新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第1講集合與常用邏輯用語(yǔ)

（若P=v且夕#"，則P是夕的充分不必要條件）

、若"#夕且g=>“則P是0的必要不充分條件）

充分條件、必要條件、充要條件

若「二為旦"則p是q的的充要條件）

《若夕今夕旦夕#p,則p是夕的既不充分也不必不條件）

~一—一—全稱(chēng)量詞與全稱(chēng)量詞命題

全稱(chēng)量詞與存在量詞K存在量詞與存在量詞命題

常用邏輯用語(yǔ)

’全稱(chēng)量詞命題p:VN￡M/（2的否定r尸為孔?！?M,v沁）

X題…

如={x|p(x)},B={x\q(x)}t^AQB,則夕=?

常用結(jié)論設(shè)N={x|p(x)}I={x|夕(x)}，若力*B,則夕=［旦夕#p

={x|p(x)},B={x|夕(x)},若Z=Bf則〃

知識(shí)點(diǎn)1:元素與集合

1、集合的含義與表示

某些指定對(duì)象的部分或全體構(gòu)成一個(gè)集合.構(gòu)成集合的元素除了常見(jiàn)的數(shù)、點(diǎn)等數(shù)學(xué)對(duì)象外，還可以

是其他對(duì)象.

2、集合元素的特征

（1）確定性：集合中的元素必須是確定的，任何一個(gè)對(duì)象都能明確判斷出它是否為該集合中的元素.

（2）互異性：集合中任何兩個(gè)元素都是互不相同的，即相同元素在同一個(gè)集合中不能重復(fù)出現(xiàn).

（3）無(wú)序性：集合與其組成元素的順序無(wú)關(guān).

3、元素與集合的關(guān)系

元素與集合之間的關(guān)系包括屬于（記作aeA）和不屬于（記作。箔A）兩種.

4、集合的常用表示法

集合的常用表示法有列舉法、描述法、圖示法（韋恩圖）.

知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)?/p>

（1）列舉法

把集合的元素一一列舉出來(lái)，并用花括號(hào)括起來(lái).

（2）描述法

在花括號(hào)內(nèi)先寫(xiě)上表示這個(gè)集合元素的一般符號(hào)及取值范圍，再畫(huà)一條豎線(xiàn)，在豎線(xiàn)后寫(xiě)出這個(gè)集合

中元素所具有的共同特征.

5、常用數(shù)集的表示

數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集

符號(hào)NN*或N.ZQR

知識(shí)點(diǎn)2：集合間的基本關(guān)系

（1）子集：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A、如果集合A中任意一個(gè)元素都是集合3中的元素，我們

就說(shuō)這兩個(gè)集合有包含關(guān)系，稱(chēng)集合A為集合8的子集,記作4=3（或824），讀作“A包含于3”

（或“3包含人”）.

（2）真子集：對(duì)于兩個(gè)集合A與3，若AgB，且存在beB，但60A，則集合人是集合臺(tái)的真子

集，記作AUB（或B袁A）.讀作“A真包含于3”或“3真包含A

（3）相等：對(duì)于兩個(gè)集合A與3，如果4=3，同時(shí)3=4，那么集合A與3相等，記作4=3.

（4）空集：把不含任何元素的集合叫做空集，記作0；0是任何集合的子集，是任何非空集合的真

子集.

（5）若有限集A中有〃個(gè)元素，則A的子集有2"個(gè)，真子集有2"一1個(gè)，非空子集有2"-1個(gè)，非空真

子集有2"-2個(gè).

知識(shí)點(diǎn)3：集合的基本運(yùn)算

（1）交集：由所有屬于集合A且屬于集合3的元素組成的集合，叫做A與3的交集，記作

即AcB={x|尤eA且xe8}.

（2）并集：由所有屬于集合A或?qū)儆诩?的元素組成的集合，叫做A與3的并集，記作

即Au8={x|xwA或xe8}.

（3）補(bǔ)集：對(duì)于一個(gè)集合A,由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱(chēng)為集合A相對(duì)于全

集U的補(bǔ)集，簡(jiǎn)稱(chēng)為集合A的補(bǔ)集，記作C°A,即CuA={x|xeU,且xeA}.

知識(shí)點(diǎn)4：集合的運(yùn)算性質(zhì)

（1）AC|A=A>AQ0=0>AnB=BClA>Ac3=A，AnBcB.

（2）A|JA=A.A[J0=A，A\JB^B\JA>ACAOB-BCAUB.

（3）An（GA）=0，AU（QA）=。，CU（CUA）=A.

（4）AcJ?=AoAu8=3oA=3o疫8=VA<^>Ary?vB=0

（5）Q（AC3）=（QA）U0B）,Q（AU砂=（QA）Q?B）.

知識(shí)點(diǎn)5：充分條件、必要條件、充要條件

1、定義

如果命題“若p,則為真（記作0=q）,則p是q的充分條件；同時(shí)q是p的必要條件.

2、從邏輯推理關(guān)系上看

（1）若0=q且"入p,則p是q的充分不必要條件；

（2）若04q且q=>p,則p是q的必要不充分條件；

（3）若0=q且q=p,則p是q的的充要條件（也說(shuō)p和q等價(jià)）；

（4）若0%4且44p，則p不是q的充分條件，也不是q的必要條件.

對(duì)充分和必要條件的理解和判斷，要搞清楚其定義的實(shí)質(zhì)：p=q,則p是q的充分條件，同時(shí)q是

p的必要條件.所謂“充分”是指只要p成立，q就成立；所謂“必要”是指要使得p成立，必須要q成立

（即如果4不成立，則p肯定不成立）.

知識(shí)點(diǎn)6：全稱(chēng)量詞與存在量詞

（1）全稱(chēng)量詞與全稱(chēng)量詞命題.短語(yǔ)“所有的”、“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱(chēng)量詞，并用符號(hào)

“V”表示.含有全稱(chēng)量詞的命題叫做全稱(chēng)量詞命題.全稱(chēng)量詞命題“對(duì)M中的任意一個(gè)x,有0。)成立“可

用符號(hào)簡(jiǎn)記為“VxeM,p(x)”，讀作“對(duì)任意x屬于Af,有p(元)成立

(2)存在量詞與存在量詞命題.短語(yǔ)“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符

號(hào)“三”表示.含有存在量詞的命題叫做存在量詞命題.存在量詞命題“存在M中的一個(gè)/,使0(無(wú)。)成立”

可用符號(hào)簡(jiǎn)記為“王產(chǎn)(%)”，讀作“存在M中元素玉,使p(x0)成立"(存在量詞命題也叫存在性命

題).

知識(shí)點(diǎn)7：含有一個(gè)量詞的命題的否定

(1)全稱(chēng)量詞命題p:VxeM,P(x)的否定為玉,-.p(x0).

(2)存在量詞命題p:玉°^M,p(x0)的否定為VxeM,—；p(x).

題型一：集合的表示：列舉法、描述法

【典例1-1】已知集合A={T,O,1},B=[m\m2,則集合8中所有元素之和為()

A.0B.1C.-1D.也

【答案】C

【解析】根據(jù)條件分別令蘇-1=-1,0,1,解得%=0,土1,土應(yīng),

又〃2—IgA,所以加=-1，土B=1-1,^2,-^21,

所以集合8中所有元素之和是-1,

故選：C.

【方法技巧】

1、列舉法，注意元素互異性和無(wú)序性，列舉法的特點(diǎn)是直觀(guān)、一目了然.

2、描述法，注意代表元素.

【變式1-1】已知集合A=[sinf%eN,且OVZV”，則集合A的元素個(gè)數(shù)為()

A.3B.2C.4D.5

【答案】A

【解析】當(dāng)上=0時(shí)，sin—=sinO=O,

4

當(dāng)k=1時(shí)，sin—=sin—=,

442

當(dāng)左=2時(shí)，sin—=sin—=sin—=1,

442

j_Qn-f-?%兀-3兀v2

Z3K=39sin——sin——---，

442

、[/T.RL-krc.4兀.八

當(dāng)左=4時(shí)*,sm-=sm一=sm兀=0,

44

故4=卜,乎,1],共三個(gè)元素.

故選：A.

題型二：集合元素的三大特征

【典例2-1】設(shè)集合4=12,3,/-3.,。+：+7：,B=\\a-2\,3],已知4eA且4*3,貝印的取值集合

為—,

【答案】{4}

【解析】因?yàn)?eA,即4e[2,3,a?_3a,an---i-V1,

2

所以〃2—3〃=4或a"1F7=4,

a

若〃2—3〃=4,貝!]。=-1或I=4；

2、

若Q~iF7=4,即〃2+3Q+2=0，貝!Ja=—1或a=—2.

a

2

由。2—3Q與a+—+7互異，得aw—1,

a

故Q=-2或a=4,

又4任6,Bp4^{|a—21,3},所以|a—2|w4,解得aw—2且aw6,

綜上所述，〃的取值集合為{4}.

故答案為：{4}

【典例2-2]由a,-a,時(shí),而構(gòu)成的集合中，元素個(gè)數(shù)最多是—.

【答案】2

【解析】當(dāng)〃=0時(shí)，。=-。=同=77=0,此時(shí)元素個(gè)數(shù)為1；

當(dāng)d*0時(shí)，=\a\=|<2，a>°,

[—a,a<0

所以一定與〃或-〃中的一個(gè)一致，此時(shí)元素個(gè)數(shù)為2.

所以由a,-a,|a|,、/7構(gòu)成的集合中，元素個(gè)數(shù)最多是2個(gè).

故答案為2

【典例2-3】已知等差數(shù)列｛%｝的公差為集合S=｛cosa“|〃eN*｝,若5=｛?；兀瑒t必=()

A.-1B.--C.0D.-

22

【答案】B

2元2Ji2冗

【解析】依題意，等差數(shù)列｛%｝中，a?=?1+(?-D-y=yn+(?1-y),

顯然函數(shù)尸cos號(hào)2冗〃+(4-2守7r的周期為3,而〃GN*,即COS%最多3個(gè)不同取值，又

{cos〃〃|〃wN*}={〃,/?},

貝！J在cosa】,cosa2,cosa3中,cosax=cosa?豐cosa3或cosaxwcosa2=cosa3,

27r27rTT

于是有cos。=cos(e+-^-),即有e+(e+彳)=2E,左￡z,解得。=而一彳,左cz,

LLt、r,r1z1兀、r/7兀、471.71.J27n1

所以keZ,a/?=cos(E—§)cosKE-§)+-^-］=-cos1(E—§)cosE=-cosATTCOS—=--.

故選：B

【方法技巧】

1、研究集合問(wèn)題，看元素是否滿(mǎn)足集合的特征：確定性、互異性、無(wú)序性。

2、研究?jī)蓚€(gè)或者多個(gè)集合的關(guān)系時(shí)，最重要的技巧是將兩集合的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系。

【變式3-1］含有3個(gè)實(shí)數(shù)的集合既可表示成｛a,\”,又可表示成付M+b,。｝,則/。22+*22=

【答案】1

【解析】因?yàn)椴?\1卜｛1,。+6,0｝,

b

顯然awO,故一=0,貝!jZ?=O；

a

此時(shí)兩集合分別是｛a,L0｝,｛“,a\。｝，

貝1Ja2=1f解得a=1或一1.

當(dāng)a=l時(shí)，不滿(mǎn)足互異性，故舍去；

當(dāng)a=-1時(shí)，滿(mǎn)足題意.

所以a2°22+產(chǎn)2=㈠嚴(yán)+Q2022=1

故答案為：1.

【變式3-2］已知｛N依2一4了+1=。｝=｛6｝,其中a,beR,則。=()

A.0B.—或uC.■D.—

4224

【答案】B

【解析】由題意知：b為方程依2一4工+1=0的根，

當(dāng)a=0時(shí),

ab1-4Z?+l=0,1

當(dāng)aw0時(shí),二次方程有兩個(gè)相同的根，則有，此tl時(shí)b=

16—4。=02

故選:B.

題型三：元素與集合間的關(guān)系

【典例3?1】已知％小,2,12},貝也的取值為（）

A.1B.1或2C.。或2D.。或1或2

【答案】C

【解析】由元素和集合關(guān)系可知：％=1或工=2或無(wú)=/

解的x=0或1或2,

由集合的性質(zhì)可知，當(dāng)尤=1時(shí)，{1,2,1}不滿(mǎn)足互異性,

所以x的取值為0或2.

故選：C.

【典例3-2］若集合A={x|2?u-3>0,〃?eR},其中2e/且l^A,則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（）

33333333

A.B.C.D.

492492492452

【答案】A

2mx2-3>0人，33

【解析】由題意可得,解得巳〈根

2mxl-3<042

故選：A.

【方法技巧】

1、一定要牢記五個(gè)大寫(xiě)字母所表示的數(shù)集，尤其是N與N*的區(qū)別.

2、當(dāng)集合用描述法給出時(shí)，一定要注意描述的是點(diǎn)還是數(shù).

【變式3-1］已知A=小2一奴+1?（）,若2e兒且3髭A,貝！的取值范圍是（）

510510510

A.B.9C.—,+00D.—00——

25T2~3~23

【答案】A

【解析】由題意得4—2a+l<0且9—3a+l>0,解得

故選：A

題型四：集合與集合之間的關(guān)系

【典例4-1】已知集合4={加1<%<2024},B={x\x<a],若4=3,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(2024,+oo)B,[2024,+oo)C.(—8,2024]D.(-oo,2024)

【答案】B

【解析】集合A={%|l<x<2024},B=[x\x<a\,又貝!JaN2024,

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[2024,+8).

故選：B

【典例4?2】已知集合加二卜卜二?|+卜￡2,仆=卜％=5+1￡2；,不￡加，則/與N的關(guān)系是

)

A.x0^NB.x0^N

C.%￡/且為)￡ND.不能確定

【答案】A

【解析】M=,x|x=g+；=^^/ez},N=1x|x=：+；=?#ez},

由上eZ,可得2A+1是奇數(shù)，上+2是整數(shù)，

所以MqN,因?yàn)椴籈M,所以XOWN.

故選：A.

【方法技巧】

1、注意子集和真子集的聯(lián)系與區(qū)別.

2、判斷集合之間關(guān)系的兩大技巧：

(1)定義法進(jìn)行判斷

(2)數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行判斷

【變式4-1】設(shè)集合A={L2a+l},B={3,a-l,3a-2},若4=3,則"()

A.-2B.-1C.1D.3

【答案】C

【解析】由已知得，若2“+1=3,解得a=l,

此時(shí)A={1,3},3={0,1,3},符合題意；

若2a+l=a—l,解得〃=—2,

此時(shí)A={1,-3},B={-8,-3,3}，不符合題意；

若24+1=30-2,解得々=3,止匕時(shí)A={1,7},8={2,3,7},不符合題意，

綜上所述,a=1.

故選:C.

【變式4-2】已知集合4=3卜=2，+1},2={x|y=ln（6-x）,xeZ},集合C=An'則集合C的子集的

個(gè)數(shù)為.

【答案】16

【分析】分別求出函數(shù)的值域、定義域化簡(jiǎn)集合A,B,再利用交集的定義求出集合C即可作答.

【詳解】集合&==2工+1}={y|y>1},B={尤|、=ln（6-x）,無(wú)ez}={尤[x<6,xeZ},

則集合C=AIB={2,3,4,5},

所以集合C的子集的個(gè)數(shù)為24=16.

故答案為：16

題型五：集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算

【典例5-1】已知集合。=R,4=卜卜=4^1+^^},3=卜卜一,則必（AUB）=（）

A.[0,1）B.（0,1]

C.（-co,0]kj（l,+co）D.（f0）u[l,+co）

【答案】B

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)y=S=+C的定義域?yàn)閧1},

所以函數(shù)y=+K萬(wàn)值域?yàn)殚浚?/p>

所以A={0},

不等式x-f<0的解集為{x[x<?；騲>l},

所以8={x|無(wú)<0或x>l},

AuB={x|xVO或尤>1},

則和（408）={引0<了41}.

故選：B.

【典例5-2】對(duì)于任意集合M,N,下列關(guān)系正確的是（）

A-M^NN=M^NB.麻v（MnN）=（M“W）U（%wN）

c.M^NN=M^ND.§Uw（MnA0=（MUv^）n（^uv^）

【答案】B

對(duì)于A：如圖所知，如U'N為區(qū)域①，所以加。為UNN=M,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：g°N（McN）為區(qū)域①和③；（加國(guó)"）為區(qū)域③，（guvN）為區(qū)域①，則

（麻N"）U（MUNN）也為為區(qū)域①和③；兩邊相等，故B正確；

對(duì)于C：（^DNN）為區(qū)域①，Me3v/V為區(qū)域①，不等于區(qū)域②（區(qū)域②為VeN）,故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D：與UN（MCN）為區(qū)域①和③；而（加口”）為區(qū)域③，（AVNN）為區(qū)域①，所以

（麻NM）C（MVNN）為空集,所以D錯(cuò)誤；

故選：B.

【典例5-3]已知集合A={+14尤43},集合8={鄧-m4尤41+加}.若8=A,則機(jī)的取值范圍是（

A.（一e,2]B.[-1,3]C.[-3,1]D.[0,2]

【答案】A

【解析】當(dāng)相<0時(shí)，B=M滿(mǎn)足

\1—1712一1

當(dāng)心0時(shí)，若只需L，解得0<〃舊2

[1+機(jī)V3

綜上，用的取值范圍是（-與2]

故選：A.

【方法技巧】

1、注意交集與并集之間的關(guān)系

2、全集和補(bǔ)集是不可分離的兩個(gè)概念

【變式5-1】已知集合4={乂--尤-220},3={X|y=1M，貝!］風(fēng)A)cB=()

A.{x|0<x<11B.1x|0<x<2}

C.{x|-l<%<21D.{%|%>2}

【答案】B

2

［解析］因?yàn)锳={Nx-x-2>0］={x\x>2^tx<-l},

則gA={彳卜1<x<2},又8={x|y=Inx}={x|x>0},

所以(科4卜8={乂0<*<2}.

故選：B

【變式5-2】已知集合4={-1』，B={x|ax=l},若4口8=3,貝的取值集合為（）

A.{1}B.{—1}C.{-1,1}D.{—1,0,1}

【答案】D

【解析】由4口3=3，知因?yàn)?={-1/},B={x\ax=l],

若3=0,則方程Q=1無(wú)解，所以。=0滿(mǎn)足題意；

若則8={苫|辦=1}=1苫苫=L],

因?yàn)樗?=±1,則滿(mǎn)足題意a=±l；

a

故實(shí)數(shù)。取值的集合為{-L。1}.

故選：D.

題型六：容斥原理

【典例6-1】“四書(shū)五經(jīng)”是中國(guó)傳統(tǒng)文化瑰寶，是儒家思想的核心載體，其中“四書(shū)”指《大學(xué)》《中庸》

《論語(yǔ)》《孟子》.某大學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀“四書(shū)”的情況，隨機(jī)調(diào)查了200位學(xué)生，其中閱讀過(guò)《大學(xué)》

的有60位，閱讀過(guò)《論語(yǔ)》的有160位，閱讀過(guò)《大學(xué)》或《論語(yǔ)》的有180位，閱讀過(guò)《大學(xué)》且閱讀

過(guò)《論語(yǔ)》及《中庸》的有20位.則該校閱讀過(guò)《大學(xué)》及《論語(yǔ)》但未閱讀過(guò)《中庸》的學(xué)生人數(shù)與

該校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值是（）

A.0.1B.0.2

C.0.3D.0.4

【答案】A

【解析】如下圖，閱讀過(guò)《大學(xué)》且閱讀過(guò)《論語(yǔ)》的人數(shù)是160+60—180=40,

閱讀過(guò)《大學(xué)》及《論語(yǔ)》但未閱讀過(guò)《中庸》的學(xué)生人數(shù)是40—20=20,

由樣本估計(jì)總體，得所求比值為^=0.1.

故選：A

論晟\

《中庸》

【典例6-21一群學(xué)生參加學(xué)科夏令營(yíng)，每名同學(xué)參加至少一個(gè)學(xué)科考試.已知有100名學(xué)生參加了

數(shù)學(xué)考試，50名學(xué)生參加了物理考試，48名學(xué)生參加了化學(xué)考試，學(xué)生總數(shù)是只參加一門(mén)考試學(xué)生數(shù)的2

倍，也是參加三門(mén)考試學(xué)生數(shù)的3倍，則學(xué)生總數(shù)為()

A.108名B.120名C.125名D.前三個(gè)答案都不對(duì)

【答案】A

【解析】設(shè)只參加了數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)考試的學(xué)生數(shù)分別為X,y,z；

參加了兩門(mén)學(xué)科考試的同學(xué)中參加了數(shù)學(xué)和物理、物理和化學(xué)、化學(xué)和數(shù)學(xué)的學(xué)生數(shù)分別為c,a,b-.

同時(shí)參加了三門(mén)學(xué)科考試的學(xué)生數(shù)為加，如圖.

x+b+c+m=100

y+c+a+m=50

根據(jù)題意,

z+a+b+m=4S

x+y+z+a+Z?+c+機(jī)=2（x+y+z）=3m

前面三個(gè)等式相加，可得元+y+2+2(〃+b+c)+3機(jī)=198.

3YYI

由第四個(gè)等式可得尤+y+z=—%，a+b+c=一,

-22

3

因止匕一+m+3m=198,

2

【方法技巧】

容斥問(wèn)題本身存在包容與排斥的一種計(jì)數(shù)問(wèn)題，所以我們?cè)谔幚磉@一類(lèi)問(wèn)題的時(shí)候必須要注意扣除掉

重復(fù)的部分，也要保證沒(méi)有遺漏，為了使重疊部分不被重復(fù)計(jì)算，人們研究出一種新的計(jì)數(shù)方法，這種方

法的基本思想是：先不考慮重疊的情況，把包含于某內(nèi)容中的所有對(duì)象的數(shù)目先計(jì)算出來(lái)，然后再把計(jì)數(shù)

時(shí)重復(fù)計(jì)算的數(shù)目排斥出去，使得計(jì)算的結(jié)果既無(wú)遺漏又無(wú)重復(fù)，這種計(jì)數(shù)的方法稱(chēng)為容斥原理.

【變式6-1】某班有45名同學(xué)參加語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)興趣小組.已知僅參加一個(gè)興趣小組的同學(xué)有20

人，同時(shí)參加語(yǔ)文和數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)有9人，同時(shí)參加數(shù)學(xué)和英語(yǔ)興趣小組的同學(xué)有15人，同時(shí)參加

語(yǔ)文和英語(yǔ)興趣小組的同學(xué)有11人，則同時(shí)參加這三個(gè)興趣小組的同學(xué)有人.

【答案】5

【解析】以集合A、3、C表示分別參加語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)興趣小組的學(xué)生，如下圖所示：

設(shè)同時(shí)參加這三個(gè)興趣小組的同學(xué)有X人，由圖可得20+(9-x)+(llr)+(15-x)+x=55-2x=45,

解得x=5.

故答案為：5.

題型七：集合的創(chuàng)新定義運(yùn)算

【典例7-1】已知全集。且集合A、3是非空集合，定義4<8)8={X］》任4。8且彳€①(入門(mén)3)},已知

A={x|-2<x<5},3={無(wú)卜<3},則=.

【答案】{g5}

【解析】—={小<5},d(AcB)={x|x<—2或x>3},

因?yàn)锳(8)B={x|xeAu3且xe街(AcB)},所以A8)8={x|xN5}.

故答案為：{小25}.

【典例7-2］若規(guī)定集合E={0』,2,……，科的子集{。1，4,4,…C”}為E的第左個(gè)子集，其中

左=2。+2%+2%+……+2%，，則E的第211個(gè)子集是.

【答案】{0,146,7}

【解析】因27=128<211,2^=256>211,則E的第211個(gè)子集必包含7,此時(shí)211—128=83；

又因26=64<83,27=128>83,則E的第211個(gè)子集必包含6,此時(shí)83-64=19；

又24=16<192=32>19則后的第211個(gè)子集必包含4,此時(shí)19-16=3;

又，=2<3,2?=4>3,則E的第211個(gè)子集必包含1：而2°=1.

綜上所述，E的第211個(gè)子集是{0,1,4,6,7}.

故答案為：為』,4,6,7}.

【方法技巧】

1、集合的創(chuàng)新定義題核心在于讀懂題意。讀懂里邊的數(shù)學(xué)知識(shí)，一般情況下，它所涉及到的知識(shí)和

方法并不難，難在轉(zhuǎn)化.

2、集合的創(chuàng)新定義題，主要是在題干中定義“新的概念，新的計(jì)算公式，新的運(yùn)算法則，新的定理”,

要根據(jù)這些新定義去解決問(wèn)題，有時(shí)為了有助于理解，還可以用類(lèi)比的方法進(jìn)行理解。

【變式7-1］定義集合運(yùn)算：AQB={Z\Z=xy{x+y\x^A,y^B\,集合A={0,l},8={2,3},則集合

A08所有元素之和為—.

【答案】18

【解析】依題意，當(dāng)尤=0,y=2或y=3時(shí)，z=0；當(dāng)尤=l,y=2時(shí)，z=6；

當(dāng)x=l,y=3時(shí)，z=12,因此集合A。3={0,6,12},

所以集合A08所有元素的和為0￡+12=1&

故答案為：18

【變式7-2］如果集合U存在一組兩兩不交（兩個(gè)集合交集為空集時(shí)，稱(chēng)為不交）的非空子集

A，A,---，A（^^N*^>2）,且滿(mǎn)足4U&UL\JAk=U,那么稱(chēng)子集組A，…構(gòu)成集合U的一個(gè)人劃

分.若集合/中含有4個(gè)元素，則集合/的所有劃分的個(gè)數(shù)為（）

A.7個(gè)B.9個(gè)C.10個(gè)D.14個(gè)

【答案】D

【解析】不妨設(shè)/={1,2,3,4},則:

/的2劃分有{2,3,4}U{1},{1,3,4}U{2},{1,2,4}U{3},{1,2,3}U{4},{1,2}U{3,4},{1,3}|J{2,4},

{1,4}J{2,3};

/的3劃分有{1,2}U{3}U{4},{1,3}U{2}U{4},{1,4}U{2}U{3},{2,3}U{1}U{4},{2,4}U{1}U{3},

{3,4}U{1}U{2},

/的4劃分只有{1}U{2}U{3}U{4}.

綜上，/的劃分共有7+6+1=14個(gè)，D正確.

故選：D.

題型八：充分條件與必要條件的判斷

【典例8-1】已知向量2=（2,4）石=（3,—1）,則“左=月”是“（Z+砌-砌”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】當(dāng)R+碼（4-kb^時(shí)，（〃+左?（a-k耳=0,即7_左2片=0,

故（22+42）_日32+（-1月=0,解得左=±0.

故“左=0”是“R+kb）1（?-kb）”的充分不必要條件.

故選：A

【典例8-2]已知實(shí)數(shù)a>b>0,則下列選項(xiàng)可作為。-6<1的充分條件的是（）

A.s[a-4b=1B.=

ba2

a

C.2-2*=1D.log2a-log2Z?=l

【答案】C

【解析】取。=4,6=1,滿(mǎn)足右-四=1,但是推不出a—6<1,故排除A；

取。=2,b=l,滿(mǎn)足=:，但是推不出故排除B；

ba2

取a=4,b=2,滿(mǎn)足logz^Tog2b=1,但是推不出。一6<1,故排除D；

由2"-2"=1，a>b>0,可推出2"=2"+l<2"i，即。<6+1,即?！?<1,故充分性成立.

故選：C.

【方法技巧】

1、要明確推出的含義，是p成立q一定成立才能叫推出而不是有可能成立.

2、充分必要條件在面對(duì)集合問(wèn)題時(shí)，一定是小集合推出大集合，而大集合推不出小集合.

ab

【變式8-1】設(shè)。，beR,則“"<?！笔恰巴?阿=?！钡模ǎ?/p>

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

fa>0[a<Qab

【解析】當(dāng)"VO時(shí)，7八或7八，則.+問(wèn)二°，即充分性成立；

[b<0[Z?>0口|

abbb

當(dāng)「f+癡=°時(shí)，一=一一>0>貝UabvO，即必要性成立；

例aa

ab

綜上可知，“必<0”是“時(shí)+問(wèn)=?！钡某湟獥l件.

故選：C.

【變式8-2]是“方程a/=1一打2表示的曲線(xiàn)為橢圓,，的（）

A.充要條件B.必要不充分條件

C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【解析】

[解法一]

方程ax2=l-by2即方程ax2+by2=l,表示橢圓的充分必要條件是。>0/>0,。力，，

顯然是“。>0,6>0,。片6”既不充分也不必要條件，

故0<6<1”是“方程tn?=1一加2表示的曲線(xiàn)為橢圓，，的既不充分也不必要條件，

［解法二］

當(dāng)〃=>=；時(shí)，滿(mǎn)足o<z?<r,,此時(shí)題中方程可化為：尤z+；/=牝表示的曲線(xiàn)是圓而不是橢

22

工+上=1

圓，當(dāng)。=1,6=4時(shí)，不滿(mǎn)足0<b<r,只是題中方程可化為：I2，表示中心在原點(diǎn),

半長(zhǎng)軸為1,半短軸為!的橢圓，

2

故：0<6<1”是“方程加=1-制2表示的曲線(xiàn)為橢圓,，的既不充分也不必要條件，

故選：D

題型九：根據(jù)充分必要條件求參數(shù)的取值范圍

【典例9-1］給出如下三個(gè)條件：①充要②充分不必要③必要不充分.請(qǐng)從中選擇補(bǔ)充到下面橫線(xiàn)上.

已知集合尸={H-1VXW5},S=［x\2.-m<x<3+2tn^,存在實(shí)數(shù)加使得“xeP”是“無(wú)eS”的___條件.

【答案】②，③

【解析】①"xe夕是“尤eS”的充要條件，則2-祖=-1,3+2加=5,此方程無(wú)解，故不存在實(shí)數(shù)加，則不

符合題意；

②"xe尸"是"xeS”的充分不必要條件時(shí)，2-"zV-l,3+2m>5,2-m<3+2m；解得加23,符合題意;

③“xeP"是"xeS”的必要不充分條件時(shí)，當(dāng)S=0,2-m>3+2m,得機(jī)<；；

當(dāng)SH0,需滿(mǎn)足2-〃ZW3+2〃2,3+2m<5,解集為

綜上所述，實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍-人加<上

33

故答案為：②，③.

【典例9-21二次函數(shù)/。)=以2+2%—1在區(qū)間(-8,1)上單調(diào)遞增的一個(gè)充分不必要條件為()

A.a>lB.a<—2C.——<a<0D.0<?<l

2

【答案】c

【解析】因?yàn)槎魏瘮?shù)/(外=辦2+2天_1在區(qū)間(3,1)上單調(diào)遞增，

所以1?解得—lVa<0.因?yàn)橹挥蠧是其真子集,

——1,

故選：C

【方法技巧】

1、集合中推出一定是小集合推出大集合，注意包含關(guān)系.

2、把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參

數(shù)的不等式求解.在充分必要條件求解參數(shù)取值范圍時(shí)，要注意端點(diǎn)能否能取到，容易出錯(cuò).

【典例9-3】“當(dāng)xe[-2,l]時(shí)，不等式雙3_爐+4丫+3之0恒成立”的一個(gè)必要不充分條件為（）

A.ae.[—5,—1]B.ae[-7,-1]

C.ae[—6,—2]D.ae[—4,—3]

【答案】B

【分析】分尤=0,0<%41,-24尤<0三種情況求出使不等式/—無(wú)2+4尤+320恒成立的。的取值范圍，從

而可求出使其成立的一個(gè)必要不充分條件

【詳解】當(dāng)x=0時(shí)，不等式恒成立，

當(dāng)0<x<l時(shí)，不等式加_》2+以+320恒成立，等價(jià)于。2~1,

廠(chǎng)—4x—3

當(dāng)一2Wx<0時(shí)，不等式辦3_尤2+以+320恒成立，等價(jià)于aW

x2-4x-3

貝1]丁=一3/-4產(chǎn)+，，y=-9Z2-8Z+1,

可知函數(shù)y=-3/-4/2+/在11,小上遞增，在_1）,1,+j上遞減，

所以當(dāng)xe（0,l],即以工—）時(shí),當(dāng)以1時(shí),小=-6,即〃幻小=-6,所以心-6,

當(dāng)xe[-2,0）時(shí)，即/《一鬼一；[時(shí)，函數(shù)》=-3/-4產(chǎn)+/在（3,-1）遞減，在[-1,鼻上遞增，所以當(dāng)/=-!

時(shí)）>向1>=-2,所以aV—2,

綜上，當(dāng)xe[-2,l]時(shí)，不等式加_爐+?+320恒成立的充要條件為-6<a<_2,

所以ae[-7,-l]是“當(dāng)xe[-2,1]時(shí)，不等式/+以+3學(xué)0恒成立，，的一個(gè)必要不充分條件，

故選:B

【變式9-1]已知命題P：“方程a?+2尤+1=0至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根”，若?為真命題的一個(gè)必要不充分條件為

a<m+l,則實(shí)數(shù)用的取值范圍是

【答案】m>0

[解析】若命題P：“方程以2+2尤+1=0至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根”為真命題，

a=0時(shí)，2元+1=0,%=-1，符合題意；

2

21

當(dāng)a<0時(shí)，△=4—4a>0,且玉+々=——>0,玉%2=一<。，

aa

則此時(shí)方程依2+2%+1=0有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，符合題意；

當(dāng)〃〉0時(shí)，由A=4—4〃=。，解得a=l,

止匕時(shí)方程為爐+2》+1=（》+1）2=0,x=-l符合題意；

21

由△=4-4a>0解得0<。<1,止匕時(shí)%]+羽=——<0,玉羽=—>0,

a~a

則此時(shí)方程加+2x+l=0有兩個(gè)負(fù)根，符合題意.

綜上所述，。為真命題時(shí)，。的取值范圍是（-吃1].

若P為真命題的一個(gè)必要不充分條件為aW7"+l,

貝ljm+1>1,m>0.

故答案為：m>0

【變式9-2】已知集合A=，x|三|<。1,B={x|x2-2or+a2-l<0},若“xeA”是“xe3”的必要非充分條

件，則實(shí)數(shù)”的取值范圍是—.

【答案】{。1一1<。<3}

【解析】由題意可得A=[J^|<0,={R—2<X<4},B=（%|x2-2ar+t72-l<0}={%|a-l<x<a+l},

若“xeA”是“xeB”的必要非充分條件，則集合B是集合A的真子集，

貝4"一且等號(hào)不能同時(shí)成立,解得一1<。<3,

所以實(shí)數(shù)°的取值范圍是{。1-心。43}.

故答案為：

【變式9-3】已知集合人=[-2,5],B=[m+l,2m-]].若“xe3”是“xeA”的充分不必要條件，則〃?的取

值范圍是（）

A.（f,3]B.（2,3]C.0D.[2,3]

【答案】B

【分析】若“xdB”是“xdA”的充分不必要條件，則列出不等式組求解即可.

【詳解】若是“xdA”的充分不必要條件，則BUA,

m+1<2m-1

所以“+l"2,解得2〈加W3,即加的取值范圍是（2,3].

2m-1<5

故選：B.

題型十：全稱(chēng)量詞命題與存在量詞命題的真假

【典例10-1】下列命題中的假命題是（）

A.VxeR,>0B.BxeR,%>尤

C.VxeR,2兇>1D.HXGR,tanx>1

【答案】C

【解析】對(duì)于A,因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)的值域?yàn)椋?,+"）,所以VxeR,>0,A對(duì);

對(duì)于B,當(dāng)尤=9時(shí)，XL[1K1>1,B對(duì)；

4⑷24

對(duì)于C,當(dāng)x=0時(shí)，2W=2°=1-C錯(cuò)；

對(duì)于D,當(dāng)x=E時(shí)，tanx=tan—=^/3>1,D對(duì).

33

故選：C.

【典例10?2】下列命題正確的是（）

A.“HreR,燥】（爐+1）>°”的否定為假命題

2

B.若“VxcR,加+4x+1>0”為真命題，貝!

C.若。>0,Z?>0,且a+3h+M=9,則Q+3〃N6

D.〃+b=0的必要不充分條件是，=-1

b

【答案】C

【分析】A選項(xiàng)，由題可知“*eR,l°gj尤的否定，后可判斷選項(xiàng)正誤；

2

B選項(xiàng)，利用全稱(chēng)命題定義可判斷選項(xiàng)正誤；

C選項(xiàng)，由基本不等式可判斷選項(xiàng)正誤；

D選項(xiàng)，由充分條件，必要條件定義可判斷選項(xiàng)正誤.

【詳解】對(duì)于A：Y+iNi,.?.1%卜2+1）或°恒成立，則xeR,log/尤為假命題，故A錯(cuò)誤;

22

對(duì)于B：當(dāng)a=0時(shí)，4x+l>0不恒成立，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：,二9一.+36)弓.("丁)，解得。+3626,故C正

確；

對(duì)于D：當(dāng)。=匕=0時(shí)，得不到：=-1,但當(dāng)￡=一1時(shí)，必有a+6=0,所以f=-1是。+匕=0的充分不必

bbb

要條件，故D錯(cuò)誤.

故選：C

【方法技巧】

1、全稱(chēng)量詞命題與存在量詞命題的真假判斷既要理解漢字意思，又要使用數(shù)學(xué)結(jié)論.

2、全稱(chēng)量詞命題和存在量詞命題的真假性判斷相對(duì)簡(jiǎn)單，注重細(xì)節(jié)即可.

【變式10-1】下列命題中，既是存在量詞命題又是真命題的是()

A.3^eR,l+siru<0

B.每個(gè)等腰三角形都有內(nèi)切圓

C.VxeR,x2+2x>-1

D.存在一個(gè)正整數(shù)，它既是偶數(shù)又是質(zhì)數(shù)

【答案】D

【解析】B與C均為全稱(chēng)量詞命題，A