第二節(jié)常用邏輯用語

1.通過對典型數(shù)學(xué)命題的梳理，理解必要條件、充分條件與充要條件

的意義，理解定義、判定定理、性質(zhì)定理與充要條件、充分條件、

必要條件的關(guān)系.2.通過已知的數(shù)學(xué)實(shí)例，理解全稱量詞與存在量詞的意義.3.能正確地對含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定.PART1知識(shí)逐點(diǎn)夯實(shí)必備知識(shí)系統(tǒng)梳理基礎(chǔ)重落實(shí)課前自修1.充分條件與必要條件命題真假“若

p

，則

q

”為

真命題“若

p

，則

q

”為假

命題“若

p

，則

q

”

和“若

q

，則

p

”都是真命題推出關(guān)系

p

q

p

q

p

q

條件關(guān)系

p

是

q

的

?

條件，

q

是

p

的

?條件

p

不是

q

的

?

條件，

q

不是

p

的

?條件

p

是

q

的

?

條件，簡

稱

?條件?

?

充分必要充分必要充分

必要充要提醒

（1）

A

是

B

的充分不必要條件?

A

?

B

且

B

A

；（2）

A

的

充分不必要條件是

B

?

B

?

A

且

A

B.2.全稱量詞和存在量詞類別全稱量詞存在量詞量詞所有的、任意一個(gè)存在一個(gè)、至少有一個(gè)符號??命題含有

?的命題

叫做全稱量詞命題含有

?的命題叫做

存在量詞命題全稱量詞存在量詞類別全稱量詞存在量詞命題形式“對

M

中任意一個(gè)

x

，

p

（

x

）成立”，可用符號簡

記為“

?

”“存在

M

中的元素

x

，

p

（

x

）

成立”，可用符號簡記為

“

?”?

x

∈

M

，

p

（

x

）

?

x

∈

M

，

p

（

x

）

3.全稱量詞命題和存在量詞命題的否定名稱全稱量詞命題存在量詞命題結(jié)構(gòu)對

M

中任意一個(gè)

x

，

p

（

x

）成立存在

M

中的元素

x

，

p

（

x

）成立簡記?

x

∈

M

，

p

（

x

）?

x

∈

M

，

p

（

x

）否定

?

??

x

∈

M

，

p

（

x

）

?

x

∈

M

，

p

（

x

）

提醒

對沒有量詞的命題否定時(shí)，要結(jié)合命題的含義加上量詞，再

改變量詞.

1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”）（1）“至少有一個(gè)三角形的內(nèi)角和為π”是全稱量詞命題.

（

×

）（2）寫全稱量詞命題的否定時(shí)，全稱量詞變?yōu)榇嬖诹吭~.

（

√

）（3）當(dāng)

p

是

q

的充分條件時(shí)，

q

是

p

的必要條件.

（

√

）（4）若已知

p

：

x

＞1和

q

：

x

≥1，則

p

是

q

的充分不必要條件.

（

√

）×√√√2.已知命題

p

：?

x

∈R，

x

＞sin

x

，則

p

的否定為（

）A.?

x

∈R，

x

＜sin

x

B.?

x

∈R，

x

≤sin

x

C.?

x

∈R，

x

≤sin

x

D.?

x

∈R，

x

＜sin

x

解析：

對全稱量詞命題的否定既要否定量詞又要否定結(jié)論，

p

：?

x

∈R，

x

＞sin

x

，則

p

的否定為：?

x

∈R，

x

≤sin

x

.故選C.3.（2023·天津高考2題）“

a

2＝

b

2”是“

a

2＋

b

2＝2

ab

”的（

）A.充分不必要條件B.

必要不充分條件C.充分必要條件D.

既不充分又不必要條件解析：

由

a

2＝

b

2，得

a

＝±

b

，當(dāng)

a

＝－

b

時(shí)，

a

2＋

b

2≠2

ab

.由

a

2＋

b

2＝2

ab

，得（

a

－

b

）2＝0，所以

a

＝

b

.所以“

a

2＝

b

2”是“

a

2＋

b

2＝2

ab

”的必要不充分條件.故選B.4.“等邊三角形都是等腰三角形”的否定是

?

?.解析：全稱量詞命題的否定是存在量詞命題.故命題的否定是存在一

個(gè)等邊三角形，它不是等腰三角形.5.若“

x

＞

m

”是“

x

＞3”的充分不必要條件，則

m

的取值范圍

是

?.存在一個(gè)等邊三角形，

它不是等腰三角形（3，＋∞）

解析：因?yàn)椤?/p>

x

＞

m

”是“

x

＞3”的充分不必要條件，所以（

m

，

＋∞）是（3，＋∞）的真子集，由圖可知

m

＞3.

1.充分（必要、充要）條件與集合間的包含關(guān)系設(shè)

A

＝{

x

｜

p

（

x

）}，

B

＝{

x

｜

q

（

x

）}：（1）若

A

?

B

，則

p

是

q

的充分條件，

q

是

p

的必要條件；（2）若

A

?

B

，則

p

是

q

的充分不必要條件，

q

是

p

的必要不充

分條件；（3）若

A

＝

B

，則

p

是

q

的充要條件.2.命題

p

和

p

的真假性相反，若判斷一個(gè)命題的真假有困難時(shí)，可

先判斷此命題的否定的真假.

1.設(shè)

x

∈R，則“

x

＞0”是“2

x

＞2”的（

）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析：

若2

x

＞2，則

x

＞1，因?yàn)椋?，＋∞）?（0，＋∞），所

以由結(jié)論1得“

x

＞0”是“2

x

＞2”的必要不充分條件.故選B.2.若“?

x

∈R，

x

2－

ax

－2

a

＞0”是假命題，則實(shí)數(shù)

a

的取值范圍

是

?.解析：由結(jié)論2得?

x

∈R，

x

2－

ax

－2

a

≤0為真命題，所以Δ＝

a

2＋

8

a

≥0，解得

a

∈（－∞，－8]∪[0，＋∞）.（－∞，－8]∪[0，＋∞）

PART2考點(diǎn)分類突破精選考點(diǎn)典例研析技法重悟通課堂演練

全稱量詞命題與存在量詞命題考向1

含量詞命題的否定及真假判定【例1】

（1）已知命題

p

：?

x

∈R，

x

＝－1或

x

＝2，則（

）A.

p

：?

x

?R，

x

≠－1或

x

≠2B.

p

：?

x

∈R，

x

≠－1且

x

≠2C.

p

：?

x

∈R，

x

＝－1且

x

＝2D.

p

：?

x

?R，

x

＝－1或

x

＝2解析：注意“

x

＝－1或

x

＝2”的否定是“

x

≠－1且

x

≠2”，所以命題

p

的否定是“?

x

∈R，

x

≠－1且

x

≠2”.（2）下列命題為真命題的是（

）A.?

x

∈R，ln（

x

2＋1）＜0B.?

x

＞2，2

x

＞

x

2C.?α，β∈R，sin（α－β）＝sinα－sinβD.?

x

∈（0，π），sin

x

＞cos

x

解題技法1.對全稱量詞命題與存在量詞命題進(jìn)行否定的方法（1）改寫量詞：全稱量詞改寫為存在量詞，存在量詞改寫為全稱

量詞；（2）否定結(jié)論：對于一般命題的否定只需直接否定結(jié)論即可.2.全稱量詞命題與存在量詞命題真假的判斷方法（1）全稱量詞命題：①要判斷一個(gè)全稱量詞命題是真命題，必須

對限定的集合

M

中的每一個(gè)元素

x

，證明

p

（

x

）成立；②要

判斷一個(gè)全稱量詞命題是假命題，只要能舉出集合

M

中的一

個(gè)特殊值

x

＝

x

0，使

p

（

x

0）不成立即可.（2）存在量詞命題：要判斷一個(gè)存在量詞命題是真命題，只要在

限定的集合

M

中，找到一個(gè)

x

＝

x

0，使

p

（

x

0）成立即可，否

則這一存在量詞命題就是假命題.考向2

含量詞的命題的應(yīng)用【例2】已知命題“?

x

∈R，使

ax

2－

x

＋2≤0”是假命題，則實(shí)數(shù)

a

的取值范圍是（

）A.（－

，0）B.

（0，

）C.（

，＋∞）D.

（1，＋∞）

解題技法由命題的真假求參數(shù)的方法（1）全稱量詞命題可轉(zhuǎn)化為恒成立問題；（2）存在量詞命題可轉(zhuǎn)化為存在性問題；（3）全稱量詞、存在量詞命題假可轉(zhuǎn)化為它的否定命題真.

1.（2024·石家莊模擬）已知命題

p

：?

x

∈（0，＋∞），ln

x

＝1－

x

，則命題

p

的真假及

p

依次為（

）A.真；?

x

∈（0，＋∞），ln

x

≠1－

x

B.真；?

x

∈（0，＋∞），ln

x

≠1－

x

C.假；?

x

∈（0，＋∞），ln

x

≠1－

x

D.假；?

x

∈（0，＋∞），ln

x

≠1－

x

解析：

當(dāng)

x

＝1時(shí)，lnx

＝1－

x

＝0，故命題

p

為真命題；因?yàn)?/p>

p

：?

x

∈（0，＋∞），lnx

＝1－

x

，所以

p

：?

x

∈（0，＋

∞），lnx

≠1－

x

.2.若命題“?

x

∈（－1，3），

x

2－2

x

－

a

≤0”為真命題，則實(shí)數(shù)

a

可取的最小整數(shù)值是（

）A.－1B.0C.1D.3解析：

由題意，?

x

∈（－1，3），

a

≥

x

2－2

x

，令

h

（

x

）＝

x

2－2

x

，因?yàn)楹瘮?shù)

h

（

x

）＝

x

2－2

x

在（－1，1）上單調(diào)遞減，在

（1，3）上單調(diào)遞增，所以

h

（

x

）min＝

h

（1）＝1－2＝－1，所以

a

≥－1.所以實(shí)數(shù)

a

可取的最小整數(shù)值是－1.【例3】

（1）設(shè)

x

∈R，則“

x

2－5

x

＜0”是“｜

x

－1｜＜1”的

（

）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件充分條件、必要條件的判定解析：不等式

x

2－5

x

＜0的解集

A

＝{

x

｜0＜

x

＜5}，由｜x

－1｜＜1得－1＜

x

－1＜1，其解集

B

＝{

x

｜0＜

x

＜2}，則集

合

B

是

A

的真子集，所以“

x

2－5

x

＜0”是“｜

x

－1｜＜1”的

必要不充分條件，故選B.（2）（2023·全國甲卷7題）設(shè)甲：sin2α＋sin2β＝1，乙：sinα＋

cosβ＝0，則（

）A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件解析：甲等價(jià)于sin2α＝1－sin2β＝cos2β，等價(jià)于sinα＝±cos

β，所以由甲不能推導(dǎo)出sinα＋cosβ＝0，所以甲不是乙的充分

條件；由sinα＋cosβ＝0，得sinα＝－cosβ，平方可得sin2α

＝cos2β＝1－sin2β，即sin2α＋sin2β＝1，所以由乙可以推導(dǎo)

出甲，則甲是乙的必要條件.綜上，選B.解題技法充分條件、必要條件的兩種判定方法（1）定義法：根據(jù)

p

?

q

，

q

?

p

進(jìn)行判斷，適用于定義、定理判斷性

問題；（2）集合法：根據(jù)

p

，

q

對應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷，多適

用于條件中涉及參數(shù)范圍的推斷問題.

1.已知

a

，

b

都是實(shí)數(shù)，那么“

a

＞2”是“方程

x

2＋

y

2－2

x

－2

by

＋

b

2－

a

＝0表示圓”的（

）A.充分不必要條件B.

必要不充分條件C.充要條件D.

既不充分也不必要條件解析：

方程

x

2＋

y

2－2

x

－2

by

＋

b

2－

a

＝0表示圓?方程（

x

－

1）2＋（

y

－

b

）2＝

a

＋1表示圓?

a

＋1＞0?

a

＞－1.由

a

＞2能推

出

a

＞－1，但是

a

＞－1推不出

a

＞2，故“

a

＞2”是“方程

x

2＋

y

2

－2

x

－2

by

＋

b

2－

a

＝0表示圓”的充分不必要條件.2.記數(shù)列{

an

}的前

n

項(xiàng)和為

Sn

，則“

S

3＝3

a

2”是“{

an

}為等差數(shù)

列”的（

）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析：

若數(shù)列{

an

}是等差數(shù)列，則

S

3＝

a

1＋

a

2＋

a

3＝3

a

2；當(dāng)

數(shù)列{

an

}的前

n

項(xiàng)和滿足

S

3＝3

a

2時(shí)，數(shù)列不一定是等差數(shù)列，

如：

a

1＝1，

a

2＝2，

a

3＝3，

a

4＝5；所以“

S

3＝3

a

2”是“{

an

}為

等差數(shù)列”的