2025屆湖南省永州市高三下學(xué)期模擬考試數(shù)學(xué)試卷命題人：寧遠(yuǎn)縣第三中學(xué)胡巧波審題人：寧遠(yuǎn)縣第三中學(xué)胡巧波一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出集合，依據(jù)并集的定義計(jì)算即可.【詳解】解：由已知集合，所以.故選：C2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為，則實(shí)數(shù)（）A.1 B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷即可.【詳解】因?yàn)?，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，又復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為，所以.故選：D3.已知向量，.若，則的值為（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)兩向量垂直的坐標(biāo)關(guān)系運(yùn)算得解.【詳解】由，得，解得.故選：D.4.若拋物線的準(zhǔn)線為直線，則截圓所得的弦長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出準(zhǔn)線的方程，進(jìn)而可求出圓心到直線的距離，結(jié)合勾股定理可求得結(jié)果.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為，圓的圓心為原點(diǎn)，半徑為，圓心到直線的距離為，所以，截圓所得的弦長(zhǎng)為，故選：A.5.已知互不相等的數(shù)據(jù)，，，，，的平均數(shù)為，方差為，數(shù)據(jù)，，，，，的方差為，則（）A. B.C. D.與的大小關(guān)系無法判斷【答案】C【解析】【分析】根據(jù)所給數(shù)據(jù)分別計(jì)算、比較大小即可求解.【詳解】根據(jù)已知條件第一組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為個(gè)，且，所以，，第二組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為個(gè)，且平均數(shù)，，因?yàn)椋?故選：C6.我們?cè)鴮W(xué)習(xí)過碳14的半衰期約為5730年（即碳14大約每過5730年衰減為原來的一半），即經(jīng)過年后，碳14的含量（為碳14的初始含量，為常數(shù)），則碳14含量由原來的衰減為大約需要經(jīng)過（）（參考數(shù)據(jù)：）A.2292年 B.2456年 C.2674年 D.2838年【答案】B【解析】【分析】利用半衰期的意義求出，再利用給定的模型列出方程組，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算求解即得.【詳解】依題意，當(dāng)時(shí)，，即，解得，設(shè)經(jīng)過年碳14含量衰減為原來的，經(jīng)過年碳14含量衰減為原來的，則，即，所以.故選：B7.已知是公差不為0的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，則“，”是“”的（）A.充要條件 B.必要不充分條件C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義，分別判斷“”能否推出“”以及“”能否推出“”，進(jìn)而確定兩者之間的條件關(guān)系.【詳解】若，這意味著是數(shù)列中的最小值.因?yàn)槭枪畈粸榈牡炔顢?shù)列，所以該數(shù)列的前項(xiàng)和是關(guān)于的二次函數(shù)（且二次項(xiàng)系數(shù)不為），其圖象是一條拋物線.當(dāng)是最小值時(shí)，說明從第項(xiàng)開始數(shù)列的項(xiàng)變?yōu)檎龜?shù)，即，且.所以由“”可以推出“”，充分性成立.若，僅知道第項(xiàng)是非正的，但無法確定就是的最小值.例如，，就不是最小值，即不能推出，必要性不成立.因?yàn)槌浞中猿闪ⅲ匾圆怀闪?，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：C8.若正實(shí)數(shù)，滿足，則最小值為（）A.1 B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】原等式變形為，構(gòu)造函數(shù)，分析單調(diào)性可得，等價(jià)變形為，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可得的最小值.【詳解】由，得，故.由題意得，，，由得，.設(shè)，，則，∴在上單調(diào)遞增，∵，∴，∴，即，，∴，令，得，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)，取極小值也是最小值，最小值為．故選：C．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列說法正確的是（）A.數(shù)據(jù)8，6，4，11，3，7，9，10的上四分位數(shù)為9B.若，，且，則C，D相互獨(dú)立C.某物理量的測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布，越大，該物理量在一次測(cè)量中在的概率越大D.若樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為4，的平均數(shù)為22，則樣本數(shù)據(jù)，9的方差為20【答案】BD【解析】【分析】A選項(xiàng)利用上四分位數(shù)的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算；B選項(xiàng)利用對(duì)立事件及條件概率公式進(jìn)行檢驗(yàn)；C選項(xiàng)利用正態(tài)分布中的意義進(jìn)行解釋；D選項(xiàng)利用方差公式進(jìn)行計(jì)算.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，將數(shù)據(jù)從小到大排列為3，4，6，7，8，9，10，11，共8個(gè)數(shù)，則，則上四分位數(shù)為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，，，由條件概率公式得，得到，即C，D相互獨(dú)立，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，，，由對(duì)稱性可知在的概率等于在的概率的2倍，當(dāng)越大，數(shù)據(jù)越離散，其概率越小，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，由樣本數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)為4，得，，，，，4的平均數(shù)為4，由，，，，的平均數(shù)為22，得，因此，，，，，4的方差為，，，，，，9的方差為，故D正確.故選：BD.10.2025年春節(jié)檔共上映6部電影全國(guó)電影票房達(dá)95.1億元，刷新了中國(guó)影史春節(jié)檔票房記錄.其中，《哪吒之魔童鬧?！泛汀短铺?900》分居票房第一、第二的寶座.小數(shù)想要觀看這6部電影，則（）A.若將《哪吒之魔童鬧海》和《唐探1900》放在相鄰次序觀看，則共有120種觀看順序B.若《唐探1900》在《哪吒之魔童鬧?！分坝^看，則共有360種觀看順序C.若將6部電影每2部一組隨機(jī)分為3組，則共有90種分組方式D.若將6部電影隨機(jī)分為2組，則共有31種分組方式【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)捆綁法計(jì)算求解A，應(yīng)用全排列計(jì)算B，根據(jù)平均分組計(jì)算判斷C，分類分組計(jì)算判斷D.【詳解】若將《哪吒之魔童鬧?！泛汀短铺?900》放在相鄰次序觀看，可將這兩部電影看作一個(gè)整體，與其余4部電影全排列，再將這兩部電影內(nèi)部進(jìn)行全排列，所以觀看順序?yàn)榉N，故A錯(cuò)誤；若《唐探1900》在《哪吒之魔童鬧海》之前觀看，則在6部電影的全排列中，《唐探1900》在《哪吒之魔童鬧?！分暗那闆r占總情況的一半，故共有種觀看順序，故B正確；若將6部電影每2部一組隨機(jī)分為3組，則可以從6部電影中先選出2部，再?gòu)?部電影中選出2部，最后除以消除重復(fù)情況，故分組方式為，故C錯(cuò)誤；若將6部電影隨機(jī)分為2組，則可按兩組分別有1和5部、2和4部、3和3部電影的三種情況分組，按1和5，有種分組方式；按2和4，有種分組方式；按3和3，有種分組方式，所以共有31種分組方式，故D正確.故選：BD.11.曲線的形狀類似希臘字母“”，其方程為.若點(diǎn)在曲線上，，則（）A.當(dāng)在第一象限時(shí)，B.當(dāng)在第四象限時(shí)，C.直線與曲線的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和大于6D.直線與曲線恰有4個(gè)公共點(diǎn)【答案】BC【解析】【分析】去絕對(duì)值，結(jié)合橢圓、雙曲線的性質(zhì)、直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系，逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，可化為，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則，A錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí)，可化為，為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，則，B正確.當(dāng)時(shí)，可化為，所以點(diǎn)不可能在第三象限.當(dāng)時(shí)，可化為，所以曲線由三段曲線組成，其圖形如圖所示，因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，所以直線與曲線無公共點(diǎn).將代入，得，由圖可知直線與曲線有2個(gè)交點(diǎn)，則這2個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為，其中1個(gè)交點(diǎn)為.將代入，得，由圖可知直線與曲線有2個(gè)交點(diǎn)，則這2個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為，其中1個(gè)交點(diǎn)為，所以直線+4與曲線的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為，C正確.結(jié)合雙曲線與的漸近線的斜率，由圖可知直線與曲線有2個(gè)公共點(diǎn)，與曲線只有1個(gè)公共點(diǎn)，與曲線沒有公共點(diǎn)，所以直線與曲線恰有3個(gè)公共點(diǎn)，D錯(cuò)誤.故選：BC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若，均為單位向量，且，則______．【答案】##【解析】【分析】作出圖形，利用向量加法的幾何意義求得答案.【詳解】作，以線段為一組鄰邊作平行四邊形，如圖，則，而，均為單位向量，則，因此為菱形，.故答案為：13.已知三棱錐的各頂點(diǎn)均在半徑為2的球球面上，，，則三棱錐體積的最大值為__________．【答案】【解析】【分析】利用正弦定理得到，結(jié)合三棱錐體積公式分析得到體積最大時(shí)同時(shí)最大，利用余弦定理結(jié)合基本不等式求解的最大值，再使用線面角的定義得到，結(jié)合勾股定理求出，進(jìn)而分析出點(diǎn)面距離最大的情況并求出，最后求解體積的最大值即可.【詳解】由正弦定理可得，而，則，解得，設(shè)到面的距離為，而，如圖，我們作出符合題意的三棱錐，連接，若三棱錐的體積最大，則同時(shí)最大即可，由三角形面積公式得，由余弦定理得，則，得到，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，故，則，解得，即，故面積取得最大值為，由題意得球的半徑為2，，設(shè)球心到面的距離為，由勾股定理得，則到平面的距離為，設(shè)直線與平面所成角為，則，而，故，則直線與平面所成角為，因?yàn)槿忮F的各頂點(diǎn)均在半徑為2的球球面上，所以，而，而，故是以為頂點(diǎn)的等腰直角三角形，得到，當(dāng)面垂直于平面時(shí)，點(diǎn)到平面的距離最大，最大距離為，故三棱錐體積的最大值為．故答案為：14.蒙日是法國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，他首先發(fā)現(xiàn)橢圓的兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是圓，這個(gè)圓被稱為“蒙日?qǐng)A”，且其方程為.已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，、為橢圓上任意兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在直線上.若恒為銳角，根據(jù)蒙日?qǐng)A的相關(guān)知識(shí)，則橢圓離心率的取值范圍為________.【答案】【解析】【分析】分析可知，直線與圓相離，利用直線與圓的位置關(guān)系可求出的取值范圍，再結(jié)合橢圓離心率公式可求得橢圓的離心率.【詳解】由題意可知，圓即為橢圓蒙日?qǐng)A，因?yàn)?、為橢圓上任意兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足恒為銳角，則點(diǎn)圓外，又因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)在直線上，則直線與圓相離，所以，，解得，則，即，因此，橢圓的離心率的取值范圍是.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列滿足，，且對(duì)任意的，，都有.（1）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列的定義證明為等差數(shù)列，再結(jié)合求出得到的首項(xiàng)，利用等差數(shù)列的定義求出的通項(xiàng)公式；（2）結(jié)合（1）求出，再代入求出的通項(xiàng)公式，再利用裂項(xiàng)相消法求出前項(xiàng)和為，即可證明.【小問1詳解】依題意，對(duì)任意的，，都有，故對(duì)任意的，，，所以對(duì)任意的，，，即為定值，所以數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，據(jù)，，得，，所以，解得，故，所以【小問2詳解】由（1）可知，，所以當(dāng)，，，又符合上式，所以所以，故，因?yàn)椋?，所?6.如圖，在四棱錐中，三角形是以AD為斜邊的等腰直角三角形，，，，E為PD的中點(diǎn).（1）證明：平面PAB；（2）若，求直線CE與平面PBC的夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）取PA中點(diǎn)為F，連接EF，F(xiàn)B，通過證明可完成證明；（2）通過證明，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，求出平面平面PBC法向量，然后由空間向量知識(shí)可得答案.【小問1詳解】取PA中點(diǎn)為F，連接EF，F(xiàn)B，則，且，從而四邊形為平行四邊形.則，又平面PAB，平面PAB，則平面PAB；【小問2詳解】如圖取AD中點(diǎn)為O，連接OP，OB.因三角形是以AD為斜邊的等腰直角三角形，，則.因，，則四邊形為平行四邊形，則，，結(jié)合，則，，結(jié)合，則為等邊三角形，得.又，，則，故.又，平面ADCB，則.故如圖建立以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系.則，因E為PD的中點(diǎn)，則.從而，，.設(shè)平面PBC法向量為，則，取，設(shè)直線CE與平面PBC的夾角為，則，從而.17.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，分，結(jié)合導(dǎo)數(shù)正負(fù)求單調(diào)性；（2）由（1）知時(shí)，在上單調(diào)遞增，不符合題意，可知，若有兩個(gè)零點(diǎn)，由（1）知，分別證明在有一個(gè)零點(diǎn).，在有一個(gè)零點(diǎn).【小問1詳解】的定義域?yàn)椋?，則，則在單調(diào)遞減；若，則由得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問2詳解】若，由（1）知，至多有一個(gè)零點(diǎn)若，由（1）知，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.①當(dāng)時(shí)，由于，故只有一個(gè)零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，因?yàn)閱握{(diào)遞增，單調(diào)遞增，所以單調(diào)遞增，所以，，故沒有零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，由于，即，又，故在有一個(gè)零點(diǎn).設(shè)正整數(shù)滿足，則，故在有一個(gè)零點(diǎn).綜上，的取值范圍為.18.“你好！我是DeepSeek，很高興見到你！我可以幫你寫代碼，讀文件，寫作各種創(chuàng)意內(nèi)容，請(qǐng)把你任務(wù)交給我吧”，DeepSeek從橫空出世到與我們?nèi)粘Ｏ喟椋蔀槲覀兘鉀Q問題的“好參謀，好助手”，AI大模型正在改變著我們的工作和生活的方式．為了了解不同學(xué)歷人群對(duì)DeepSeek的使用情況，隨機(jī)調(diào)查了200人，得到如下數(shù)據(jù)：?jiǎn)挝唬喝藢W(xué)歷使用情況合計(jì)經(jīng)常使用不經(jīng)常使用本科及以上6535100本科以下5050100合計(jì)11585200（1）依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為DeepSeek的使用情況與學(xué)歷有關(guān)？（2）某校組織“AI模型”知識(shí)競(jìng)賽，甲、乙兩名選手在決賽階段相遇，決賽階段共有3道題目，甲、乙同時(shí)依次作答，3道試題作答完畢后比賽結(jié)束.規(guī)定：若對(duì)同一道題目，兩人同時(shí)答對(duì)或答錯(cuò)，每人得0分；若一人答對(duì)另一人答錯(cuò)，答對(duì)的得10分，答錯(cuò)的得分，比賽結(jié)束累加得分為正數(shù)者獲勝，兩人分別獨(dú)立答題互不影響，每人每次的答題結(jié)果也互不影響，若甲，乙兩名選手正確回答每道題的概率分別為，．（?。┣蟊荣惤Y(jié)束后甲獲勝概率；（ⅱ）求比賽結(jié)束后甲獲勝的條件下，乙恰好回答對(duì)1道題的概率．附：，其中．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）認(rèn)為DeepSeek的使用情況與學(xué)歷無關(guān)（2）（?。?；（ⅱ）【解析】【分析】（1）先假設(shè)DeepSeek的使用情況與學(xué)歷無關(guān)，再根據(jù)卡方的計(jì)算式計(jì)算出卡方的結(jié)果，和6.635去比，根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的理論即可做出判斷；（2）（i）對(duì)于一道題而言，先分析甲得分的可能情況并求出概率，即可知道比賽結(jié)束后甲獲勝的所有可能情況，再根據(jù)重伯努利實(shí)驗(yàn)的概率計(jì)算式計(jì)算即可；（ii）由（i）可知甲獲勝的概率，只須計(jì)算出比賽結(jié)束后甲獲勝的同時(shí)乙恰好回答對(duì)1道題的概率，再按照條件概率的計(jì)算式計(jì)算即可.【小問1詳解】零假設(shè)為：DeepSeek的使用情況與學(xué)歷無關(guān)，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷不成立，因此可以認(rèn)為成立，即認(rèn)為DeepSeek的使用情況與學(xué)歷無關(guān)；【小問2詳解】（ⅰ）當(dāng)甲，乙同時(shí)回答第道題時(shí)，甲得分為，，，，比賽結(jié)束甲獲勝時(shí)的得分可能的取值為10，20，30，則，，，所以比賽結(jié)束后甲獲勝的概率；（ⅱ）設(shè)“比賽結(jié)束后甲獲勝”，“比賽結(jié)束時(shí)乙恰好答對(duì)一道題”，，則，所以比賽結(jié)束后甲獲勝的條件下，乙恰好回答對(duì)1道題的概率為．19.二次函數(shù)的圖象是拋物線，現(xiàn)在我們用“圖象平移”的方式討論其焦點(diǎn)與準(zhǔn)線，舉例如下:二次函數(shù)的圖象可以由的圖象沿向量平移得到;拋物線，即的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方