湖北省孝感市部分高中2024—2025學(xué)年下學(xué)期期末聯(lián)考高二數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁(yè)，19題，全卷滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1、答題前，請(qǐng)將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的制定位置.2、選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3、非選擇題作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4、考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡上交.一、選擇題：本題共8小題，每題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知數(shù)列，則是該數(shù)列的（）A.第5項(xiàng) B.第6項(xiàng)C.第7項(xiàng) D.第8項(xiàng)【答案】C【解析】【詳解】由數(shù)列，，2，…的前三項(xiàng)為，，可知，數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝＝，由＝2，可得n＝7.故選C.2.若，，成等比數(shù)列，則函數(shù)的圖像與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）．A.0 B.1 C.2 D.不確定【答案】B【解析】【分析】由題得，再計(jì)算得解.【詳解】因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，令，則，所以函數(shù)的圖像與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1個(gè)，故選：B3.如圖為函數(shù)（其定義域?yàn)椋┑膱D象，若的導(dǎo)函數(shù)為，則的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)的圖象，分析的函數(shù)值的正、負(fù)情況，即可判斷.【詳解】解：由圖象知上先減后增，故在上函數(shù)值先負(fù)后正，同理在上的符號(hào)是先負(fù)后正，四個(gè)選項(xiàng)中僅有選項(xiàng)A符合.故選：A.4.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，取得極小值1 B.當(dāng)時(shí)，取得極大值1C.當(dāng)時(shí)，取得極大值33 D.當(dāng)時(shí)，取得極大值【答案】B【解析】【分析】求導(dǎo)可得解析式，令，可得極值點(diǎn)，利用表格法，可得的單調(diào)區(qū)間，代入數(shù)據(jù)，可得的極值，分析即可得答案.【詳解】由題意得，令，解得或，當(dāng)x變化時(shí)，、變化如下x-1+0-0+極大值極小值所以當(dāng)時(shí)，取得極大值1，故B正確、C、D錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，取得極小值，故A錯(cuò)誤，故選：B5.如圖所示，積木拼盤由，，，，五塊積木組成，若每塊積木都要涂一種顏色，且為了體現(xiàn)拼盤的特色，相鄰的區(qū)域需涂不同的顏色（如：與為相鄰區(qū)域，與為不相鄰區(qū)域），現(xiàn)有五種不同的顏色可供挑選，則不同的涂色方法的種數(shù)是（）A.780 B.840 C.900 D.960【答案】D【解析】【分析】先涂，再涂，再涂，再涂，最后涂，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得不同的涂色方法種數(shù).【詳解】解：先涂，則有種涂法，再涂，因?yàn)榕c相鄰，所以的顏色只要與不同即可，有種涂法，同理有種涂法，有種涂法，有種涂法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，可知不同的涂色方法種數(shù)為．故選：D.6.某中學(xué)元旦晚會(huì)共由6個(gè)節(jié)目組成，演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在乙的前面，丙不能排在最后一位，該晚會(huì)節(jié)目演出順序的編排方案共有A.720種 B.600種 C.360種 D.300種【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①，將除丙之外的5人排成一排，要求甲在乙的前面，②，5人排好后有5個(gè)空位可選，在其中任選1個(gè)，安排丙，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：將除丙之外的5人排成一排，要求甲在乙的前面，有種情況，②5人排好后有5個(gè)空位可選，其中任選1個(gè)，安排丙，有5種情況，則有60×5＝300種不同的順序，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查排列、組合的實(shí)際應(yīng)用，涉及分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．7.已知正九邊形，從中任取兩個(gè)向量，則它們的數(shù)量積是正數(shù)的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義，列出基本事件求概率即可.【詳解】可以和向量構(gòu)成數(shù)量積有一共8個(gè)向量，其中數(shù)量積為的正數(shù)的向量有：一共4個(gè)，由對(duì)稱性可知，任取兩個(gè)向量，它們的數(shù)量積是正數(shù)的概率為：.故選：A8.根據(jù)分類變量X與Y的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算得到，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)（），可推斷（）A.變量X與Y不獨(dú)立B.變量X與Y不獨(dú)立，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01C.無法判斷變量X與Y是否獨(dú)立D.變量X與Y獨(dú)立【答案】D【解析】【分析】由獨(dú)立性檢驗(yàn)的意義判斷可得.【詳解】零假設(shè)為:變量X與Y獨(dú)立.因?yàn)?，所以依?jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷不成立，因此可以認(rèn)為成立，即認(rèn)為變量X與Y獨(dú)立.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，則下列結(jié)論正確的是()A.數(shù)列是等差數(shù)列 B.數(shù)列是等差數(shù)列C.數(shù)列是等比數(shù)列 D.數(shù)列是等差數(shù)列【答案】ABC【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，設(shè)等比數(shù)列的公比為，求出，利用等差數(shù)列的定義可判斷選項(xiàng)；利用等比數(shù)列定義可判斷C選項(xiàng)．【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，∴．對(duì)于A選項(xiàng)，，∴為等差數(shù)列，A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，令，∴，故數(shù)列是等差數(shù)列，B正確；設(shè)等比數(shù)列的公比為，對(duì)于C選項(xiàng)，令，則，故數(shù)列是等比數(shù)列，C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，∵不一定為常數(shù)，故數(shù)列不一定是等差數(shù)列，故D錯(cuò)誤；故選：ABC．10.已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，為其導(dǎo)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系一一判定即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以.因?yàn)楹瘮?shù)在R上單調(diào)遞增，所以,對(duì)于任意的恒成立，所以恒成立，即A正確；但大小不確定，故B錯(cuò)誤；對(duì)于方程，有，即，所以C正確，D錯(cuò)誤；故選：AC.11.李明每天7：00從家里出發(fā)去學(xué)校，有時(shí)坐公交車，有時(shí)騎自行車．他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時(shí)間，經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到：坐公交車平均用時(shí)30分鐘，樣本方差為36；自行車平均用時(shí)34分鐘，樣本方差為4．假設(shè)坐公交車用時(shí)X和騎自行車用時(shí)Y都服從正態(tài)分布，則（）A.P(X＞32)＞P(Y＞32)B.P(X≤36)＝P(Y≤36)C.李明計(jì)劃7：34前到校，應(yīng)選擇坐公交車D.李明計(jì)劃7：40前到校，應(yīng)選擇騎自行車【答案】BCD【解析】【分析】首先利用正態(tài)分布，確定和，再結(jié)合正態(tài)分布的對(duì)稱性，和的原則，即可求解.【詳解】A.由條件可知，，根據(jù)對(duì)稱性可知，故A錯(cuò)誤；B.,，所以，故B正確；C.=，所以，故C正確；D.，，所以，故D正確.故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每題5分，共15分12.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)中，所有奇數(shù)項(xiàng)的和為，所有偶數(shù)項(xiàng)的和為，則的值為______．【答案】【解析】【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)已知條件求出的值，結(jié)合等比數(shù)列求和公式求出的值，進(jìn)而可求得的值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)中，設(shè)所有奇數(shù)項(xiàng)的和為，所有偶數(shù)項(xiàng)的和為，則，所以，，又，則，因此，.故答案為：.13.從集合中任取兩個(gè)互不相等的數(shù)，，組成復(fù)數(shù)，其中虛數(shù)有______個(gè).【答案】36【解析】【分析】若復(fù)數(shù)為虛數(shù)，則，分兩種情況討論即得解.【詳解】從集合中任取兩個(gè)互不相等的數(shù)，，組成復(fù)數(shù)，當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的有6個(gè)值；當(dāng)取1,2,3,4,5,6時(shí)，對(duì)應(yīng)的只有5個(gè)值.所以虛數(shù)有（個(gè)）.故答案為:36.【點(diǎn)睛】本題考查了虛數(shù)的定義，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運(yùn)算，分類討論的能力，屬于基礎(chǔ)題.14.為研究某新藥的療效，給100名患者服用此藥，跟蹤調(diào)查后得如表所示的數(shù)據(jù):單位:名性別療效合計(jì)無效有效男性患者153550女性患者64450合計(jì)2179100α0.1000.0500.0102.7063.8416.635設(shè):服用此藥的效果與患者的性別無關(guān)，（小數(shù)點(diǎn)后保留3位有效數(shù)字），從而得出結(jié)論:服用此藥的效果與患者的性別有關(guān)，這種判斷出錯(cuò)的概率不大于___________.【答案】0.05【解析】【分析】計(jì)算卡方，再由獨(dú)立性檢驗(yàn)比較可得.【詳解】由公式計(jì)算得，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為服用此藥的效果與患者的性別有關(guān)，判斷出錯(cuò)的概率不大于0.05.故答案為：0.05.四、解答題：本題共5小題，共77分15.已知數(shù)列是等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列.給定，記集合的元素個(gè)數(shù)為bk.（1）求的值;（2）求滿足的最小自然數(shù)的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，根據(jù)題意，列出方程，求得，得到，結(jié)合，分別求得的值；（2）由（1）得到，求得，當(dāng)和時(shí)，可得，，進(jìn)而得到的最小值.小問1詳解】解：設(shè)數(shù)列的公差為，因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，且，所以，即，即，解得，所以，又因?yàn)?，?dāng)時(shí)，集合，所以集合中元素的個(gè)數(shù)；當(dāng)時(shí)，集合，所以集合中元素的個(gè)數(shù)；【小問2詳解】解：由集合的元素個(gè)數(shù)為，結(jié)合（1）可得，所以，當(dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，可得，又由，所以數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，所以的最小值是.16.函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若有最大值M，且，求a的值．【答案】（1）答案見解析；（2）1【解析】【分析】（1）求出，分或兩種情況討論可得；（2）由（1）可得，則，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求最大值得出，則，即可得出.【詳解】解：（1）易知，，當(dāng)時(shí)對(duì)任意的恒成立；當(dāng)時(shí)，若，得，若，得，綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）由（1）可得當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則沒有最大值，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，即，，，即，令，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，，，，.【點(diǎn)睛】本題考查不等式的恒成立問題，解題的關(guān)鍵是先得出，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)單調(diào)性，得出.17.已知函數(shù)為常數(shù)，e=2.71828…，曲線在點(diǎn)處的切線與x軸平行.（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間；【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是【解析】【詳解】試題分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與x軸平行，說明f′（1）=0，則k值可求；（2）求出函數(shù)的定義域，然后讓導(dǎo)函數(shù)等于0求出極值點(diǎn)，借助于導(dǎo)函數(shù)在各區(qū)間內(nèi)的符號(hào)求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間試題解析：（I），由已知，，（II）由（I）知，.設(shè)，則，即在上是減函數(shù)，由知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，從而.綜上可知，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；導(dǎo)數(shù)的幾何意義18.某地區(qū)擬建立一個(gè)藝術(shù)博物館，采取競(jìng)標(biāo)的方式從多家建筑公司選取一家建筑公司，經(jīng)過層層篩選，甲、乙兩家建筑公司進(jìn)入最后的招標(biāo).現(xiàn)從建筑設(shè)計(jì)院聘請(qǐng)專家設(shè)計(jì)了一個(gè)招標(biāo)方案:兩家公司從個(gè)招標(biāo)問題中隨機(jī)抽取個(gè)問題，已知這個(gè)招標(biāo)問題中，甲公司可正確回答其中的道題目，而乙公司能正確回答每道題目的概率均為，甲、乙兩家公司對(duì)每題的回答都是相互獨(dú)立，互不影響的.（1）求甲、乙兩家公司共答對(duì)道題目的概率；（2）請(qǐng)從期望和方差的角度分析，甲、乙兩家哪家公司競(jìng)標(biāo)成功的可能性更大？【答案】（1）（2）甲公司競(jìng)標(biāo)成功的可能性更大.【解析】【詳解】試題分析：（1）分兩種情況求概率：甲答對(duì)道題、乙答對(duì)道題；甲答對(duì)道題、乙答對(duì)道題；其中甲答對(duì)道題概率為,乙答對(duì)道題概率為，最后根據(jù)概率乘法公式與加法公式求概率，（2）分別求甲、乙公司正確完成面試的題數(shù)期望和方差，期望較大、方差較小的公司競(jìng)標(biāo)成功的可能性更大.先確定隨機(jī)變量可能取法，求出對(duì)應(yīng)概率(甲答對(duì)道題概率為,乙答對(duì)道題概率為)，利用期望公式及方差公式求期望與方差.試題解析：（1）由題意可知，所求概率.(2)設(shè)甲公司正確完成面試的題數(shù)為,則的取值分別為，，.,，.則的分布列為：.設(shè)乙公司正確完成面試的題為,則取值分別為，，，.,,,則的分布列為：.（或）.()由,可得，甲公司競(jìng)標(biāo)成功的可能性更大.19.中國(guó)茶文化博大精深，飲茶深受大眾喜愛，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān)，某數(shù)學(xué)建模小組為了獲得茶水溫度y（單位：）關(guān)于時(shí)間x（單位：min）的回歸方程模型，通過實(shí)驗(yàn)收集在室溫，用同一溫度的水沖泡的條件下，茶水溫度隨時(shí)間變化的7組數(shù)據(jù)，并對(duì)數(shù)據(jù)做初步處理得到如圖所示散點(diǎn)圖以及如表所示數(shù)據(jù).73.53.85表中：，（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，①與②哪一個(gè)更適宜作為該茶水溫度y關(guān)于時(shí)間x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）請(qǐng)根據(jù)你的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)建立該茶水溫度y關(guān)于時(shí)間x的回歸方程；（2）已知該茶水溫度降至口感最佳，根據(jù)（1）中的回歸方程，求在相同條件下沖泡的茶水，大約需要放置多長(zhǎng)時(shí)間才能達(dá)到最佳飲用口感？附：（1）對(duì)于一組數(shù)據(jù)，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分