初中數(shù)學(xué)名校資源6/7第二十一章一元二次方程《根與系數(shù)的關(guān)系》學(xué)歷案【學(xué)習(xí)主題】根與系數(shù)的關(guān)系【學(xué)習(xí)課時(shí)】1課時(shí)【課標(biāo)要求】了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（不要求應(yīng)用這個(gè)關(guān)系解決其他問(wèn)題）.【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.在理解的基礎(chǔ)上掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系式.2.已知一元二次方程的一個(gè)根，能運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系求出另一個(gè)根與未知系數(shù).3.會(huì)用根與系數(shù)的關(guān)系，求關(guān)于兩根的一些對(duì)稱式和簡(jiǎn)單的非對(duì)稱式的值.4.通過(guò)根與系數(shù)的關(guān)系的教學(xué)過(guò)程，使學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，發(fā)展推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點(diǎn)，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新精神.【評(píng)價(jià)任務(wù)】標(biāo)準(zhǔn)方式理解的基礎(chǔ)上利用從特殊到一般的思想猜想并推導(dǎo)出一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系式活動(dòng)一、活動(dòng)二已知一元二次方程的一個(gè)根，能運(yùn)用根與系數(shù)之間的關(guān)系求出另一個(gè)根與未知系數(shù)活動(dòng)三+達(dá)標(biāo)檢測(cè)3、4能用兩根表示出方程的系數(shù)，并用這一結(jié)論解決問(wèn)題能力提升8會(huì)用根與系數(shù)之間的關(guān)系，求關(guān)于兩根的一些對(duì)稱式和簡(jiǎn)單的非對(duì)稱式的值活動(dòng)四+達(dá)標(biāo)檢測(cè)1、2+能力提升2-5、7【學(xué)習(xí)過(guò)程】【資源與建議】1.本節(jié)課的教學(xué)對(duì)象是初中三年級(jí)學(xué)生，他們對(duì)事物的認(rèn)識(shí)多是直觀、形象的，所注意的多是事物外部的、直接的、具體的特征，可以在教學(xué)初始，出示一些學(xué)生所熟悉和感興趣的事物（如介紹數(shù)學(xué)家韋達(dá)和他的成就）.一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的推導(dǎo)是在求根公式的基礎(chǔ)上進(jìn)行的.它深化了兩根的和與積同系數(shù)之間的關(guān)系，是我們今后繼續(xù)研究一元二次方程根的情況的主要工具，必須熟記，為進(jìn)一步使用打下基礎(chǔ).推導(dǎo)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的過(guò)程中，向?qū)W生展示認(rèn)識(shí)事物的一般規(guī)律，提倡積極思維、勇于探索的精神，借此鍛煉學(xué)生觀察、分析、歸納以及推理論證的能力.2.本主題的學(xué)習(xí)流程：創(chuàng)設(shè)情境，引入新知→探究一般結(jié)論→應(yīng)用遷移，發(fā)展能力→拓展延伸，加深理解→總結(jié)提升3.重點(diǎn)：理解的基礎(chǔ)上掌握一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系.難點(diǎn):能根據(jù)具體方程的根發(fā)現(xiàn)一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系，用語(yǔ)言表述，并進(jìn)行證明；能用根與系數(shù)的關(guān)系求關(guān)于根的非對(duì)稱式的值.一、學(xué)習(xí)準(zhǔn)備1.復(fù)習(xí)回顧一元二次方程的求根公式，兩根有什么特點(diǎn).2.通過(guò)預(yù)習(xí)，找到根與系數(shù)的關(guān)系存在的疑問(wèn).二、學(xué)習(xí)新知活動(dòng)一創(chuàng)設(shè)情境，引入新知（指向目標(biāo)1）問(wèn)題1：在方程（a≠0）中的值與根有什么關(guān)系呢？?jī)筛趺辞?？?wèn)題2：同學(xué)們可知道a，b，c的取值與一元二次方程的根還有其他關(guān)系？今天我們進(jìn)步研究一元二次方程中的這種關(guān)系.（1）請(qǐng)同學(xué)們完成下表：方程+（2）若，為關(guān)于x的方程（p，q為常數(shù)，）的兩個(gè)根，結(jié)合上表說(shuō)明+，與p，q有何關(guān)系.請(qǐng)你寫(xiě)出關(guān)系式，并證明這種關(guān)系.活動(dòng)二探究一般結(jié)論（指向目標(biāo)1、4）問(wèn)題1：上述都是些二次項(xiàng)系數(shù)為1的元二次方程，它們的根與系數(shù)存在著這樣的關(guān)系，那么是不是任意的一元二次方程的根與系數(shù)都有一定的數(shù)量關(guān)系？是一種什么樣的關(guān)系呢？又如何證明這種關(guān)系呢？（1）把方程（a≠0，≥0）轉(zhuǎn)化成二次項(xiàng)是1的方程，設(shè)方程的兩根是，，根據(jù)活動(dòng)一，可以得到什么結(jié)論？（2）一元二次方程（a≠0，≥0）的兩根，分別是________________________________________________________________________________________（3）利用方程的兩根驗(yàn)證+，的值.（4）利用文字語(yǔ)言描述得到的結(jié)論.活動(dòng)三應(yīng)用遷移，發(fā)展能力（指向目標(biāo)2）問(wèn)題：（目標(biāo)2）已知方程的一個(gè)根是-2，求另一個(gè)根及k的值.【分析】本題可以使用根與系數(shù)的關(guān)系來(lái)求解，也可以利用根的概念，將-2代入原方程求解.活動(dòng)四拓展延伸，加深理解（指向目標(biāo)3）問(wèn)題1：（目標(biāo)3）若，是方程的兩個(gè)根，試求下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）.【分析】本題若直接用求根公式求出方程的兩根，再代入求值，將會(huì)出現(xiàn)復(fù)雜的計(jì)算.這里，可以利用根與系數(shù)的關(guān)系來(lái)解答.問(wèn)題2：（目標(biāo)3）已知α，β是關(guān)于x的方程的兩根，求的值.【分析】本題若直接用求根公式求出方程的兩根，再代入求值，將會(huì)非常復(fù)雜，我們可以利用根的概念將原方程中的x用α，β代換，則可以得到兩個(gè)關(guān)于m，α和m，β的代數(shù)式，再進(jìn)一步觀察這兩個(gè)代數(shù)式與所求代數(shù)式的聯(lián)系，即可求解問(wèn)題3：（目標(biāo)3）已知α，β為方程的兩個(gè)根，求的值.【分析】我們?nèi)匀豢梢允褂酶母拍?，將方程中的x用α代換，得到關(guān)于α的一個(gè)代數(shù)式，通過(guò)降次（即將高次代數(shù)式用低次代數(shù)式來(lái)表示）可以得到一個(gè)關(guān)于α，β的一次代數(shù)式，進(jìn)而求解，問(wèn)題4：（目標(biāo)3）已知a，b是不相等的實(shí)數(shù)，且，，求的值.【分析】我們可以將關(guān)于兩根的一元二次方程中的a，b求出來(lái)，然后代人所求的代數(shù)式中求值，但這種方法計(jì)算量很大。我們仔細(xì)觀察已知條件中給定的兩個(gè)等式，將第2個(gè)變形為，形式上與第一個(gè)等式完全相同.此時(shí)，逆用方程根的概念，可得a，b是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，然后再利用韋達(dá)定理求解即可.活動(dòng)五總結(jié)提升（目標(biāo)1）1.通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你在知識(shí)上有哪些收獲？2.你在研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法上有哪些收獲？【達(dá)標(biāo)檢測(cè)】1.（目標(biāo)3）若，是一元二次方程的兩個(gè)根，則的值為（）A.-7B.-1C.-1+D.-1-2.（目標(biāo)3）已知一元二次方程與，則兩方程所有根的乘積等于()A.-18B.18C.-3D.33.（目標(biāo)2）如果關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根互為倒數(shù)，那么實(shí)數(shù)m的值為（）A.B.C.2D.-24.（目標(biāo)2）已知一元二次方程的一個(gè)根為-2，則另一個(gè)根是，m=.【能力提升】1.（目標(biāo)2）如果關(guān)于x的方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)恰是它本身，那么p的值是（）A.1B.±1C.2D.2（目標(biāo)3）若，是一元二次方程的兩個(gè)根，則代數(shù)式的值為（）A.6B.4C.3D.3.（目標(biāo)3）若一元二次方程的兩根為α，β，那么代數(shù)式的值是（）A.15B.-3C.3D.以上答案都不對(duì)4.（目標(biāo)3）已知α，β是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值是（）A.B.C.3D.5.（目標(biāo)3）若m，n是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值是__________________.6.（目標(biāo)2）已知，是方程的兩根，且，則m的值為.7.（目標(biāo)3）若，是關(guān)于x的方程的兩個(gè)根，且，則m=.8.（目標(biāo)1）求作一個(gè)方程，使它的兩根分別為，-3.（寫(xiě)出滿足條件的一個(gè)即可.）【拓展延伸】1.已知關(guān)于x的一元二次方程，問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)m，使方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和等于56？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.2.已知關(guān)于x的方程.（1）當(dāng)m取何值時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？（2）設(shè)方程的兩實(shí)數(shù)根分別為，，當(dāng)時(shí)，求m的值.【學(xué)后反思】1.本節(jié)課學(xué)習(xí)的知識(shí)要點(diǎn)是：