第十九章與圓有關(guān)的計算

“2024安徽］若扇形AOB的半徑為6,NAOB=120。,則.而的長為（）

A.2兀B.3兀C.471D.6兀

2J2023.山東東營］若某圓錐側(cè)面展開圖的面積是15兀，母線長是5,則這個圓錐的底面圓的半徑是

()

A.3B.4C.5D.6

3.［2023?安徽］如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于。O,連接OC,OD,則/BAE-/COD=()

A.60°B.54°C.48°D,36°

4.［2023?四川雅安］如圖，某小區(qū)要綠化一扇形空地AOB,準(zhǔn)備在小扇形COD內(nèi)種花，在其他區(qū)域內(nèi)（陰影部

分）種草.現(xiàn)測得/AOB=120o,OA=15m,OC=10m,則種草區(qū)域的面積為（）

257r?1257r2

A.——BD.-----

33

2507ro125

c.-------Dn.——2

33

5.［2024.四川廣安］如圖，在等腰三角形ABC中,AB=AC=10,/C=70。以AB為直徑作半圓，與AC,BC分別相

交于點(diǎn)D,E,則DE的長為()

7TD57r107T

B.—Cr.-----

99。?等

第6題圖

6.［2023?內(nèi)蒙古赤峰］某班學(xué)生準(zhǔn)備表演課本劇，現(xiàn)要制作一頂圓錐形的小丑帽.如圖，這個圓錐的底面圓的周長

為2（kcm,母線AB的長為30cm.為了使帽子更美觀，要粘貼彩帶進(jìn)行裝飾，其中需要粘貼一條從點(diǎn)A處開始,

繞側(cè)面一周又回到點(diǎn)A的彩帶（彩帶寬度忽略不計）,這條彩帶的最短長度是（）

A.30cmB.30V3cm

C.60cmD.20兀cm

7.[2023福建俄國魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提到了著名的“割圓術(shù)、即利用圓的內(nèi)接正多邊形

逼近圓的方法來近似估算，指出“割之彌細(xì)，所失彌少.割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣”.“割

圓術(shù)”孕育了微積分思想，他用這種思想得到了圓周率兀的近似值為3.1416.如圖,。O的半徑為1,運(yùn)用“割圓術(shù)”，

以圓內(nèi)接正六邊形的面積近似估計。O的面積，可得兀的估計值為誓.若用圓內(nèi)接正十二邊形的面積作近似估計,

8.[2023?江蘇徐州]如圖，沿一條母線將圓錐的側(cè)面剪開并展平，得到一個扇形.若母線長1為6cm,扇形的圓心

角0為120°,則圓錐的底面圓的半徑r為cm.

9.[2023.湖南衡陽]用若干個全等的正五邊形排成圓環(huán)狀，其中3個正五邊形的位置如圖所示.若要完成這一圓環(huán)

的排列，共需要正五邊形的個數(shù)是.

10.[2023?內(nèi)蒙古包頭]如圖,正方形ABCD的邊長為2,對角線AC,BD相交于點(diǎn)O,以點(diǎn)B為圓心，對角線BD

的長為半徑畫弧，交BC的延長線于點(diǎn)E,則圖中陰影部分的面積為,

11.[2023?山東濰坊]如圖,正方形ABCD內(nèi)接于。O,在砂上取一點(diǎn)E,連接AE,DE,過點(diǎn)A作AGLAE,交。O

于點(diǎn)G,交DE于點(diǎn)F,連接CG,DG.

⑴求證:△AFD^ACGD;

⑵若AB=2,/BAE=30。,求圖中陰影部分的面積

12J2023.湖南懷化］如圖,AB是。O的直徑,P是。。外一點(diǎn),PA與。。相切于點(diǎn)A,C為OO上一點(diǎn)，連接PO,P

C,AC,OC,且PC=PA.

(1)求證:PC為。O的切線；

⑵延長PC與AB的延長線交于點(diǎn)D,求證:PD-OC=PAOD;

⑶若/?人：6=30。,0口=8,求圖中陰影部分的面積

180

2.A設(shè)這個圓錐的底面圓的半徑是R,則其底面圓的周長是2兀R，，這個圓錐側(cè)面展開圖的面積是jx27rR

X5=15兀，解得R=3.

3.D???五邊形ABCDE是正五邊形，

AABAE=（6-2）；18。。=108。，

乙COD=哈=72°,

???乙BAE-乙COD=108°-72°=36°.

4.B

5.C如圖，連接OD,OE.

VAB=AC,.\ZABC=ZC=70°.

VOE=OB,.\ZOEB=ZABC=70°,

???ZOEB=ZC=70°,/.OE/7AC.

在^ABC中,NA+NABC+NO180。，

AZA=180°-ZABC-ZC=180°-70°-70°=40°.

OA=OD==5,OE\\AC,

Z.A=/.ADO=40°=乙DOE,

踮的長為您在=%

1809

6.B?..圓錐的底面圓的周長為207ccm,

，圓錐的側(cè)面展開圖（扇形）的弧長為207ccm.

設(shè)該扇形的圓心角為n。，

則喘=20兀，解得n=120.

如圖，AABA'=120。,過點(diǎn)B作BCJ_AA于點(diǎn)C,

???/-BAA!=30。，

??.AC=AB-cos30°=30Xy=15bon),

AA'=2AC=30V3cm,

??.這條彩帶的最短長度是：30V3cm.

7.C如圖，AB是正十二邊形的一條邊，點(diǎn)O是正十二邊形的中心，過點(diǎn)A作AM±OB于點(diǎn)M.

在正十二邊形中，AA0B=360°+12=30°,

???AM=-OA=~,

22

■■■S^AOB=\OB-AM==

正十二邊形的面積為12X：=3,

3=l2X7T,7T=3,7TT的估計值為3.

8.2由題意得母線1=6cm,0=12O°,2仃=胃等解得r=2(cm).

lot)

9.10正五邊形每一個內(nèi)角的度數(shù)為|x180°x(5-2)=108°,

ZO=180°-(180°-108°)x2=36",

；?共需要正五邊形的個數(shù)是：360°十36。=10.

10.兀：四邊形ABCD是正方形，

；.AO=CO,DO=BO,AD=CD=BC,ZDBE=45°,

/.AAOD^ACOB(SSS),SAAOD=SACOB.

:正方形ABCD的邊長為2,

???BD=V22+22=2V2,

??_45nX(2招

??J陰影一3扇形DBE--------260一

H＞：(l)ilE0^：VAG±AE,

JZEAG=90°,.\ZEDG=ZEAG=90°.

??.四邊形ABCD是正方形，

.*.AD=CD,ZADC=90°.

?.?ZADF+ZFDC=ZCDG+ZFDC=90°,

???ZADF=ZCDG.

乙FAD=乙GCD,

在^AFD和^CGD中，｛AD=CD,

/-ADV=乙CDG,

：.AAFD^ACGD(ASA).

⑵如圖，過點(diǎn)D作DH±AG于點(diǎn)H,連接OAQD.

四邊形ABCD是正方形，

JZBAD=90°,ZAOD=90°,

??.AAGD=-^AOD="90。=45°.

22

???ZEAG=90°,

JNDAG+NBAG=NBAE+NBAG,

???ZDAG=ZBAE=30°.

由(1)得NEDG=90。.

VDHXAG,

???ZDHG=90°,

???AHDG和^DFG都是等腰直角三角形.

在RtAADH中,NDAG=30。,

i1

???DH=-AD=-x2=l

22f

AH=yjAD2-DH2=V3,

/.AG=AH+HG=AH+DH=V3+1,

DF=DG=42DH=VX

V3-1

AADF=S—DG1S4DFG=WXA+1)x1--XV2XV2

S(/3^21

VOA=OD,ZAOD=90°,

.?.△AOD是等腰直角三角形，

OA=~AD—V2,

=Sam-S^=90”"物2--XV2XV2=-

弓形AD扁形AODA0D36022

.C_c1Q_V3-1711_V34-7T—3

7

’吸形—△皿'馬形A。―2+萬一——2-'

12.解:⑴證明:：AB為。0的直徑,PA為。0的切線，

PA_LOA,即/PAO=90°.

;點(diǎn)C在。0上,.OC=OA.

在4POC和4POA中，

(CPCC=PAA,AOC^APOA(SS).

ZPCO=ZPAO=90°,BPPC±OC.

又OC為。O的半徑,...PC為。O的切線.

⑵證明:由⑴可知OCLPD,

/DCO=/DAP=90。.

,/ZODC=ZPDA,

/.△ODC^APDA,

tPC_OP

''PA~P0'

即PDOC=PAOD.

(3)如圖