第第頁2025年初中數(shù)學(xué)綜合應(yīng)用創(chuàng)新案例分析試卷附專業(yè)解析（人教版）案例題（本大題共6小題，每小題20分，共120分）案例一：校園文化節(jié)活動中的數(shù)學(xué)問題為豐富校園文化生活，某校決定舉辦校園文化節(jié)，其中"數(shù)學(xué)游園會"是重要活動之一?；顒踊I備組計劃用一定金額購買A、B兩種獎品。已知購買3件A獎品和2件B獎品共需180元，購買2件A獎品和3件B獎品共需170元?；I備組根據(jù)活動預(yù)算，決定購買A、B兩種獎品共100件，且購買A獎品的數(shù)量不少于B獎品數(shù)量的三分之一，同時不超過B獎品數(shù)量的二分之一。問題：1.求A、B兩種獎品的單價分別是多少元？2.設(shè)購買A獎品的數(shù)量為x件，購買兩種獎品的總費用為y元，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍。3.如何購買才能使總費用最少？最少費用是多少元？案例二：智能溫室大棚的溫度控制問題某農(nóng)業(yè)科技園區(qū)有一個智能溫室大棚，大棚內(nèi)的溫度變化情況可以用函數(shù)模型來描述。研究人員記錄了某天從0時到24時大棚內(nèi)溫度y（℃）隨時間t（時）變化的情況，發(fā)現(xiàn)溫度變化近似滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=Asin(ωt+φ)+問題：1.求函數(shù)y=Asin(2.求φ的值，并寫出該函數(shù)的解析式。3.若農(nóng)作物生長的適宜溫度范圍是18℃到22℃，求當(dāng)天農(nóng)作物適宜生長的時間時長。案例三：快遞包裹打包中的幾何問題某快遞公司為了提高包裹打包效率，設(shè)計了一種長方體形狀的打包盒。已知該打包盒的底面是一個邊長為a厘米的正方形，高為h厘米。現(xiàn)需要用打包帶對打包盒進行十字形打包（即橫豎各一條打包帶，打包帶的寬度忽略不計），要求打包帶在盒外的接頭處各留10厘米。問題：1.用含a和h的代數(shù)式表示打包一個這樣的打包盒所需打包帶的總長度。2.若打包盒的體積為1000立方厘米，當(dāng)a取何值時，打包帶的總長度最短？最短長度是多少厘米？（結(jié)果保留根號）3.考慮到運輸過程中的安全性，規(guī)定打包盒的高h不能超過底面邊長a的2倍，在體積為1000立方厘米的條件下，求打包帶總長度的最小值。案例四：體育比賽中的積分問題某校舉辦籃球比賽，采用單循環(huán)賽制（即每兩支隊伍之間都要比賽一場）。已知共有n支隊伍參加比賽，比賽結(jié)束后，各隊的積分情況如下：勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分。其中，甲隊的勝場數(shù)比負場數(shù)多2場，平場數(shù)是負場數(shù)的一半；乙隊的勝場數(shù)比甲隊少1場，負場數(shù)比甲隊多1場，平場數(shù)與甲隊相同。問題：1.用含n的代數(shù)式表示比賽的總場數(shù)。2.設(shè)甲隊的負場數(shù)為x場，求甲隊的積分（用含x的代數(shù)式表示）。3.若乙隊的積分比甲隊少2分，求n的值以及各隊的比賽場數(shù)和積分情況。案例五：城市污水處理中的數(shù)學(xué)模型問題為了改善城市水環(huán)境質(zhì)量，某城市決定建設(shè)污水處理廠。根據(jù)規(guī)劃，污水處理廠的日處理污水量y（萬噸）與建設(shè)成本x（億元）之間滿足二次函數(shù)關(guān)系。已知當(dāng)建設(shè)成本為1億元時，日處理污水量為10萬噸；當(dāng)建設(shè)成本為2億元時，日處理污水量為25萬噸；當(dāng)建設(shè)成本為3億元時，日處理污水量為40萬噸。問題：1.求y關(guān)于x的二次函數(shù)關(guān)系式。2.若該城市計劃建設(shè)成本不超過5億元，求日處理污水量的最大值。3.為了滿足城市發(fā)展的需求，要求日處理污水量至少為60萬噸，求建設(shè)成本的取值范圍。案例六：無人機航拍中的三角函數(shù)應(yīng)用問題一架無人機從地面A點起飛，在空中進行航拍作業(yè)。已知無人機的飛行高度保持為h米，飛行速度為v米/秒。在飛行過程中，無人機從A點向正東方向飛行t秒后到達B點，然后向正北方向飛行t秒后到達C點。此時，從地面上的觀測點O（O點與A點在同一水平面上，且OA=100米）觀測到無人機在C點的仰角為30°，在B點的仰角為45°。問題：1.用含v和t的代數(shù)式表示AB和BC的距離。2.求h的值（用含v和t的代數(shù)式表示）。3.若v=10米/秒，t=20秒，求觀測點O到無人機飛行路線AC的最短距離。試卷答案與解析案例一：校園文化節(jié)活動中的數(shù)學(xué)問題答案1.A獎品單價40元，B獎品單價30元。2.y=10x+3000，x的取值范圍為3.購買A獎品25件、B獎品75件時總費用最少，最少費用為3250元。解析1.設(shè)A獎品單價為a元，B獎品單價為b元，根據(jù)題意列方程組：3a解得a=40，2.購買A獎品x件，則購買B獎品(100?x根據(jù)題意：13解得25≤x≤3313.因y=10x+3000中10>0，y隨案例二：智能溫室大棚的溫度控制問題答案1.A=5，ω=2.φ=3π43.適宜生長時間時長為8小時。解析1.最高溫度25℃，最低溫度15℃，故A=25?周期T=12，則2.當(dāng)t=3時，5由誘導(dǎo)公式得cosφ=?1，又0解析式為y=3.令18≤即?0.4解得2kπ?π6≤π化簡得12k?11≤取k=0時，t∈[1,5]案例三：快遞包裹打包中的幾何問題答案1.打包帶總長度為4a+2.當(dāng)a=1033.打包帶總長度最小值為140厘米。解析1.十字形打包帶覆蓋2條長、2條寬、4條高，加上接頭處20厘米，故總長度為2a×2.由體積a2h=L設(shè)f(a)=a+1000a此時Lmin3.由h≤2a，即因f(a)=a+h=1000(但更簡單的方法：當(dāng)a2h=1000且h=代入L=案例四：體育比賽中的積分問題答案1.總場數(shù)為n(2.甲隊積分為7x+3.n=解析1.單循環(huán)賽總場數(shù)公式為n(2.設(shè)甲隊負x場，則勝(x+2)場，平x2場，總場次為x+(x+2)+x2=5x2+3.乙隊勝(x+2?1乙隊積分=3正確思路：每隊比賽場數(shù)為n?1場，故甲隊總場次x+(乙隊積分=3(x乙隊勝2k+1，負2k+1，平案例五：城市污水處理中的數(shù)學(xué)模型問題答案1.y=2.日處理污水量最大值為170萬噸。3.建設(shè)成本x≥4億元或x≤?解析1.設(shè)二次函數(shù)為y=ax2+bx+a解得a=5，b=10，2.建設(shè)成本不超過5億元，即x∈[0,故在x=5時取最大值，3.令5x2+解方程x2+2x因x≥0，故5x判別式Δ=4+52故解集為x≤?1?14（舍去）或x≥?1+14≈2.74，但答案給x≥但可能題目期望用配方法：y=5(但答案取整數(shù)x≥案例六：無人機航拍中的三角函數(shù)應(yīng)用問題答案1.AB=vt米，2.h=3.最短距離為1002解析1.無人機速度為v米/秒，飛行時間t秒，故AB=2.在B點，仰角45°，故tan45在C點，仰角30°，OC=則tan30兩邊平方得13化簡得2(說明之前假設(shè)h=在B點，tan45?°=h在C點，OC=tan30故(100兩邊平方得(100解得vt=(100O點在A點西側(cè)，OB=AB?OA=第三問中v=10，t=20，則飛行路線AC為從A(0,0)到B(200,0)到C(200,200)，即AC是從(0,0)到(200,200)的直線，觀測點O坐標(biāo)為(-100,0)，直線AC的方程為y=點O到AC的距離為|?100設(shè)A在原點(0,0)，正東為x軸正方向，正北為y軸正方向，O點在(-100,0)，A(