專題7.5離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征（重難點(diǎn)題型精講）1．離散型隨機(jī)變量的均值(1)定義一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表所示：則稱E(X)=+++++為離散型隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，數(shù)學(xué)期望簡稱期望，它反映了隨機(jī)變量取值的平均水平.

(2)對均值(期望)的理解

求離散型隨機(jī)變量的期望應(yīng)注意：

①期望是算術(shù)平均值概念的推廣，是概率意義下的平均.

②E(X)是一個實(shí)數(shù)，由X的分布列唯一確定，即作為隨機(jī)變量，X是可變的，可取不同值，而E(X)是不變的，它描述X取值的平均狀態(tài).

③均值與隨機(jī)變量有相同的單位.2．均值的性質(zhì)若離散型隨機(jī)變量X的均值為E(X)，Y=aX+b，其中a,b為常數(shù)，則Y也是一個離散型隨機(jī)變量，且E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b.

特別地，當(dāng)a=0時，E(b)=b；

當(dāng)a=1時，E(X+b)=E(X)+b；

當(dāng)b=0時，E(aX)=aE(X).3．離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差(1)定義

設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為則稱D(X)=+++=為隨機(jī)變量X的方差，并稱為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差，記為(X).

(2)意義

隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值與其均值的偏離程度，反映了隨機(jī)變量取值的離散程度.方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，隨機(jī)變量的取值越集中，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越大，隨機(jī)變量的取值越分散.4．方差的有關(guān)性質(zhì)當(dāng)a，b均為常數(shù)時，隨機(jī)變量Y=aX+b的方差D(Y)=D(aX+b)=D(X).

特別地，當(dāng)a=0時，D(b)=0；當(dāng)a=1時，D(X+b)=D(X)；

當(dāng)b=0時，D(aX)=D(X).5．兩點(diǎn)分布的均值與方差一般地，如果隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，那么E(X)=0×(1-p)+1×p=p.【題型1均值的性質(zhì)】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)均值的性質(zhì)，進(jìn)行求解即可.【例1】（2022春·廣東廣州·高二期末）設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為P(X=0)=0.2，P(X=1)=0.6，P(X=2)=0.2，則E(2X-3)A．2 B．1 C．-1 D．-2【變式1-1】（2022春·北京大興·高二期末）已知離散型隨機(jī)變量X的期望EX=1，則E2A．1 B．2 C．3 D．4【變式1-2】（2022春·河北保定·高二階段練習(xí)）已知隨機(jī)變量ξξ>0滿足E2-3ξ+A．-1或4 B．2 C．3 D．【變式1-3】（2022春·江蘇鎮(zhèn)江·高二期中）已知X的分布列為：X-101P11a設(shè)Y=2X+1，則Y的數(shù)學(xué)期望E(Y)的值是(

)A．-16 B．16 C．2【題型2方差的有關(guān)性質(zhì)】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)題目條件，結(jié)合方差的有關(guān)性質(zhì)，進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.【例2】（2022春·重慶沙坪壩·高二階段練習(xí)）設(shè)X，Y為隨機(jī)變量，且E(X)=2,EXA．9 B．8 C．5 D．4【變式2-1】（2022春·山東淄博·高二期末）已知隨機(jī)變量X的方差為DX=3，則D1A．9 B．3 C．13 D．【變式2-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知隨機(jī)變量X的分布列如下：236P11a則D(3X+2A．2 B．6 C．8 D．18【變式2-3】（2022春·河北·高二校聯(lián)考期中）已知隨機(jī)變量X的分布列如下表：X-012Pn11m若E(X)=0，則DA．6 B．7 C．20 D．21【題型3離散型隨機(jī)變量的均值的求法】【方法點(diǎn)撥】第一步，理解隨機(jī)變量X的意義，寫出X的所有可能取值；第二步，求X取每個值時的概率；第三步，寫出X的分布列，由均值的定義來求均值.【例3】（2022秋·上海金山·高三期中）已知某隨機(jī)變量X的分布為X-01P0.30.2m則EX等于（

A．0.5 B．0.3 C．0.2 D．無法確定【變式3-1】（2022春·北京順義·高二期末）已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表，則X的數(shù)學(xué)期望E(X)X012P0.2a0.5A．0.3 B．0.8 C．1.2 D．1.3【變式3-2】（2022春·江蘇徐州·高二期中）設(shè)a為正實(shí)數(shù)，若隨機(jī)變量X的分布列為PX=i=iA．3 B．1 C．73 D．【變式3-3】（2022春·江蘇連云港·高二期末）已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表：X012P0.64q21－2q則E(X)=（

）A．0.56 B．0.64 C．0.72 D．0.8【題型4離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差】【方法點(diǎn)撥】第一步，理解隨機(jī)變量X的意義，寫出X的所有可能取值；第二步，求X取每個值時的概率；第三步，寫出X的分布列，由均值的定義來求均值.第四步，利用方差的計算公式，進(jìn)行求解即可.【例4】（2022春·遼寧錦州·高二期末）隨機(jī)變量X的分布列是X-12Pab1若E2X+1=2，則A．1 B．4 C．117 D．【變式4-1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知隨機(jī)變量X的分布列為：X12Pab則隨機(jī)變量X的方差DX的最大值為（

A．14 B．12 C．1 D【變式4-2】（2022秋·遼寧·高三階段練習(xí)）已知隨機(jī)變量X的分布列如下表所示，若EX=2，則DXX123P1mnA．23 B．43 C．83【變式4-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)0<mξ0m1Pa12則當(dāng)m在0,1上增大時（

）A．Dξ單調(diào)遞增，最大值為B．Dξ先增后減，最大值為C．Dξ單調(diào)遞減，最小值為D．Dξ先減后增，最小值為【題型5兩點(diǎn)分布的均值與方差】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)兩點(diǎn)分布的定義，結(jié)合均值、方差的性質(zhì)和計算公式，進(jìn)行求解即可.【例5】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，若PX=1-PXA．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7【變式5-1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知離散型隨機(jī)變量X的分布列服從兩點(diǎn)分布，滿足PX=0=29PXA．13 B．12 C．23【變式5-2】（2022春·廣東中山·高二階段練習(xí)）某運(yùn)動員罰球命中得1分，不中得0分，如果該運(yùn)動員罰球命中的概率為0.8，那么他罰球一次的得分X的方差為（

）A．0.14 B．0.16 C．0.18 D．0.2【變式5-3】（2022·高一課時練習(xí)）設(shè)一隨機(jī)試驗的結(jié)果只有A和A，且P(A)=m，令隨機(jī)變量ξ=1,A發(fā)生A．m B．2m(1-m) C．m(【題型6均值與方差的綜合應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】(1)審題，確定實(shí)際問題是哪一種概率模型以及可能用到的事件類型和公式.(2)確定隨機(jī)變量的分布列，計算隨機(jī)變量的均值、方差.(3)對照實(shí)際意義，回答概率、均值、方差等所表示的結(jié)論.【例6】（2023秋·安徽宿州·高二期末）我市擬建立一個博物館，采取競標(biāo)的方式從多家建筑公司選取一家建筑公司，經(jīng)過層層師選，甲?乙兩家建筑公司進(jìn)入最后的招標(biāo)．現(xiàn)從建筑設(shè)計院聘請專家設(shè)計了一個招標(biāo)方案：兩家公司從6個招標(biāo)問題中隨機(jī)抽取3個問題，已知這6個招標(biāo)問題中，甲公司能正確回答其中4道題目，而乙公司能正確回答每道題目的概率均為23，甲?(1)求甲公司至少答對2道題目的概率；(2)請從期望和方差的角度分析，甲?乙兩家哪家公司競標(biāo)成功的可能性更大？【變式6-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）為迎接2022年北京冬奧會，推廣滑雪運(yùn)動，某滑雪場開展滑雪促銷活動．該滑雪場的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：滑雪時間不超過1小時免費(fèi)，超過1小時的部分每小時收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為40元(不足1小時的部分按1小時計算)．有甲、乙兩人相互獨(dú)立地來該滑雪場運(yùn)動，設(shè)甲、乙不超過1小時離開的概率分別為14,16；1小時以上且不超過2小時離開的概率分別為(1)求甲、乙兩人所付滑雪費(fèi)用相同的概率；(2)設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪費(fèi)用之和為隨機(jī)變量ξ，求ξ的分布列與均值E(ξ)，方差D(ξ)．【變式6-2】（2023·北京·高三專題練習(xí)）開展中小學(xué)生課后服務(wù)，是促進(jìn)學(xué)生健康成長、幫助家長解決接送學(xué)生困難的重要舉措，是進(jìn)一步增強(qiáng)教育服務(wù)能力、使人民群眾具有更多獲得感和幸福感的民生工程.某校為確保學(xué)生課后服務(wù)工作順利開展，制定了兩套工作方案，為了解學(xué)生對這兩個方案的支持情況，現(xiàn)隨機(jī)抽取100個學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，獲得數(shù)據(jù)如下表：男女支持方案一2416支持方案二2535假設(shè)用頻率估計概率，且所有學(xué)生對活動方案是否支持相互獨(dú)立.(1)從樣本中抽1人，求已知抽到的學(xué)生支持方案二的條件下，該學(xué)生是女生的概率；(2)從該校支持方案一和支持方案二的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，設(shè)X為抽出兩人中女生的個數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；(3)在（2）中，Y表示抽出兩人中男生的個數(shù)，試判斷方差DX與DY的大小【變式6-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知投資甲?乙兩個項目的利潤率分別為隨機(jī)