第20課時圓周運動目標(biāo)要求1.掌握描述圓周運動的各物理量及它們之間的關(guān)系。2.掌握勻速圓周運動由周期性引起的多解問題的分析方法。3.掌握圓周運動的動力學(xué)問題的處理方法?？键c一圓周運動的運動學(xué)問題1.描述圓周運動的物理量2.勻速圓周運動(1)定義：如果物體沿著圓周運動，并且線速度的大小處處相等，所做的運動叫作勻速圓周運動。(2)特點：加速度大小不變，方向始終指向圓心，是變加速運動。(3)條件：合外力大小不變，方向始終與速度方向垂直且指向圓心。1.勻速圓周運動是勻變速曲線運動。(×)2.物體做勻速圓周運動時，其線速度是不變的。(×)3.物體做勻速圓周運動時，其所受合外力是變力。(√)4.向心加速度公式在非勻速圓周運動中不適用。(×)在an＝v2r，an＝ω2r兩式中an與答案在v一定時，an與r成反比；在ω一定時，an與r成正比。例1A、B兩艘快艇在水平湖面上做勻速圓周運動，在相同時間內(nèi)(該時間小于A、B的周期)，它們通過的路程之比是4∶3，運動方向改變的角度之比是3∶2，則它們()A.線速度大小之比為4∶3B.角速度之比為3∶4C.圓周運動的半徑之比為2∶1D.向心加速度大小之比為1∶2答案A解析由v＝ΔsΔt知，時間相同，路程之比即線速度大小之比，為4∶3，A項正確；由ω＝ΔθΔt知，時間相同，運動方向改變的角度之比等于快艇與圓心連線掃過的圓心角之比，即角速度之比，為3∶2，B項錯誤；由v＝ωr知半徑之比為8∶9，C項錯誤；由向心加速度an＝v2例2如圖所示，B和C是一組塔輪，即B和C半徑不同，但固定在同一轉(zhuǎn)軸上，其半徑之比為RB∶RC＝3∶2，A輪的半徑大小與C輪相同，它與B輪緊靠在一起，當(dāng)A輪繞過其中心的豎直軸轉(zhuǎn)動時，由于摩擦力作用，B輪也隨之無滑動地轉(zhuǎn)動起來。a、b、c分別為三輪邊緣的三個點，則a、b、c三點在運動過程中的()A.線速度大小之比為3∶2∶2B.角速度之比為3∶3∶2C.轉(zhuǎn)速之比為2∶3∶2D.向心加速度大小之比為9∶6∶4答案D解析A、B靠摩擦傳動，則兩輪邊緣上a、b兩點的線速度大小相等，即va∶vb＝1∶1，選項A錯誤；B、C同軸轉(zhuǎn)動，則兩輪邊緣上b、c兩點的角速度相等，即ωb＝ωc，轉(zhuǎn)速之比nbnc＝ωbωc＝11，選項B、C錯誤；對a、b兩點，由an＝v2r得aaab＝RBRA＝32，對b、c兩點，由an同軸轉(zhuǎn)動皮帶傳動齒輪傳動裝置A、B兩點在同軸的一個圓盤上兩個輪子用皮帶連接，A、B兩點分別是兩個輪子邊緣上的點兩個齒輪輪齒嚙合，A、B兩點分別是兩個齒輪邊緣上的點特點角速度、周期相同線速度大小相等線速度大小相等轉(zhuǎn)向相同相同相反規(guī)律線速度與半徑成正比：向心加速度與半徑成正比：角速度與半徑成反比：向心加速度與半徑成反比：a角速度與半徑成反比：向心加速度與半徑成反比：a例3(多選)一位同學(xué)玩飛鏢游戲，已知飛鏢距圓盤為L，對準圓盤上邊緣的A點水平拋出飛鏢，初速度為v0，飛鏢拋出的同時，圓盤繞垂直于盤面且過盤心O點的水平軸勻速轉(zhuǎn)動。不計空氣阻力，重力加速度為g。若飛鏢恰好擊中A點，下列說法正確的是()A.從飛鏢拋出到恰好擊中A點，A點一定轉(zhuǎn)動到最低點位置B.從飛鏢拋出到恰好擊中A點的時間為LC.圓盤的半徑為gD.圓盤轉(zhuǎn)動的角速度一定滿足2kπv0L(k＝1，2答案ABC解析飛鏢拋出后做平拋運動，則從飛鏢拋出到恰好擊中A點，A點一定轉(zhuǎn)動到了圓盤最低點位置，故A正確；飛鏢水平拋出，在水平方向做勻速直線運動，因此t＝Lv0，故B正確；飛鏢擊中A點時，A恰好在圓盤最低點，有2r＝12gt2，解得r＝gL24v02，故C正確；飛鏢擊中A點，則A點轉(zhuǎn)過的角度滿足θ＝ωt＝π＋2kπ(k＝0，1，2，…)，故ω＝2k＋1Lπv0(勻速圓周運動的周期性和多解性問題勻速圓周運動基本特征之一就是周期性，即在做勻速圓周運動過程中，物體的空間位置具有時間上的重復(fù)性。這一特點決定了勻速圓周運動問題的多解性。在分析勻速圓周運動與其他運動(勻速直線運動、平拋運動等)相聯(lián)系的問題時，利用運動的等時性(同時發(fā)生、同時結(jié)束)是解決此類問題的關(guān)鍵?？键c二圓周運動的動力學(xué)問題1.勻速圓周運動的向心力(1)作用效果向心力產(chǎn)生向心加速度，只改變速度的方向，不改變速度的大小。(2)大小Fn＝mv2r＝mrω2＝m4π2T(3)方向始終沿半徑方向指向圓心，時刻在改變，即向心力是一個變力。2.勻速圓周運動中向心力的來源運動模型向心力Fn的來源(圖示)汽車在水平路面轉(zhuǎn)彎水平轉(zhuǎn)臺(光滑)圓錐擺飛車走壁飛機水平轉(zhuǎn)彎火車轉(zhuǎn)彎3.離心運動和近心運動(1)離心運動：做圓周運動的物體，在所受合外力突然消失或不足以提供圓周運動所需向心力的情況下，就做逐漸遠離圓心的運動。(2)受力特點(如圖)①當(dāng)F＝0時，物體沿切線方向飛出，做勻速直線運動。②當(dāng)0<F<mrω2時，物體逐漸遠離圓心，做離心運動。③當(dāng)F>mrω2時，物體逐漸向圓心靠近，做近心運動。(3)本質(zhì)：離心運動的本質(zhì)并不是受到離心力的作用，而是提供的力小于做勻速圓周運動需要的向心力。1.做勻速圓周運動的物體，當(dāng)所受合外力突然減小時，物體將沿切線方向飛出。(×)2.摩托車轉(zhuǎn)彎時速度過大就會向外發(fā)生滑動，這是摩托車受沿轉(zhuǎn)彎半徑向外的離心力作用的緣故。(×)3.向心力可以由物體受到的某一個力提供，也可以由物體受到的合力提供。(√)4.在變速圓周運動中，向心力不指向圓心。(×)例4(多選)(2024·廣東深圳市期中)如圖所示，雜技演員進行表演時，可以懸空靠在以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動的圓筒內(nèi)壁上而不掉下來。設(shè)圓筒半徑為r，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。重力加速度為g，雜技演員與圓筒內(nèi)壁間的動摩擦因數(shù)為μ，則該演員()A.受到4個力的作用B.所需的向心力由彈力提供C.角速度越大，人受到的摩擦力越大D.圓筒的角速度ω≥g答案BD解析雜技演員受到重力、筒壁的彈力和靜摩擦力共3個力作用，A錯誤；由于雜技演員在圓筒內(nèi)壁上不掉下來，豎直方向根據(jù)平衡條件，有mg＝Ff，筒壁的彈力提供向心力，水平方向有F＝mω2r，角速度越大，彈力變大，人受到的摩擦力不變，B正確，C錯誤；要想不下滑，最大靜摩擦力需要大于等于重力，所以μF≥mg，F(xiàn)＝mω2r，解得ω≥gμr，D例5(2023·福建卷·15)一種離心測速器的簡化工作原理如圖所示。細桿的一端固定在豎直轉(zhuǎn)軸OO'上的O點，并可隨軸一起轉(zhuǎn)動。桿上套有一輕質(zhì)彈簧，彈簧一端固定于O點，另一端與套在桿上的圓環(huán)相連。當(dāng)測速器穩(wěn)定工作時，圓環(huán)將相對細桿靜止，通過圓環(huán)的位置可以確定細桿勻速轉(zhuǎn)動的角速度。已知細桿長度L＝0.2m，桿與豎直轉(zhuǎn)軸的夾角α始終為60°，彈簧原長x0＝0.1m，彈簧勁度系數(shù)k＝100N/m，圓環(huán)質(zhì)量m＝1kg；彈簧始終在彈性限度內(nèi)，重力加速度大小取10m/s2，摩擦力可忽略不計。(1)若細桿和圓環(huán)處于靜止?fàn)顟B(tài)，求圓環(huán)到O點的距離；(2)求彈簧處于原長時，細桿勻速轉(zhuǎn)動的角速度大?。?3)求圓環(huán)處于細桿末端P時，細桿勻速轉(zhuǎn)動的角速度大小。答案(1)0.05m(2)1063rad/s解析(1)當(dāng)細桿和圓環(huán)處于靜止?fàn)顟B(tài)，對圓環(huán)受力分析得受彈簧彈力FT0＝mgcosα＝5N根據(jù)胡克定律F＝kΔx得Δx0＝FT0k＝0.05彈簧彈力沿桿向上，故彈簧處于壓縮狀態(tài)，彈簧此時的長度即為圓環(huán)到O點的距離x1＝x0－Δx0＝0.05m(2)若彈簧處于原長，則圓環(huán)僅受重力和支持力，其合力使得圓環(huán)沿水平方向做勻速圓周運動。根據(jù)牛頓第二定律得mgtanα＝m由幾何關(guān)系得圓環(huán)此時做勻速圓周運動的半徑為r＝x0sinα聯(lián)立解得ω0＝1063(3)圓環(huán)處于細桿末端P時，圓環(huán)受重力、支持力、沿桿向下的彈力。根據(jù)胡克定律得FT＝k(L－x0)＝10N對圓環(huán)受力分析并正交分解，豎直方向受力平衡，水平方向合力提供向心力，則有mg＋FTcosα＝FNsinα，F(xiàn)Tsinα＋FNcosα＝mω2r'由幾何關(guān)系得r'＝Lsinα聯(lián)立解得ω＝10rad/s。圓周運動中動力學(xué)問題的分析思路例6(多選)(2025·湖南衡陽市段考)四個完全相同的小球A、B、C、D均在水平面內(nèi)做圓錐擺運動。如圖甲所示，小球A、B在同一水平面內(nèi)做圓錐擺運動(連接B球的繩較長)；如圖乙所示，小球C、D在不同水平面內(nèi)做圓錐擺運動，但是連接C、D的繩與豎直方向的夾角相等(連接D球的繩較長)，則下列說法正確的是()A.小球A、B角速度大小相等B.小球A、B線速度大小相等C.小球C、D向心加速度大小相等D.小球D受到繩的拉力與小球C受到繩的拉力大小相等答案ACD解析對題圖甲中A、B分析，設(shè)繩與豎直方向的夾角為θ，繩長為l，小球的質(zhì)量為m，小球A、B到懸點O的豎直距離為h，則mgtanθ＝mω2lsinθ，解得ω＝glcosθ＝gh，所以小球A、B的角速度大小相等，A、B做圓周運動的半徑不同，則線速度大小不相等，故A正確，B錯誤；對題圖乙中C、D分析，設(shè)繩與豎直方向的夾角為θ，小球的質(zhì)量為m，繩上拉力為FT，則有mgtanθ＝man，F(xiàn)Tcosθ＝mg，得an＝gtanθ，F(xiàn)T＝mgcosθ，所以小球C、D向心加速度大小相等，小球圓錐擺模型1.如圖所示，向心力F向＝mgtanθ＝mv2r＝mω2r，且r＝Lsinθ，聯(lián)立解得v＝ω＝gL2.穩(wěn)定狀態(tài)下，θ角越大，對應(yīng)的角速度ω和線速度v就越大，小球受到的拉力F＝mgcos課時精練(分值：100分)1~6題每小題8分，共48分1.(多選)(2024·甘肅卷·8)電動小車在水平面內(nèi)做勻速圓周運動，下列說法正確的是()A.小車的動能不變B.小車的動量守恒C.小車的加速度不變D.小車所受的合外力一定指向圓心答案AD解析做勻速圓周運動的小車速度大小不變，方向時刻在改變，故動能不變，但動量不守恒，故A正確，B錯誤；做勻速圓周運動的小車加速度大小不變，方向時刻在改變，故C錯誤；小車所受的合外力一定指向圓心，故D正確。2.(2024·黑吉遼·2)“指尖轉(zhuǎn)球”是花式籃球表演中常見的技巧。如圖，當(dāng)籃球在指尖上繞軸轉(zhuǎn)動時，球面上P、Q兩點做圓周運動的()A.半徑相等B.線速度大小相等C.向心加速度大小相等D.角速度大小相等答案D解析由題意可知，球面上P、Q兩點轉(zhuǎn)動時屬于同軸轉(zhuǎn)動，故角速度大小相等，故D正確；由題圖可知，球面上P、Q兩點做圓周運動的半徑的關(guān)系為rP<rQ，故A錯誤；根據(jù)v＝rω可知，球面上P、Q兩點做圓周運動的線速度的關(guān)系為vP<vQ，故B錯誤；根據(jù)an＝rω2可知，球面上P、Q兩點做圓周運動的向心加速度的關(guān)系為aP<aQ，故C錯誤。3.(2021·全國甲卷·15)“旋轉(zhuǎn)紐扣”是一種傳統(tǒng)游戲。如圖，先將紐扣繞幾圈，使穿過紐扣的兩股細繩擰在一起，然后用力反復(fù)拉繩的兩端，紐扣正轉(zhuǎn)和反轉(zhuǎn)會交替出現(xiàn)。拉動多次后，紐扣繞其中心的轉(zhuǎn)速可達50r/s，此時紐扣上距離中心1cm處的點向心加速度大小約為()A.10m/s2 B.100m/s2C.1000m/s2 D.10000m/s2答案C解析根據(jù)勻速圓周運動的規(guī)律，此時ω＝2πn＝100πrad/s，向心加速度大小a＝ω2r≈1000m/s2，故選C。4.(2025·浙江大學(xué)附屬中學(xué)月考)齒輪傳動是現(xiàn)代各種設(shè)備中應(yīng)用最廣泛的一種機械傳動方式。它具有傳動效率高，結(jié)構(gòu)緊湊，工作可靠，壽命長等優(yōu)點。如圖甲所示為某款機械手表內(nèi)部的部分結(jié)構(gòu)圖，A、B、C三個傳動輪通過齒輪咬合，C、D與軸承咬合，A、B、C、D為四個輪子，現(xiàn)將其簡化成如圖乙所示模型。a、b、c、d分別為A、B、C、D輪緣上的點，半徑之比ra∶rb∶rc∶rd＝2∶1∶2∶1。則()A.va∶vb＝2∶1 B.ωc∶ωd＝2∶1C.aa∶ab＝2∶1 D.Tc∶Td＝1∶1答案D解析A、B屬于齒輪傳動，邊緣點的線速度大小相等，則va∶vb＝1∶1，由向心加速度公式a＝v2r得aa∶ab＝rb∶ra＝1∶2，A、C錯誤；C、D屬于同軸轉(zhuǎn)動，角速度相等，則ωc∶ωd＝1∶1，B錯誤；根據(jù)勻速圓周運動的周期T＝2πω，可得Tc∶Td＝ωd∶ωc＝1∶15.(多選)如圖為質(zhì)點P以O(shè)為圓心做勻速圓周運動的軌跡圓，角速度為ω，圓周上水平虛線BD與虛線AC垂直，若質(zhì)點從C點開始運動的同時在D點正上方有一小球自由下落，重力加速度為g，要使小球與質(zhì)點P相遇，則小球下落時離D點的高度可能為()A.gπ24ω2 B.答案BD解析質(zhì)點P經(jīng)過D點的時間為t＝(n＋14)T(n＝0，1，2，3，…)，其中T＝2πω，要使小球與質(zhì)點P在D點相遇，則兩者運動時間相等，所以小球自由下落的高度h＝12gt2＝g2(n＋14)2(2πω)2(n＝0，1，2，3，…)，當(dāng)n＝0，有h1＝gπ28ω2，當(dāng)n＝6.(2024·廣東卷·5)如圖所示，在細繩的拉動下，半徑為r的卷軸可繞其固定的中心點O在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動。卷軸上沿半徑方向固定著長度為l的細管，管底在O點。細管內(nèi)有一根原長為l2、勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧，彈簧底端固定在管底，頂端連接質(zhì)量為m、可視為質(zhì)點的插銷。當(dāng)以速度v勻速拉動細繩時，插銷做勻速圓周運動。若v過大，插銷會卡進固定的端蓋，使卷軸轉(zhuǎn)動停止。忽略摩擦力，彈簧在彈性限度內(nèi)。要使卷軸轉(zhuǎn)動不停止，v的最大值為(A.rk2m B.C.r2km D.答案A解析由題意可知當(dāng)插銷剛卡進固定端蓋時彈簧的伸長量為Δx＝l2根據(jù)胡克定律有F＝kΔx＝kl插銷與卷軸同軸轉(zhuǎn)動，角速度相同，對插銷，彈力提供向心力，則有F＝mlω2對卷軸有v＝rω聯(lián)立解得v＝rk2m，故選7、8題每小題9分，9題16分，10題18分，共52分7.(2024·吉林通化市檢測)如圖為帶車牌自動識別系統(tǒng)的直桿道閘，離地面高為1m的細直桿可繞O在豎直面內(nèi)勻速轉(zhuǎn)動。汽車從自動識別線ab處到達直桿處的時間為2.3s，自動識別系統(tǒng)的反應(yīng)時間為0.3s；汽車可看成高1.6m的長方體，其左側(cè)面底邊在aa'直線上，且O到汽車左側(cè)面的距離為0.6m，要使汽車安全通過道閘，直桿轉(zhuǎn)動的角速度至少為()A.π6rad/s B.3πC.π8rad/s D.π答案C解析設(shè)汽車恰好通過道閘時直桿轉(zhuǎn)過的角度為α，由幾何關(guān)系得tanα＝1.6-10.6＝1，解得α＝π4，直桿轉(zhuǎn)動的時間t＝t汽－t反＝2s，直桿轉(zhuǎn)動的角速度ω＝αt＝π42rad/s8.(多選)(2021·河北卷·9)如圖，矩形金屬框MNQP豎直放置，其中MN、PQ足夠長，且PQ桿光滑，一根輕彈簧一端固定在M點，另一端連接一個質(zhì)量為m的小球，小球穿過PQ桿，金屬框繞MN軸分別以角速度ω和ω'勻速轉(zhuǎn)動時，小球均相對PQ桿靜止，若ω'>ω，則與以ω勻速轉(zhuǎn)動時相比，以ω'勻速轉(zhuǎn)動時()A.小球的高度一定降低B.彈簧彈力的大小一定不變C.小球?qū)U壓力的大小一定變大D.小球所受合外力的大小一定變大答案BD解析對小球受力分析，設(shè)彈簧彈力為FT，彈簧與水平方向的夾角為θ，則對小球豎直方向有FTsinθ＝mg，而FT＝k(MPcosθ－l可知θ為定值，F(xiàn)T不變，則當(dāng)轉(zhuǎn)速增大后，小球的高度不變，彈簧的彈力不變，A錯誤，B正確；水平方向當(dāng)轉(zhuǎn)速較小，桿對小球的彈力背離轉(zhuǎn)軸時，則FTcosθ－FN＝mω2r，即FN＝FTcosθ－mω2r當(dāng)轉(zhuǎn)速較大，桿對小球的彈力指向轉(zhuǎn)軸時，則FTcosθ＋FN'＝mω'2r即FN'＝mω'2r－FTcosθ因ω'>ω，根據(jù)牛頓第三定律可知，小球?qū)U的壓力不一定變大，C錯誤；根據(jù)F合＝mω2r可知，因角速度變大，則小球所受合外力變大，D正確。9.(16分)(八省聯(lián)考·陜西·14)圖(a)是某小河的航拍照片，河道彎曲形成的主要原因之一可解釋為：河道彎曲處的內(nèi)側(cè)與外側(cè)河堤均受到流水重力產(chǎn)生的壓強，外側(cè)河堤還受到流水沖擊產(chǎn)生的壓強。小河某彎道處可視為半徑為R的圓弧的一部分，如圖(b)所示，假設(shè)河床水平，河水密度為ρ，河道在整個彎道處寬度d和水深h均保持不變，水的流動速度v大小恒定，d?R，忽略流水內(nèi)部的相互作用力。取彎道某處一垂直于流速的觀測截面，求在一極短時間Δt內(nèi)：(R、ρ、d、h、v、Δt均為已知量)(1)(5分)通過觀測截面的流水質(zhì)量Δm；(2)(5分)流水速度改變量Δv的大??；(3)(6分)外側(cè)河堤受到的流水沖擊產(chǎn)生的壓強p。答案(1)ρdhv·Δt(2)v2R·Δt解析(1)由題可知，極短時間Δt內(nèi)水流的長度Δl＝v·Δt由于橫截面積為S＝dh根據(jù)ρ＝m可得水的質(zhì)量Δm＝ρ·ΔV＝ρdhv·Δt(2)由于Δt極短，可以把水的運動簡化為勻速圓周運動，根據(jù)勻速