導數(shù)在高等數(shù)學中的應用研究內容摘要導數(shù)是高等數(shù)學中的重要一部分,起著承接高中內容開啟大學內容的作用,既充實了高中數(shù)學教材的教學內容,又對高中生在答題技巧和數(shù)學思維上的拓展起到了關鍵作用,導數(shù)的學習也為大學的課程打下了穩(wěn)固的基礎.本文首先講述了導數(shù)的定義和導數(shù)的幾個運算法則,其次提出了導數(shù)在高等數(shù)學應用中的數(shù)學方法,比如導數(shù)在不等式證明中的放縮法、導數(shù)在隱零點問題中的數(shù)形結合法、導數(shù)在函數(shù)問題中的一分為二法、導數(shù)在數(shù)列求和中的函數(shù)法等等,請了224名學生參與了調查,分析了學生在導數(shù)學習方面的難點、原因,最后提出解決方法.【關鍵詞】導數(shù)解題技巧數(shù)學方法教學建議目錄TOC\o"1-2"\u一、緒論 緒論研究背景及意義在17世紀上半葉,一些問題的求解盛行整個數(shù)學圈,數(shù)學界急切地需要一個縝密的解決方法,比如求曲線的切線、求函數(shù)的極值以及求瞬時變化率等,這些問題將研究推至頂峰,嚴重地刺激了微分學發(fā)展.時代巨人牛頓、萊布尼茨改變了阿基米德以及阿波羅尼奧斯等人基于靜態(tài)的觀點創(chuàng)立了微積分.微積分的創(chuàng)立從那時候起被世人譽為“人類精神的最高勝利”.隨著無限小算法的推廣,微積分成為數(shù)學發(fā)展史上的里程碑,這得益于歐拉、柯西等人的深層次研究.導數(shù)以微積分的核心成分能被引入高中教育,無疑是滿足了當下數(shù)學發(fā)展的大趨勢.導數(shù)的學習讓學生在靜態(tài)數(shù)學和動態(tài)數(shù)學的學習思維中過渡,以簡馭繁地解決了高等數(shù)學中的問題,協(xié)助學生在解題時庖丁解牛游刃有余.《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》規(guī)定數(shù)學教育要把理論知識與現(xiàn)實生活結合在一起,除去運用基礎的知識點外還要學習其中的數(shù)學方法,向學生傳授數(shù)學的價值觀,促進學生思維的創(chuàng)新進步.導數(shù)的應用涵蓋的數(shù)學思想有數(shù)形結合、極限思維等,在解決曲線的切線問題、函數(shù)的單調性、求最值和極值還有不等式的證明、數(shù)列求和等問題中成為最方便有效的工具,起到了豐富教材的作用.導數(shù)在培養(yǎng)學生基本理論、數(shù)學思維、基本技能、獨立與創(chuàng)新能力上完全符合新課改要求.同時導數(shù)在高考的分值比例引起老師和學生的高度重視,學者對導數(shù)的研究也越來越豐富.隨著導數(shù)比重的增大,導數(shù)教學問題就接踵而至,比如好多教師和學生在高考的指揮棒下一味追求高分,忽略了導數(shù)的定義、性質這些最根本的知識,導致學生對導數(shù)的掌握程度處于似懂非懂的狀態(tài)；有學生步入大學學習生涯會發(fā)現(xiàn)微積分的學習與高中導數(shù)的學習出現(xiàn)了重疊和斷層現(xiàn)象,對后期的學習感覺一頭霧水,還有一部分因為高中學過導數(shù)而對大學的微積分的重視程度不高,錯過了微積分理論的深層次學習.為響應國家政策,2019年的教學計劃中,貫徹落實“以人為本”的科學發(fā)展觀,為解決知識斷層問題提出改革,對教學內容做出了微調,連貫中學和大學兩個階段的教材內容.由此可見,“導數(shù)在高等數(shù)學中的應用”這一課題就顯得很是重要了.研究現(xiàn)狀“新課改”后,關于新教材中“導數(shù)及其應用”的教學研討有很多,比如說在新課程的理念上有：張美娟在《高中數(shù)學“導數(shù)及其應用”的教學研究》[1]中以新課程理念作為依據(jù),結合對一線老師的訪談內容,總結了中學教學導數(shù)的問題,提出了相應的改善方法,并給出了導數(shù)在數(shù)列求和和函數(shù)畫圖應用的兩個教學案例.段菁在《高中數(shù)學中微積分的應用研究》[2]中根據(jù)中學課程改革導向闡述了學習數(shù)學思想方法的重要意義,用調查問卷方式對學生在關于學習微積分時的問題做出研究,提出了有效可行的教學對策.從實際應用上：馬麗娜在《導數(shù)在高中數(shù)學中的應用》[3]中提到導數(shù)可簡明高等數(shù)學問題,導數(shù)作為微積分的核心板塊之一為中學添加生機,并舉例從導數(shù)在解決函數(shù)問題,幾何問題等方面來證明導數(shù)的重要性；鄧晗陽[4]主要通過對歷年考題深入研究以導數(shù)概念為主,闡述導數(shù)幾何意義來論述導數(shù)在高中數(shù)學中起到化繁為簡作用.雖然上述文獻在數(shù)學思想,教學模式以及導數(shù)的實際應用等方面給出了解決辦法,很好地應用于實踐,但是有一些新發(fā)現(xiàn)的問題沒有得到解決,比如知識斷層問題、學生在學習導數(shù)遇到的實際問題等.研究內容與創(chuàng)新點新課改要求下,在教學過程中答題技巧的傳授和數(shù)學素養(yǎng)的培養(yǎng)缺一不可.本文介紹了導數(shù)的定義還著重對導數(shù)在高等數(shù)學應用中的數(shù)學方法做了闡述,通過舉例詳細地論述解析步驟.另外請一部分高三學生參與了調查研究,挖掘出隱藏的問題并做出歸納總結,最后提出解決問題的建議.高中數(shù)學中導數(shù)的應用導數(shù)的定義導數(shù)定義由華東師范大學數(shù)學系《數(shù)學分析》[6]中給出,如下：設函數(shù)在點的某鄰域內有定義,若極限存在,則稱函數(shù)在點處可導,并稱該極限為函數(shù)在點處的導數(shù),記作.令,,則可記為所以,導數(shù)是函數(shù)增量與自變量增量之比的極限.這個增量比被叫做函數(shù)關于自變量的平均變化率,導數(shù)則為在處關于的變化率.導數(shù)的概念通過繼續(xù)沿用瞬時變化率來被引出,可在北京師范大學出版的A版教材中《普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學選修2-2》[7]中看出,導數(shù)的物理意義用運動的瞬時速率來表述,導數(shù)的幾何意義用曲線切線的斜率來表述.導數(shù)的四則運算證明：(1)(2)同理(3)的證明方法與上述(1)(2)方法異曲同工,此處不再詳談證明過程.導數(shù)的四則運算與導數(shù)的定義緊密相關,如果記不住導數(shù)的定義,很難證明運算法則,除此之外,基本初等函數(shù)的求導公式可在《選修2-2》中查找,迫于緊張的學習進度,學生常常死記硬背,忽略淡忘了導數(shù)的定義,這種急于求成只顧片面的思想不利于后面的導數(shù)的應用的學習.導數(shù)在高等數(shù)學中的數(shù)學方法導數(shù)在不等式證明中的放縮法放縮法是在保持某種條件不變的情況下,向特定方向進行不等變形（可放大可縮?。┑臄?shù)學方法.在不等式的證明中,放縮法儼然是一個不可多得的簡化問題的工具.這類型考題一般被視為高考中的壓軸題目,考察的是學生敏銳的洞察力和邏輯思維本領.例1：證明成立.證明：分別證明,成立.=1\*GB3①.令.求導數(shù),得,所以,在內單調遞減,即,證畢.=2\*GB3②欲證,令.對求導,有,,,所以,單調遞增.又因為,所以,單調遞增,即,證畢.令.當時,；當時,.令,,所以,在內單調遞減,即.綜上,,.即.【總結】放縮問題之所以難是因為要確定放縮哪一個函數(shù),放縮到什么程度以及放縮方向,一般情況下學生能找到放縮的對象,也可以確定放縮方向,但是放縮到什么程度是學生最難掌握的,因為很有可能失之毫厘差之千里.以下給出幾個最常見的放縮不等式可供學生做題時參考.,,,,,,,,.導數(shù)在隱零點問題中的數(shù)形結合法數(shù)與形之間的一一的對應關系即數(shù)形結合,指將抽象的數(shù)量關系、數(shù)學語言、與直觀的位置關系、幾何圖形聯(lián)系起來,通過抽象思維與形象思維的貫通,借助“以形助數(shù)”或是“以數(shù)解形”,將繁雜問題簡明化,抽象問題具體化,從而達到優(yōu)化解題途徑的效果.例2：已知函數(shù),為的導函數(shù).設,若在區(qū)間存在唯一極大值點,求的取值范圍（A）.A.B.C.D.【解析】因為,,所以.由得.畫出函數(shù)和的圖像,如圖1.圖1要使在區(qū)間內存在唯一極大值點,兩函數(shù)的圖像在上要有唯一交點.設交點橫坐標是,當曲線經過點時是極限位置,它在軸上的截距是,因此.顯然,當時,,；當時,,.因此是函數(shù)在區(qū)間上的唯一極大值點.故的取值范圍是,選A.【總結】此題是在原函數(shù)的基礎上加入了待定系數(shù),在逆向解題方法下,需要證明的結果被設置成條件,求的取值范圍.數(shù)形結合方式是求解復雜函數(shù)最省事的辦法,函數(shù)圖像被畫出后,函數(shù)就會直觀簡單很多.例如本題,畫圖象求交點,解題思路就會變得流暢,解題過程變得簡便快速.導數(shù)在函數(shù)問題中的一分為二法“一分為二”在函數(shù)中是指將復雜的函數(shù)構造成簡單的兩個函數(shù),它與數(shù)形結合、分類討論法給解決函數(shù)問題帶來了極大便利.下面通過一道應用了“一分為二”與分類討論法的例題來展開闡述.例3：設,證明：當,時,恒成立(為自然對數(shù)的底數(shù)).【解析】本題若是直接構造函數(shù),其導函數(shù)也極其復雜,無法確定在上的符號.若切換思路解題,把不等式“一分為二”成兩個函數(shù)和,分別研究兩個函數(shù)值的符號即可.解：原不等式等價于.令,求導數(shù),得.當,時,,,所以.因此在上單調遞增,即.再令.求導,得.所以,在上單調遞減,即.于是恒成立,也就是說,恒成立.導數(shù)在數(shù)列求和中的函數(shù)法把數(shù)列當作一種特殊的函數(shù),將函數(shù)的解題模式用于研究數(shù)列問題的方法被稱作數(shù)列求和中的函數(shù)法.《普通高中數(shù)學課程標準》（2017版）指出,學生采用函數(shù)法研究分析數(shù)列問題的優(yōu)勢在于可以感受數(shù)列與函數(shù)的差異還有共性,感悟數(shù)學的整體性.例4：已知為等差數(shù)列,前項和為,是首項為的等比數(shù)列,且公比大于,,,.（=1\*ROMANI）求和的通項公式；（=2\*ROMANII）求數(shù)列的前項和.【解析】（II）主要考察型數(shù)列的求和問題,數(shù)列被當作函數(shù),采用函數(shù)的求導性質解題.【步驟】由得,,.由得,,即,.（II）.令,且.求導數(shù),得.所以.導數(shù)在高等數(shù)學中的數(shù)學方法還有很多,比如導數(shù)在動曲線與靜曲線問題上的動靜變化法；導數(shù)在函數(shù)中整體法,包括整體代換、整體求值、整體變形、整體構造等以及上面例題1、2滲透出的分類討論法等等,本文不做具體闡述.高中生導數(shù)學習狀況調查的分析目前需要了解高中生對導數(shù)學習的情況,采用問卷調查形式向文水中學現(xiàn)處高三的學生分別從導數(shù)價值、學生認為的難點以及原因和導數(shù)教學方式等方面做了調查分析,總結出其中關鍵性的問題并提出建議.問卷調查結果調查以由被北京師范大學出版的A版教材《普通高中課程實驗教科書數(shù)學選修2-2》作為依據(jù),文水中學高三學生是調查對象,本研究共發(fā)放問卷250份,收回問卷224份,有效問卷224份,回收率是89.6%,具體調查問卷見附錄.學生對導數(shù)價值的認識圖2高中生認為導數(shù)的應用對解題的作用圖如圖2有66.96%的學生認為導數(shù)的應用為解題過程貢獻了很大作用,僅有4.46%的學生認為導數(shù)毫無用處.從這個結果可以看出大部分的學生還是可以認識到導數(shù)的價值,這也印證了導數(shù)的引用確實豐富了高中數(shù)學內容、豐富了學生思想,把一部分繁難的高等數(shù)學淺易化了.圖3學生對學習導數(shù)興趣程度圖圖3可看出有83.93%的學生對導數(shù)很有興趣或者比較有興趣,這充分反映了學生對導數(shù)的學習態(tài)度是積極向上的,可以通過利用導數(shù)解決數(shù)學上疑難雜癥而獲得學習上的滿足感.這個結果也與導數(shù)的價值密不可分.通過調查發(fā)現(xiàn)對導數(shù)很有興趣的人比認為導數(shù)很重要的人要少,究其根本原因是有一部分人能意識到導數(shù)的重要性,僅僅是因為導數(shù)的應用在高考中分值很大.這一部分學生忽略了導數(shù)的內在價值,忘了導數(shù)除了能提高解題技巧之外,更重要的是導數(shù)凝練出的數(shù)學思想,因而大大縮減學習興趣.學生對導數(shù)應用的掌握程度圖4學生學習導數(shù)的技巧程度圖通過圖4發(fā)現(xiàn),超過一半的學生只會解正向思維的試題,面對逆向思維的題目學生就會無從下筆,是因為學生盡管學了導數(shù)所有的知識,但是也只是“似懂非懂”,對于正向思維的題只是依葫畫瓢地學會了解題套路,問其解題原理就答得含糊其辭了.在遇上逆向思維地題目時一貫的套路不再適用,就成為了學生的一大難點.學生對導數(shù)難點的認識圖5學生認為導數(shù)的應用的難點圖通過圖5分析發(fā)現(xiàn)導數(shù)在幾類應用的難易程度相差不多,其中通過導數(shù)判斷函數(shù)單調性、求最值極值、導數(shù)在幾何問題中的應用是最基礎最簡單的應用,但是這兩者被選在難點知識點的比例還是很高,這也說明一部分學生的基本工不扎實,對導數(shù)的概念是模糊不清的.導數(shù)在數(shù)列求和中的應用、不等式以及恒等式證明被學生認為是最難的應用,是因為這幾類應用題目的綜合性比較強,囊括的知識點不單一,考察了學生觸類旁通的學習能力,所以學生在進行應對這寫方面的題會顯得相對比較吃力.學習導數(shù)困難的原因圖6學生認為學習導數(shù)困難的原因圖從圖6可看出一部分學生認識到自己是因為對導數(shù)的定義掌握的不清晰導致沒有學好,這說明導數(shù)的定義至關重要,考試題不會單純地考導數(shù)的概念是什么,但是每道題都是由導數(shù)的概念引申而來,學生要對導數(shù)的定義理解透徹；大部分學生認為導數(shù)學習困難的原因是因為學完以后沒有做大量的習題鞏固以及在日常的學習過程中做不到邊學習邊總結,往往學一點忘一點,以至于越往后學知識點越混亂,這一點可說明學生的學習方法以及時間管理上存在問題.導數(shù)學習方式圖7學生學習導數(shù)的方式圖圖8學生認為最有效的學習方式圖綜合圖7圖8來看,以老師講授為主和學生先自主學習再由老師講授兩種方式占絕大主流,兩者之間后者更是學生認為最有效的學習方式,結合高中緊張的學習生活來看,學生是愿意獨立思考的,而且更傾向把預習時間放到課堂.分析與建議綜上所述,可總結出兩大問題：一是學生的應試思維比較嚴重,為考高分而學習的思想根深蒂固以及教師的教學引導作用發(fā)揮的不夠科學嚴謹；二是學生的學習方式存在問題,對于所學知識一知半解,學過的知識不會歸納總結.以下將從這兩方面展開論述給出建議.對于問題一,學生在學習過程中常常對基本定義和性質不求甚解,在后期做題中會發(fā)現(xiàn)很簡單的一道題也會產生困惑.再者,在2019的課程改革中提到中學與大學的知識出現(xiàn)斷層問題,這也是教師為了節(jié)省時間而放棄一部分概念和性質內容的講解導致的.教師在教學中應該平衡高考壓力多傳授學生學習思想,教學生追本溯源的精神,學生在日常的學習過程中一定要厘清概念,摒棄“只學考的”的思想.教師應該本著以人文本的科學發(fā)展觀培養(yǎng)學生德育體智美全面發(fā)展,科教興國追求的不只是高分,更注重培養(yǎng)學生的獨立人格和創(chuàng)新發(fā)展意識.所以在課堂上要給學生足夠的時間獨立思考,培養(yǎng)學生發(fā)散思維,集中學生課堂注意力,提高學生的學習熱情,活躍課堂氣氛.對于問題二學生經常會有“懂而不會”的困惑,每節(jié)課都認真地聽完而且每節(jié)課的內容都感覺聽懂了,但是很難獨立完整地、準確地完成一道題目,這歸結于學生所學知識只是浮于表面,存在“照貓畫虎”嫌疑.若想改變現(xiàn)狀,讓知識點深入人心,教師可以采用多種教學方式,例如一題多變、一題多解來加深學生記憶力,強調數(shù)學思想,拓寬學生的解題思路.在選例題上,題目一定要完整并且層層遞進.對于如何解決學生不會歸納總結以及沒有及時做題鞏固的問題,其實好的歸納總結往往對題海戰(zhàn)術也起著引導作用.在日常教學中,教師可以將知識點分模塊地給學生搭建知識框架結構,有利于學生將零碎的知識點整合貫穿起來,讓學生在宏觀層面對知識的整體性有所掌控，或者在學完一個完整的知識點后,教師可空下一節(jié)課讓學生按照自己的學習情況獨立地做出總結歸納,這有利于鍛煉學生地總結能力、邏輯思維能力.總結本文借助《普通高中課程實驗教科書數(shù)學選修2-2》和《數(shù)學分析》來闡述了導數(shù)的定義,推導了幾個典型的求導公式,舉例闡述導數(shù)在高等數(shù)學應用中的數(shù)學方法,接著補充了調查分析,歸納了學生在導數(shù)的應用中發(fā)現(xiàn)的兩點問題,提出了建議.在提出建議中思想也不是足夠成熟,有一些想法還是停留在理論層面,在實踐中能否順利開展下去還有待驗證.我們即將成為一名中學教師,在對待導數(shù)問題上,作為教師的我們目光不能膚淺地停留在高中教材地層面上,我們目光要長遠,將思想擴充到高等數(shù)學層面,不斷擴充自己的知識儲備量,提高自身素養(yǎng)然后引用到教學當中.參考文獻[1]張美娟.高中數(shù)學“導數(shù)及其應用”的教學研究.西北大學,2017.[2]段菁.高中數(shù)學中微積分的應用研究.西北大學,2017.[3]馬麗娜.導數(shù)在高中數(shù)學中的應用.數(shù)學學習與研究,2016,146.[4]鄧晗陽.導數(shù)在高中數(shù)學解題中的應用探究.科學大眾(科學教育),2016,(884):27.[5]季田甜.論導數(shù)在高中數(shù)學中的應用.現(xiàn)代商貿工業(yè),2009,(13):186-187.[6