第=page11頁，共=sectionpages11頁2025年吉林省中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共6小題，每小題3分，共18分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.如圖，點A表示的數(shù)是1.若將點A向左移動3個單位長度得到點A′，則點A′表示的數(shù)為(

)A.?3 B.?2 C.2 D.42.一個正方體的展開圖如圖所示，把它折疊成正方體后，有“的”字一面的相對面上的字為(

)A.我 B.中 C.國 D.夢3.計算(2a2)3A.2a5 B.2a6 C.4.不等式x?3>2的解集為(

)A.x>5 B.x<5 C.x>?1 D.x<?15.如圖，風(fēng)力發(fā)電機的葉片在風(fēng)的吹動下轉(zhuǎn)動，使風(fēng)能轉(zhuǎn)化為電能.圖中的三個葉片組成的圖形繞著它的中心旋轉(zhuǎn)角α后，能夠與它本身重合，則角α的大小可以為(

)A.90°B.120°

C.150°D.180°6.如圖，在△ABC中，∠B=45°，∠A>∠ACB>∠B，尺規(guī)作圖操作如下：(1)以點B為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交邊BA，BC于點M，N；(2)以點C為圓心，BN長為半徑畫弧，交邊CB于點N′；再以點N′為圓心，MN長為半徑畫弧，與前一條以點C為圓心的弧相交于三角形內(nèi)部的點M′；(3)過點M′畫射線CM′交邊AB于點D.下列結(jié)論錯誤的為(

)A.∠B=∠DCB B.∠BDC=90°

C.DB=DC D.AD+DC=BC二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。7.因式分解：a2?ab=______．8.計算：3+9.《孫子算經(jīng)》中記載了這樣一道題：今有三人共車，二車空；二人共車，九人步.問車幾何？其譯文為：有若干人乘車，若每3人同乘一車，最終剩余2輛空車；若每2人同乘一車，最終剩下9人因無車可乘而步行.問有多少輛車？為解決此問題，設(shè)共有x輛車，可列方程為______．10.如圖，正五邊形ABCDE的邊AB，DC的延長線交于點F，則∠F的大小為______度.11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過原點O的直線與反比例函數(shù)y=3x的圖象交于A，B兩點，分別以點A，點B為圓心，畫半徑為1的⊙A和⊙B.當(dāng)⊙A，⊙B分別與x軸相切時，切點分別為點C和點D，連接AC，BD，則陰影部分圖形的面積和為______.(結(jié)果保留π)三、解答題：本題共11小題，共87分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。12.(本小題6分)

先化簡，再求值：aa?1?a2?113.(本小題6分)

在“健康中國2030”與“體重管理年”的行動引領(lǐng)下，某校田徑社團開展了“2025健康長跑”活動.由于參加的人數(shù)較多，場地空間有限，活動將分A，B，C三組進行，每人只能被隨機分配到其中一組，分組工作由計算機軟件完成.請用畫樹狀圖或列表的方法，求參與者小剛和小利被分配到同一組的概率．14.(本小題6分)

吉林省長白山盛產(chǎn)人參、為促進我省特色經(jīng)濟的發(fā)展，某公司現(xiàn)將人參加工成甲、乙兩種盒裝的商品出售，甲、乙兩種商品的售價分別為每盒25元和20元.某游客購買了甲、乙兩種商品共10盒，花費230元.求該游客購買甲種商品和乙種商品的盒數(shù)．15.(本小題7分)

如圖，在矩形ABCD中，點E，F(xiàn)在邊BC上，連接AE，DF，∠BAE=∠CDF．

(1)求證：△ABE≌△DCF．

(2)當(dāng)AB=12，DF=13時，求BE的長．16.(本小題7分)

圖①、圖②均是6×6的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點.△ABC內(nèi)接于⊙O，且點A，B，C，O均在格點上.只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖．

(1)在圖①中找一個格點D(點D不與點C重合)；畫出∠ADB，使∠ADB=∠ACB．

(2)在圖②中找一個格點E，畫出∠AEC，使∠AEC+∠ABC=180°．17.(本小題7分)

端午節(jié)是我國的傳統(tǒng)節(jié)日.某食品公司為迎接端午節(jié)的到來，組織了“濃情端午，粽葉飄香”的包粽子比賽，規(guī)定：粽子質(zhì)量為(150±9)克時，其質(zhì)量等級為合格；粽子質(zhì)量為(150±3)克時，其質(zhì)量等級為優(yōu)秀.共有甲、乙兩個小組參加比賽，他們在相同時間內(nèi)分別包了220個和200個粽子，質(zhì)檢員小李從甲、乙兩個參賽小組所包粽子中各隨機抽檢10個，分別對它們的質(zhì)量整理和分析，得到如下信息：

被抽檢粽子的質(zhì)量(單位：克)分布甲組144146147148150152152152154155乙組146147147150150151153154155被抽檢粽子質(zhì)量的平均數(shù)和眾數(shù)(單位：克)統(tǒng)計參賽小組平均數(shù)眾數(shù)甲組150152乙組150147根據(jù)以上信息，回答下列問題：

(1)在被抽檢粽子的質(zhì)量分布表中，有一個數(shù)據(jù)缺失，通過計算說明缺失數(shù)據(jù)對應(yīng)的粽子的質(zhì)量等級是否為優(yōu)秀？

(2)此次比賽規(guī)定：相同時間內(nèi)所包粽子中質(zhì)量等級為優(yōu)秀的個數(shù)較多的小組獲得獎勵.估計甲、乙兩個參賽小組哪組能獲得獎勵，并說明理由．18.(本小題8分)

綜合與實踐：確定建筑物的3D打印模型的高度項目提出：如圖是某城市規(guī)劃展覽館，樹人中學(xué)的3D打印社團為展示城市文化，準(zhǔn)備制作該城市規(guī)劃展覽館的3D打印模型，需要測量并計算展覽館高度，為制作3D打印模型提供數(shù)據(jù)．

項目報告表時間：2025年5月29日項目分析活動目標(biāo)測量該城市規(guī)劃展覽館的實際高度并換算其3D打印模型的高度測量工具測角儀、皮尺灰?實施任務(wù)一

測量數(shù)據(jù)以下是測得的相關(guān)數(shù)據(jù)，并畫出了如圖所示的測量草圖．

1.測出測角儀的高CD=1.4m．

2.利用測角儀測出展覽館頂端A的仰角∠ACE=61°．

3.測出測角儀CD底端D處到展覽館AB底端B處之間的距離DB=42m．任務(wù)二

計算實際高度根據(jù)上述測得的數(shù)據(jù)，計算該城市規(guī)劃展覽館AB的高度.(結(jié)果精項到1m)

(參考數(shù)據(jù)：sin61°≈0.875，cos61°≈0.485，tan61°≈1.804)任務(wù)三

換算模型高度將該城市規(guī)劃展覽館AB的高度按1：400等比例縮小，得到其3D打即模型的高度約為______cm.(結(jié)果精確到1cm)項目結(jié)果為社團制作城市規(guī)劃展覽館的3D打印模型提供數(shù)據(jù)請結(jié)合上表中的測量草圖和相關(guān)數(shù)據(jù)，幫助該社團完成任務(wù)二和任務(wù)三．19.(本小題8分)

如圖，在△ABC中，AB=32，BC=5，∠BAC=45°.動點P從點A出發(fā)，沿邊AC以每秒1個單位長度的速度向終點C勻速運動.當(dāng)點P出發(fā)后，以AP為邊作正方形APDE，使點D和點B始終在邊AC同側(cè).設(shè)點P的運動時間為x(s)(x>0)，正方形APDE與△ABC重疊部分圖形的面積為y(平方單位)．

(1)AC的長為______．

(2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出可變量x的取值范圍．

(3)當(dāng)正方形APDE的對稱中心與點B重合時，直接寫出x的值．

20.(本小題10分)

【知識鏈接】

實驗?zāi)康模禾骄扛×Φ拇笮∨c哪些因素有關(guān)

實驗過程：如圖①，在兩個完全相同的溢水杯中，分別盛滿甲、乙兩種不同密度的液體，將完全相同的兩個質(zhì)地均勻的圓柱體小鋁塊分別懸掛在彈簧測力計A、B的下方，從離桌面20cm的高度，分別緩慢浸入到甲、乙兩種液體中，通過觀察彈簧測力計示數(shù)的變化，探究浮力大小的變化.(溢水杯的杯底厚度忽略不計)

實驗結(jié)論：物體在液體中所受浮力的大小，跟它浸在液體中的體積有關(guān)、跟液體的密度有關(guān).物體浸在液體中的體積越大、液體的密度越大，浮力就越大．

總結(jié)公式：當(dāng)小鋁塊位于液面上方時，F(xiàn)拉力=G重力；當(dāng)小鋁塊浸入液面后，F(xiàn)拉力=G重力?F浮力．

【建立模型】在實驗探究的過程中，實驗小組發(fā)現(xiàn)：彈簧測力計A，B各自的示數(shù)F拉力(N)與小鋁塊各自下降的高度x(cm)之間的關(guān)系如圖②所示．

【解決問題】

(1)當(dāng)小鋁塊下降10cm時，直接寫出彈簧測力計A和彈簧測力計B的示數(shù)．

(2)當(dāng)6≤x≤10時，求彈簧測力計A的示數(shù)F拉力關(guān)于x的函數(shù)解析式．

(3)當(dāng)彈簧測力計A懸掛的小鋁塊下降8cm21.(本小題10分)

【問題背景】在學(xué)習(xí)了平行四邊形后，某數(shù)學(xué)興趣小組研究了有一個內(nèi)角為60°的平行四邊形的折疊問題.其探究過程如下：

【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①，在?ABCD中，∠A=60°，AB>AD，E為邊AD的中點，點F在邊DC上，且DF=DE，連接EF，將△DEF沿EF翻折得到△GEF，點D的對稱點為點G.小組成員發(fā)現(xiàn)四邊形DEGF是一個特殊的四邊形，請判斷該四邊形的形狀，不需要說明理由．

【探究證明】取圖①中的邊BC的中點M，點N在邊AB上，且BN=BM，連接MN，將△BMN沿MN翻折得到△HMN，點B的對稱點為點H，連接FH，GN，如圖②，求證：四邊形GFHN是平行四邊形．

【探究提升】在圖②中，四邊形GFHN能否成為軸對稱圖形.如果能，直接寫出ADAB的值；如果不能，說明理由．

22.(本小題12分)

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，拋物線y=x2+bx?1經(jīng)過點(2,?1).點P在此拋物線上.其橫坐標(biāo)為m；連接PO并延長至點Q，使OQ=2PO.當(dāng)點P不在坐標(biāo)軸上時，過點P作x軸的垂線，過點Q作y軸的垂線，這兩條垂線交于點M．

(1)求此拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式．

(2)△PQM被y軸分成的兩部分圖形的面積比是否保持不變，如果不變，直接寫出這個面積比；如果變化，說明理由．

(3)當(dāng)△PQM的邊MQ經(jīng)過此拋物線的最低點時，求點Q的坐標(biāo)．

(4)當(dāng)此拋物線在△PQM內(nèi)部的點的縱坐標(biāo)y隨x的增大而減小時，直接寫出m

參考答案1.B

2.C

3.D

4.A

5.B

6.D

7.a(a?b)

8.39.3(x?2)=2x+9

10.36

11.π312.解：原式=aa?1?(a+1)(a?1)a

=a+1，

當(dāng)a=2025時，

原式=a+1

=2025+113.解：畫樹狀圖如下：

共有9種等可能的結(jié)果，其中小剛和小利被分配到同一組的結(jié)果有3種，

∴小剛和小利被分配到同一組的概率是39=14.解：設(shè)游客購買甲種商品x盒，購買乙種商品y盒，

根據(jù)題意得：x+y=1025x+20y=230，

解得x=6y=4，

答：游客購買甲種商品6盒，購買乙種商品15.(1)證明：在矩形ABCD中，AB=CD，∠B=∠C=90°，

在△ABE和△DCF中，

∠BAE=∠CDFAB=CD∠B=∠C=90°，

∴△ABE≌△DCF(ASA)；

(2)解：由(1)知：△ABE≌△DCF，

∴AE=DF=13，

∵AB=12，

16.(1)如圖①中，點D即為所求(答案不唯一)；

(2)如圖②中，點E即為所求(答案不唯一)．17.(1)因為乙組質(zhì)量的眾數(shù)為147，

所以缺失的數(shù)據(jù)為147，且147=150?3，質(zhì)量登記為優(yōu)秀；

(2)乙參賽小組能獲得獎勵，理由如下：

甲組優(yōu)秀個數(shù)約為220×610=132(個)，

乙組優(yōu)秀個數(shù)約為200×71018.解：任務(wù)二，計算實際高度，

∵依題意，四邊形EBDC為矩形，

∴CE=DB=42m，EB=CD=1.4m，

∵在Rt△AEC中，∠AEC=90°，∠ACE=61°，

∴AE=CE?tan∠ACE=42×tan61°≈75.8(m)，

∴AB=AE+EB=75.8+1.4=77(m)，

答：該城市規(guī)劃展覽館AB的高度約為77m；

任務(wù)三，換算模型高度，

設(shè)3D打即模型的高度為x?m，

∵x：77=1：400，

解得x=0.1925，

∴3D打即模型的高度為0.1925m，

∵0.1925m=19.25cm≈19cm，

∴3D打即模型的高度約為19cm，

19.(1)當(dāng)B，D重合時，如下圖：

∵∠BAC=45°，以AP為邊作正方形APDE，

∴△APD是等腰直角三角形，AP=BP，AB2=AP2+DP2，即18=2AP2，

解得：AP=3?(負(fù)的舍去)，

∵BC=5，∠DPC=90°，

∴PC=BC2?BP2=52?32=4，

∴AC=AP+PC=3+4=7，

故答案為：7；

(2)當(dāng)D在線段AB上運動時，y=12AP?BP=12x2(0<x≤3)，

當(dāng)D在線段AB的延長線上運動時，即點P在線段PC上運動，

如下圖：AP=x，PP=x?3，CP=7?x，CP=4，BP=3，

∵FP′BP，

∴∠CFP=∠CBP，∠CPF=∠CPB，

∴△CFP∽△CBP，

∴CP′CP=CFCB，

∴7?x420.(1)當(dāng)小鋁塊下降10cm時，彈簧測力計A的示數(shù)為2.8N，彈簧測力計B的示數(shù)為2.5N．

(2)當(dāng)6≤x≤10時，設(shè)彈簧測力計A的示數(shù)F拉力關(guān)于x的函數(shù)解析式為F拉力=kx+b(k、b為常數(shù)，且k≠0)，

將坐標(biāo)(6,4)和(10,2.8)分別代入F拉力=kx+b，

得6k+b=410k+b=2.8，

解得k=?0.3b=5.8，

∴當(dāng)6≤x≤10時，設(shè)彈簧測力計A的示數(shù)F拉力關(guān)于x的函數(shù)解析式為F拉力=?0.3x+5.8(6≤x≤10)．

(3)根據(jù)圖象，圓柱體小鋁塊所受重力為4N，

當(dāng)x=8時，F(xiàn)拉力=?0.3×8+5.8=3.4，

4?3.4=0.6(N)，

∴m=0.6，

當(dāng)6≤x≤10時，設(shè)彈簧測力計B的示數(shù)F拉力關(guān)于x的函數(shù)解析式為F拉力=k1x+b1(k1、b1為常數(shù)，且k1≠0)，

將坐標(biāo)(6,4)和(10,2.5)分別代入為F拉力=k1x+b1，

得21.【探究發(fā)現(xiàn)】解：四邊形DEGF是菱形，理由如下：

∵將△DEF沿EF翻折得到△GEF，

∴DE=GE，DF=GF，

∵DF=DE，

∴GE=DE=DF=GF，

∴四邊形DEGF是菱形；

【探究證明】證明：如圖：

∵將△BMN沿MN翻折得到△HMN，

∴BN=HN，BM=HM，

∵BN=BM，

∴HN=BN=BM=HM，

∴四邊形BMHN是菱形，

∴NH//BC，

∵E為邊AD的中點，M為邊BC的中點，

∴DE=12AD，BM=12BC，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD=BC，AD//BC，

∴DE=BM，AD//NH，

∵四邊形DEGF是菱形，

∴DE=FG，F(xiàn)G//AD，

∴FG=DE=BM=HN，F(xiàn)G//NH，

∴四邊形GFHN是平行四邊形；

【探究提升】解：四邊形GFHN能成為軸對稱圖形，理由如下：

由【探究證明】知，四邊形GFHN是平行四邊形，若四邊形GFHN為軸對稱圖形，則四邊形GFHN是矩形或菱形，

當(dāng)四邊形GFHN是矩形時，過G作GK⊥AB于K，過E作ET⊥AB于T，如圖：

∵∠A=60°，

∴∠AET=30°，

∴AT=12AE，

設(shè)AT=x，則AE=2x，

∴ET=AE2?AT2=3x=GK，

∵E為AD中點，

∴AD=2AE=4x，DE=AE=2x，

∵四邊形DEGF是菱形，

∴EG=DE=2x=TK，

∵四邊形GFHN是矩形，

∴∠GNH=90°，

∴∠GNK=180°?∠GNH?∠HNB=180°?90°?60°=30°，

∴KN=3GK=3×3x=3x，

∵BN=BM=12BC=12AD=2x，

∴AB=AT+TK+KN+BN=x+2x+3x+2x=8x，

∴ADAB=4x8x=12；

當(dāng)四邊形GFHN是菱形時，延長FG交AB于W，如圖：

設(shè)AD=y，則DE=D