第十四章全等三角形14.2三角形全等的判定課時5用“斜邊、直角邊”判定三角形全等目錄1.學習目標3.知識點

斜邊及一條直角邊證全等（HL）4.課堂小結(jié)2.新課導(dǎo)入5.當堂小練CONTENTS7.拓展與延伸6.對接中考1.理解并掌握直角三角形全等判定“斜邊、直角邊”條件的內(nèi)容.2.熟練利用“斜邊、直角邊”條件證明兩個直角三角形全等.3.通過探究判定三角形全等條件的過程，提高分析和解決問題的能力.學習目標知識回顧1.兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等(簡寫為“邊角邊”或“SAS”).2.兩角和它們的夾邊分別相等的兩個三角形全等(簡寫為“角邊角”或“ASA”).3.兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等.

(簡寫成“角角邊”或“AAS”).4.三邊分別相等的兩個三角形全等(簡寫為“邊邊邊”或“SSS”).我們已經(jīng)學習的三角形全等的判定方法有哪些？新課導(dǎo)入前面學習的三角形全等的判定方法，對滿足條件的三角形都是適用的，同樣也適用于直角三角形.因為兩個直角三角形的直角相等，所以對于兩個直角三角形，滿足一直角邊和它相對（或相鄰）的銳角分別相等，或斜邊和一銳角分別相等，或兩直角邊分別相等，這兩個直角三角形就全等了，如果滿足斜邊和一直角邊分別相等，這兩個直角三角形全等嗎？新課講解知識點斜邊及一條直角邊證全等（HL）思考(1)如圖，已知AC=A′C′，BC=B′C′，∠B=∠B′，△ABC≌△A′B′C′

嗎？ABCB′C′A′我們知道，證明三角形全等不存在“SSA”

定理，所以無法證明△ABC≌△A′B′C′.(2)如果這兩個三角形都是直角三角形，能判定△ABC≌△A′B′C′

嗎？新課講解探究ABCB′C′A′如圖，在△ABC和△A′B′C′中，∠C′=∠C=90°，且A′B′=AB，B′C′=BC，這兩個三角形全等嗎？我們可以用畫圖的方法.新課講解（1）先畫∠DC′E=90°.（2）在射線C′E上截取B′C′=BC.（3）以點B′為圓心，AB為半徑作弧，交射線C′D于點A′.（4）連接A′B′.E

C′DABC

B′A′是不是這樣的點A′一定會與點A重合呢？新課講解

為了判斷點A′與點A是否重合，我們討論射線CA上除點C，A外的點與點B的連線和邊AB的大小關(guān)系.E(C′)D

(B′)A(A')BC①設(shè)點M在直角邊AC(不包括端點)上，連接BM，則∠BMA＞∠C，∠BMA是鈍角．②若過點M且垂直于BM的直線與線段AB相交于點M′，則有AB＞BM′＞BM．M外角的性質(zhì).M'垂線段最短.在點A下方時，長度<AB.③設(shè)點N在線段CA的延長線上，連接BN，同理可得BN>AB.

因此，在射線CA上，與點B的連線長度等于AB的點只有一個.再由點A′在射線CA上，A′B′=AB，可知點A′與點A重合．在點A上方時，長度>AB.N新課講解EC′D

B′A′ABC△A'B'C'的三個頂點與△ABC的三個頂點分別重合，△A'B'C'與△ABC能夠完全重合，因而△A'B'C'≌△ABC.新課講解斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）.在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∴Rt△ABC≌

Rt△A′B′C′(HL).幾何語言：

AB=A′B′，BC=B′C′，結(jié)論：ABCA′B′C′新課講解1.用“HL”判定兩個直角三角形全等，在書寫時兩個三角形符號前一定要加上“Rt”.2.判定兩個直角三角形全等的特殊方法“HL”，只適用于直角三角形全等的判定，對于一般三角形不適用.3.判定一般三角形全等的所有方法對判定兩個直角三角形全等同樣適用.4.在用一般方法判定兩個直角三角形全等時，因為兩個直角三角形中已具備一對直角相等的條件，故只需找另外兩個條件即可.注意例新課講解1.如圖，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分別為C，D，

AC=BD.求證：BC=AD.ABDC分析：如果能證明Rt△ABC≌Rt△BAD，就可以得出BC=AD.由題意可知，Rt△ABC和Rt△BAD具備“斜邊、直角邊”的條件.證明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠C=∠D

=90°.在Rt△ABC和Rt△BAD中，AB=BA，AC=BD，∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)，

∴BC=AD.例新課講解2.已知：如圖14.2-15，點E，F(xiàn)

在線段BD上，AF⊥BD，CE⊥BD，AD=CB，DE=BF.求證：AF=CE．方法點撥：利用“HL”證明兩個直角三角形全等，為證明兩條線段相等創(chuàng)造條件.證明：∵DE=BF，∴DE＋EF=BF＋EF，即DF=BE.在Rt△ADF和Rt△CBE中，AD=CB，DF=BE，∴Rt△ADF≌Rt△CBE(HL).∴AF=CE.例新課講解

C

新課講解練一練1.如圖，在△ABC中，AC=BC，直線l經(jīng)過點C，過A，B兩點分別作l的垂線AE，BF，垂足分別為E，F(xiàn)，AE=CF.求證：∠ACB=90°．新課講解練一練2.如圖，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F(xiàn)為AB延長線上一點，點E在BC上，且AE=CF.求證：△ABE≌△CBF.證明：∵∠ABC=90°∠ABC+∠CBF=180°，∴∠CBF=90°.在Rt△ABE和Rt△CBF中，AE=CF，AB=CB，∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL).新課講解練一練3.已知，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90?，有如下幾個條件：①AC=A′C′，∠A=∠A′；②AC=A′C′，AB=A′B′；③AC=A′C′，BC=B′C′；④AB=A′B′，∠A=∠A′.其中，能判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的條件的個數(shù)為（）.A.1B.2C.3D.4

根據(jù)已經(jīng)學過的5種判定方法：“SSS”、“SAS”、“ASA”

、“AAS”、“HL”，并結(jié)合題目中的已知條件進行判斷.D新課講解判定兩個三角形全等常用的思路方法已知對應(yīng)相等的元素可選擇的判定方法需尋找的條件銳角三角形或鈍角三角形兩邊(SS)SSS或SAS可證第三邊對應(yīng)相等或證兩邊的夾角對應(yīng)相等一邊及其鄰角(SA)SAS或ASA或AAS可證已知角的另一邊對應(yīng)相等或證已知邊的另一鄰角對應(yīng)相等或證已知邊的對角對應(yīng)相等銳角三角形或鈍角三角形一邊及其對角(SA)AAS可證另一角對應(yīng)相等兩角(AA)ASA或AAS可證兩角的夾邊對應(yīng)相等或證一相等角的對邊對應(yīng)相等新課講解判定兩個三角形全等常用的思路方法已知對應(yīng)相等的元素可選擇的判定方法需尋找的條件直角三角形一銳角(A)ASA或AAS可證直角與已知銳角的夾邊對應(yīng)相等或證已知銳角(或直角)的對邊對應(yīng)相等斜邊(H)HL或AAS可證一條直角邊對應(yīng)相等或證一銳角對應(yīng)相等一直角邊(L)HL或ASA或AAS或SAS可證斜邊對應(yīng)相等或證與已知邊相鄰的銳角對應(yīng)相等或證已知邊所對的銳角對應(yīng)相等或證另一直角邊對應(yīng)相等課堂小結(jié)直角三角形全等的判定斜邊和一直角邊分別相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）.在直角三角形中內(nèi)容“斜邊、直角邊”只需找除直角外的兩個條件即可（兩個條件中至少有一個條件是一對對應(yīng)邊相等）

前提條件使用方法當堂小練

B

當堂小練2.如圖，兩根長度為12米的繩子，一端系在旗桿上，另一端分別固定在地面兩個木樁上，兩個木樁離旗桿底部的距離相等嗎？請說明你的理由.ACBD解：∵∠ADB=∠ADC=90°,在Rt△ABD和Rt△ACD中,AB=AC,AD=AD,所以Rt△ABD≌Rt△ACD(HL),所以BD=CD.當堂小練3.如圖，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F(xiàn)為AB延長線上一點，點E在BC上，且AE=CF.求證：△ABE≌△CBF.證明：∵∠ABC=90°，∠ABC+∠CBF=180°，∴∠CBF=90°.在Rt△ABE和Rt△CBF中，AE=CF，AB=CB，

∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）.

CABEF當堂小練4.如圖，C是路段AB的中點，兩人從C同時出發(fā)，以相同的速度分別沿著兩條直線行走，并同時到達D，E兩地.DA⊥AB，EB⊥AB.D，E與路段AB的距離相等嗎？為什么？DABCE解：相等.理由如下：∵C是路段AB的中點，∴AC=BC.CD=CE∵同時出發(fā)，同時到達，且速度相同，∴CD=CE.∵DA⊥AB，EB⊥AB，

∴△ACD和△BCE是直角三角形.在Rt△ACD和Rt△BCE中，AC=BC，

CD=CE，∴Rt△ACD≌Rt△BCE（HL）.

∴DA=DB.當堂小練5.如圖，點B，E，F(xiàn)，C在同一條直線上，AE⊥BC，DF⊥BC，AB=DC，BE=CF.試判斷AB與CD的位置關(guān)系，并證明.CABDEF

解：AB//CD，證明如下：∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠AEB=∠DFC=90°在Rt△ABE和Rt△DCF中，AB=DC，

BE=CF，∴

Rt△ABE≌Rt△DCF（HL）.

∴∠B=∠C，∴AB//CD.當堂小練6.如圖，已知AD，AF分別是△ABC和△ABE的高，如果AD=AF，AC=AE.求證：BC=BE.AFEBCD證明：∵AD，AF分別是△ABC和△ABE的高，∴∠ADC=∠AFE=90°.在Rt△ADC和Rt△AFE中，∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL).AC=AE，AD=AF，∴CD=EF.在Rt△ABD和Rt△ABF中，AD=AF，AB=AB，∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL).∴BD=BF.∴BD-CD