5道勾股定理的題目及答案一、選擇題（每題5分，共25分）1.在直角三角形中，兩直角邊長分別為3和4，斜邊長為多少？A.5B.6C.7D.8答案：A解析：根據(jù)勾股定理，直角三角形的斜邊長等于兩直角邊的平方和的平方根。計算得：\(\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\)。2.若直角三角形的斜邊長為10，一條直角邊長為6，則另一條直角邊長為多少？A.4B.8C.6D.10答案：A解析：設(shè)另一條直角邊長為x，則根據(jù)勾股定理，\(10^2=6^2+x^2\)，解得\(x=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8\)。因此，另一條直角邊長為8，答案為B。3.在一個直角三角形中，如果兩條直角邊的比例為3:4，那么斜邊與較短直角邊的比例是多少？A.5:3B.5:4C.3:5D.4:5答案：A解析：設(shè)較短直角邊為3x，較長直角邊為4x，則斜邊為5x。根據(jù)勾股定理，\((3x)^2+(4x)^2=(5x)^2\)，即\(9x^2+16x^2=25x^2\)，成立。因此，斜邊與較短直角邊的比例為5:3。4.一個直角三角形的斜邊長為13，其中一條直角邊長為5，求另一條直角邊長。A.12B.8C.10D.6答案：B解析：設(shè)另一條直角邊長為x，則根據(jù)勾股定理，\(13^2=5^2+x^2\)，解得\(x=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12\)。因此，另一條直角邊長為12，答案為A。5.已知直角三角形的兩條直角邊長分別為9和12，求斜邊長。A.15B.18C.21D.24答案：A解析：根據(jù)勾股定理，斜邊長為\(\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15\)。因此，斜邊長為15，答案為A。二、填空題（每題5分，共15分）1.在直角三角形中，如果兩直角邊長分別為6和8，那么斜邊長為________。答案：10解析：根據(jù)勾股定理，斜邊長為\(\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\)。2.若直角三角形的斜邊長為15，一條直角邊長為9，則另一條直角邊長為________。答案：12解析：設(shè)另一條直角邊長為x，則根據(jù)勾股定理，\(15^2=9^2+x^2\)，解得\(x=\sqrt{15^2-9^2}=\sqrt{225-81}=\sqrt{144}=12\)。3.一個直角三角形的斜邊長為20，其中一條直角邊長為16，求另一條直角邊長。答案：12解析：設(shè)另一條直角邊長為x，則根據(jù)勾股定理，\(20^2=16^2+x^2\)，解得\(x=\sqrt{20^2-16^2}=\sqrt{400-256}=\sqrt{144}=12\)。三、簡答題（每題10分，共20分）1.證明勾股定理。答案：勾股定理的證明方法有很多，這里給出一種常見的證明方法：構(gòu)造一個邊長為直角三角形斜邊長的正方形，然后將兩個直角邊長為該直角三角形的直角邊的正方形拼在大正方形的兩側(cè)，剩余部分將是一個邊長為直角三角形兩直角邊之差的正方形。通過面積相等的方法，可以證明直角三角形的斜邊的平方等于兩直角邊的平方和。2.已知直角三角形的斜邊長為17，一條直角邊長為8，求另一條直角邊長，并說明求解過程。答案：設(shè)另一條直角邊長為x，則根據(jù)勾股定理，\(17^2=8^2+x^2\)，即\(289=64+x^2\)。解得\(x^2=289-64=225\)，因此\(x=\sqrt{225}=15\)。所以另一條直角邊長為15。四、應用題（每題15分，共30分）1.一個梯子的頂端距離地面的高度為5米，梯子底部距離墻的距離為3米，求梯子的長度。答案：設(shè)梯子的長度為x米，則根據(jù)勾股定理，\(x^2=5^2+3^2\)，即\(x^2=25+9=34\)。因此，梯子的長度為\(\sqrt{34}\)米。2.一個直角三角形的斜邊長為25，其中一條直角邊長為15，求另一條直角邊長，并說明求解過程。答案：設(shè)另一條直角邊長為x，則根據(jù)勾股定理，\(25^2=15^2