2025屆山東省威海市高三模擬考試數(shù)學(xué)試題1．已知集合A={1,2,m},B={1,m}，若A∩B=B，則A．0 B．0或2 C．1或2 D．0或12．若復(fù)數(shù)z滿足z1?i=1+A．1?i B．1+i C．2?2i D．2+2i3．已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn,A．40 B．45 C．50 D．554．某校從高二年級隨機(jī)抽取部分學(xué)生參加交通安全知識測試，所得成績的頻率分布直方圖如圖所示，則可估計該校高二年級學(xué)生的交通安全知識測試成績的中位數(shù)為（）A．87.5 B．85 C．82.5 D．805．已知函數(shù)f(x)=(1?a)x+2a,x<1,x?1x,x≥1.的值域為RA．(?∞,1) B．(?1,+∞) C．6．已知圓臺的上底面半徑、下底面半徑、母線長之比為1：2：3，高為4，則該圓臺的體積為（）A．40π3 B．56π3 C．40π 7．已知函數(shù)f(x)=ax?logaA．(1,e] B．(1,e) C．[e,+∞) 8．已知雙曲線E:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1A．2 B．3 C．2 D．69．函數(shù)f(x)=AsinA．y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=13πB．f(x)在0,π2C．f(x)在?πD．y=fx+10．已知O為坐標(biāo)原點，拋物線C:y2=4x的焦點為F，準(zhǔn)線為l，過F的直線與CA．過A作l的垂線，垂足為Q，若∠AQF=60°B．若直線BO與l交于點P，則直線AP平行于x軸C．以線段BF為直徑的圓上的點到l的最小距離為1D．以線段AB為直徑的圓截y軸所得弦長的最小值為211．已知f(x)是定義在R上的增函數(shù)，且f(x)可導(dǎo)，f(x?1)為奇函數(shù)，記函數(shù)g(x)=(x+1)f(x),f'(x),A．g'(?1)=0 C．g'(x?1)=g12．已知向量a,b滿足|a|=4,|b|=1,(a13．有甲、乙兩袋，甲袋中有4個白球，1個紅球；乙袋中有2個白球，2個紅球．現(xiàn)從甲袋中任取2個球放入乙袋，再從乙袋中任取一球，則此球為紅球的概率為．14．在三棱錐P?ABC中，PA⊥平面ABC，PA=AB=4,∠ACB=90°．若Q為側(cè)面PAB內(nèi)的動點，CQ=22，當(dāng)該三棱錐的體積最大時，Q的軌跡與AB,PB15．在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,sin（1）求A；（2）若D是邊BC上一點，AD=DC=2BD,c=1，求△ABC的面積．16．如圖，在直平行六面體ABCD?A1B1C（1）若AC1//平面BPD（2）若AB=BC,AA1=22,∠BAD=60°，直線AD1與平面BB117．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為（1）求C的方程；（2）當(dāng)AB不垂直x軸時，設(shè)線段AB的中垂線與x軸的交點為P，求OP．18．已知函數(shù)f(x)=x（1）當(dāng)α=12時，求（2）當(dāng)α=3時，若曲線y=f(x)有三條過點(?1,0)的切線，求b的取值范圍；（3）設(shè)p,q為非負(fù)實數(shù)，s,t為正實數(shù)，若s+t=1，證明：ps19．設(shè)集合2α+2β∣0≤α<β且α,β∈Z中所有的數(shù)從小到大排列構(gòu)成數(shù)列an（1）寫出該數(shù)表第4行各項的數(shù)；（2）求a50（3）設(shè)aN位于數(shù)表的第n行，若N>200，且該數(shù)列前N項的和能被2n整除，求

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：由A∩B=B，得B?A，因為B=1,m，所以m≠1因為集合A=1,2,所以m=2或m=m，

解得m=2或m=0（m=1所以m=0或m=2.故答案為：B.【分析】由A∩B=B得出集合A，B之間的包含關(guān)系，再利用元素的互異性，從而得出實數(shù)m的值.2．【答案】B【解析】【解答】解：∵z1?i∴z=2故答案為：B.【分析】由復(fù)數(shù)的除法運算法則和復(fù)數(shù)求模公式，從而得出復(fù)數(shù)z.3．【答案】D【解析】【解答】解：由a2+a6=15?所以S11故答案為：D.【分析】由等差數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)可得a6的值，再利用等差數(shù)列的求和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)，從而得出S4．【答案】C【解析】【解答】解：因為成績落在60,70的頻率為0.01×10=0.1，成績落在70,80的頻率為0.03×10=0.3，成績落在80,90的頻率為0.04×10=0.4，又因為0.1+0.3=0.4<0.5，0.1+0.3+0.4=0.8>0.5，所以中位數(shù)落在80,90內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為x，則0.1+0.3+x?80×0.04=0.5，

解得故答案為：C.【分析】由頻率分步直方圖求中位數(shù)的方法，從而列出方程計算可估計出該校高二年級學(xué)生的交通安全知識測試成績的中位數(shù).5．【答案】C【解析】【解答】解：因為y=x在1,+∞單調(diào)遞增，y=?1x所以，當(dāng)x≥1時，fx=x?1x單調(diào)遞增，又因為函數(shù)fx的值域為R所以x<1時，函數(shù)y=(1?a)x+2a的值域要取到?∞所以1?a>0，當(dāng)1?a>0時，即當(dāng)a<1時，函數(shù)y=(1?a)x+2a單調(diào)遞增，當(dāng)x→?∞時，y→?當(dāng)x=1時，y=1?a+2a=a+1≥0，則a≥?1，所以?1≤a<1，

則a的取值范圍是[?1,1).故答案為：C.【分析】由函數(shù)的單調(diào)性可得當(dāng)x≥1時，fx≥f1=0，再結(jié)合函數(shù)的值域為6．【答案】B【解析】【解答】解：設(shè)上底面的半徑為r，

則下底面的半徑為2r，母線長為3r，所以4=9r2?2r?r所以，圓臺的體積為13故答案為：B.【分析】設(shè)上底面的半徑為r，根據(jù)題中條件求出r的值，再利用圓臺的體積公式得出該圓臺的體積.7．【答案】B【解析】【解答】解：因為f(x)=ax?loga由題意可得f'則ax則ax令gx因為a>1，易知gx=ax(x+1)lna2在又因為a>1，lna>0所以0<lna<1，

解得：所以a的取值范圍是(1,e).故答案為：B.

【分析】先求導(dǎo)，由題意將問題轉(zhuǎn)換成ax(x+1)lna28．【答案】C【解析】【解答】解：設(shè)AB=AF1=m，

則因為BF1?BF在△ABF1中，cos∠BA在△AF1F2中，cos∠BAF1故答案為：C.【分析】利用雙曲線的定義和余弦定理以及雙曲線的離心率公式，從而得出雙曲線E的離心率.9．【答案】A,D【解析】【解答】解：由圖象可知：A=2，T4=π4，得則f(x)=2sin再由五點作圖法，可得：2×π6+φ=所以f(x)=2sin對于A，當(dāng)x=13π6時，f(x)=2sin(2×13π6+對于B，當(dāng)x∈0,π2則2sin對于C：當(dāng)x∈?π2正弦函數(shù)在(?5π對于D，因為y=fx+故答案為：AD.

【分析】利用正弦型函數(shù)的圖象確定函數(shù)解析式為f(x)=2sin10．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：由題意可得，拋物線焦點為F1,0，準(zhǔn)線為x=?1對于A，如圖，設(shè)準(zhǔn)線與y軸交于直線l，

由拋物線定義，可得AQ=AF，

結(jié)合∠AQF=60°由題意，可得∠FQL=30o，F(xiàn)L=2，

對于B，設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，

因為直線過點F，設(shè)直線x=my+1，

將直線與拋物線聯(lián)立，則y2?4my?4=0，

由韋達(dá)定理，

得y1+y2=4m，y1y2=?4，

則y1對于C，取BF中點為O1，過B，O則線段BF為直徑的圓上的點到l的最小距離為KO1?12BF，注意到O1K//BJ//FL，所以KO1=FL+則KO對于D，設(shè)以線段AB為直徑的圓，與y軸交于M0,注意到kMA化簡后，可得y3則y3，y則y3則y3當(dāng)且僅當(dāng)m=0時，即當(dāng)AB垂直于x軸時，取等號，故D正確.故答案為：BCD.【分析】由拋物線定義結(jié)合題意可得?AQF為等邊三角形和∠FQL=30o，再利用正弦函數(shù)的定義得出AQ的長，則判斷出選項A；設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，將直線AB方程與拋物線方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理式可得y1=?4y2，從而可得點P?1,?y2my211．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：因為f(x?1)為奇函數(shù)，

所以f(?x?1)+fx?1=0，

令x=0，則因為g(x)=(x+1)f(x),

所以g'所以g'對于B，因為f(?x?1)+fx?1=0，

則所以f'對于C，因為gx?1=xfx?1所以gx?1=g?x?1，

對于D，因為fx為R上的增函數(shù)，

所以f又因為f?1=0，

則當(dāng)x>?1時，fx>0；當(dāng)所以當(dāng)x>?1時，g'(x)>0；當(dāng)x<?1時，則gx在?∞,?1又因為gx?1=g?x?1，

所以x=?1則g(?1?1.04設(shè)sx=?1+1+2x則s'所以s'x為0,1上的增函數(shù)，

則所以?1+1+2x>ln(1+x)，所以?1+1.04>ln1.02所以g(ln故答案為：ABD.

【分析】根據(jù)f(x?1)為奇函數(shù)可得f?1=0，再利用賦值法得出f?1的值，再利用g(x)=(x+1)f(x)求導(dǎo)得出g'(?1)的最值，則判斷出選項A；由gx?1=xfx?1，g?x?1=?xf?x?1，f(?x?1)+fx?1=012．【答案】π【解析】【解答】解：因為(a??2b?)⊥b?，又因為cosa所以a→與b→的夾角為故答案為：π3【分析】利用兩向量垂直數(shù)量積為0，從而可得a→·b→的值，再利用數(shù)量積求向量夾角公式得出13．【答案】2【解析】【解答】解：由題意可知從甲袋中任取2個球有兩種情況，2個白球或1個白球1個紅球.①從甲袋中取出2個白球的概率為C4放入乙袋后，乙袋此時有4個白球，2個紅球，

則取到紅球的概率為26②從甲袋中取出1個白球1個紅球的概率為C4放入乙袋后，乙袋此時有3個白球，3個紅球，

則取到紅球的概率為36綜上兩種情況可知，

從甲袋中任取2個球放入乙袋，再從乙袋中任取一球為紅球的概率為P=3故答案為：25【分析】由題意可知從甲袋中任取2個球有兩種情況，2個白球或1個白球1個紅球，再利用分類討論的方法結(jié)合組合數(shù)公式、古典概率公式、獨立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，從而得出從甲袋中任取2個球放入乙袋，再從乙袋中任取一球，則此球為紅球的概率.14．【答案】π+2【解析】【解答】解：在三棱錐P?ABC中，

∵PA⊥平面ABC，∴當(dāng)該三棱錐的體積最大時，底面△ABC的面積必須最大，

因為?ABC為直角三角形，且AB=4，∴C的軌跡是以AB的中點O為圓心，AB的長為直徑的圓，故當(dāng)CO⊥AB，△ABC的面積最大，此時△ABC為等腰直角三角形，∴CO=2,CA=CB=22∴三棱錐的體積最大值為V=1又∵PA⊥平面ABC，CO?平面ABC，

∴PA⊥CO，又∵CO⊥AB，PA∩AB=A，

∴CO⊥平面PAB，∵Q為側(cè)面PAB內(nèi)的動點，OQ?平面PAB，

∴CO⊥OQ，∵CQ=22，

∴OQ=∴點Q在以O(shè)為圓心，AB為直徑的圓上，∴Q的軌跡與AB,PB所圍成區(qū)域為以O(shè)為圓心，

2為半徑的14個圓和一個以O(shè)B∴所圍成區(qū)域的面積為14故答案為：π+2.

【分析】由三棱錐的體積最大確定點C的位置和點C到線段AB的中點O的距離，再由CQ的長求出OQ的長，從而確定點Q的軌跡，再由扇形的面積公式和等腰直角三角形的面積公式，從而得出當(dāng)該三棱錐的體積最大時，點Q的軌跡與AB,PB所圍成區(qū)域的面積.15．【答案】（1）解：由題意，得sinC?sinB≠0，

則b≠c，

因為sin2A1+cos2A=則sinA所以cos(A?B)=又因為?π<A?B<π,?π<A?C<π，所以A?B=A?C或A?B=C?A，

所以B=C（舍）或B+C=2A，因為A+B+C=π，

所以A=π（2）解：法一：設(shè)BD=x，則AD=DC=2x，在△ABD中，由余弦定理可得cos∠ADB=在△ACD中，由余弦定理可得cos∠ADC=由cos∠ADB=?cos∠ADC，

在△ABC中，由余弦定理可得9x可得x=33,b=2,

法二：設(shè)BD=x，則AD=DC=2x，

因為CD→所以AD→?AC→=2所以AD2=23AB在△ABC中，由余弦定理可得9x可得x=33,b=2，

【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件和三角形中邊角關(guān)系，從而得出B≠C，再利用二倍角的正弦公式和余弦公式、兩角差的余弦公式，從而可得cos(A?B)=cos(A?C)（2）利用兩種方法求解.

方法一：設(shè)BD=x，在?ABD、?ABC中，分別利用余弦定理可得關(guān)于b,x的方程組，再解方程組得出x,b的值，最后由三角形的面積公式得出?ABC的面積.

方法二：利用已知條件和平面向量基本定理可得AD=23AB+13AC，平方后可得（1）由題設(shè)有sinC?sinB≠0即b≠c因為sin2A1+cos即sinA所以cos(A?B)=又?π<A?B<π,?????π<A?C<π，所以A?B=A?C或A?B=C?A，所以B=C（舍）或B+C=2A，因為A+B+C=π，所以A=（2）法一：設(shè)BD=x，則AD=DC=2x，在△ABD中，由余弦定理可得cos∠ADB=在△ACD中，由余弦定理可得cos∠ADC=由cos∠ADB=?cos∠ADC在△ABC中，由余弦定理可得9x所以可得x=33法二：設(shè)BD=x，則AD=DC=2x，而CD→故AD→?AC所以AD2=2在△ABC中，由余弦定理可得9x所以可得x=33,b=216．【答案】（1）證明：連接AC交BD于點Q，連接PQ，

因為AC1//平面BPD,AC1?平面AC所以AC又因為ABCD?A所以ABCD為平行四邊形，可得Q為AC的中點，所以P為CC1的中點，

則（2）解：因為AB=BC，

所以平行四邊形ABCD為菱形，

所以AC⊥BD，由直平行六面體ABCD?A1B1C1D1，

可得又因為DD1∩BD=D，

所以AC⊥所以∠AD1Q為直線AD1與平面B因為∠BAD=60°，

可得△ABD為等邊三角形，

設(shè)AB=a，則所以AD在Rt△ADD1中，

由勾股定理可得a2+8=3a取AB的中點E，連接DE，則DE⊥AB，以D為坐標(biāo)原點，DE,DC,DD1的方向分別為

則D(0,0,0),B(3,1,0)設(shè)P(0,2,t),t∈[0,22]，

所以設(shè)平面BDP的一個法向量為n=(x,y,z)則DB?n=0DP?令x=t，則n=(t,?又因為m=(1,0,0)是平面A又因為平面BDP與平面A1ABB1所成角的正弦值為154，

所以平面BDP則cosm,n=t1×t【解析】【分析】（1）連接AC交BD于點Q，連接PQ，由線面平行的性質(zhì)定理可得AC1//PQ，再結(jié)合ABCD?A1B1C1D1為直平行六面體，則ABCD（2）由題意可得∠AD1Q=30°，在Rt△ADD1中，由勾股定理求得AB，以D為坐標(biāo)原點，DE,DC,DD1的方向分別為x軸，y軸，z（1）連接AC交BD于點Q，連接PQ，因為AC1//平面BPD,AC1?平面所以AC因為ABCD?A所以ABCD為平行四邊形，可得Q為AC的中點，所以P為CC1的中點，即（2）因為AB=BC，所以平行四邊形ABCD為菱形，所以AC⊥BD，由直平行六面體ABCD?A1B1C1D又DD1∩BD=D，所以AC⊥所以∠AD1Q為直線AD1因為∠BAD=60°，可得△ABD為等邊三角形，設(shè)AB=a，則所以AD在Rt△ADD1中，由勾股定理可得a2取AB的中點E，連接DE，則DE⊥AB，以D為坐標(biāo)原點，DE,DC,DD1的方向分別為則D(0,0,0),B(3設(shè)P(0,2,t),t∈[0,22]，所以設(shè)平面BDP的一個法向量為n=(x,y,z)則DB?n=0令x=t，則n=(t,?又m=(1,0,0)是平面A因為平面BDP與平面A1ABB1所成角的正弦值為154，所以平面BDP則cosm,n=t17．【答案】（1）解：由題意知，

因為橢圓的離心率為e=ca=a2?又因為AB⊥x軸且線段AB中點的橫坐標(biāo)為?1，所以直線AB的方程為x=?1，又因為|AB|=2，

所以A，B的坐標(biāo)分別為?1,2代入橢圓C的方程，可得1a2聯(lián)立①②，解得b2所以橢圓C的方程為x2（2）解：設(shè)Ax1,y1,Bx2,因為x122+y可得x1則?24y0=?y1?y2因為線段AB的中垂線與x軸的交點為P，設(shè)P(n,0)，所以AB⊥PQ，

所以12k解得n=?12，

所以【解析】【分析】（1）由橢圓的離心率公式和橢圓中a，b，c三者的關(guān)系式得出a2=2b2，①，再利用線段AB中點的橫坐標(biāo)為?1得出直線AB的方程為x=?1，再根據(jù)AB的長得出點A，B的坐標(biāo)，則由代入法得出1a（2）利用已知條件和點差法得到點Q的坐標(biāo)，再根據(jù)兩直線垂直斜率互為負(fù)倒數(shù)，從而得到關(guān)于n，k的方程，解方程得出n的值，進(jìn)而得出OP的長.（1）由題意知，離心率e=ca=a2因為AB⊥x軸且線段AB中點的橫坐標(biāo)為?1，所以直線AB的方程為x=?1，因為|AB|=2，所以A，B的坐標(biāo)分別為?1,2代入C的方程，可得1a2聯(lián)立①②解得b2所以C的方程為x（2）設(shè)Ax1,y1,B因為x122可得x1即?24y0=?y因為線段AB的中垂線與x軸的交點為P，設(shè)P(n,0)，所以AB⊥PQ，所以12k解得n=?1218．【答案】（1）解：當(dāng)α=12時，當(dāng)b≤0時，f'(x)>0，所以f(x)在(0,+∞當(dāng)b>0時，令f'(x)>0，解得x∈0,14b2令f'(x)<0，解得x∈14b2,+所以f(x)的極大值為f1綜上可知，當(dāng)b≤0時，f(x)無極值；當(dāng)b>0時，f(x)的極大值為14b（2）解：設(shè)切點為x0,x03所以切線方程為y?x因為切線過點(?1,0)，所以?x整理得2x因為曲線y=f(x)有三條過點(?1,0)的切線，所以關(guān)于x0的方程2令g(x)=2x3+3因為g'令g'(x)>0，解得x∈(?∞,?1)∪(0,+∞)，令g'(x)<0，解得x∈(?1,0)，

所以g(x)在所以g(?1)>0g(0)<0，

???????可得1?b>0所以12（3）證明：不妨設(shè)0≤p≤q，當(dāng)p=0時，左邊=0，右邊=qt，所以左邊≤右邊；當(dāng)0<p=q時，左邊=p，右邊=p，所以左邊=右邊；當(dāng)0<p<q時，因為s，t為正實數(shù)，s+t=1，

所以t=1?s,0<s<1，要證psqt≤ps+qt，

即證ps即證pq令α=b=s，則f(x)=xs?sx+s?1,

因為0<s<1，

所以s?1<0，

所以y=xs?1在則當(dāng)0<x<1時，xs?1>1，

所以f'(x)>0，

所以因為0<p<q，

所以0<p所以fpq<f(1)=0，

所以pqs綜上可知，ps【解析】【分析】（1）利用α=12結(jié)合導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，則對b≤0和b>0討論函數(shù)單調(diào)性，從而得出函數(shù)（2）設(shè)切點為x0,x03?bx0+b?1（3）不妨設(shè)0≤p≤q，通過當(dāng)p=0或0<p=q或0<p<q時三種情況分類討論，再利用分析法和導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，從而證出不等式ps（1）當(dāng)α=12時，當(dāng)b≤0時，f'(x)>0，所以f(x)在(0,+∞當(dāng)b>0時，令f'(x)>0，解得x∈0,14令f'(x)<0，解得x∈14b所以f(x)的極大值為f1綜上可知，當(dāng)b≤0時，f(x)無極值；當(dāng)b>0時，f(x)的極大值為14b（2）設(shè)切點為x0,x所以切線方程為y?x因為切線過點(?1,0)，所以?x整理得2x因為曲線y=f(x)有三條過點(?1,0)的切線，所以關(guān)于x0的方程2令g(x)=2x3+3因為g'令g'(x)>0，解得x∈(?∞,?1)∪(0,+∞令g'(x)<0，解得x∈(?1,0)，所以g(x)在所以g(?1)>0g(0)<0，可得1?b>0所以1（3）不妨設(shè)0≤p≤q，當(dāng)p=0時，左邊=0，右邊=qt，所以左邊≤右邊，當(dāng)0<p=q時，左邊=p，右邊=p，所以左邊=右邊，當(dāng)0<p<q時，因為s，t為正實數(shù)，s+t=1，所以t=1?s,0<s<1，要證psqt≤ps+qt，即證即證pq令α=b=s，則f(x)=x因為0<s<1，所以s?1<0，所以y=xs?1在所以當(dāng)0<x<1時，xs?1>1，所以f'(x)>0，所以因為0<p<q，所以0<p所以fpq<f(1)=