試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁思維訓(xùn)練數(shù)論專項-物不知數(shù)問題學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、解答題1．有一個整數(shù)，除39，51所得的余數(shù)都是3，求這個數(shù)。2．有一個自然數(shù)，除345和543所得的余數(shù)相同，且商相差33。求這個數(shù)是多少？二、填空題3．一個兩位數(shù)加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，則這個兩位數(shù)最小值為。三、解答題4．兩位自然數(shù)與除以7都余1，并且，求。5．有一個大于1的數(shù)，除45，59，101所得的余數(shù)相同，求這個數(shù)可能是多少？6．有一個整數(shù)，除300、262、205得到相同的余數(shù)。問這個整數(shù)是幾？四、填空題7．有3個奇特數(shù)：888，518，666，用他們分別除以同一個自然數(shù)，所得余數(shù)依次為，，，求這個自然數(shù)。五、計算題8．已知429、791、500被某自然數(shù)除所得的余數(shù)分別是a＋5、2a、a，求該自然數(shù)及a的值。六、填空題9．有一個自然數(shù)，除以2余1，除以3余2，除以4余3，除以5余4，除以6余5，則這個數(shù)最小是。10．5年級3班同學(xué)上體育課，排成3行少1人，排成4行多3人，排成5行少1人，排成6排多5人，問上體育課的同學(xué)最少人。11．小朋友們做游戲，若5人分成一組，則最后余下3人；若6人分成一組，則最后余下4人；若7人分成一組，則最后余下5人。那么一起做游戲的小朋友至少有人。12．n除以2余1，除以3余2，除以4余3，除以5余4，…，除以16余15，n最小為。13．一個數(shù)除以3的余數(shù)是2，除以5的余數(shù)是1，則這個數(shù)除以15的余數(shù)是()。14．一群猴子分桃，桃子共有56個，每只猴子可以分到同樣多的桃子。但在它們正要分桃時，又來了4只猴子，于是重新分配這些桃子，結(jié)果每只猴子分到的桃子數(shù)量相同，那么最后每只猴子分到個桃子。七、解答題15．不足100名同學(xué)跳集體舞時有兩種組合：一種是中間一組5人，其他人按8人一組圍在外圈；另一種是中間一組8人，其他人按5人一組圍在外圈。問最多有多少名同學(xué)？八、填空題16．有一批圖書總數(shù)在1000本以內(nèi)，若按24本書包成一捆，則最后一捆差2本；若按28本書包成一捆，最后一捆還是差2本書；若按32本包一捆，則最后一捆是30本。那么這批圖書共有()本。九、解答題17．一個自然數(shù)在1000和1200之間，且被3除余1，被5除余2，被7除余3，求符合條件的數(shù)。十、填空題18．一個數(shù)除以3余2，除以5余3，除以7余4，問滿足條件的最小自然數(shù)。十一、解答題19．有連續(xù)的三個自然數(shù)、、，它們恰好分別是9、8、7的倍數(shù)，求這三個自然數(shù)中最小的數(shù)至少是多少？20．民間流傳著一則故事《韓信點兵》，秦朝末年，楚漢相爭。一次，韓信將1500名將士與楚軍大將李鋒苦戰(zhàn)一場，楚軍不敵，敗退回營，漢軍也死傷四五百人；忽有后軍來報，說有楚軍騎兵追來，韓信便急速點兵迎敵。他命令士兵3人一排，結(jié)果多出2名；接著命令士兵5人一排，結(jié)果多出3名；他又命令士兵7人一排，結(jié)果又多出2名。韓信馬上向?qū)⑹總冃迹何臆娪?073名勇士，敵人不足五百，我們居高臨下，以眾擊寡，一定能打敗敵人?！备鶕?jù)故事中的條件，韓信是如何算出軍中將士人數(shù)的呢？答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《思維訓(xùn)練數(shù)論專項-物不知數(shù)問題》參考答案1．4或6或12【分析】由于所得的余數(shù)相同，所以此數(shù)一定能整除39、51這兩數(shù)的差，也就是說它是39、51之差的公因數(shù)?！驹斀狻?1－39＝1212的約數(shù)有1、2、3、4、6、12因為余數(shù)3要小于除數(shù)，故此數(shù)為：4或6或12答：這個數(shù)是4或6或12。2．6【分析】345÷這個數(shù)＝商……余數(shù)543÷這個數(shù)＝商……余數(shù)；由于這個數(shù)除345和543的余數(shù)相同，那么它可能整除543－345，并且得到的商為33，因此先計算出543－345的差，然后用它們的差除以33即可。【詳解】543－345＝198198÷33＝6答：求這個數(shù)是6?！军c睛】此題考查的是同余定理，應(yīng)先找出被除數(shù)的差，然后再解答。3．13【分析】根據(jù)余數(shù)定理，則“加上3后被3除余1”其實用原數(shù)還是余1，同理這個兩位數(shù)除以4也余1，同時考慮取值最小，則這個數(shù)就是3、4的最小公倍數(shù)再加上1。【詳解】3×4＋1=12+1＝13則這個兩位數(shù)最小值為13。4．2668【分析】因為與除以7都余1，所以能被7整除，即能被7整除，由于9和7為互質(zhì)數(shù)，所以只能有，那么可能為92和81，驗算可得當(dāng)時，滿足題目要求，由此即可求出兩數(shù)之積?！驹斀狻???能被7整除所以若，則，81÷7＝11……4，不符合；若，則，92÷7＝13……1，29÷7＝4……1，符合；所以?，?。那么。?5．2、7、14【分析】由于所得的余數(shù)相同，根據(jù)同余定理可知：這個數(shù)一定能整除45、59、101中的任意兩數(shù)的差，也就是說它是這三個數(shù)中任意兩數(shù)差的公約數(shù)?！驹斀狻?01－45＝56，59－45＝14，則56、14的公約數(shù)為14，而14的約數(shù)有1、2、7、14，故此數(shù)可能為2或7或146．19【分析】a，b數(shù)被一個數(shù)d去除，有相同的余數(shù)，那么d可以整除（a－b），由此找出300與262的差，以及262與205的差，它們的非1的公約數(shù)就是要求的數(shù)?！驹斀狻窟@個數(shù)除300、262，得到相同的余數(shù)，所以這個數(shù)整除300－262＝38，同理，這個數(shù)整除262－205＝57，因此，它是38、57的公約數(shù)19?！军c睛】本題利用同余定理的性質(zhì)，得出要求的數(shù)是被除數(shù)兩兩之間差的公約數(shù)，從而得解。7．29【分析】518－7＝511，666－10＝656，888，511，656除以這個數(shù)，余數(shù)相同；888－511＝377，888－656＝232，這個數(shù)為377與232的公因數(shù)，且大于10，然后進(jìn)行分析，進(jìn)而得出答案；【詳解】518－7＝511666－10＝656888－511＝377888－656＝232這個數(shù)為377與232的公因數(shù)，且大于10；因為377＝13×29，232＝8×29，所以這個自然數(shù)為29；故答案為：29【點睛】解答此題的關(guān)鍵是先根據(jù)被除數(shù)、除數(shù)、商和余數(shù)的關(guān)系，想法把余數(shù)轉(zhuǎn)化為相等的數(shù)，進(jìn)而根據(jù)公約數(shù)的有關(guān)知識進(jìn)行分析，得出結(jié)論。8．19；a＝6【分析】將這些數(shù)轉(zhuǎn)化成被該自然數(shù)除后余數(shù)為2a的數(shù)：（429－5）×2＝848，791，500×2＝1000，這樣這些數(shù)被這個自然數(shù)除所得的余數(shù)都是2a，故可用同余定理，兩兩作差，找公因數(shù)即可求解?！驹斀狻坑深}可知（429－5）×2＝848，791，500×2＝1000，三者同余則848－791＝57，1000－848＝152，57與152公因數(shù)為19，所以這個自然數(shù)為19的因數(shù)，顯然1不合題意，故此數(shù)為19；此時所得余數(shù)分別為11、12、6，故a＝6【點睛】將被除數(shù)進(jìn)行放大或加減，使得余數(shù)相同，把不同余問題，轉(zhuǎn)化為同余問題，再兩兩作差找公因數(shù)是解決此題的關(guān)鍵。9．59【分析】根據(jù)題意，可知：如果這個自然數(shù)添上1后再除以2、3、4、5、6就沒有余數(shù)了，所以這個數(shù)最小是比2、3、4、5、6的最小公倍數(shù)少1的數(shù)；據(jù)此解答。【詳解】因為2、3、4、5、6的最小公倍數(shù)是60，所以這個數(shù)最小是：60﹣1＝59；【點睛】本題關(guān)鍵是理解符合條件的這個數(shù)最小是比2、3、4、5、6的最小公倍數(shù)少1的數(shù)。10．【分析】根據(jù)題意可知，如果5年級3班再加1個人，正好分別是3、4、5、6的倍數(shù)，所以用3、4、5、6的最小公倍數(shù)減1，就是最少上體育課的同學(xué)人數(shù)?！驹斀狻?、4、5、6的最小公倍數(shù)是：2×2×3×5＝60（人）60－1＝59（人）所以，上體育課的同學(xué)最少59人?！军c睛】題意相當(dāng)于：除以3余2，除以4余3，除以5余4，除以6余5，這樣我們根據(jù)總結(jié)知道都只能“湊缺”，所以都缺1，這樣班級人數(shù)就是[3、4、5、6]－1＝60－1＝59人。11．208【分析】這個數(shù)除以5余3，即還差2人又能組成一組；除以6余4，即還差2人又能組成一組；除以7余5，即還差2人又能組成一組；因每次分組都會缺少2個人，所以小朋友的人數(shù)一定是5、6、7的最小公倍數(shù)再減去2，列式解答即可?！驹斀狻?、6、7的最小公倍數(shù)：5×6×7＝210故小朋友至少有210－2＝208（人）所以一起做游戲的小朋友至少有208人。12．720719【分析】除以2余1，即除以2差1個；除以3余2，即除以3，差1個；除以4余3，即除以4差一個，一次類推，除以16余15，即除以16差1個，每次總差一個，因此，可以先給這個數(shù)加1，這樣，除以每個數(shù)都剛好，即找2~16的最小公倍數(shù)。再減去1即可得出答案?！驹斀狻恳李}意2~16的最小公倍數(shù)為：16×9×5×7×11×13＝720720故n最小值為：720720－1＝720719【點睛】根據(jù)條件能夠想到加1后的數(shù)是2~16的最小公倍數(shù)，再減去1即可求出原數(shù)是解決本題關(guān)鍵。13．【分析】最小的5（5除外）的倍數(shù)且除以3余2的數(shù)是20，最小的3的倍數(shù)且除以5余1的數(shù)是6，所以這個數(shù)最小是10×2＋6×1＝26，26÷15＝1……11；所以，這個數(shù)除以15的余數(shù)是11?！驹斀狻?0×2＋6×1＝20＋6＝2626÷15＝1……11所以，這個數(shù)除以15的余數(shù)是11?！军c睛】正確理解剩余定理和運算的性質(zhì)，是解答此題的關(guān)鍵。14．7【分析】56的因數(shù)有1，2，4，7，8，14，28，56，其中只有4和8相差4，所以最后有猴子8只，每只猴子分到56÷8＝7個桃子?！驹斀狻?6的因數(shù)有1，2，4，7，8，14，28，56，8﹣4＝4，故共有8只猴子重新分配這些桃子，56÷8＝7（個）?！军c睛】本題的關(guān)鍵是找出56的因數(shù)。15．93名【分析】此題實際是一個不足100的整數(shù)，減去5能被8整除，即除以8余5，減去8能被5整除，即除以5余3，求其最大值。13除以8余5，除以5余3，8和5的最小公倍數(shù)為40，13＋2×40＝93，為滿足條件的整數(shù)，即最多有93名同學(xué)?！驹斀狻?3除以8余5，除以5余3，8和5的最小公倍數(shù)為40，13＋2×40＝13＋80＝93答：最多有93名同學(xué)。【點睛】正確理解剩余定理的意義，是解答此題的關(guān)鍵。16．【分析】由題意可知，這批書如果再多本，那么按本，本，本一捆捆書時，都將恰好分成整數(shù)本。所以這批書的本數(shù)加上之后是，，的公倍數(shù)，而，所以這批書的本數(shù)是（是整數(shù)）。由于這批書少于本，所以只能為，這批書有本?！驹斀狻扛鶕?jù)分析可知，數(shù)的本數(shù)加2，是24、28、32的公倍數(shù)；所以這批書的本數(shù)是（是整數(shù)）；當(dāng)＝時，＝670（本）所以，這批書有670本?！军c睛】找出24、28、32的最小公倍數(shù)，是解答此題的關(guān)鍵。17．【分析】列出除以3余1的前面一部分?jǐn)?shù)字，再列出除以5余2的前面一部分?jǐn)?shù)字，最后列出除以7余3的前面一部分?jǐn)?shù)字，這三列數(shù)中找出最小的共同數(shù)，這個數(shù)再加上[3，5，7]的倍數(shù)使這個數(shù)在1000－1200之間即為滿足要求的數(shù)字。【詳解】被3除余1的數(shù)：1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，34，37，40，43，46，49，52，…；被5除余2的數(shù)：2，7，12，17，22，27，32，37，42，47，52，57，…；被7除余3的數(shù)：3，10，17，24，31，38，45，52，…；三個條件都符合的最小的數(shù)是52[3，5，7]＝105，，【點睛】先求出滿足要求最小的數(shù)字，在加上[3，5，7]的倍數(shù)滿足數(shù)字范圍即可。18．【分析】根據(jù)“剩余定理”可得：3、5的公倍數(shù)

3、7的公倍數(shù)

5、7的公倍數(shù)15

21

3530

42

7045

63

10560

84

140…

…

…找出除以7余4的

除以5余3

除以3余2可以找出分別是：60

63

35可見60＋63＋35＝158滿足我們的條件，但不是最小的自然數(shù)，處理方法就是減去最小公倍數(shù)的若干倍，使結(jié)果在最小公倍數(shù)之內(nèi)。所以答案為：158－105＝53?！驹斀狻扛鶕?jù)分析可得：3、5的公倍數(shù)且除以7余4的最小的數(shù)是60；3、7的公倍數(shù)且除以5余3的最小的數(shù)是63；5、7的公倍數(shù)且除以3余2的最小的數(shù)是35；60＋63＋35＝158158－3×5×7＝158－105＝53所以，滿足條件的最小自然數(shù)53?！军c睛】熟練掌握剩余定理和余數(shù)的性質(zhì)，是解答此題的關(guān)鍵。19．【分析】由是8的倍數(shù)，得到被8除余7，由是7的倍數(shù)，得到被7除余5，現(xiàn)在相當(dāng)于一個數(shù)除以9余0，除以8余7，除以7余5。運用中國剩余定理求（用逐步滿足的方法也可以）可得：7和8的公倍數(shù)