專題05一次函數(shù)

【知識(shí)回顧】

【思維導(dǎo)圖】

【知識(shí)清單】

【自變量的取值范圍考慮因素】

（1）關(guān)系式為整式時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)；

（2）關(guān)系式含有分式時(shí)，分式的分母不等于零；

（3）關(guān)系式含有二次根式時(shí)，被開放方數(shù)大于等于零；

（4）關(guān)系式中含有指數(shù)為零的式子時(shí)，底數(shù)不等于零；

（5）實(shí)際問題中，函數(shù)定義域還要和實(shí)際情況相符合，使之有意義。

1

【一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)】

正比例函數(shù)一次函數(shù)

概念一般地，形如y=kx（k是常數(shù)，k#0）的一般地，形如y=kx+b（k,b是常數(shù)，kWO）,那么y叫

函數(shù)叫做正比例函數(shù)，其中k叫做比例做x的一次函數(shù).當(dāng)b=0時(shí)，是丫=1?,所以說正比例函

系數(shù)數(shù)是一種特殊的一次函數(shù).

自變量X為全體實(shí)數(shù)（實(shí)際問題根據(jù)實(shí)際情況判斷）

范圍

圖象一條直線

必過點(diǎn)(0,0)、(1,k)b

(0,b)和0)

k

走向k〉0時(shí)，直線經(jīng)過一、三象限；k>0,b>0,直線經(jīng)過第一、二、三象限

k<0時(shí)，直線經(jīng)過二、四象限k>0,b<0直線經(jīng)過第一、三、四象限

k<0,b>0直線經(jīng)過第一、二、四象限

k<0,b<0直線經(jīng)過第二、三、四象限

增減性k〉0,y隨x的增大而增大；（從左向右上升）

k<0,y隨x的增大而減小。（從左向右下降）

傾斜度k越大，越接近y軸；k越小，越接近x軸

圖像的

b>0時(shí)，將直線y=kx的圖象向上平移”個(gè)單位，得到y(tǒng)=kx+b；

平移

b<0時(shí)，將直線y=kx的圖象向下平移”個(gè)單位，得到y(tǒng)=kx+b.

平移口訣：左加右減，上加下減

【函數(shù)解析式的確定】

用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式的一般步驟：

（1）根據(jù)已知條件寫出含有待定系數(shù)的函數(shù)關(guān)系式；

（2）將x、y的幾對(duì)值或圖象上的幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入上述函數(shù)關(guān)系式中得到以待定系數(shù)為未知數(shù)的方

程；

（3）解方程得出未知系數(shù)的值；

（4）將求出的待定系數(shù)代回所求的函數(shù)關(guān)系式中得出所求函數(shù)的解析式.

二、【考點(diǎn)類型】

考點(diǎn)1：函數(shù)的定義

典例1：（22-23八年級(jí)下?吉林長(zhǎng)春?階段練習(xí)）下列關(guān)系式中y不是x的函數(shù)的是（）

A.y2=xB.y=xC.y=x2D.y=-x

【變式1］（22-23八年級(jí)下?陜西西安?期中）下列圖形中，不能表示y是％函數(shù)的是（）

A.B.

2

【變式2］（22-23八年級(jí)下.福建福州.期中）下列圖象中，能表示y是x的函數(shù)的是

【變式3］（22-23八年級(jí)下?北京石景山?期末）如圖，用一根長(zhǎng)40cm的鐵絲圍成一個(gè)矩形，小石發(fā)

現(xiàn)矩形的鄰邊m。及面積S是三個(gè)變量，下面有三個(gè)說法：①6是a的函數(shù)②S是a的函數(shù)③a

是S的函數(shù).其中所有正確的結(jié)論的序號(hào)是（）

---------------\D

b

A.①②B.①③C.②③D.①②③

考點(diǎn)2:自變量的取值范圍

典例2：（23-24九年級(jí)下?廣東江門?階段練習(xí)）函數(shù)y=等中，自變量x的取值范圍是（）

A.%>2B.%之2且%。3C.%>2D.%。3

【變式1】（23-24九年級(jí)下?四川綿陽?階段練習(xí)）函數(shù)y=會(huì)-GI自變量x的取值范圍在數(shù)軸

上表示為（）

?]-I~~<!）~>_]-I_<!>■

A.-102B.T02

—；」三

n-102

【變式2］（22-23八年級(jí)下?寧夏固原?期末）若函數(shù)y=表有意義，則自變量式的取值范圍在數(shù)軸

3

上表示正確的是（）

【變式3（2023.黑龍江綏化.二模）在函數(shù)y=春+（%—3）。中，自變量x的取值范圍是（）

A.x>—3B.x>—3C.%。3D.%>—3且%W3

考點(diǎn)3：函數(shù)圖像的識(shí)別

典例3：（22-23七年級(jí)下?四川成都?期末）如圖是兩圓柱形連通容器，向甲容器勻速注水，下面可以

近似的刻畫甲容器的水面高度（cm）隨時(shí)間f（min）的變化情況的圖形是（）

【變式1］（2023?北京石景山?一模）勻速地向如圖所示的一個(gè)空瓶里注水，最后把空瓶注滿，在這

個(gè)注水過程中，水面高度/?與注水時(shí)間，之間函數(shù)關(guān)系的大致圖象是（）

4

【變式2］（2023?黑龍江綏化?模擬預(yù)測(cè)）一段筆直的公路4C長(zhǎng)20千米，途中有一處休息點(diǎn)B,4B長(zhǎng)

15千米，甲以15千米/時(shí)的速度勻速跑至點(diǎn)B,原地休息半小時(shí)后，再以10千米/小時(shí)的速度勻速跑

至終點(diǎn)C；乙以12千米/時(shí)的速度勻速跑至終點(diǎn)C,下列選項(xiàng)中，能正確反映甲、乙兩人出發(fā)后2小時(shí)

內(nèi)運(yùn)動(dòng)路程y（千米）與時(shí)間x（小時(shí)）函數(shù)關(guān)系的圖象是（）

【變式3］（22-23八年級(jí)下?江蘇鎮(zhèn)江?期末）周末，小麗同學(xué)做了以下幾件事情：

第一件：小麗去文具店購買黑色水筆，支付費(fèi)用與購買黑色水筆支數(shù)的關(guān)系：

第二件：小麗去奶奶家吃飯，飯后，和奶奶聊一會(huì)天，然后再按原速度原路返回，小麗離家的距離與

時(shí)間的關(guān)系；

第三件：小麗和奶奶聊天時(shí)，了解到：奶奶用的手機(jī)是含有月租費(fèi)的計(jì)費(fèi)方式，奶奶每月支付的話費(fèi)

與通話時(shí)間的關(guān)系.

5

(3)(1)

考點(diǎn)4：由函數(shù)圖像獲取信息

典例4：（2023?河南周口?模擬預(yù)測(cè)）根據(jù)研究，人體內(nèi)血乳酸濃度升高是運(yùn)動(dòng)后感覺疲勞的重要原

因，運(yùn)動(dòng)員未運(yùn)動(dòng)時(shí)，體內(nèi)血乳酸濃度通常在40mg/L以下；如果血乳酸濃度降到50mg/L以下，運(yùn)動(dòng)

員就基本消除了疲勞，體育科研工作者根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，繪制了一幅圖象，它反映了運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行高強(qiáng)度

運(yùn)動(dòng)后，體內(nèi)血乳酸濃度隨時(shí)間變化而變化，下列敘述錯(cuò)誤的是（）

圖中實(shí)線去示采用慢跑活動(dòng)力我放松

時(shí)向乳磔濃度的變化情況1

由線表示果用靜里方式休息時(shí)血乳ffi?

濃惺的變化情況。

A.體內(nèi)血乳酸濃度和時(shí)間是變量

B.當(dāng)t=20min時(shí)，兩種方式下的血乳酸濃度均超過150mg/L

C.采用靜坐方式放松時(shí)，運(yùn)動(dòng)員大約30min后就能基本消除疲勞

D.運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行完劇烈運(yùn)動(dòng)，為了更快達(dá)到消除疲勞的效果，應(yīng)該采用慢跑活動(dòng)方式來放松

【變式1】（23-24七年級(jí)下?河南?期中）如圖1,四邊形4BCD是長(zhǎng)方形，點(diǎn)尸從邊2D上點(diǎn)E出發(fā),

沿直線運(yùn)動(dòng)到長(zhǎng)方形內(nèi)部一點(diǎn)處，再從該點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)到頂點(diǎn)3,最后沿BC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C,設(shè)點(diǎn)P運(yùn)

動(dòng)的路程為的面積為y,圖2是y關(guān)于無變化的函數(shù)圖象.根據(jù)圖象下列判斷不正確的是（）

B.點(diǎn)E為4D的中點(diǎn)

C.當(dāng)％=3時(shí)，A2PE的面積為6

D.當(dāng)3WJCW8時(shí)，2P長(zhǎng)度的最小值為1

【變式2】（23-24八年級(jí)下?上海閔行?期中）已知：如圖，甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)合作修一條長(zhǎng)為3000

米的公路，假設(shè)甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)的工作效率是一定的.甲隊(duì)單獨(dú)做了20天后，乙隊(duì)加入合作完成

剩下的全部工程.完成的工程量〉（米）與工程時(shí)間x（天）的關(guān)系如圖所示.下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是

()

6

八米）

30（m------------/

O2030“天）

A.完成該工程一共用了30天B.乙工程隊(duì)在該工程中一共工作了10天

C.甲工程隊(duì)每天修路50米D.乙工程隊(duì)每天修路200米

【變式3］（23-24八年級(jí)下?重慶?階段練習(xí)）甲、乙兩工程隊(duì)分別同時(shí)鋪設(shè)兩條600米長(zhǎng)的管道，所

鋪設(shè)管道長(zhǎng)度y（米）與鋪設(shè)時(shí)間x（天）之間的關(guān)系如圖所示，則下列說法錯(cuò)誤的是（）

B.從第三天開始，乙隊(duì)每天鋪設(shè)管道50米；

C.甲隊(duì)比乙隊(duì)提前3天完成任務(wù)；

D.當(dāng)工=2或6時(shí)，甲乙兩隊(duì)所鋪設(shè)管道長(zhǎng)度相差100米.

考點(diǎn)5：動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖像

典例5：（23-24八年級(jí)下?河南關(guān)B州?期中）如圖1,在AaBC中，NB=60。動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿折線

28-BC勻速運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C后停止.設(shè)點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)路程為x,線段4P的長(zhǎng)度為y,圖2是y與x的函數(shù)

關(guān)系的大致圖象，點(diǎn)M為曲線DE的最低點(diǎn)，貝IJBC邊的長(zhǎng)為（）

圖1圖2

A.2V3B.2C.3V3D.3

【變式1］（2024.甘肅天水.一模）如圖：菱形28CD的對(duì)角線2C上有一動(dòng)點(diǎn)P,BP的長(zhǎng)y關(guān)于點(diǎn)P運(yùn)

動(dòng)的路程K的函數(shù)圖像如圖，則該菱形的面積為（）

7

【變式2］（23-24八年級(jí)下糊南郴州?階段練習(xí)）如圖①，在四邊形48C0中，BC||AD,〃=90。，

點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)，沿2-B-C-D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。.圖②是點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，△PAD的面積S與點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)的

路程尤之間的關(guān)系圖象，則。的值為（）

圖①圖②

7

A.-B.4C.5D.6

2

【變式3］（2023?江蘇蘇州?模擬預(yù)測(cè)）圖1是一座立交橋的示意圖（道路寬度忽略不計(jì)），A為入口，

RG為出口，其中直行道為28,CG,EF,且4B=CG=EF,彎道為以點(diǎn)。為圓心的一段弧，且廓，

CD,0E所對(duì)的圓心角均為90。.甲、乙兩車由A口同時(shí)駛?cè)肓⒔粯?，均?0m/s的速度行駛，從不同

出口駛出，其間兩車到點(diǎn)O的距離y（m）與時(shí)間x（s）的對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖2所示，結(jié)合題目信息，下列說

法錯(cuò)誤的是（）

A.甲車在立交橋上共行駛8s；B.從尸口出比從G口出多行駛40m；

C.甲車從G口出，乙車從尸口出；D.立交橋總長(zhǎng)為160m

考點(diǎn)6：一次函數(shù)、正比例函數(shù)定義

典例6：（2023八年級(jí)下?全國(guó)?專題練習(xí)）下列各關(guān)系中，符合正比例關(guān)系的是（）

A.正方形的周長(zhǎng)C和它的一邊長(zhǎng)a

8

B.距離s一定時(shí)，速度v和時(shí)間，

C.長(zhǎng)40米的繩子減去x米，還剩y米，x和y

D.正方體的體積V和棱長(zhǎng)

【變式1］（22-23八年級(jí)上.江蘇揚(yáng)州?期末）規(guī)定：［k,b］是一次函數(shù)y=kx+b（k、b為實(shí)數(shù)，k豐

0）的“特征數(shù)".若“特征數(shù)”是［4,小一4］的一次函數(shù)是正比例函數(shù)，則點(diǎn)（2+m,2-m）所在的

象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【變式2）（23-24八年級(jí)上?江蘇連云港?階段練習(xí)）下列函數(shù)：①y=-%；②y=2x+11；③丫=—/+

（x+1）（%-2）；④y=（中，關(guān)于x的一次函數(shù)的有（）

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

【變式3］（22-23八年級(jí)上?湖北宜昌?期中）如果y=（m-2）久病-3+2是一次函數(shù)，那么m的值是

（）

A.2B.-2C.±2D.±V2

考點(diǎn)7：判斷一次函數(shù)圖像

典例7：（22-23八年級(jí)上?江蘇鹽城?期末）下列圖象中，可以表示一次函數(shù)y=kx-b與正比例函數(shù)

y=kbx（k,b為常數(shù)，且歷大0）的圖象不可能的是（）

【變式1】（2024九年級(jí)下■廣東?專題練習(xí)）關(guān)于x的正比例函數(shù)y=k久與一次函數(shù)y=kx+尤一k的

9

【變式2】（2024八年級(jí)?全國(guó)?競(jìng)賽）在同一坐標(biāo)系內(nèi)，直線匕:）/=依和％：y=（k-3）x+k的位置

可能是（）.

【變式3]（22-23八年級(jí)下?福建福州?期末）已知函數(shù)y=kx+b的圖象如圖所示，函數(shù)y=bx+k的

圖象大致是（）

典例8：（23-24八年級(jí)上.貴州貴陽.期末）下列函數(shù)中，>的值隨x增大而增大的是（）

A.y=—2x+1B.y=—C.y=2x+1D.y=—x+2

【變式1]（23-24八年級(jí)上?浙江寧波?期末）若一次函數(shù)y=（4-3k）x—2的圖象經(jīng)過點(diǎn)4（巧/1）和

點(diǎn)B（%2，y2），當(dāng)％1>%2時(shí)，為<丫2，則上的取值范圍是（）

3344

A.fc<-B.k>—C./c<-D.k>—

4433

【變式2]（23-24八年級(jí)上?浙江?期末）已知（勺，yj,（x2,y2）,（x3,y?）為直線V=2%-1上的三

個(gè)點(diǎn)，且/V%2V%3,則以下判斷正確的是（）

A.若％1%3<0，則y/2>0B.若％2%3V0，則>0

c.若％i%2>°，則y2y3>oD.若％2%3<°，則yiy3>o

10

【變式3］（23-24七年級(jí)上?山東泰安?期末）一次函數(shù)y=-久+3的圖像過點(diǎn)（與,月），（xx+l,y2）,

區(qū)+2,y3），則（）

A.為<丫2<%B.yi<y2<乃

C.y2<yi<y-iD.為<%<力

考點(diǎn)9：一次函數(shù)圖像性質(zhì)一一與k、b關(guān)系

典例9：（2023?云南?模擬預(yù)測(cè)）一次函數(shù)y=7x+6（620）的圖象一定不等.（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【變式1】（23-24八年級(jí)下?四川攀枝花?期中）一次函數(shù)y=（巾+1）%+5的圖像不經(jīng)過第四象限,

則m的取值范圍是（）

A.m>—1B.m<—1C.m=—1D.m<1

【變式2］（23-24九年級(jí)下?甘肅定西.階段練習(xí)）直線y=（2m-l）x+九經(jīng)過第一、三、四象限，則

點(diǎn)P（-71）所在象限為（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【變式3］（22-23八年級(jí)下.新疆烏魯木齊.期末）已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象如圖所示，則匕b的

取值范圍是（）

C.k<0,b>0D.fc<0,b<0

考點(diǎn)10:一次函數(shù)圖像性質(zhì)一一平移問題

典例10：（2024?湖南長(zhǎng)沙?模擬預(yù)測(cè)）直線y=kx沿y軸向下平移2個(gè)單位后與久軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（-2,0）,

以下各點(diǎn)在直線y=依上的是（）

A.（-3,0）B.（0,-3）C.（-2,2）D.（2,2）

【變式11（23-24九年級(jí)上.海南省直轄縣級(jí)單位?期末）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=（%+2）-3

經(jīng)變換后得到拋物線y=0-1）+4,則這個(gè)變換可以是（）

A.先向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移7個(gè)單位長(zhǎng)度

B.先向上平移7個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度

C.先向下平移7個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度

D.先向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左平移7個(gè)單位長(zhǎng)度

11

【變式2】（2023八年級(jí)上?浙江?專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，將直線匕：y=-3久-2平移后,

得到直線"：y=-3x+4,則下列平移的做法正確的是（）

A.將匕向下平移6個(gè)單位B.將匕向下平移2個(gè)單位

C.將人向右平移6個(gè)單位D.將人向右平移2個(gè)單位

【變式3］（23-24八年級(jí)上?山西晉中?期中）將一次函數(shù)y=2x+4圖象平移后恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn).下

列關(guān)于平移方法正確的是（）

A.一次函數(shù)圖象向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度

B.一次函數(shù)圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度

C.一次函數(shù)圖象向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度

D.一次函數(shù)圖象向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度

考點(diǎn)11:一次函數(shù)與一元一次方程

典例11：（23-24八年級(jí)上?陜西西安?階段練習(xí)）若一次函數(shù)y=kx-b（k為常數(shù)且k豐0）的圖像經(jīng)

過點(diǎn)（—3,0）,則關(guān)于x的方程k（x—7）-匕=0的解為（）

A.x=-5B.x=-3C.x=4D.x=5

【變式1］（23-24八年級(jí)上.廣西崇左?階段練習(xí)）如圖為函數(shù)y=kx+6（k、b為常數(shù)，k手0）的

圖象，則關(guān)于x的方程"+b=3的解為（）

A.%=0B.%=2C.%=3D.無法確定

【變式2】（22-23七年級(jí)上?山東濟(jì)寧?期末）已知函數(shù)丫=/^+6的部分函數(shù)值如表所示，則關(guān)于x

A.%=2B.%=-2C.x=3D.%=-3

【變式3］（22-23八年級(jí)下?河北廊坊?階段練習(xí)）一次函數(shù)y=-2x和y=kx+b的圖象相交于點(diǎn)

4（一2,4）,則關(guān)于X的方程kx+b=-2%的解是（）

A.x=-2B.x=4C.x=2D.x=-4

考點(diǎn)12：一次函數(shù)與一元一次不等式

12

典例12：（23-24八年級(jí)下.遼寧沈陽?階段練習(xí)）如圖，函數(shù)yi=-2x^y2=a%+3的圖象相交于點(diǎn)

A（m,2）,則關(guān)于％的不等式組-2%>a%+3>0的解集是（）

A.x>—1B.-1<%<0C.x<—1D.-3<%V—1

【變式1］（22-23八年級(jí)下?四川成都?期末）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，一次函數(shù)丫=。X+5的圖象如圖所

示，那么下列說法正確的是（）

A.當(dāng)y>1時(shí)，x>0

B.方程a%+b=0的解是久=2

C.當(dāng)％<0時(shí)，1<yV2

D.不等式+bV0的解集是iV2

【變式2］（23-24八年級(jí)上?安徽六安?階段練習(xí)）如圖，直線y=k%+b（k和萬是常數(shù)且kW0）交

x軸，y軸分別于點(diǎn)（4,0）,（0,2）,下列結(jié)論正確的是（）

A.方程k%+力=0的解是％=2B.方程k%+b=3的解是X=—2

C.不等式k%+b之0的解集是％Z4D.不等式k%+b22的解集是％20

【變式3］（22-23八年級(jí)下?廣東深圳?期中）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)yi=a%+b,

=c%+d交y軸于4丫3=c%+/交y軸于B，已知。A=OB,下列說法正確的是（）

13

A.乃>乃>。的解集是q<x<p

B.y2>7i>為的解集是瓶<x<n

C.y-L>y2>。的解集是一q<x<m

D.（d—f）ac>0

考點(diǎn)13：一次函數(shù)的應(yīng)用一一方案選擇問題

典例13：（2023?河南安陽?模擬預(yù)測(cè)）新鄭大棗“甜如蜜”，作為河南的名片，新鄭大棗已經(jīng)遠(yuǎn)銷海內(nèi)

外.現(xiàn)外地某經(jīng)銷商準(zhǔn)備從新鄭購進(jìn)A,3兩種不同包裝的大棗，已知購進(jìn)3件A包裝和2件8包裝

的大棗需要850元；購進(jìn)2件A包裝和3件8包裝的大棗，需要900元.

（1）求A,2兩種包裝的大棗的進(jìn)貨單價(jià)分別是多少元？

（2）若該經(jīng)銷商購進(jìn)A包裝的大棗300件，8包裝的大棗200件，并且準(zhǔn)備把這些大棗全部運(yùn)往甲、乙

兩家分店來進(jìn)行銷售，已知每件A運(yùn)往甲、乙兩家店的運(yùn)費(fèi)分別是15元和20元，每件3運(yùn)往甲、乙

兩家店的運(yùn)費(fèi)分別是20元和18元.根據(jù)往年的銷售情況，該經(jīng)銷商決定向甲店運(yùn)260件大棗，向乙

店運(yùn)240件大棗.

①設(shè)該經(jīng)銷商運(yùn)往甲店的A包裝的大棗龍（件），所花的總運(yùn)費(fèi)為w（元），請(qǐng)寫出w關(guān)于尤的函數(shù)

關(guān)系式；

②怎樣調(diào)運(yùn)A,B兩種包裝的大棗可使總運(yùn)費(fèi)最低？最低費(fèi)用是多少？

【變式1］（23-24八年級(jí)上.安徽池州.期末）為響應(yīng)政府低碳生活，綠色出行的號(hào)召，某公交公司決

定購買一批節(jié)能環(huán)保的新能源公交車，計(jì)劃購買4型和B型兩種公交車，其中每輛的價(jià)格、年載客量

如表：

AB

型型

價(jià)格（萬元/輛）ab

14

年載客量（萬人/年）60100

若購買4型公交車1輛，B型公交車2輛，共需400萬元；若購買4型公交車2輛，B型公交車1輛,

共需350萬元.

（1）求a,6的值；

（2）計(jì)劃購買4型和B型兩種公交車共10輛，如果該公司購買4型和B型公交車的總費(fèi)用不超過1200萬

元，且確保這10輛公交車在該線路的年均載客總和不少于640萬人次，問有幾種購買方案？

（3）在（2）的條件下，請(qǐng)用一次函數(shù)的性質(zhì)說明哪種方案使得購車總費(fèi)用最少?最少費(fèi)用是多少萬元?

【變式2］（23-24八年級(jí)上?四川達(dá)州?期末）某校八年級(jí)數(shù)學(xué)組組織學(xué)生進(jìn)行“數(shù)學(xué)素養(yǎng)大賽”活動(dòng)，

需購買甲、乙兩種獎(jiǎng)品，老師發(fā)現(xiàn)如果購買甲獎(jiǎng)品2個(gè)和乙獎(jiǎng)品5個(gè)，需用去120元；如果購買甲獎(jiǎng)

品3個(gè)和乙獎(jiǎng)品4個(gè)，需用去124元.

（1）請(qǐng)用列二元一次方程組的方法，求甲、乙兩種獎(jiǎng)品的單價(jià)各是多少元？

（2）由于臨時(shí)有變，現(xiàn)只需購買甲獎(jiǎng)品，剛好4B兩個(gè)商場(chǎng)對(duì)甲獎(jiǎng)品搞促銷活動(dòng)，其中4商場(chǎng)按原價(jià)9

折銷售：B商場(chǎng)購買不超過6個(gè)時(shí)按原價(jià)銷售，超出6個(gè)的部分按原價(jià)的6折銷售，現(xiàn)學(xué)校需要購買

x個(gè)甲商品0>6）,設(shè)在4商場(chǎng)購買久個(gè)甲獎(jiǎng)品需要yi元，在B商場(chǎng)購買x個(gè)甲獎(jiǎng)品需要為元，請(qǐng)按要

求分別寫出為,與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

⑶在（2）的條件下，根據(jù)購買數(shù)量，請(qǐng)直接寫出去哪個(gè)商場(chǎng)購買甲獎(jiǎng)品更省錢的方案.

【變式3】（22-23九年級(jí)下.黑龍江綏化.期末）某學(xué)生用品商店，計(jì)劃購進(jìn)A、8兩種背包共80件進(jìn)

行銷售，購貨資金不少于2090元，但不超過2096元，兩種背包的成本和售價(jià)如下表：

種類成本（元/件）售價(jià)（元/件）

A2530

15

B2835

假設(shè)所購兩種背包可全部售出，請(qǐng)回答下列問題：

（1）該商店對(duì)這兩種背包有哪幾種進(jìn)貨方案？

（2）該商店如何進(jìn)貨獲得利潤(rùn)最大？

（3）根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，每件8種背包的市價(jià)不會(huì)改變，每件A種背包的售價(jià)將會(huì)提高a元（a>0）,該商

店又將如何進(jìn)貨獲得的利潤(rùn)最大？

考點(diǎn)14：一次函數(shù)的應(yīng)用一一銷售利潤(rùn)問題

典例14：（23-24九年級(jí)下?河南駐馬店?階段練習(xí)）信陽毛尖是中國(guó)十大名茶之一，也是河南省著名

特產(chǎn)之一.某茶葉專賣店經(jīng)銷A,B兩種品牌的毛尖，進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表所示：

品牌AB

X

進(jìn)貨（元/袋）X

+16

銷售（元/袋）7090

⑴第一次進(jìn)貨時(shí)，該專賣店用4000元購進(jìn)A品牌毛尖，用5280元購進(jìn)B品牌毛尖，且兩種品牌所

購得的數(shù)量相同，求x的值.

（2）第二次進(jìn)貨時(shí)，A品牌毛尖每袋上漲5元，B品牌毛尖每袋上漲6元.該茶葉專賣店計(jì)劃購進(jìn)A,

2兩種品牌毛尖共180袋，且2品牌毛尖的數(shù)量不超過A品牌毛尖數(shù)量的2倍.銷售時(shí)，A品牌毛尖

售價(jià)不變，B品牌毛尖售價(jià)提高5%,則該茶葉專賣店怎樣進(jìn)貨，能使第二次進(jìn)貨全部售完后獲得的

利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

【變式1］（2024?湖南湘潭?一模）為深入貫徹黨的二十大精神，全面落實(shí)習(xí)近平總書記關(guān)于“把紅色

資源利用好、把紅色基因傳承好”的重要指示精神，培養(yǎng)學(xué)生的愛國(guó)情懷和責(zé)任擔(dān)當(dāng)，某校計(jì)劃組織

高一的師生共1302人到韶山開展紅色研學(xué)活動(dòng).已知1臺(tái)A型大巴車可以坐乘客49人，每日租金

960元，一臺(tái)8型大巴車可以坐乘客37人，每日租金780元.

16

(1)若計(jì)劃租賃A型大巴車比租賃8型大巴車多2輛，要讓每一位師生都有座位，且每輛汽車恰好坐

滿，問需租賃A型大巴車和8型大巴車各多少輛？

(2)為確保研學(xué)活動(dòng)安全與效果，學(xué)校決定再增派兩位校級(jí)領(lǐng)導(dǎo)帶隊(duì)，若計(jì)劃租賃兩種型號(hào)的大巴車

共32臺(tái)，且總費(fèi)用不超過27200元，共有哪幾種租賃方案？請(qǐng)指出費(fèi)用最低的一種方案，并求出相

應(yīng)的費(fèi)用.

【變式2](2024.廣東深圳?二模)晉侯鳥尊作為山西博物館的鎮(zhèn)館之寶，不僅是西周青銅藝術(shù)的杰

作，更是見證大國(guó)滄桑的國(guó)之瑰寶.而木板漆畫是山西博物館的另一件鎮(zhèn)館之寶，填補(bǔ)了北魏前期繪

畫實(shí)物的空缺，在工藝、繪畫和書法上有極高的歷史和藝術(shù)價(jià)值.某商店計(jì)劃購買一批仿制鳥尊工藝

品和木板漆畫工藝品，已知購買4件鳥尊工藝品和3件木板漆畫工藝品需花費(fèi)1068元，購買2件鳥

尊工藝品和1件木板漆畫工藝品需花費(fèi)468元.

(1)求鳥尊工藝品和木板漆畫工藝品的單價(jià)；

(2)該商店計(jì)劃購買鳥尊工藝品和木板漆畫工藝品共100件，其中鳥尊工藝品的數(shù)量超過木板漆畫工

藝品數(shù)量的%當(dāng)購買多少件鳥尊工藝品時(shí)，購買這批工藝品的總費(fèi)用最低？最低總費(fèi)用為多少元？

【變式3](2024.江西撫州.一模)某公司欲訂購一種紀(jì)念品在五一期間回饋老客戶，工廠接到此訂

單后計(jì)劃通過引進(jìn)一條新生產(chǎn)線來完成任務(wù).根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，一名熟練工人比一名普通工人每小時(shí)制

作的紀(jì)念品數(shù)量多5件，且一名熟練工人制作120件紀(jì)念品與一名普通工人制作80件紀(jì)念品所用的

時(shí)間相同.

(1)求一名熟練工人和一名普通工人每小時(shí)分別能制作多少件紀(jì)念品？

17

(2)新生產(chǎn)線的目標(biāo)產(chǎn)能是每小時(shí)生產(chǎn)200件紀(jì)念品，該工廠計(jì)劃在本地招聘〃名普通工人，并從其他

生產(chǎn)線上調(diào)用初名熟練工人共同完成新生產(chǎn)線的任務(wù)，請(qǐng)用含n的代數(shù)式表示加；

(3)該工廠在做市場(chǎng)調(diào)研時(shí)發(fā)現(xiàn)，一名普通工人每天工資為120元，一名熟練工人每天工量為150元，

而且從其他生產(chǎn)線上調(diào)用的熟練工人不超過10人，則在(2)的條件下，該工廠如何安排工人，才能

使支付的工資最少？

考點(diǎn)15：一次函數(shù)的應(yīng)用一一調(diào)配問題

典例15：(23-24八年級(jí)上?江蘇南京?階段練習(xí))某市4B兩個(gè)蔬菜基地得知四川C,D兩個(gè)災(zāi)民安置

點(diǎn)分別急需蔬菜240t和260t的消息后，決定調(diào)運(yùn)蔬菜支援災(zāi)區(qū)，已知4蔬菜基地有蔬菜200t,8蔬菜

基地有蔬菜3003現(xiàn)將這些蔬菜全部調(diào)運(yùn)C,。兩個(gè)災(zāi)民安置點(diǎn)，從4地運(yùn)往C,D兩處的費(fèi)用分別為

每噸20元和25元，從B地運(yùn)往C,。兩處的費(fèi)用分別為每噸15元和18元.設(shè)從B地運(yùn)往C處的蔬菜為x噸.

(1)請(qǐng)?zhí)顚懴卤?，并求兩個(gè)蔬菜基地調(diào)運(yùn)蔬菜的運(yùn)費(fèi)相等時(shí)％的值：

CD總計(jì)/t

A--200

BX-300

總計(jì)/t240260500

(2)設(shè)4B兩個(gè)蔬菜基地的總運(yùn)費(fèi)為w元,求出w與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求總運(yùn)費(fèi)最小的調(diào)運(yùn)方案；

⑶經(jīng)過搶修，從B地到C處的路況得到進(jìn)一步改善，縮短了運(yùn)輸時(shí)間，運(yùn)費(fèi)每噸減少加元(m>0),

其余線路的運(yùn)費(fèi)不變，試討論總運(yùn)費(fèi)最小的調(diào)動(dòng)方案.

【變式1](22-23八年級(jí)上.山東.期末)抗疫期間，社會(huì)各界眾志成城，某乳品公司向疫區(qū)捐獻(xiàn)牛奶，

若由鐵路運(yùn)輸每千克需運(yùn)費(fèi)0.58元;若由公路運(yùn)輸每千克需運(yùn)費(fèi)0.28元，并且還需其他費(fèi)用600元.

(1)若該公司運(yùn)輸?shù)谝慌Ｄ坦灿?jì)8000千克，分別由鐵路和公路運(yùn)輸，費(fèi)用共計(jì)4340元，請(qǐng)問鐵路

和公路各運(yùn)輸了多少千克牛奶？

(2)設(shè)該公司運(yùn)輸?shù)诙Ｄ蘹(千克)，選擇鐵路運(yùn)輸時(shí)，所需費(fèi)用為為(元)，選擇公路運(yùn)輸時(shí),

18

所需費(fèi)用力（元），請(qǐng)分別寫出為（元），y2（元）與尤（千克）之間的關(guān)系式；

（3）運(yùn)輸?shù)诙Ｄ虝r(shí)公司決定只選擇一種運(yùn)輸方式，請(qǐng)問隨著x（千克）的變化，怎樣選擇運(yùn)輸方式

所需費(fèi)用較少？

【變式2］（23-24八年級(jí)上.安徽蚌埠.期中）抗震救災(zāi)中，某縣糧食局為了保證庫存糧食的安全，決

定將甲、乙兩個(gè)倉庫的糧食，全部轉(zhuǎn)移到具有較強(qiáng)抗震功能的4B兩倉庫.已知甲庫有糧食100噸，

乙?guī)煊屑Z食80噸，而4庫的容量為70噸，B庫的容量為110噸.從甲、乙兩庫到4B兩庫的路程和

運(yùn)費(fèi)如下表（表中“元/噸.千米''表示每噸糧食運(yùn)送1千米所需人民幣）

路程（千米）運(yùn)費(fèi)（元/噸?千米）

甲庫乙?guī)旒讕煲規(guī)?/p>

a庫20151212

B

2520108

庫

（1）若甲庫運(yùn)往4庫糧食x噸，請(qǐng)寫出將糧食運(yùn)往4B兩庫的總運(yùn)費(fèi)y（元）與%（噸）的函數(shù)關(guān)系式，

并求出光的取值范圍；

（2）當(dāng)甲、乙兩庫各運(yùn)往4,B兩庫多少噸糧食時(shí)，總運(yùn)費(fèi)最省，最省的總運(yùn)費(fèi)是多少？

【變式3］（22-23八年級(jí)下.貴州.期末）赫章櫻桃素有“春果第一枝”之稱，備受廣大消費(fèi)者青睞，櫻

桃成熟之際總是遠(yuǎn)銷貴陽、昆明和成都等地，赫章已成為名副其實(shí)的“中國(guó)櫻桃之鄉(xiāng)赫章某櫻桃種

植基地欲將〃噸櫻桃運(yùn)往貴陽、昆明和成都三地銷售，要求：①運(yùn)往各地的櫻桃質(zhì)量均為整數(shù)噸；②

運(yùn)往成都的櫻桃質(zhì)量是運(yùn)往貴陽的櫻桃質(zhì)量的2倍.設(shè)安排x噸櫻桃運(yùn)往貴陽.

（1）當(dāng)幾=20時(shí)：

①根據(jù)表中的已有信息將表補(bǔ)充完整.

貴陽昆明成都合計(jì)

櫻桃質(zhì)量/噸X20

19

560%

運(yùn)費(fèi)/元300x500x

+1600

②若運(yùn)往昆明的櫻桃的質(zhì)量不多于運(yùn)往貴陽的櫻桃質(zhì)量，且總運(yùn)費(fèi)不超過5520元，則具體有哪幾種

運(yùn)輸方案?

⑵若總運(yùn)費(fèi)為7360元，求"的最小值.

考點(diǎn)16：一次函數(shù)的應(yīng)用一一行程問題

典例16：（23-24八年級(jí)下?江蘇南通?階段練習(xí)）甲、乙兩車從A城出發(fā)勻速行駛至B城.在整個(gè)行

駛過程中，甲、乙兩車離開A城的距離y1（千米）、y2（千米）與甲車行駛的時(shí)間r（小時(shí)）之間的

函數(shù)關(guān)系如圖所示.

（1）A,2兩城相距千米；

（2）分別求出甲乙兩車離開A城的距離y1和丫2關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；

（3）乙車行駛過程中，當(dāng)甲、乙兩車相距50千米時(shí)，求出乙車行駛的時(shí)間.

【變式1］（22-23八年級(jí)下?吉林長(zhǎng)春?期中）小林同學(xué)從家出發(fā)，步行到離家a米的公園散步，速度

為50米/分鐘，哥哥到達(dá)公園后立即以原速返回家中，兩人離家的距離y（米）（分鐘）的函數(shù)關(guān)系如

20

(2)求CD所在直線的函數(shù)表達(dá)式；

(3)小林出發(fā)多長(zhǎng)時(shí)間與哥哥第二次相遇?

【變式2](23-24八年級(jí)下.上海金山?期中)小明和爸爸同時(shí)從家騎自行車去圖書館，爸爸先以150

米/分的速度騎行一段時(shí)間，休息了5分鐘，再以m米/分的速度到達(dá)圖書館，小