試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2026普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試上海數(shù)學(xué)試卷考生注意：1．本試卷共5頁，21道試題，滿分150分．考試時間120分鐘．2．本考試分設(shè)試卷和答題紙．試卷包括試題與答題要求．作答必須涂（選擇題）或?qū)懀ǚ沁x擇題）在答題紙上，在試卷上作答一律不得分．3．答卷前，務(wù)必用鋼筆或圓珠筆在答題紙正面清楚地填寫姓名、準考證號，并將核對后的條形碼貼在指定位置上，在答題紙反面清楚地填寫姓名．一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1~6題每題4分，第7~12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置填寫結(jié)果．1．不等式的解集為．2．已知,，求3．已知等比數(shù)列的前項和為，且，，求；4．已知，則=.5．已知，則的值域是；6．已知當(dāng)，則；7．已知圓的面積為，則．8．在中，已知，，，則．9．國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）是衡量地區(qū)經(jīng)濟狀況的最佳指標(biāo)，根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，某市在2020年間經(jīng)濟高質(zhì)量增長，GDP穩(wěn)步增長，第一季度和第四季度的GDP分別為231和242，且四個季度GDP的中位數(shù)與平均數(shù)相等，則2020年GDP總額為；10．已知，若存在{0，1，2，…，100}使得，則k的最大值為.11．公園修建斜坡，假設(shè)斜坡起點在水平面上，斜坡與水平面的夾角為θ，斜坡終點距離水平面的垂直高度為4米，游客每走一米消耗的體能為，要使游客從斜坡底走到斜坡頂端所消耗的總體能最少，則．12．空間內(nèi)存在三點A、B、C，滿足，在空間內(nèi)取不同兩點（不計順序），使得這兩點與A、B、C可以組成正四棱錐，求方案數(shù)為．二、選擇題（本題共有4題，滿分18分，13、14每題4分，15、16題每題5分）每題有且只有一個正確選項，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項的小方格涂黑．13．已知，，若且，則（

）A． B． C． D．14．根據(jù)身高和體重散點圖，下列說法正確的是（

）A．身高越高，體重越重 B．身高越高，體重越輕 C．身高與體重成正相關(guān) D．身高與體重成負相關(guān)15．已知，函數(shù)在區(qū)間上最小值為，在區(qū)間上的最小值為變化時，下列不可能的是（

）A．且 B．且 C．且 D．且16．在平面上，若曲線Γ具有如下性質(zhì)：存在點M，使得對于任意點，都有使得．則稱這條曲線為“自相關(guān)曲線”．判斷下列兩個命題的真假（

）①所有橢圓都是“自相關(guān)曲線”．②存在是“自相關(guān)曲線”的雙曲線．A．①假命題；②真命題 B．①真命題；②假命題C．①真命題；②真命題 D．①假命題；②假命題三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出必要的步驟．（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分．17．在直四棱柱中，，，，，(1)求證：平面；(2)若四棱柱體積為36，求二面角大小.（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分．18．函數(shù)(1)當(dāng)時，是否存在實數(shù)c，使得為奇函數(shù)；(2)若函數(shù)過點，且函數(shù)圖像與軸負半軸有兩個不同交點，求實數(shù)a的取值范圍.（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分2分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分．19．21世紀汽車博覽會在上海2023年6月7日在上海舉行，下表為某汽車模型公司共有25個汽車模型，其外觀和內(nèi)飾的顏色分布如下表所示：紅色外觀藍色外觀米色內(nèi)飾812棕色內(nèi)飾23(1)若小明從這些模型中隨機拿一個模型，記事件A為小明取到的模型為紅色外觀，事件B取到模型有棕色內(nèi)飾，求，并據(jù)此判斷事件A和事件B是否獨立；(2)為回饋客戶，該公司舉行了一個抽獎活動，并規(guī)定，在一次抽獎中，每人可以一次性抽取兩個汽車模型。為了得到獎品類型，現(xiàn)作出如下假設(shè)：假設(shè)1：每人抽取的兩個模型會出現(xiàn)三種結(jié)果：①兩個模型的外觀和內(nèi)飾均為同色；②兩個模型的外觀和內(nèi)飾均為不同色；③兩個模型的外觀同色但內(nèi)飾不同色，或內(nèi)飾同色但外觀不同色。假設(shè)2：該抽獎設(shè)置三類獎，獎金金額分別為：一等獎600元，二等獎300元，三等獎150元。假設(shè)3：每種抽取的結(jié)果都對應(yīng)一類獎。出現(xiàn)某種結(jié)果的概率越小，獎金金額越高。請判斷以上三種結(jié)果分別對應(yīng)幾等獎。設(shè)中獎的獎金數(shù)是，寫出的分布，并求的數(shù)學(xué)期望。（本題滿分16分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分．20．曲線，第一象限內(nèi)點A在Γ上，A的縱坐標(biāo)是a．(1)若A到準線距離為3，求a；(2)若a＝4，B在x軸上，AB中點在上，求點B坐標(biāo)和坐標(biāo)原點O到AB距離；(3)直線，令P是第一象限Γ上異于A的一點，直線PA交l于Q，H是P在l上的投影，若點A滿足“對于任意P都有”，求a的取值范圍．（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分．21．令，取點過其曲線作切線交y軸于，取點過其作切線交y軸于，若則停止，以此類推，得到數(shù)列．(1)若正整數(shù)，證明；(2)若正整數(shù)，試比較與大??；(3)若正整數(shù)，是否存在k使得依次成等差數(shù)列？若存在，求出k的所有取值，若不存在，試說明理由．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．【分析】利用絕對值不等式的解法求解.【詳解】由得，解得，故不等式的解集為.故答案為：.2．4【分析】由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算求解.【詳解】由題意得故答案為：43．189【分析】由等比數(shù)列前項和公式求解，【詳解】由題意得，故答案為：189.4．##【分析】由正切的倍角公式求解【詳解】已知，則.故答案為：5．【分析】分段討論的范圍即可.【詳解】當(dāng)時,根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)知，當(dāng)時,.綜上:的值域為.故答案為：.6．【分析】直接根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算以及復(fù)數(shù)模的定義即可得到答案.【詳解】，.故答案為：.7．【分析】根據(jù)圓的面積求出圓的半徑，利用圓的標(biāo)準方程求出半徑即可列方程求解.【詳解】圓化為標(biāo)準方程為：，圓的面積為，圓的半徑為，，解得．故答案為：8．【分析】先利用余弦定理求得，再利用同角三角函數(shù)關(guān)系式求得.【詳解】，A為的內(nèi)角，.故答案為:.【點睛】本題考查余弦定理以及同角三角函數(shù)關(guān)系式的合理運用，是基礎(chǔ)題.9．946【分析】設(shè)第二季度、第三季度分別為，利用平均數(shù)和中位數(shù)概念列出方程，解出即可.【詳解】GDP穩(wěn)步增長說明四個季度已經(jīng)從小到大排列，設(shè)第二季度、第三季度分別為，所以中位數(shù)即為.因為中位數(shù)與平均數(shù)相等，所以,所以2020年GDP總額：.故答案為：946.10．49【分析】根據(jù)二項展開式的通項可得，然后由可得為奇數(shù)，然后可得，即可求出答案.【詳解】二項式的通項為，二項式的通項為，，，若，則為奇數(shù)，此時，，又為奇數(shù)，的最大值為49.故答案為：49.11．【分析】方法1，根據(jù)給定條件，求出斜坡長，列出總體力關(guān)于的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解作答.方法2，根據(jù)給定條件，求出斜坡長，列出總體力關(guān)于的函數(shù)，借助輔助角公式求解作答.【詳解】方法1：依題意，斜坡長度，因此人沿斜坡到坡頂消耗的總體力，求導(dǎo)得，由，得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，于是函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，人上坡消耗的總體力最小.方法2：依題意，斜坡長度，因此人沿斜坡到坡頂消耗的總體力，由，得，即，其中銳角由確定，顯然，而，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，此時，即，所以當(dāng)時，人上坡消耗的總體力最小.故答案為：12．9【分析】根據(jù)題意，先考慮正四棱錐中三個點構(gòu)成等邊三角形的情況，分類討論為正四棱錐的側(cè)面或?qū)敲鎯煞N情況，再結(jié)合三邊的輪換對稱性即可得解.【詳解】因為空間中有三個點，且，不妨先考慮在一個正四棱錐中，哪三個點可以構(gòu)成等邊三角形，同時考慮三邊的輪換對稱性，可先分為兩種大情況，即以下兩種：第一種：為正四棱錐的側(cè)面，如圖1，此時分別充當(dāng)為底面正方形的一邊時，對應(yīng)的情況數(shù)顯然是相同的;不妨以為例，此時符合要求的另兩個點如圖1所示，顯然有兩種情況，考慮到三邊的輪換對稱性，故而總情況有6種；

第二種：為正四棱錐的對角面，如圖2，此時分別充當(dāng)?shù)酌嬲叫蔚囊粚蔷€時，對應(yīng)的情況數(shù)顯然也是相同的;不好以為例，此時符合要求的另兩個點圖2所示，顯然只有一種情況，考慮到三邊的輪換對稱性，故而總情況有3種；綜上所述：總共有9種情況.故答案為：9.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解決的關(guān)鍵是注意到為正三角形，從而考慮正四棱錐中三個點構(gòu)成等邊三角形的情況，結(jié)合三邊的輪換對稱性即可得解.13．A【分析】根據(jù)給定條件，直接求出集合中的元素作答.【詳解】因為，由，得或，又，且，即有且，因此，所以.故選：A14．C【分析】根據(jù)給定的散點圖的特征，直接判斷作答.【詳解】由于身高比較高的人，其體重可能大，也可能小，則選項AB不正確；由散點圖知，身高和體重有明顯的相關(guān)性，且身高增加時，體重也呈現(xiàn)增加的趨勢，所以身高與體重呈正相關(guān)，C正確，D錯誤.故選：C15．C【分析】根據(jù)給定條件，舉例說明，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)排除不可能的選項作答.【詳解】因為函數(shù)的最小正周期是，因此只需考查離原點最近的右側(cè)一個周期內(nèi)的區(qū)間即可，當(dāng)時，，，而，，因此在上的最小值，在上的最小值，A可能；當(dāng)時，，，因此在上的最小值，在上的最小值，B可能；當(dāng)時，，，因此在上的最小值，在上的最小值，D可能；對于C，若，則，若，則區(qū)間的長度，并且且，即且與矛盾，所以C不可能.故選：C【點睛】結(jié)論點睛：閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)既有最大值，又有最小值.16．B【分析】由新定義求解曲線上任一點到定點距離的取值范圍，當(dāng)任意，都有時，曲線滿足定義，結(jié)合橢圓與雙曲線的性質(zhì)判斷，【詳解】對于①，不妨設(shè)橢圓方程為，，則橢圓上一點到距離為，當(dāng)時，對稱軸，可得，總存在使得，此時滿足題意，故任意橢圓都是“自相關(guān)曲線”，故①正確，對于②，對于給定的雙曲線和點，顯然存在最小值，而橫坐標(biāo)趨近于無窮大時，趨近于無窮大，，故不滿足題意，不存在雙曲線是“自相關(guān)曲線”故②錯誤，故選：B【點睛】本題關(guān)鍵在于新定義的理解，轉(zhuǎn)化為求曲線上任一點到定點距離的取值范圍，再結(jié)合橢圓與雙曲線的性質(zhì)判斷即可．17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用直四棱柱的性質(zhì)及線面平行的判定定理，可證平面平面，再由面面平行的性質(zhì)定理，即可得證；（2）先根據(jù)棱柱的體積公式求得，再利用二面角的定義，求解即可．【詳解】（1）由題意知，，因為平面，平面，所以平面，因為，且平面，平面，所以平面，又，、平面，所以平面平面，因為平面，所以平面．（2）由題意知，底面為直角梯形，所以梯形的面積，因為四棱柱的體積為36，所以，過作于，連接，因為平面，且平面，所以，又，、平面，所以平面，因為平面，所以，所以即為二面角的平面角，在△中，，所以，所以，即，故二面角的大小為．18．(1)不存在(2)且【分析】（1）將代入得，先考慮其定義域，再假設(shè)為奇函數(shù)，得到方程無解，從而得以判斷；（2）先半點代入求得，從而得到，再利用二次函數(shù)的根的分布得到關(guān)于的不等式組，解之可得，最后再考慮的情況，從而得到的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時，，定義域為，假設(shè)為奇函數(shù)，則，而，則，此時無實數(shù)滿足條件，所以不存在實數(shù)，使得函數(shù)為奇函數(shù)；（2）圖像經(jīng)過點，則代入得，解得，所以，定義域為，令，則的圖像與軸負半軸有兩個交點，所以，即，解得，若，即是方程的解，則代入可得，解得或.由題意得，所以實數(shù)的取值范團且.19．(1)，事件相互獨立；(2)分布列見解析，271元.【分析】（1）根據(jù)給定數(shù)表，利用古典概率求出，再利用相互獨立事件的定義判斷作答.（2）求出三種結(jié)果的概率，按給定的假設(shè)2，3確定獎金額與對應(yīng)的概率列出分布列，求出期望作答.【詳解】（1）由給定的數(shù)表知，，，，而，因此事件相互獨立，所以，事件相互獨立.（2）設(shè)事件：外觀和內(nèi)飾均為同色，事件：外觀內(nèi)飾都異色，事件：僅外觀或僅內(nèi)飾同色，依題意，；；，則，因此抽取的兩個模型的外觀和內(nèi)飾均為不同色是一等獎；外觀和內(nèi)飾均為同色是二等獎；外觀同色但內(nèi)飾不同色，或內(nèi)飾同色但外觀不同色是三等獎，獎金額的可能值為：，獎金額的分布列：600300150獎金額的期望（元）.20．(1)(2)(3)【分析】（1）代入求出，利用拋物線定義即可求出值；（2）代入值求出，設(shè)，則得到的中點坐標(biāo)，再代入拋物線方程則得值，則得到直線的方程，利用點到直線的距離即可；（3）設(shè)，寫出直線的方程，求出點坐標(biāo)，則，分和討論即可.【詳解】（1）令，解得，即，而拋物線的準線方程為，根據(jù)拋物線的定義有，解得，因為為第一象限的點，則.（2）由代入拋物線方程有，解得，則，設(shè)，則的中點為,代入拋物線方程有，解得，直線的斜率為，其方程為，即,坐標(biāo)原點到的距離為.（3）設(shè)，根據(jù)，則，則直線方程為，化簡得，令，則，又，，化簡得①對任意的恒成立.則,結(jié)合，，當(dāng)時，，則，則①也成立.綜上所述:.

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題第三問的關(guān)鍵是設(shè)，從而寫出直線的方程，再得到，再轉(zhuǎn)化為