數(shù)學(xué)

第I卷選擇題（共30分）

一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分．在每個小題給出的四個選項中，

只有一項符合題目要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑）

1.下列各數(shù)中比3小的數(shù)是（）

A.4B.2C.1D.3

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了有理數(shù)的大小比較，根據(jù)正數(shù)大于負數(shù)；兩個負數(shù)，絕對值大的反而小進行比較即可

判斷求解，掌握有理數(shù)的大小比較方法是解題的關(guān)鍵．

【詳解】解：∵正數(shù)大于負數(shù)，

∴比3小的數(shù)在4，2，1中，

∵兩個負數(shù)，絕對值大的數(shù)反而更小，

又∵4321，

∴4321，

∴比3小的數(shù)是4，

故選：A．

2.科技創(chuàng)新型企業(yè)的不斷涌現(xiàn)，促進了我國新質(zhì)生產(chǎn)力的快速發(fā)展．以下四個科技創(chuàng)新型企業(yè)的品牌圖標(biāo)

中，為中心對稱圖形的是（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了中心對稱圖形，把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形

重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，據(jù)此判斷即可求解，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．

【詳解】A、不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；

B、不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；

C、不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；

D、是中心對稱圖形，故本選項符合題意；

故選：D．

3.下列運算正確的是（）

A.2a3b5abB.m2m4m6

3

22226

C.(ab)abD.2m6m

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查合并同類項、同底數(shù)冪的乘法、完全平方公式、積的乘方等運算法則，根據(jù)相應(yīng)法則，

逐一進行計算判斷即可．

【詳解】A．2a3b中的2a和3b不是同類項，無法合并，故錯誤．

B．m2m4m24m6，正確．

C．(ab)2應(yīng)展開為a22abb2，選項漏掉2ab，故錯誤．

33

D．2m223m28m6，選項中結(jié)果為6m6，計算錯誤．

故選：B．

4.如圖，小誼將兩根長度不等的木條AC，BD的中點連在一起，記中點為O，即AOCO，BODO．測

得C，D兩點之間的距離后，利用全等三角形的性質(zhì)，可得花瓶內(nèi)壁上A，B兩點之間的距離．圖中VAOB

與△COD全等的依據(jù)是（）

A.SSSB.SASC.ASAD.HL

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了全等三角形的判定，由SAS即可判定求解，掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．

【詳解】在VAOB與△COD，

AOCO

∵AOBCOD，

BODO

∴AOB≌CODSAS，

∴VAOB與△COD全等的依據(jù)是SAS，

故選：B．

2x15

5.不等式組的解集是（）

13x8

A.x2B.x3C.2x3D.無解

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查求不等式組的解集，分別求出兩個不等式的解集，再確定它們解集的公共部分即為不等

式組的解集．

【詳解】解：解不等式2x15，得：x2；

解不等式13x8，得：x3，

∴不等式組的解集為：2x3；

故選C．

6.如圖，在平行四邊形ABCD中，點O是對角線AC的中點，點E是邊AD的中點，連接OE．下列兩條

線段的數(shù)量關(guān)系中一定成立的是（）

11

A.OEADB.OEBC

22

11

C.OEABD.OEAC

22

【答案】C

【解析】

1

【分析】本題考查了三角形中位線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，由三角形中位線的性質(zhì)得OECD，進

2

1

而由平行四邊形的性質(zhì)得OEAB，即可求解，掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．

2

【詳解】解：∵點O是對角線AC的中點，點E是邊AD的中點，

∴OE是ACD的中位線，

1

∴OECD，

2

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴ABCD，

1

∴OEAB，

2

故選：C．

7.下表記錄了某市連續(xù)五天的日最高氣溫和日最低氣溫．比較這五天的日最高氣溫與日最低氣溫的波動情

況，下列說法正確的是（）

日期

2月2日2月3日2月4日2月5日2月6日

氣溫

最高/℃1261098

最低/℃12102

A.日最高氣溫的波動大B.日最低氣溫的波動大

C.一樣大D.無法比較

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查的是方差的計算與含義，比較兩組數(shù)據(jù)的波動情況，需計算它們的方差或極差，根據(jù)方

差越大，波動越大判斷即可.

【詳解】解：最高氣溫數(shù)據(jù)：12，6，10，9，8

1261098

∴平均數(shù)：9

5

22222

各數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的平方：1299，699，1091，990，891，

99101

∴方差：4

5

∵最低氣溫數(shù)據(jù)：1，2，1，0，2

12102

∴平均數(shù)：0

5

22222

各數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的平方：101，204，101，000，204，

14104

∴方差：2，

5

∴最高氣溫方差為4，最低氣溫方差為2，因此日最高氣溫的波動更大，選項A正確；

故選：A

8.如圖，AB為O的直徑，點C、D是O上位于AB異側(cè)的兩點，連接AD、CD．若ACBC，則

D的度數(shù)為（）

A.30B.45C.60D.75

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了圓周角定理，連接AC、BC，由AB為O的直徑可得ACB90，進而由ACBC

得CABCBA45，再根據(jù)圓周角定理即可求解，掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．

【詳解】解：連接AC、BC，

∵AB為O的直徑，

∴ACB90，

∵ACBC，

∴CABCBA45，

∴DCBA45，

故選：B．

9.氫氣是一種綠色清潔能源，可通過電解水獲得．實踐小組通過實驗發(fā)現(xiàn)，在電解水的過程中，生成物氫

氣的質(zhì)量yg與分解的水的質(zhì)量xg滿足我們學(xué)過的某種函數(shù)關(guān)系．下表是一組實驗數(shù)據(jù)，根據(jù)表中數(shù)

據(jù)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為（）

水的質(zhì)量x/g4.59183645

氫氣的質(zhì)量

0.51245

y/g

911

A.yB.y9xC.yxD.y

x99x

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了求函數(shù)關(guān)系式，由表格數(shù)據(jù)可得y是x的正比例函數(shù)，進而即可求解，由表格數(shù)據(jù)判斷

出函數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．

x4.59183645

【詳解】解：∵9，

y0.51245

∴y與x成正比例，即y是x的正比例函數(shù)，

1

∴yx，

9

故選：C．

10.如圖，在VABC中，BAC90，ABAC，分別以點B、C為圓心、BC的長為半徑畫弧，與

BA、CA的延長線分別交于點D、E．若BC4，則圖中陰影部分的面積為（）

A.2π4B.4π4C.8π8D.4π8

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，扇形的面積，由等腰直角三角形的性質(zhì)得

2

ABCACB45，ABACBC22，進而由S陰影2S扇形BCDSABC解答即可求解，

2

掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．

【詳解】解：∵BAC90，ABAC，

∴ABCACB45，

∵BC4，

2

∴ABACBC22，

2

45π421

∴，

S陰影2S扇形BCDSABC222224π8

3602

故選：D．

第Ⅱ卷非選擇題（共90分）

二、填空題（本大題共5個小題，每小題3分，共15分）

11.因式分解：m216________．

【答案】(m4)(m4)

【解析】

【分析】本題考查了利用平方差公式分解因式，掌握平方差公式的特點是解題的關(guān)鍵；由平方差公式分解

即可．

【詳解】解：m216(m4)(m4)；

故答案為：(m4)(m4)．

12.近年來，我省依托鄉(xiāng)村e鎮(zhèn)建設(shè)，打造農(nóng)村電商新產(chǎn)業(yè)，提高了農(nóng)民收入．某農(nóng)戶通過網(wǎng)上銷售傳統(tǒng)手

工藝品布老虎，利潤由原來的每個20元增加到80元．該農(nóng)戶通過網(wǎng)上售出a個布老虎，則他的利潤增加

了________元（用含a的代數(shù)式表示）．

【答案】60a

【解析】

【分析】本題考查了列代數(shù)式，正確理解題意是關(guān)鍵；求出售出一個布老虎增加的利潤，即可求出售出a

個布老虎增加的利潤．

【詳解】解：售出一個布老虎增加的利潤為802060（元），

則售出a個布老虎增加的利潤為60a．

故答案為：60a．

13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為6,0，將線段OA繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)45，則點A對應(yīng)點

的坐標(biāo)為______．

【答案】(32,32)

【解析】

【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形的相關(guān)計算，將線段OA繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)45得到OA1，

過A1作A1Bx軸于點B，則A1BO90，OAOA16，AOA145，然后通過OBOA1cos45，

A1BOA1sin45，即可求解，掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．

【詳解】解：如圖，將線段OA繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)45得到OA1，過A1作A1Bx軸于點B，則A1BO90，

∵點A的坐標(biāo)為6,0，

∴OA6，

由題意得，OAOA16，AOA145，

∴，，

OBOA1cos4532A1BOA1sin4532

∴點A對應(yīng)點的坐標(biāo)為32,32，

故答案為：32,32．

14.如圖是創(chuàng)新小組設(shè)計的一款小程序的界面示意圖，程序規(guī)則為：每點擊一次按鈕，“”就從一個格

子向左或向右隨機移動到相鄰的一個格子．當(dāng)“”位于格子A時，小明連續(xù)點擊兩次按鈕，“”回

到格子A的概率是________．

【答案】1

2

【解析】

【分析】本題考查了畫樹狀圖或列表法求概率；根據(jù)題意畫出樹狀圖，求出所有可能的結(jié)果數(shù)及事件發(fā)生

的可能結(jié)果數(shù)，利用概率公式即可求解．

【詳解】解：畫出樹狀圖如下：

由圖知，所有可能的結(jié)果數(shù)為4，其中回到回到格子A的可能結(jié)果數(shù)為2，

21

則回到格子A的概率為P；

42

故答案為：1．

2

15.如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，DB=90°，AB8，BC4，點E在邊AB上，AE3，

連接CE，且DCEBCE．點F在BC的延長線上，連接DF若DFDC，則線段CF的長為______．

18

【答案】

5

【解析】

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，

延長CE交DA延長線于點G，過D作DHBF于點H，則BHD90，由三線合一性質(zhì)可得

1

CHFHCF，然后證明四邊形ABHD是矩形，所以ABDH8，ADBH，又AEGBEC，

2

AGAE12

則可證△AEG∽△BEC，所以，求出AG，然后通過平行線的性質(zhì)和等角對等邊可得

BCBE5

1232

CDGD，設(shè)CHFHx，則ADBH4x，CDGD4xx，最后通過勾股

55

定理求出x的值即可，掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．

【詳解】解：如圖，延長CE交DA延長線于點G，過D作DHBF于點H，則BHD90，

∵DFDC，

1

∴CHFHCF，

2

∵AD∥BC，DB=90°，

∴BGAE90，BBAD180，

∴BBADBHD90，

∴四邊形ABHD是矩形，

∴ABDH8，ADBH，

∵AEGBEC，

∴△AEG∽△BEC，

AGAE

∴，

BCBE

∵AB8，AE3，

∴BE5，

AG3

∴，

45

12

∴AG，

5

∵AD∥BC，

∴GBCE，

∵DCEBCE，

∴DCEG，

∴CDGD，

設(shè)CHFHx，則ADBH4x，

1232

∴CDGD4xx，

55

由勾股定理得：CD2CH2CD2，

2

32229

∴xx8，解得：x，

55

9

即CH，

5

18

∴CF2CH，

5

18

故答案為：．

5

三、解答題（本大題共8個小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

12

16.（1）計算：63(84)

2

3x2y11①

（2）解方程組：

x2y1②

x3

【答案】（1）10；（2）

y1

【解析】

【分析】本題考查了含乘方的有理數(shù)的混合運算，解二元一次方程組等知識，正確進行運算是解題的關(guān)鍵；

（1）依次計算絕對值、乘方與括號，最后計算加減即可；

（2）利用加減消元法，兩式相加消去未知數(shù)y，求得未知數(shù)x的值，再求出y的值即可．

1

【詳解】解：（1）原式69(4)

2

39(4)

10；

（2）解：①+②，得4x12，

x3．

將x3代入②，得32y1，

y1．

x3

所以原方程組的解是．

y1

k

17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB分別與x軸，y軸交于點A，B，與反比例函數(shù)y(x0)的圖

x

k

象交于點C．已知點A的坐標(biāo)為(2,0)，點C的坐標(biāo)為(1,6)，點D在反比例函數(shù)y(x0)的圖像上，

x

縱坐標(biāo)為2．

（1）求反比例函數(shù)的表達式，并直接寫出點B的坐標(biāo)；

（2）連接BD，OD，請直接寫出四邊形ABDO的面積．

6

【答案】（1）y，(0,4)

x

（2）10

【解析】

【分析】（1）把點C的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中，求得k的值，即可求得反比例函數(shù)解析式；由A、C

的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，令x0，求出y的值，即可得點B的坐標(biāo)；

（2）點D在反比例函數(shù)的圖像上，縱坐標(biāo)為2，則可求得點D的橫坐標(biāo)，利用四邊形ABDO的面積等于

AOB，BOD面積的和即可求解．

【小問1詳解】

k

解：∵點C的坐標(biāo)為(1,6)，且在反比例函數(shù)y(x0)的圖像上，

x

k

∴6，即k6，

1

6

∴反比例函數(shù)的解析式為y；

x

設(shè)直線AC的解析式為yaxb(a0)，把A、C兩點坐標(biāo)分別代入得：

2ab0a2

，解得：，

ab6b4

即直線AC的解析式為y2x4；

上式中，令x0，y4，

∴點B的坐標(biāo)為(0,4)；

【小問2詳解】

6

解：∵點D在反比例函數(shù)y的圖像上，縱坐標(biāo)為2，

x

6

∴2，

x

解得：x3；

由題意知，OA2，OB4，

∴S四邊形AODBSAOBSBOD

11

OAOBOBx

22D

11

2443

22

10．

【點睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，反比例函數(shù)的圖像與

性質(zhì)，割補法求四邊形面積等知識，掌握反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)是關(guān)鍵．

18.近年來，交通工具的多樣化和普及化，為家長接送孩子帶來便利的同時，也在一定程度上造成了放學(xué)時

段校門口的交通擁堵．為了解具體情況，某校愛心社團中午放學(xué)后在校門口隨機選取300名接送孩子的家

長，針對接送孩子的方式和時段進行了問卷調(diào)查（調(diào)查問卷如圖），所有問卷全部收回且有效，并將調(diào)查結(jié)

果繪制成了如下所示的扇形統(tǒng)計圖和條形統(tǒng)計圖（不完整）．

請認(rèn)真閱讀上述信息，回答下列問題：

（1）扇形統(tǒng)計圖中“公共交通”所在扇形的圓心角度數(shù)為_________；本次調(diào)查的家長中騎電動自行車接

送孩子的有__________人，并補全條形統(tǒng)計圖；

（2）若該校共有1500名家長中午放學(xué)后接送孩子，請估計用私家車接送孩子的家長人數(shù)；

（3）假如你是愛心社團的成員，請根據(jù)上述統(tǒng)計圖中的信息，寫出一個造成放學(xué)后校門口交通擁堵的原因，

并給家長提出一條緩解擁堵的建議．

【答案】（1）36；135；見解析

（2）450人（3）見解析

【解析】

【分析】本題主要考查了扇形統(tǒng)計圖，條形統(tǒng)計圖，用樣本估計總體等等，正確讀懂統(tǒng)計圖是解題的關(guān)鍵．

（1）用360度乘以“公共交通”的人數(shù)占比可求出對應(yīng)的圓心角度數(shù)；用300乘以“騎電動自行車”的人

數(shù)占比可求出對應(yīng)的人數(shù)，再求出時間段12:00—12:10騎電動車的人數(shù)并補全統(tǒng)計圖即可；

（2）用1500乘以樣本中用私家車接送孩子的家長人數(shù)占比即可得到答案；

（3）電動車和私家車接送孩子的人數(shù)占比多，容易造成擁堵；時間段12:00—12:10電動車和私家車接送

孩子的人數(shù)比較多，容易造成擁堵；建議可從換接送方式和換接送時間段兩個方面闡述．

【小問1詳解】

解：36010%36，

∴扇形統(tǒng)計圖中“公共交通”所在扇形的圓心角度數(shù)為36；

30045%135人，

∴本次調(diào)查的家長中騎電動自行車接送孩子的有135人；

∴時間段12:00—12:10騎電動車的人數(shù)，

補全統(tǒng)計圖如下所示：

【小問2詳解】

解；150030%450人，

答：估計用私家車接送孩子的家長人數(shù)為450人；

【小問3詳解】

解：由扇形統(tǒng)計圖可知用電動車和私家車接送孩子的人數(shù)占比為45%30%75%，容易造成放學(xué)后校門

口交通擁擠；由條形統(tǒng)計圖可知，在時間段12:00—12:10內(nèi)，接送孩子的電動車和私家車比較多，容易

造成放學(xué)后校門口交通擁擠；

建議家長在條件允許的情況下選用公共交通方式接送孩子或者使用電動車或私家車接送孩子時避開時間段

12:00—12:10．

19.我國自主研發(fā)的HGCZ2000型快速換軌車，采用先進的自動化技術(shù)、能精準(zhǔn)高效地完成更換鐵路鋼

軌的任務(wù)．一輛該型號快速換軌車每小時更換鋼軌的公里數(shù)是一個工作隊人工更換鋼軌的2倍，它更換116

公里鋼軌比一個工作隊人工更換80公里鋼軌所用時間少22小時．求一輛該型號快速換軌車每小時更換鋼

軌多少公里．

【答案】一輛該型號快速換軌車每小時更換鋼軌2公里

【解析】

【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，正確理解題意，找到等量關(guān)系并列出分式方程是解題的關(guān)鍵，注意

要檢驗；設(shè)一輛該型號快速換軌車每小時更換鋼軌x公里；根據(jù)等量關(guān)系：快速換軌車更換116公里鋼軌比

一個工作隊人工更換80公里鋼軌所用時間少22小時，列出分式方程，求解并檢驗即可．

【詳解】解：設(shè)一輛該型號快速換軌車每小時更換鋼軌x公里．

80116

根據(jù)題意得：22．

0.5xx

解得：x2．

經(jīng)檢驗，x2是原方程的根，且符合題意．

答：一輛該型號快速換軌車每小時更換鋼軌2公里．

20.項目學(xué)習(xí)

項目背景：“源池泉涌”為我省某景區(qū)的一個景點，主體設(shè)計包括外欄墻與內(nèi)欄墻，外欄墻高于內(nèi)欄墻，

兩欄中間為步道，內(nèi)欄墻內(nèi)為泉池，池內(nèi)泉水清澈見底．從正上方看，外欄墻呈正八邊形，內(nèi)欄墻呈圓形．綜

合實踐小組的同學(xué)圍繞“景物的測量與計算”開展項目學(xué)習(xí)活動，形成了如下活動報告．

項

目

景物的測量與計算

主

題

驅(qū)

如何測量內(nèi)欄墻圍成泉池的直徑

動

問

題

活

動

利用視圖、三角函數(shù)等有關(guān)知識進行測量與計算

內(nèi)

容

圖1為該景，點俯視圖的示意圖，點A，D是正八邊形中一組平行邊的中點，BC為圓的

直徑圖中點A、B、C、D在同一條直線上．

圖2為測量方案示意圖，直徑BC所在水平直線與外欄墻分別交于，點E，F(xiàn)，外欄墻AE

方與DF均與水平地面垂直，且AEDF．BE，CF均表示步道的寬，BECF．圖中各

案點都在同一豎直平面內(nèi)．

說

明

活

動

過

程

數(shù)

據(jù)在點A處測得，點B和點C的俯角分別為DAB37，DAC8.5，AD26米．圖

測中墻的厚度均忽略不計

量

計

……

算

交

流

……

展

示

請根據(jù)上述數(shù)據(jù)，計算內(nèi)欄墻圍成泉池的直徑BC的長（結(jié)果精確到1米．參考數(shù)據(jù)：

sin8.50.15，cos8.50.99，tan8.50.15，sin370.60，cos370.80，tan370.75）．

【答案】內(nèi)欄墻圍成泉池的直徑BC的長約為17米．

【解析】

【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用——仰角俯角問題，由題意得AEF90，四邊形AEFD為矩

形，則EFAD26，AD∥EF，所以ABEDAB37，ACEDAC8.5，設(shè)

BECFx米，則CE(26x)米，BC(262x)米，然后通過AEBEtanABExtan37，

AECEtanACE26xtan8.5，列出方程xtan3726xtan8.5，解出方程即可，

掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．

【詳解】解：由題意得，AEF90，四邊形AEFD為矩形，

∴EFAD26，AD∥EF，

∴ABEDAB37，ACEDAC8.5，

設(shè)BECFx米，則CE(26x)米，BC(262x)米，

AE

在Rt△ABE中，AEB90，AEB90，tanABE，

BE

∴AEBEtanABExtan37，

AE

在RtACE中，AEC90，tanACE，

CE

∴AECEtanACE26xtan8.5，

13

∴xtan3726xtan8.5，解得x，

3

13

∴BC26217（米），

3

答：內(nèi)欄墻圍成泉池的直徑BC的長約為17米．

21.閱讀與思考

下面是小宣同學(xué)數(shù)學(xué)筆記中的部分內(nèi)容，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．

雙關(guān)聯(lián)線段

【概念理解】

如果兩條線段所在直線形成的夾角中有一個角是60，且這兩條線段相等，則稱其中一

條線段是另一條線段的雙關(guān)聯(lián)線段，也稱這兩條線段互為雙關(guān)聯(lián)線段．

例如，下列各圖中的線段AB與CD所在直線形成的夾角中有一個角是60，若

ABCD，則下列各圖中的線段CD都是相應(yīng)線段AB的雙關(guān)聯(lián)線段．

【問題解決】

問題1：如圖，在矩形ABCD中，ABAD，若對角線AC與BD互為雙關(guān)聯(lián)線段，則

∠ACB________．

問題2：如圖，在等邊VABC中，點D，E分別在邊BC，CA的延長線上，且AECD，

連接AD，BE．

求證：線段AD是線段BE的雙關(guān)聯(lián)線段．

證明：延長DA交BE于點F．

ABC是等邊三角形，

ABAC，BACACB60．

QBACBAE180，ACBACD180，

BAEACD（依據(jù)）．

∵AECD，

△ABE≌△CAD，

BEAD，ED；

…

任務(wù)：

（1）問題1中的∠ACB________，問題2中的依據(jù)是________________；

（2）補全問題2的證明過程；

（3）如圖，點C在線段AB上，請在圖3中作線段AB的雙關(guān)聯(lián)線段CD．

（要求：①尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法；②作出一條即可）．

【答案】（1）30，等角的補角相等；

（2）見解析（3）見解析

【解析】

【分析】（1）設(shè)AC，BD的交點為O，利用矩形的性質(zhì)及已知可證明VAOB是等邊三角形，由等邊三角

形的性質(zhì)及矩形性質(zhì)即可求解．利用等角的補角相等即可完成問題2的依據(jù)．

（2）利用三角形外角的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)即可AFBACB60，從而問題完成；

（3）作一個等邊三角形即可完成．

【小問1詳解】

解：設(shè)AC，BD的交點為O，如圖；

∵四邊形ABCD是矩形，

∴OAOB，∠ABC90；

∵對角線AC與BD互為雙關(guān)聯(lián)線段，

∴AOB60，

∴VAOB是等邊三角形，

∴OAB60，

∴ACB90OAB30；

故答案為：30；

問題2中的依據(jù)是：等角的補角相等；

故答案為：等角的補角相等；

【小問2詳解】

解：AFB是△AEF的外角，

AFBEAFE．

ACB是ACD的外角，

ACBCADD．

QEAFCAD，ED，

AFBACB60．

即線段AD與線段BE所在直線形成的夾角中有一個角是60．

ADBE，

線段AD與線段BE是雙關(guān)聯(lián)線段．

【小問3詳解】

解：答案不唯一，例如：

作法一：作法二：

如圖，線段CD即為所求．

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，尺規(guī)作圖等知識，

掌握這些知識是解題的關(guān)鍵．

22.綜合與實踐

問題情境：青蛙騰空階段的運動路線可看作拋物線．我國某科研團隊根據(jù)青蛙的生物特征和運動機理設(shè)計

出了仿青蛙機器人，其起跳后的運動路線與實際情況中青蛙騰空階段的運動路線相吻合．

實驗數(shù)據(jù)：仿青蛙機器人從水平地面起跳，并落在水平地面上，其運動路線的最高點距地面60cm，起跳點

與落地點的距離為160cm．

數(shù)學(xué)建模：如圖，將仿青蛙機器人的運動路線抽象為拋物線，其頂點為N，對稱軸為直線l，仿青蛙機器人

在水平地面上的起跳點為O，落地點為M．以O(shè)為原點，OM所在直線為x軸，過點O與OM所在水平

地面垂直的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．

（1）請直接寫出頂點N的坐標(biāo)，并求該拋物線的函數(shù)表達式；

問題解決：已知仿青蛙機器人起跳后的運動路線形狀保持不變，即拋物線的形狀不變．

（2）如圖1，若仿青蛙機器人從點O正上方的點P處起跳，落地點為Q，點P的坐標(biāo)為(0,75)，點Q在x

軸的正半軸上．求起跳點P與落地點Q的水平距離OQ的長；

（3）實驗表明：仿青蛙機器人在躍過障礙物時，與障礙物上表面的每個點在豎直方向上的距離不少于3cm，

才能安全通過．如圖，水平地面上有一個障礙物，其縱切面為四邊形ABCD，其中ABCBCD90，

AB57cm,BC40cm,CD48cm．仿青蛙機器人從距離AB左側(cè)80cm處的地面起跳，發(fā)現(xiàn)不能安全

通過該障礙物．若團隊人員在起跳處放置一個平臺，仿青蛙機器人從平臺上起跳，則剛好安全通過該障礙

物．請直接寫出該平臺的高度（平臺的大小忽略不計，障礙物的縱切面與仿青蛙機器人的運動路線在同一

豎直平面內(nèi)）．

3

【答案】（1）80,60，y(x80)260；（2）起跳點P與落地點Q的水平距離OQ的長為200cm；

320

（3）6cm

【解析】

【分析】本題考查二次函數(shù)的實際應(yīng)用，讀懂題意，正確的列出函數(shù)關(guān)系式，是解題的關(guān)鍵：

（1）根據(jù)起跳點與落地點的距離為160cm，得到對稱軸為直線x80，根據(jù)運動路線的最高點距地面

60cm，得到頂點縱坐標(biāo)為60，寫出頂點坐標(biāo)，列出頂點式，把0,0代入，求出函數(shù)解析式即可；

（2）根據(jù)拋物線的形狀不變，利用平移思想，寫出新的函數(shù)解析式，令y0，求出x的值，進而求出OQ

的長即可；

3

（3）設(shè)該平臺的高度為kcm，根據(jù)題意，得到新的拋物線的解析式為：y(x80)260k，根

320

據(jù)仿青蛙機器人從平臺上起跳，則剛好安全通過該障礙物，得到拋物線過點128,51，代入求解即可；

【詳解】解：（1）由題意，得：拋物線的對稱軸為直線x80，頂點縱坐標(biāo)為60，

∴頂點坐標(biāo)為80,60，

設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為：ya(x80)260，

∵圖象過原點，

3

∴a(080)2600，解：a，

320

3

∴y(x80)260；

320

（2）∵拋物線的形狀不變，點(0,75)，

故第二次的函數(shù)圖象可以看作由（1）的拋物線向上平移75個單位長度，得到的，

33

∴新的拋物線的解析式為：y(x80)26075(x80)2135，

320320

3

當(dāng)y0時，(x80)21350，

320

解得：x1200，x240（舍去）；

故起跳點P與落地點Q的水平距離OQ的長為200cm；

3

（3）設(shè)該平臺的高度為kcm，由題意，設(shè)新的函數(shù)解析式為：y(x80)260k，

320

∵AB57cm,BC40cm,CD48cm，仿青蛙機器人從距離AB左側(cè)80cm處的地面起跳，

由題意，仿青蛙機器人經(jīng)過CD正上方3cm處，即拋物線經(jīng)過點8040,483，即：128,51，

33

∴把128,51代入y(x80)260k，得：51(12880)260k，解得：k6；

320320

故設(shè)該平臺的高度為6cm．

綜合與探究

23.

問題情境：如圖，在VABC紙片中，ABBC，點D在邊AB上，ADBD．沿過點D的直線折疊該

紙片，使DB的對應(yīng)線段DB與BC平行，且折痕與邊BC交于點E，得到DBE，然后展平．

猜想證明：（1）判斷四邊BDBE的形狀，并說明理由

拓展延伸：（2）如圖，繼續(xù)沿過點D的直線折疊該紙片，使點A的對應(yīng)點A落在射線DB上，且折痕與邊

AC交于點F，然后展平．連接AE交邊AC于點G，連接AF．

①若AD2BD，判斷DE與AE的位置關(guān)系，并說明理由；

②若C90，AB15，BC9，當(dāng)△AFG是以AF為腰的等腰三角形時，請直接寫出AF的長

165

【答案】（1）四邊形BDBE是菱形，理由見解析；（2）①DEAE．理由見解析；②5或

37

【解析】

【分析】（1）由折疊的性質(zhì)可得BDBD,BEBE，BDEBDE，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得

BDEBED，進而得到BDEBED，由等角對等邊推