一個(gè)n階線(xiàn)性微分方程描述：對(duì)于零輸入響應(yīng)，，則上式變成：2.2系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)對(duì)于一個(gè)n階線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)，其輸入輸出關(guān)系可以用一個(gè)n階線(xiàn)性微分方程描述：對(duì)于零輸入響應(yīng)，，則上式變成：上式是一個(gè)齊次方程，容易求得其解。2.2系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)由于指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是指數(shù)函數(shù)，因此，可設(shè)方程的解是指數(shù)函數(shù)，即：將上式代入齊次方程，得：2.2系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)由于指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是指數(shù)函數(shù)，因此，可設(shè)方程的解是指數(shù)函數(shù)，即：將上式代入齊次方程，得：由于，則可以得到：2.2系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)由于指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是指數(shù)函數(shù)，因此，可設(shè)方程的解是指數(shù)函數(shù)，即：將上式代入齊次方程，得：由于，則可以得到：上式稱(chēng)為特征方程。假定特征方程有n個(gè)根，這些根稱(chēng)為特征根，也叫作自然頻率。2.2系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)根據(jù)代數(shù)知識(shí)可以知道，這些特征根可能是單根，可能是重根，也可能是復(fù)根。下面，我們分情況討論。2.2系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)一、特征根為單根特征根是單根的情況最簡(jiǎn)單。此時(shí)，齊次方程的解分別為，并且是一組n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解，稱(chēng)為基礎(chǔ)解組。2.2系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)一、特征根為單根特征根是單根的情況最簡(jiǎn)單。此時(shí)，齊次方程的解分別為，并且是一組n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解，稱(chēng)為基礎(chǔ)解組。線(xiàn)性無(wú)關(guān)是指這一組解中的任意兩個(gè)函數(shù)之比不能是常數(shù)。此時(shí)，零輸入響應(yīng)的一般形式可以表示成它們的線(xiàn)性組合：2.2系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)一、特征根為單根如果已知系統(tǒng)的n個(gè)初始條件，就可以代入上式中確定各常數(shù)的值。當(dāng)然，初始條件也可以不是t=0時(shí)的初始值，可以是其他時(shí)刻的值，只是通常取t=0時(shí)得初始值作為初始條件。2.2系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)二、特征根為重根假定是一個(gè)p階重根，而其他的n-p個(gè)根仍是單根，它們的基礎(chǔ)解組可參考上一節(jié)。因此，只需確定的p個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)解即可。2.2系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)二、特征根為重根假定是一個(gè)p階重根，而其他的n-p個(gè)根仍是單根，它們的基礎(chǔ)解組可參考上一節(jié)。因此，只需確定的p個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)解即可。如果，必然有，則齊次方程變?yōu)椋哼@時(shí)，滿(mǎn)足上面方程，并且恰好是p個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解。2.2系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)二、特征根為重根如果，此時(shí)只有一個(gè)解，為確定其他的p-1個(gè)解，假定具有的形式，為便于書(shū)寫(xiě)，簡(jiǎn)記為。2.2系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)二、特征根為重根如果，此時(shí)只有一個(gè)解，為確定其他的p-1個(gè)解，假定具有的形式，為便于書(shū)寫(xiě)，簡(jiǎn)記為。容易求出它的m階導(dǎo)數(shù)為：將其代入齊次方程，有：2.2系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)二、特征根為重根由于，于是有注意到的各階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)都是常數(shù)，將的各階導(dǎo)數(shù)合并得：2.2系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)二、特征根為重根這說(shuō)明滿(mǎn)足上式的齊次方程，其特征方程為：將代入方程（2.3）中，得：這時(shí)相當(dāng)于，說(shuō)明方程與上面的特征方程具有相同的根。2.2系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)二、特征根為重根而上式方程的解有一個(gè)p階重根，因此，特征方程就有一個(gè)p階重根0。這樣，可以得到方程中的p個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)解。由于，于是得到p個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)解為。2.2系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)二、特征根為重根綜上所述，可取這p個(gè)函數(shù)作為基礎(chǔ)解組。此時(shí)，零輸入響應(yīng)的一般形式為：同樣，上式中的常數(shù)可由初始條件確定。2.2系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)三、特征根為共軛復(fù)根如果特征根是共軛復(fù)根的情況，假定這兩個(gè)根為

，則兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)解為：用實(shí)函數(shù)的形式表示即和。2.2系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)三、特征根為共軛復(fù)根因此，有一對(duì)共軛復(fù)根時(shí)零輸入響應(yīng)的一般形式為：2.2系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)三、特征根為共軛復(fù)根因此，有一對(duì)共軛復(fù)根時(shí)零輸入響應(yīng)的一般形式為：如果存在p階共軛復(fù)根，則其2p個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)解的實(shí)函數(shù)形式為和。此時(shí)，零輸入響應(yīng)的一般形式為：2.2系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)小結(jié)：?jiǎn)胃?/p>

重根：

共軛復(fù)根：2.2系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)例2.1：下圖為RLC串聯(lián)諧振電路，已知電感、電容、電阻值。初始條件為：分別求上述兩種情況下回路電流的零輸入響應(yīng)。2.2系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)解：列出電路微分方程：2.2系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)解：列出電路微分方程：代入電路參數(shù)，可得：2.2系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)解：列出電路微分方程：代入電路參數(shù)，可得：求出該方程的兩個(gè)根，則回路電流零輸入響應(yīng)的一般形式為：2.2系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)解：對(duì)于第一組初始條件，直接代入得：2.2系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)解：對(duì)于第一組初始條件，直接代入得：解得：因此，零輸入響應(yīng)為：2.2系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)解：對(duì)于第一組初始條件，直接代入得：解得：因此，零輸入響應(yīng)為：需在表達(dá)式后面加上該限制條件！2.2系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)解：對(duì)于第二組初始條件，需將電容兩端電壓轉(zhuǎn)化為回路電流的導(dǎo)數(shù)。由于輸入為零，根據(jù)電路可列出回路方程：則有：2.2系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)解：對(duì)于第二組初始條件，需將電容兩端電壓轉(zhuǎn)化為回路電流的導(dǎo)數(shù)。由于輸入為零，根據(jù)電路可列出回路方程：則有：代入回路電流零輸入響應(yīng)的一般形式，有：2.2系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)解：此時(shí)，則零輸入響應(yīng)為：2.2系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)解：此時(shí)，則零輸入響應(yīng)為：2.2系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)解：此時(shí)，則零輸入響應(yīng)為：過(guò)阻尼2.2系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)下圖中，電容兩端初始電壓為10V，方向左正右負(fù)，則電容放電，放電方向與參考電流方向相反，故曲線(xiàn)在橫軸下方；由于電路中存在的電阻損耗能量，最終電流變?yōu)榱?。過(guò)阻尼2.2系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)例2.2：下圖為RLC串聯(lián)諧振電路，只改變電阻值。初始條件仍為，求回路電流的零輸入響應(yīng)。2.2系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)解：根據(jù)已知條件，可得系統(tǒng)的特征方程為：該方程有二階重根。2.2系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)解：根據(jù)已知條件，可得系統(tǒng)的特征方程為：該方程有二階重根。于是，零輸入響應(yīng)的一般形式為：2.2系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)解：根據(jù)已知條件，可得系統(tǒng)的特征方程為：該方程有二階重根。于是，零輸入響應(yīng)的一般形式為：代入初始條件，可得：則：2.2系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)解：2.2系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)解：臨界阻尼臨界阻尼和過(guò)阻尼的零輸入響應(yīng)電流都不產(chǎn)生振蕩。2.2系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)例2.3：下圖為RLC串聯(lián)諧振電路，只改變電阻值。初始條件仍為，求回路電流的零輸入響應(yīng)。2.2系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)解：根據(jù)已知條件，可得系統(tǒng)的特征方程為：該方程有一對(duì)共軛復(fù)根。2.2系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)解：根據(jù)已知條件，可得系統(tǒng)的特征方程為：該方程有一對(duì)共軛復(fù)重根。于是，零輸入響應(yīng)的一般形式為：2.2系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)解：根據(jù)已知條件，可得系統(tǒng)的特征方程為：該方程有一對(duì)共軛復(fù)重根。于是，零輸入響應(yīng)的一般形式為：代入初始條件，可得：則有：2.2系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)解：振蕩衰減2.2系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)解：欠阻尼2.2系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)1、相當(dāng)于電容上的初始電壓為-1V（方向右正左負(fù)），故電容放電方向與參考電流方向相同，曲線(xiàn)在橫軸上方。電容放電時(shí)將電容中的電能轉(zhuǎn)化為電感中的磁能；2.2系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)2、電感中的磁能向電容釋放，當(dāng)電感中的磁能全部轉(zhuǎn)化為電容中的電能時(shí)，電感中的電流為零；2.2系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)3、電容中的電能反向釋放，曲線(xiàn)在橫軸下方，電容中的電能轉(zhuǎn)化為電感中的磁能；2.2系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)4、電感中的磁能反向釋放，方向與2相反，當(dāng)電感中的磁能全部轉(zhuǎn)化為電容中的電能時(shí)，電感中的電流為零；2.2系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)5、接下來(lái)，從1開(kāi)始重復(fù)這個(gè)過(guò)程，由于電路中存在電阻，將損耗能量，所以振蕩幅度逐步減小，最終衰減為零。主要內(nèi)容系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)引言13系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)2連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的全響應(yīng)4指數(shù)信號(hào)激勵(lì)下系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)52.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)求零狀態(tài)響應(yīng)，首先需要將信號(hào)分解為簡(jiǎn)單信號(hào)的疊加，然后求出系統(tǒng)對(duì)這些簡(jiǎn)單信號(hào)的響應(yīng)，再根據(jù)線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的性質(zhì)將這些響應(yīng)疊加起來(lái)。2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)求零狀態(tài)響應(yīng)，首先需要將信號(hào)分解為簡(jiǎn)單信號(hào)的疊加，然后求出系統(tǒng)對(duì)這些簡(jiǎn)單信號(hào)的響應(yīng)，再根據(jù)線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的性質(zhì)將這些響應(yīng)疊加起來(lái)。下面，先介紹幾個(gè)典型的時(shí)域信號(hào)。由于這些信號(hào)在實(shí)際中并不存在，只是數(shù)學(xué)上對(duì)某些信號(hào)的一種抽象和理想化，通常稱(chēng)為奇異函數(shù)。2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)一、奇異函數(shù)1、單位沖激函數(shù)單位沖激函數(shù)記為，定義為：2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)一、奇異函數(shù)1、單位沖激函數(shù)單位沖激函數(shù)記為，定義為：上式中，單位沖激函數(shù)除了t=0，其余點(diǎn)函數(shù)值均為0。在t=0處的值沒(méi)有直接定義，但其面積為1，其面積稱(chēng)為單位沖激函數(shù)的沖激強(qiáng)度。2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)一、奇異函數(shù)1、單位沖激函數(shù)沖激函數(shù)在圖上用括號(hào)括起來(lái)，表示沖激函數(shù)的強(qiáng)度，而不是幅度，其幅度有時(shí)可認(rèn)為是無(wú)窮大，在圖上用箭頭表示。2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)一、奇異函數(shù)1、單位沖激函數(shù)單位沖激函數(shù)具有以下性質(zhì)：（1）單位沖激函數(shù)是偶函數(shù)2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)一、奇異函數(shù)1、單位沖激函數(shù)單位沖激函數(shù)具有以下性質(zhì)：（1）單位沖激函數(shù)是偶函數(shù)（2）尺度變換2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)一、奇異函數(shù)1、單位沖激函數(shù)單位沖激函數(shù)具有以下性質(zhì)：（1）單位沖激函數(shù)是偶函數(shù)（2）尺度變換（3）與任意函數(shù)相乘2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)一、奇異函數(shù)1、單位沖激函數(shù)單位沖激函數(shù)具有以下性質(zhì)：（4）與任意函數(shù)相乘后積分2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)一、奇異函數(shù)2、單位階躍函數(shù)單位階躍函數(shù)記為，定義為：2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)一、奇異函數(shù)2、單位階躍函數(shù)單位階躍函數(shù)記為，定義為：?jiǎn)挝浑A躍函數(shù)是單位沖激函數(shù)的積分，當(dāng)t>0時(shí)函數(shù)值為1，而t<0時(shí)函數(shù)值為0。反之，單位沖激函數(shù)是單位階躍函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)一、奇異函數(shù)2、單位階躍函數(shù)2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)一、奇異函數(shù)2、單位階躍函數(shù)由單位階躍函數(shù)的定義可以看出，任意一個(gè)函數(shù)乘以階躍函數(shù)后，其乘積在階躍之前為0，之后函數(shù)值保持不變。這個(gè)特點(diǎn)可以用來(lái)表示理想的開(kāi)關(guān)接通信號(hào)源的情況。2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)一、奇異函數(shù)2、單位階躍函數(shù)對(duì)于一些分段函數(shù)，用單位階躍函數(shù)表示起來(lái)更方便。2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)一、奇異函數(shù)2、單位階躍函數(shù)對(duì)于一些分段函數(shù)，用單位階躍函數(shù)表示起來(lái)更方便。比如，傳統(tǒng)分段函數(shù)表示為：2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)一、奇異函數(shù)2、單位階躍函數(shù)對(duì)于一些分段函數(shù)，用單位階躍函數(shù)表示起來(lái)更方便。比如，傳統(tǒng)分段函數(shù)表示為：用單位階躍函數(shù)可以更簡(jiǎn)潔地表示為：2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)一、奇異函數(shù)2、單位階躍函數(shù)在高等數(shù)學(xué)中，該函數(shù)在0和2處是不存在導(dǎo)數(shù)的，但根據(jù)單位沖激函數(shù)與單位階躍函數(shù)的關(guān)系可知，該函數(shù)在這兩點(diǎn)上也可存在導(dǎo)數(shù)。2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)一、奇異函數(shù)2、單位階躍函數(shù)對(duì)求導(dǎo)并化簡(jiǎn)，可得：2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)一、奇異函數(shù)2、單位階躍函數(shù)對(duì)求導(dǎo)并化簡(jiǎn)，可得：2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)一、奇異函數(shù)2、單位階躍函數(shù)注：函數(shù)在連續(xù)部分的導(dǎo)數(shù)與通常的導(dǎo)數(shù)是一樣的。只是在函數(shù)有跳變的地方也存在導(dǎo)數(shù)，并且是沖激函數(shù)，而沖激的方向取決于函數(shù)跳變的方向，強(qiáng)度是函數(shù)跳變的數(shù)值。2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)一、奇異函數(shù)2、單位階躍函數(shù)注：今后，在零輸入響應(yīng)的確切表達(dá)式后面可以直接乘以一個(gè)階躍函數(shù)，以代替限制條件或。這并不代表這兩個(gè)時(shí)間點(diǎn)之前的響應(yīng)為0，而是不知道或不感興趣。2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)一、奇異函數(shù)3、門(mén)函數(shù)門(mén)函數(shù)用表示，定義為：門(mén)函數(shù)是一個(gè)高度為1、寬度為1且對(duì)稱(chēng)的矩形脈沖，其形狀像一個(gè)門(mén)。用可以方便地表示出不同高度和寬度的門(mén)函數(shù)。2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)一、奇異函數(shù)3、門(mén)函數(shù)2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)一、奇異函數(shù)3、門(mén)函數(shù)2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)一、奇異函數(shù)3、門(mén)函數(shù)門(mén)函數(shù)的特別之處在于，當(dāng)脈沖寬度變小時(shí)，其高度變大，但其面積保持不變，恒為1。當(dāng)脈沖寬度趨近于0時(shí)，門(mén)函數(shù)就變成了單位沖激函數(shù)，即：2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)一、奇異函數(shù)4、單位沖激偶單位沖激偶實(shí)際上是單位沖激函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，記為。于是，2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)一、奇異函數(shù)4、單位沖激偶單位沖激偶是一正一負(fù)兩個(gè)沖激，帶括號(hào)的1標(biāo)在中間，它并不表示沖激的強(qiáng)度，而表示它是單位沖激函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)一、奇異函數(shù)4、單位沖激偶單位沖激偶的性質(zhì)：2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)二、信號(hào)的時(shí)域分解信號(hào)在時(shí)域中的分解是多種多樣的，對(duì)于一些簡(jiǎn)單信號(hào)的分解是顯而易見(jiàn)的，例如，門(mén)函數(shù)可以分解為兩個(gè)階躍信號(hào)的疊加。2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)二、信號(hào)的時(shí)域分解為求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，需要對(duì)任意一個(gè)信號(hào)進(jìn)行分解，通常的做法是將任意信號(hào)分解為許多矩形脈沖的疊加。2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)二、信號(hào)的時(shí)域分解圖中，光滑曲線(xiàn)表示任意信號(hào)，將它近似地用一定寬度、位置不同、高度隨該信號(hào)變化的無(wú)窮多個(gè)矩形脈沖的疊加表示，2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)二、信號(hào)的時(shí)域分解圖中，光滑曲線(xiàn)表示任意信號(hào)，將它近似地用一定寬度、位置不同、高度隨該信號(hào)變化的無(wú)窮多個(gè)矩形脈沖的疊加表示，其數(shù)學(xué)表達(dá)式可寫(xiě)成：2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)二、信號(hào)的時(shí)域分解當(dāng)矩形脈沖的寬度趨近于零時(shí)，可得：2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)二、信號(hào)的時(shí)域分解從而，無(wú)窮多個(gè)矩形脈沖的疊加變成了疊加積分，即：2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)三、卷積及其性質(zhì)從上一節(jié)內(nèi)容可以知道，任意一個(gè)信號(hào)可以分解為不同位置和不同強(qiáng)度沖激函數(shù)的疊加積分。因此，求系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的關(guān)鍵是求出系統(tǒng)對(duì)單位沖激函數(shù)的響應(yīng)。2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)三、卷積及其性質(zhì)從上一節(jié)內(nèi)容可以知道，任意一個(gè)信號(hào)可以分解為不同位置和不同強(qiáng)度沖激函數(shù)的疊加積分。因此，求系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的關(guān)鍵是求出系統(tǒng)對(duì)單位沖激函數(shù)的響應(yīng)。定義系統(tǒng)對(duì)沖激函數(shù)的零狀態(tài)響應(yīng)為單位沖激響應(yīng)，即：。2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)三、卷積及其性質(zhì)根據(jù)系統(tǒng)的時(shí)不變性，有：線(xiàn)性系統(tǒng)滿(mǎn)足齊次性，有：線(xiàn)性系統(tǒng)滿(mǎn)足疊加性，有：2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)三、卷積及其性質(zhì)根據(jù)系統(tǒng)的時(shí)不變性，有：線(xiàn)性系統(tǒng)滿(mǎn)足齊次性，有：線(xiàn)性系統(tǒng)滿(mǎn)足疊加性，有：系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)三、卷積及其性質(zhì)因此，零狀態(tài)響應(yīng)的計(jì)算公式為：2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)三、卷積及其性質(zhì)因此，零狀態(tài)響應(yīng)的計(jì)算公式為：系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)激勵(lì)信號(hào)2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)三、卷積及其性質(zhì)因此，零狀態(tài)響應(yīng)的計(jì)算公式為：其實(shí)，可將其看作純粹數(shù)學(xué)意義上的兩個(gè)函數(shù)，這樣上式所表達(dá)的就是兩個(gè)函數(shù)的一種運(yùn)算關(guān)系，在數(shù)學(xué)上稱(chēng)為卷積，用符號(hào)“*”表示。2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)三、卷積及其性質(zhì)因此，零狀態(tài)響應(yīng)的計(jì)算公式為：于是，上式可以簡(jiǎn)單地寫(xiě)成：2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)三、卷積及其性質(zhì)由此，也可寫(xiě)成：注：任意一個(gè)函數(shù)與單位沖激函數(shù)的卷積等于它自己。2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)三、卷積及其性質(zhì)卷積是兩個(gè)函數(shù)的一種運(yùn)算關(guān)系。下面，我們來(lái)研究?jī)蓚€(gè)函數(shù)的卷積運(yùn)算?？紤]下式的卷積：計(jì)算可分為三個(gè)步驟：1、將兩個(gè)函數(shù)的自變量由換為；2、將反折并移位；3、將兩個(gè)函數(shù)相乘并求積分。2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)三、卷積及其性質(zhì)對(duì)于如下兩個(gè)函數(shù)，卷積計(jì)算可分為三個(gè)步驟：2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)三、卷積及其性質(zhì)1、將兩個(gè)函數(shù)的自變量由換為：2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)三、卷積及其性質(zhì)2、將反折并移位：2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)三、卷積及其性質(zhì)3、將兩個(gè)函數(shù)相乘并求積分。2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)三、卷積及其性質(zhì)從圖中可以看出，移的位置不同，會(huì)影響到第三步的積分結(jié)果。因此，第三個(gè)步驟往往要分多種情況進(jìn)行討論。2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)三、卷積及其性質(zhì)從圖中可以看出，移的位置不同，會(huì)影響到第三步的積分結(jié)果。因此，第三個(gè)步驟往往要分多種情況進(jìn)行討論。2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)三、卷積及其性質(zhì)從圖中可以看出，移的位置不同，會(huì)影響到第三步的積分結(jié)果。因此，第三個(gè)步驟往往要分多種情況進(jìn)行討論。2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)三、卷積及其性質(zhì)下面，以一個(gè)具體的例子來(lái)進(jìn)一步說(shuō)明卷積的計(jì)算過(guò)程。例2.4：計(jì)算矩形脈沖與指數(shù)函數(shù)的卷積。2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)三、卷積及其性質(zhì)解：根據(jù)題意做出兩個(gè)函數(shù)的圖形，如下所示：2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)三、卷積及其性質(zhì)解：首先，將兩個(gè)函數(shù)的自變量進(jìn)行替換；然后，將指數(shù)函數(shù)反折并移位，可以得到2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)三、卷積及其性質(zhì)2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)三、卷積及其性質(zhì)解：對(duì)于第一種情況，2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)三、卷積及其性質(zhì)解：對(duì)于第二種情況，2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)三、卷積及其性質(zhì)解：對(duì)于第三種情況，2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)三、卷積及其性質(zhì)解：利用單位階躍函數(shù)，可將最終分段函數(shù)結(jié)果表示為：2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)三、卷積及其性質(zhì)解：根據(jù)上式，做出最終結(jié)果的圖形為：2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)三、卷積及其性質(zhì)對(duì)于卷積運(yùn)算，當(dāng)函數(shù)形式給定時(shí)，需要代入具體的函數(shù)；當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的相對(duì)位置不同時(shí)，其積分區(qū)間也是不一樣的。因此，卷積其實(shí)是兩個(gè)具體化的過(guò)程：2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)三、卷積及其性質(zhì)對(duì)于卷積運(yùn)算，當(dāng)函數(shù)形式給定時(shí)，需要代入具體的函數(shù)；當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的相對(duì)位置不同時(shí)，其積分區(qū)間也是不一樣的。因此，卷積其實(shí)是兩個(gè)具體化的過(guò)程：1、函數(shù)形式的具體化；2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)三、卷積及其性質(zhì)對(duì)于卷積運(yùn)算，當(dāng)函數(shù)形式給定時(shí)，需要代入具體的函數(shù)；當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的相對(duì)位置不同時(shí)，其積分區(qū)間也是不一樣的。因此，卷積其實(shí)是兩個(gè)具體化的過(guò)程：1、函數(shù)形式的具體化；2、積分區(qū)間的具體化。2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)三、卷積及其性質(zhì)為了在卷積過(guò)程中能夠清晰地看出函數(shù)相對(duì)位置的變化，可借助作圖來(lái)確定各種不同的情況，從而準(zhǔn)確確定積分區(qū)間，這種方法稱(chēng)作圖解法。2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)三、卷積及其性質(zhì)為了在卷積過(guò)程中能夠清晰地看出函數(shù)相對(duì)位置的變化，可借助作圖來(lái)確定各種不同的情況，從而準(zhǔn)確確定積分區(qū)間，這種方法稱(chēng)作圖解法。這種方法是需要重點(diǎn)掌握的。2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)三、卷積及其性質(zhì)為了在卷積過(guò)程中能夠清晰地看出函數(shù)相對(duì)位置的變化，可借助作圖來(lái)確定各種不同的情況，從而準(zhǔn)確確定積分區(qū)間，這種方法稱(chēng)作圖解法。這種方法是需要重點(diǎn)掌握的。但是，圖解法的缺點(diǎn)是比較繁瑣，需要作多個(gè)圖。當(dāng)然，也可以不作圖，而直接代入卷積公式計(jì)算。（參見(jiàn)書(shū)36頁(yè)）2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)三、卷積及其性質(zhì)下面，介紹卷積的幾個(gè)重要性質(zhì)。2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)三、卷積及其性質(zhì)下面，介紹卷積的幾個(gè)重要性質(zhì)。1、交換律、結(jié)合律和分配律2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)三、卷積及其性質(zhì)下面，介紹卷積的幾個(gè)重要性質(zhì)。2、卷積后的微分卷積后的微分等于其中任一函數(shù)先微分，然后與另一函數(shù)卷積。2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)三、卷積及其性質(zhì)下面，介紹卷積的幾個(gè)重要性質(zhì)。2、卷積后的微分注：任一函數(shù)與單位沖激函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即與單位沖激偶卷積相當(dāng)于對(duì)該函數(shù)求導(dǎo)，即2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)三、卷積及其性質(zhì)下面，介紹卷積的幾個(gè)重要性質(zhì)。3、卷積后的積分卷積后的積分等于其中任一函數(shù)先積分，然后與另一函數(shù)卷積。2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)三、卷積及其性質(zhì)下面，介紹卷積的幾個(gè)重要性質(zhì)。3、卷積后的積分注：任一函數(shù)與單位階躍函數(shù)卷積，相當(dāng)于對(duì)該函數(shù)求積分，即2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)三、卷積及其性質(zhì)下面，介紹卷積的幾個(gè)重要性質(zhì)。4、一個(gè)函數(shù)微分與一個(gè)函數(shù)積分的卷積一個(gè)函數(shù)的微分和另一個(gè)函數(shù)的積分做卷積，等于原來(lái)兩個(gè)函數(shù)的卷積。2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)三、卷積及其性質(zhì)下面，介紹卷積的幾個(gè)重要性質(zhì)。5、函數(shù)移位后的卷積兩個(gè)函數(shù)移位后的再做卷積等于原來(lái)卷積的移位，但移位量是兩函數(shù)移位量的總和。2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)三、卷積及其性質(zhì)下面，介紹卷積的幾個(gè)重要性質(zhì)。5、函數(shù)移位后的卷積注：任一函數(shù)與單位沖激函數(shù)的移位積分，相當(dāng)于對(duì)該函數(shù)進(jìn)行移位，即：2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)三、卷積及其性質(zhì)例2.5：利用卷積的性質(zhì)重新計(jì)算例2.4的卷積。解：法一：可利用卷積的交換律通過(guò)作圖法來(lái)計(jì)算，類(lèi)似于例2.4的解法。2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)三、卷積及其性質(zhì)例2.5：利用卷積的性質(zhì)重新計(jì)算例2.4的卷積。解：法二：可先將矩形脈沖微分、指數(shù)函數(shù)積分，然后再計(jì)算卷積，其卷積不變。2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)三、卷積及其性質(zhì)例2.5：利用卷積的性質(zhì)重新計(jì)算例2.4的卷積。解：法二：可先將矩形脈沖微分、指數(shù)函數(shù)積分，然后再計(jì)算卷積，其卷積不變。矩形脈沖的微分為：2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)三、卷積及其性質(zhì)解：指數(shù)函數(shù)的積分為：2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)三、卷積及其性質(zhì)解：指數(shù)函數(shù)的積分為：從而有：2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)三、卷積及其性質(zhì)注：當(dāng)其中一個(gè)函數(shù)求導(dǎo)后是單位沖激函數(shù)時(shí)，可將另一個(gè)函數(shù)求積分，然后計(jì)算卷積。這是因?yàn)橐粋€(gè)函數(shù)與單位沖激函數(shù)的卷積就等于該函數(shù)。2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)三、卷積及其性質(zhì)例2.6：試計(jì)算兩個(gè)寬度不同的門(mén)函數(shù)的卷積，即：，設(shè)。解：現(xiàn)在已有多種方法可用來(lái)計(jì)算這個(gè)卷積。然而，為了便于理解，仍采用圖解法來(lái)進(jìn)行求解。2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)三、卷積及其性質(zhì)解：分以下五種情況討論：2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)三、卷積及其性質(zhì)解：分以下五種情況討論：2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)三、卷積及其性質(zhì)解：分以下五種情況討論：2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)三、卷積及其性質(zhì)解：分以下五種情況討論：2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)三、卷積及其性質(zhì)解：分以下五種情況討論：2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)三、卷積及其性質(zhì)解：分以下五種情況討論：2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)三、卷積及其性質(zhì)解：分以下五種情況討論：2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)三、卷積及其性質(zhì)解：分以下五種情況討論：2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)三、卷積及其性質(zhì)解：分以下五種情況討論：2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)三、卷積及其性質(zhì)解：分以下五種情況討論：2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)三、卷積及其性質(zhì)解：分以下五種情況討論：2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)三、卷積及其性質(zhì)解：根據(jù)計(jì)算結(jié)果，可以畫(huà)出最終卷積后的圖形。當(dāng)兩個(gè)門(mén)函數(shù)的寬度不等時(shí)，最終結(jié)果是一個(gè)梯形；當(dāng)兩個(gè)門(mén)函數(shù)的寬度相等時(shí)，最終結(jié)果是一個(gè)三角形（特例）。2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)三、卷積及其性質(zhì)解：由此，可畫(huà)出這兩種情況的圖形：2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)三、卷積及其性質(zhì)解：特別地，當(dāng)門(mén)函數(shù)的寬度為1時(shí)，其結(jié)果為如下圖所示的三角脈沖，將這個(gè)脈沖記為。2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)三、卷積及其性質(zhì)結(jié)論：1、兩個(gè)不同寬度的門(mén)函數(shù)卷積為梯形，相同寬度的門(mén)函數(shù)卷積為三角形；2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)三、卷積及其性質(zhì)結(jié)論：1、兩個(gè)不同寬度的門(mén)函數(shù)卷積為梯形，相同寬度的門(mén)函數(shù)卷積為三角形；2、梯形的上底是門(mén)函數(shù)寬度之差，下底為門(mén)函數(shù)寬度之和；2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)三、卷積及其性質(zhì)結(jié)論：1、兩個(gè)不同寬度的門(mén)函數(shù)卷積為梯形，相同寬度的門(mén)函數(shù)卷積為三角形；2、梯形的上底是門(mén)函數(shù)寬度之差，下底為門(mén)函數(shù)寬度之和；3、梯形高為門(mén)函數(shù)高度之積再乘以較小門(mén)函數(shù)的寬度。2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)四、單位沖激響應(yīng)由已學(xué)知識(shí)可以知道，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)是激勵(lì)與系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)的卷積。為求出系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，需要首先求出系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)。下面，將介紹單位沖激響應(yīng)的求法。2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)四、單位沖激響應(yīng)系統(tǒng)對(duì)單位沖激函數(shù)的零狀態(tài)響應(yīng)稱(chēng)為單位沖激響應(yīng)，通常用表示。2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)四、單位沖激響應(yīng)系統(tǒng)對(duì)單位沖激函數(shù)的零狀態(tài)響應(yīng)稱(chēng)為單位沖激響應(yīng)，通常用表示。有定義可知，求解單位沖激響應(yīng)就是要在零狀態(tài)的條件下，求解如下微分方程：2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)四、單位沖激響應(yīng)為求解上式方程，可先求解如下更簡(jiǎn)單的方程：2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)四、單位沖激響應(yīng)為求解上式方程，可先求解如下更簡(jiǎn)單的方程：激勵(lì)為單位沖激函數(shù)時(shí)的系統(tǒng)響應(yīng)2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)四、單位沖激響應(yīng)激勵(lì)為方程右邊多項(xiàng)式時(shí)的系統(tǒng)響應(yīng)2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)四、單位沖激響應(yīng)于是，有：2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)四、單位沖激響應(yīng)于是，有：只要求出，就可根據(jù)上式求出。2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)四、單位沖激響應(yīng)于是，有：只要求出，就可根據(jù)上式求出。根據(jù)單位沖激函數(shù)定義，可得：這樣就變成了求零輸入響應(yīng)的問(wèn)題。2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)四、單位沖激響應(yīng)單位沖激函數(shù)在t=0時(shí)加入系統(tǒng)后，便會(huì)在時(shí)刻留下初始狀態(tài)。因此，只要確定系統(tǒng)在時(shí)刻的初始狀態(tài)，就可以用求零輸入響應(yīng)的方法求出，進(jìn)而根據(jù)下式求出系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)：2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)四、單位沖激響應(yīng)對(duì)于如下方程，左邊的沖激只可能出現(xiàn)在第一項(xiàng)中，否則在第一項(xiàng)中便會(huì)出現(xiàn)沖激的各階導(dǎo)數(shù)。也就是說(shuō)，除第一項(xiàng)的其他各項(xiàng)只能是階躍或階躍的積分等。2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)四、單位沖激響應(yīng)對(duì)方程兩邊分別取積分，得到：由于第一項(xiàng)中存在沖激，積分結(jié)果在t=0處不連續(xù)，因此第一項(xiàng)的積分不為零；而其他各項(xiàng)的積分在t=0處連續(xù)，積分結(jié)果為零。2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)四、單位沖激響應(yīng)從而，可得：2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)四、單位沖激響應(yīng)考慮到系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零，即：于是，就得到了系統(tǒng)在時(shí)刻的初始狀態(tài)：2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)四、單位沖激響應(yīng)這樣就可以根據(jù)系統(tǒng)的微分方程寫(xiě)出的一般形式，用上式的初始條件確定待定常數(shù)，最后用下式求出系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)。2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)四、單位沖激響應(yīng)例2.7：求出下列系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)。2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)四、單位沖激響應(yīng)例2.7：求出下列系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)。解：2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)四、單位沖激響應(yīng)例2.7：求出下列系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)。解：2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)四、單位沖激響應(yīng)