2.2基本不等式TOC\o"12"\h\z\u題型1基本不等式的理解 5題型2利用基本不等式比較大小 7題型3利用基本不等式求最值 9考點(diǎn)1直接法 9考點(diǎn)2配湊法配式配系數(shù)，湊出定值 11考點(diǎn)3常數(shù)1代換法求最值 12考點(diǎn)4拆裂項(xiàng)拆項(xiàng) 13題型4利用基本不等式證明不等關(guān)系 15題型5基本不等式在恒成立問(wèn)題中的應(yīng)用 18題型6基本不等式在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用 19知識(shí)點(diǎn)一引理：重要不等式注：(1)不等式中的，既可以是具體的某個(gè)實(shí)數(shù)，也可以是一個(gè)代數(shù)式.知識(shí)點(diǎn)二基本不等式1．基本不等式的內(nèi)容基本不等式表明：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).2．基本不等式的證明(1)幾何法(2)代數(shù)法注：基本不等式的常見(jiàn)變形及常用結(jié)論=2\*GB3②基本不等式的常用結(jié)論知識(shí)點(diǎn)三最值定理已知，都是正數(shù)，最值定理簡(jiǎn)記：和定積最大，積定和最小.注：(1)利用基本不等式求最值時(shí)要牢記三個(gè)關(guān)鍵詞：一正、二定、三相等.①一正：各項(xiàng)必須為正.②二定：各項(xiàng)之和或各項(xiàng)之積為定值.③三相等：必須驗(yàn)證取等號(hào)時(shí)條件是否具備.(2)應(yīng)用基本不等式求最值的關(guān)鍵：依定值去探求最值，探求的過(guò)程中常需根據(jù)具體的問(wèn)題進(jìn)行合理的拆、湊、配等變換.知識(shí)點(diǎn)三基本不等式的變式與拓展1．基本不等式鏈其幾何意義如圖所示.【溫馨提醒】(1)該不等式鏈內(nèi)涵豐富，在實(shí)際的運(yùn)用中相對(duì)于基本不等式更為廣泛，但它們都是在基本不等式的基礎(chǔ)上拓展而來(lái)的，也都可以由基本不等式證明.(2)一般來(lái)說(shuō)，以下四組不等式可以作為基本不等式的應(yīng)用形態(tài)：2．基本不等式的拓展(1)三元基本不等式(2)元基本不等式題型1基本不等式的理解1．（多選）下列說(shuō)法中正確的是（

）【答案】BC【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式的內(nèi)容及辨析【分析】根據(jù)不等式成立的條件即可判斷．故選：BC【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】由已知條件判斷所給不等式是否正確、作差法比較代數(shù)式的大小、基本不等式的內(nèi)容及辨析【分析】AB通過(guò)分析a，b符號(hào)，可判斷選項(xiàng)正誤；C由基本不等式可判斷選項(xiàng)正誤；D由作差法結(jié)合AB分析可判斷選項(xiàng)正誤.故選：C【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式的內(nèi)容及辨析【分析】根據(jù)題意，結(jié)合小于或等于圓的半徑求解即可.【詳解】由題意，由于小于或等于圓的半徑，是圓的直徑，故選：C.【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式的內(nèi)容及辨析故選：D．題型2利用基本不等式比較大小【知識(shí)點(diǎn)】作差法比較代數(shù)式的大小、由基本不等式比較大小【分析】由基本不等式和作差法比較大小，得到答案.【知識(shí)點(diǎn)】由基本不等式比較大小【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】由不等式的性質(zhì)比較數(shù)（式）大小、由基本不等式比較大小【分析】利用不等式的性質(zhì)，結(jié)合基本不等式比較大小.故選：B【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】基本（均值）不等式的應(yīng)用、由基本不等式比較大小故選：A.【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】作差法比較代數(shù)式的大小、由基本不等式比較大小故選：B題型3利用基本不等式求最值考點(diǎn)1直接法10．（2425高一上·河南周口·階段練習(xí)）利用基本不等式求下列式子的最值：【答案】(1)4(2)(3)【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值、基本不等式求積的最大值【分析】（1）利用基本不等式即可求解.（2）利用基本不等式即可求解.（3）利用基本不等式即可求解.故最大值為.故所求最大值為.【答案】3【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求積的最大值【分析】由已知結(jié)合基本不等式即可求解．所以的最大值是3.故答案為：3.【答案】2【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值【分析】利用基本不等式求出最小值.故答案為：2【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值【分析】由基本不等式求解最值即可得到取值范圍.考點(diǎn)2配湊法配式配系數(shù)，湊出定值【答案】【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值方法總結(jié)對(duì)不滿足使用基本不等式條件的可通過(guò)“變形”來(lái)轉(zhuǎn)換，常見(jiàn)的變形技巧：拆項(xiàng)，并項(xiàng)，也可乘上一個(gè)數(shù)或加上一個(gè)數(shù)，“1”的代換等．【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求積的最大值【分析】利用基本不等式計(jì)算即可.故答案為：【答案】6【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值【分析】由基本不等式即可求.故答案為：6考點(diǎn)3常數(shù)1代換法求最值【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】利用“1”的變形技巧，由基本不等式得最小值.A．6 B．12 C． D．27【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式“1”的妙用求最值【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.故選：CA．9 B．8 C．6 D．5【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值故選：A考點(diǎn)4拆裂項(xiàng)拆項(xiàng)【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值、二次與二次（或一次）的商式的最值【分析】依題意利用基本不等式計(jì)算可得.【答案】4【知識(shí)點(diǎn)】二次與二次（或一次）的商式的最值【分析】根據(jù)給定條件，利用配湊法及基本不等式求出最小值即可得解.故答案為：422．求解下列各題：【答案】（1）；（2）8.【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值、二次與二次（或一次）的商式的最值故y的最大值為；故y的最小值為8.題型4利用基本不等式證明不等關(guān)系【答案】證明見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】由基本不等式證明不等關(guān)系【分析】將所證不等式利用三次基本不等式即可得到證明.【詳解】證明：上面三式相加，得：【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式在證明題中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.【答案】證明見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】由基本不等式證明不等關(guān)系【答案】證明見(jiàn)詳解.【知識(shí)點(diǎn)】由基本不等式證明不等關(guān)系【分析】【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】由基本不等式證明不等關(guān)系【詳解】證明：（1）∵、都是正數(shù)，【答案】證明見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】由基本不等式證明不等關(guān)系所以由基本不等式得，【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】由基本不等式證明不等關(guān)系【分析】（1）利用基本不等式可證不等式成立；（2）利用基本不等式結(jié)合“1”的代換可證不等式成立.題型5基本不等式在恒成立問(wèn)題中的應(yīng)用【答案】6【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值、基本不等式的恒成立問(wèn)題、基本不等式“1”的妙用求最值【知識(shí)點(diǎn)】一元二次不等式在某區(qū)間上的恒成立問(wèn)題、基本不等式的恒成立問(wèn)題【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值、基本不等式的恒成立問(wèn)題故選：.A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值、基本不等式的恒成立問(wèn)題故選：B.題型6基本不等式在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值、基本（均值）不等式的應(yīng)用34．（2425高一下·云南昆明·期中）我國(guó)古代著名數(shù)學(xué)巨著《周髀算經(jīng)》記載著周朝時(shí)期的商高與周公的對(duì)話，商高提出了“勾三股四弦五”特例.后來(lái)古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派用演繹法證明了直角三角形斜邊的平方等于兩直角邊的平方之和.若一個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)等于5，則這個(gè)直角三角形周長(zhǎng)的最大值為（

）【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】基本（均值）不等式的應(yīng)用故選：B．【知識(shí)點(diǎn)】分段函數(shù)模型的應(yīng)用、基本（均值）不等式的應(yīng)用【分析】（1）根據(jù)投入成本及銷售收入寫(xiě)出利潤(rùn)函數(shù)即可；（2）分段分別利用二次函數(shù)配方法和基本不等式求最值，再比較大小得解即可.一、單選題A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式的內(nèi)容及辨析、判斷命題的充分不必要條件故選：.2．（2425高一上·浙江紹興·階段練習(xí)）已知、為互不相等的正實(shí)數(shù)，下列四個(gè)數(shù)中最大的是（

）【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】由基本不等式比較大小【分析】利用重要不等式可得出四個(gè)選項(xiàng)中各數(shù)的大小.【詳解】因?yàn)椤榛ゲ幌嗟鹊恼龑?shí)數(shù)，故選：C.A． B． C． D．1【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求積的最大值【分析】利用基本不等式直接求解即可.故選：AA．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求積的最大值【分析】由基本不等式即可求解.故選：AA． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求積的最大值【分析】根據(jù)基本不等式，可得答案.故選：A.A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】二次與二次（或一次）的商式的最值、基本不等式求和的最小值【分析】將給定函數(shù)化簡(jiǎn)變形，再利用均值不等式求解即得.故選：AA．64 B．25 C．13 D．12【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值、基本不等式的恒成立問(wèn)題故選：B.8．（2425高一上·陜西西安·階段練習(xí)）下列結(jié)論正確的是（

）【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)勾函數(shù)求最值、基本不等式求和的最小值【分析】利用特殊值判斷A、C，利用基本不等式判斷B，利用對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)判斷D.故選：B二、多選題A．的最小值是8 B．的最大值是8【答案】AC【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求積的最大值、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】利用基本不等式和“1”的妙用求解.故選：AC．10．（2425高一下·廣西來(lái)賓·開(kāi)學(xué)考試）下列有關(guān)最值的結(jié)論正確的是（

）【答案】BCD【知識(shí)點(diǎn)】條件等式求最值、對(duì)勾函數(shù)求最值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】應(yīng)用基本不等式求A、C、D中目標(biāo)式的最值，由“1”的代換及基本不等式求C中目標(biāo)式的最值，注意取值條件即可.故選：BCD11．（2425高一上·河南鄭州·階段練習(xí)）有下面四個(gè)不等式，其中恒成立的有（）【答案】CD【知識(shí)點(diǎn)】由基本不等式證明不等關(guān)系【分析】舉反例說(shuō)明A錯(cuò)誤，舉反例說(shuō)明B錯(cuò)誤，根據(jù)重要不等式證明C，根據(jù)基本不等式證明D.故選：CD．三、填空題【答案】16【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值【答案】10【知識(shí)點(diǎn)】基本（均值）不等式的應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)】基本（均值）不等式的應(yīng)用四、解答題【答案】（1）；（2）8；（3）．【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求積的最大值、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】利用基本不等式結(jié)合常數(shù)代換求最值.16．（2425高一上·廣東肇慶·期中）根據(jù)題意，求解下列問(wèn)題：【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式求和的最小值【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式的恒成立問(wèn)題、由基本不等式證明不等關(guān)系、分式不等式【分析】（1）法1：應(yīng)用作差法比較大小即可證；法2：將不等式左側(cè)展開(kāi)并結(jié)合基本不等式證明結(jié)論即可；(2)證明選出的不等式．【答案】(1)選擇②，理由見(jiàn)解析；(2)