2/2提分練習(xí)：正方形的性質(zhì)與判定的三種應(yīng)用應(yīng)用一利用正方形的性質(zhì)解決線段的和差倍分問題1.在正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB，DC（或它們的延長線）于點(diǎn)M，N.（1）如圖①，當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM=DN時(shí)，易證：BM+DN=MN.當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時(shí)，如圖②，請(qǐng)問圖①中的結(jié)論是否還成立？如果成立，請(qǐng)給予證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由.（2）當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖③所示的位置時(shí)，線段BM，DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并說明理由.應(yīng)用二利用正方形的判定和性質(zhì)探究形成正方形的條件2.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，過點(diǎn)C的直線MN∥AB，D為AB邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥BC，交直線MN于E，垂足為F，連接CD，BE.（1）求證：CE=AD.（2）當(dāng)點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)時(shí)，四邊形BECD是什么特殊四邊形？請(qǐng)說明理由.（3）若點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，則當(dāng)∠A的大小滿足什么條件時(shí)，四邊形BECD是正方形？請(qǐng)說明理由.應(yīng)用三正方形的性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用3.【中考·北京】如圖，在正方形ABCD中，E是邊AB上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），連接DE，點(diǎn)A關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)為F，連接EF并延長交BC于點(diǎn)G，連接DG，過點(diǎn)E作EH⊥DE交DG的延長線于點(diǎn)H，連接BH.（1）求證：GF=GC；（2）用等式表示線段BH與AE的數(shù)量關(guān)系，并證明.

參考答案1.解：（1）仍有BM+DN=MN成立.證明如下：過點(diǎn)A作AE⊥AN，交CB的延長線于點(diǎn)E，易證△ABE≌△ADN，∴DN=BE，AE=AN.∵∠MAN=45°，∴∠EAM=90°-∠MAN=45°，∴∠EAM=∠NAM.又∵AM=AM，∴△EAM≌△NAM.∴ME=MN.∵M(jìn)E=BE+BM=DN+BM.∴BM+DN=MN.（2）猜想：DN-BM=MN.理由如下：如圖，在DN上截取DE=BM，連接AE.∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABM=∠D=∠BAD=90°，AB=AD.又∵BM=DE，∴△ABM≌△ADE.∴AM=AE，∠BAM=∠DAE.∵∠DAB=90°，∴∠MAE=90°.∵∠MAN=45°，∴∠EAN=45°=∠MAN.又∵AM=AE，AN=AN，∴△AMN≌△AEN.∴MN=EN.∴DN=DE+EN=BM+MN.∴DN-BM=MN.2.（1）證明：∵DE⊥BC，∴∠DFB=90°.∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠DFB.∴AC∥DE.∵M(jìn)N∥AB，即CE∥AD，∴四邊形ADEC是平行四邊形.∴CE=AD.（2）解：四邊形BECD是菱形.理由：∵D為AB的中點(diǎn)，∴AD=BD.∵CE=AD，∴BD=CE.又∵BD∥CE，∴四邊形BECD是平行四邊形.∵∠ACB=90°，D為AB的中點(diǎn)，∴CD=BD.∴四邊形BECD是菱形.（3）解：當(dāng)∠A=45°時(shí)，四邊形BECD是正方形，理由：∵∠ACB=90°，∠A=45°，∴∠ABC=∠A=45°.∴AC=BC.∵點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，∴CD⊥AB.∴∠CDB=90°.由（2）知，四邊形BECD是菱形，∴菱形BECD是正方形.即當(dāng)∠A=45°時(shí)，四邊形BECD是正方形.3.（1）證明：如圖，連接DF.∵四邊形ABCD是正方形，∴DA=DC，∠A=∠C=90°.∵點(diǎn)A關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)為F，∴△ADE≌△FDE.∴DA=DF=DC，∠DFE=∠A=90°.∴∠DFG=90°.在Rt△DFG和Rt△DCG中，∴Rt△DFG≌Rt△DCG（HL）.∴GF=GC.（2）解：BH=AE.證法一：如圖，在線段AD上截取AM，使AM=AE.∵AD=AB，∴DM=BE.由（1）知：∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠ADC=90°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=90°.∴2∠2+2∠3=90°.∴∠2+∠3=45°，即∠EDG=45°.∵EH⊥DE，∴∠DEH=90°，∴△DEH是等腰直角三角形.∴∠AED+∠BEH=∠AED+1=90°，DE=EH.∴∠1=∠BEH.在△DME和△EBH中，∴△DME≌△EBH（SAS）.∴EM=BH.在Rt△AEM中，∠A=90°，AM=AE，∴.∴.證法二：如圖，過點(diǎn)H作HN⊥AB交AB的延長線于N，∴∠ENH=90°.由證法一可知：DE=EH，∠1=∠NEH，