2025北京高三一模數(shù)學(xué)匯編

向量的數(shù)量積與三角恒等變換章節(jié)綜合（人教B版）

一、單選題

1.（2025北京豐臺高三一模）在平行四邊形ABC。中，E為邊3C上的動點(diǎn)，。為外接圓的圓心，

2DO=DA+DB，且|而|=|方耳=2,則加匯麗的最大值為（）

A.3B.4C.6D.8

2.（2025北京東城高三一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角a以⑦為始邊，其終邊落在第一象限，則下

列三角函數(shù)值中一定大于零的是（）

A.sin（兀+a）B.cos（兀一a）C.sin2aD.cos2a

3.（2025北京西城高三一模）已知函數(shù)/（x）=sinx+6cosx.若/&）=/（%）,則（）

A.石一%2=2也（左EZ）B.玉一馬=2E或玉+々=2E+］（keZ）

C.玉+/=E十三（kGZ）D.玉一々=2E或石+9=E+1（左￡Z）

4.（2025北京門頭溝高三一模）已知向量入萬滿足同=5,5=（3,4）,且B的夾角為三，貝仙-4

（）

A.5A/2B.5#>C.5D.10

2

5.（2025北京西城高三一模）在長方形ABC。中，E為BC的中點(diǎn)，cosZAEB=-,則cosNAED=（）

A,越B.-

99

C.一速D.--

99

6.（2025北京朝陽高三一模）已知sine+sinp=。，cosa+cos/?=A/3,貝!|cos（a—/7）=（）

A.--B.gC.BD.1

222

7.（2025北京房山高三一模）已知向量N=（x,l）,方=（1,一2）,若“5，貝（）

A.2B.75C.述D.M

2

8.（2025北京朝陽高三一模）某市計(jì)劃在一條河上修建一座水上休閑公園，如圖所示.這條河兩岸所在直

線4，4互相平行，橋DE與河岸所在直線垂直.休閑公園的形狀可視為直角三角形，它的三個(gè)入口分別設(shè)

在直角三角形的頂點(diǎn)A,B,C處，其中入口A點(diǎn)（定點(diǎn)）在橋。E上，且A到直線4，4的距離分別為

%,久（%,均為定值），入口8,C分別在直線4，4上，公園的一邊AB與直線［所成的銳角為

a,另一邊AC與AB垂直.設(shè)該休閑公園的面積為S（a）,當(dāng)a變化時(shí)，下列說法正確的是（）

B.函數(shù)S(a)的最小值為華

C.若火,%且%則S(aJ<S(&)

D.若%，4e(0,3且%+的=三，則S(aJ=S(tZ2)

9.(2025北京順義高三一模)已知平面向量￡,1滿足同=2,]=(1,0),忸-*5,貝日石=()

A.6B.3C.-4D.-2

二、填空題

10.(2025北京西城高三一模)設(shè)平面向量Z=(-l,l),3=(-2,1),c=(x,y),且卜|=5,則使得向量％二

與￡共線的一組值x=y=

11.(2025北京東城高三一模)已知向量點(diǎn)瓦工在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)格紙上小正方形的邊

長為1,貝！Jcos<B,c>=；(a-b^-c=.

12.(2025北京海淀高三一模)已知向量￡=(2,0),忖=1,則忖+目的最大值為；Z+B與￡的夾角

的取值范圍是.

13.(2025北京石景山高三一模)設(shè)荏=(1,1),忸4=q，ABBC=0,則|網(wǎng)=.

3

14.(2025北京延慶高三一模)已知a是第四象限角且sine=-￡，2sin￡-cos￡=0,貝。tan(c-77)的值

為.

三、解答題

15.(2025北京順義高三一模)已知函數(shù)"x)=sin(0x-51+6cos0x(?>O).

⑴求”0)的值；

（2）再從條件①、條件②、條件③中選擇兩個(gè)作為已知條件，使函數(shù)/（X）存在且唯一確定.當(dāng)/（x）在區(qū)間

（0,9（。＞0）上僅有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，求。的取值范圍.

條件①："X）在自荒上是單調(diào)函數(shù)；

條件②：y=〃x）圖象的一個(gè)對稱中心為］，。）；

條件③：對任意的xeR,都有立.

注：如果選擇的條件不符合要求，得。分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

參考答案

1.C

【分析】根據(jù)題意確定為直角三角形并求出線段￡>8的長，然后以麗，麗為基底去計(jì)算前礪的

值即可.

【詳解】由2麗=方+9可知。為A3的中點(diǎn)，又因?yàn)椤椤鰽BD外接圓的圓心，

所以為直角三角形，DA1.DB,所以就麗=0，

又因?yàn)閲?網(wǎng)=2所以網(wǎng)=4所以m=25

又因?yàn)镋為邊2c上的動點(diǎn)，所以屁=4元

Dd7DE=^(DA+DB).(DB+BE)=^(DA+DB)4,DB+^BC)

=1(DA+DB)-(DB-ADA)=^(DB―力函j=g(|麗『-A|ZM|2)

=1((2^)2-4A)=1(12-42)=6-2A,

因?yàn)?Ie[0,1],所以-2Xe[—2,0]即6-22e[4,6]

所以DO.DE的最大值為6.

故選：C

2.C

【分析】先得到sina>0,cosc>0,利用誘導(dǎo)公式和倍角公式得到AB錯(cuò)誤，C正確，舉出反例得到D錯(cuò)

誤.

【詳解】由題意得sina>0,cosa>。，

A選項(xiàng)，sin(7i+a)=-sina<0,A錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)，cos(7i-?)=-cos(z<0,B錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)，sin2(z=2sinacosa>0,C正確；

兀

D選項(xiàng)，cos2cr=cos2tz-sin2a,若。=:，此時(shí)cos2c=0,D錯(cuò)誤.

4

故選：C

3.B

【分析】利用輔助角公式化簡函數(shù)/(x)的解析式，利用正弦型函數(shù)的周期性和對稱性求解.

【詳解】因?yàn)?X)=siiir+J5cosx=2sin]x+lj,則該函數(shù)的最小正周期為2兀，

由X+]=E+^(%￡Z)可得X=E+6(%￡Z),

所以，函數(shù)“X)的對稱軸方程為1=E+1左6Z),

因?yàn)?(%)=/(%2)，則%一4=2%?；蛴?9=2［左兀+看］=2E+］(左eZ),

故選：B.

4.C

【分析】運(yùn)用向量的數(shù)量積的運(yùn)算和向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可.

【詳解】由題意得M=6+42=5,

5.B

2

【分析】設(shè)=則cos6=§,分析可知NASD=兀-2。，利用誘導(dǎo)公式結(jié)合二倍角的余弦公式可求

得cos/AED的值.

2

【詳解】設(shè)NAEB=8,則cos6=§,如下圖所示：

因?yàn)閨AB|=0C|,|BE|=|CE|,ZABE=ZDCE=90°,所以，AABE^ADCEf

所以，ZDEC=ZAEB=3,

因此，cosZAED=cos(7i-2。)=-cos20=1-2cos26=1—2x1]=l

故選：B.

6.B

【分析】將給定的兩個(gè)等式平方相加，再逆用差角的余弦公式即得.

【詳解】由sina+sin/7=。,cosa+cos/=6，(sincr+sin/7)2+(coscz+cosy5)2=3,

整理得2+2(cosacos/+sinasin0=3,所以cos(a-/7)=：.

故選：B

7.D

【分析】先由向量垂直的坐標(biāo)表示求出Z,然后再由模長的計(jì)算可得.

【詳解】若a/B，則1?X2?10?X2,

即日=(2,1),

又，卜占=阿，

|?-=yla-2albb=+5=A/10.

故選：D.

8.D

【分析】主要涉及三角函數(shù)以及三角形面積公式的應(yīng)用.首先根據(jù)直角三角形中的三角函數(shù)關(guān)系，分別求出

AB和AC的長度表達(dá)式，再根據(jù)三角形面積公式得到S(a)的表達(dá)式，最后對該表達(dá)式進(jìn)行分析，判斷各

個(gè)選項(xiàng)的正確性.

【詳解】在RfVABD中，ZABD^a,AD=*根據(jù)正弦函數(shù)的定義，可得A3=工.

sina

JT

因?yàn)?BAC=5，ZABD^a,所以NC4E=a,在中，AE=九,根據(jù)余弦函數(shù)的定義，可得

AC=-^—.

COS。

對于VA5C,S(a)=-ABAC,將A3=4-,AC=-^代入可得：

2sinacosa

5(a)=1-^—^=——,進(jìn)一步化簡為S(a)=2%，

2smacosa2sinacosasin2a<Z)

對于選項(xiàng)A,因?yàn)樗?tze(0,兀)，sin2fze(0,1].當(dāng)sin2a取最小值0(取不到)，最大值1

時(shí)，S(a)=1%沒有最大值，所以A錯(cuò)誤.

sm2a

對于選項(xiàng)B,由S(a)=-^,sin2ae(0,1],當(dāng)sin2a=1,即2a=^,a=巴時(shí)，S(a)取得最小值

sin2a24

岫2,所以B錯(cuò)誤.

對于選項(xiàng)c,當(dāng)ae(o，r]時(shí)，2ae(0,g],sin2a單調(diào)遞增，S(tz)=/也單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，

I<2)sm2a142J

G|—,7r|,sin2a單調(diào)遞減，S(o)="單調(diào)遞增.

12)sm2a

所以若心也且/<%,不一定有S(%)<S(%),C錯(cuò)誤.

對于選項(xiàng)D,若%,%且&]+%=],則2%+2%=兀，sin2al=sin(?！?%)=sin2a2.因?yàn)?/p>

S(%)=§」，S(%)=3J,所以S(%)=S(%),D正確.

sin2alsin2a2

故選：D.

9.D

【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律，建立方程，可得答案.

【詳解】由加=。,0）,則任=/^=1,

由|2力142力『=歷一疝）+片=5,

貝U4X22-43B+1=25，解得Z4=-2.

故選：D.

10.-4（答案不唯一，填3也對）3（答案不唯一，第一空填-4,則第二空填3,第一空填

3,則第二空填T）

【分析】由條件根據(jù)向量的模的坐標(biāo)公式，向量共線的坐標(biāo)表示列方程求尤，y的關(guān)系，由此可得結(jié)論.

【詳解】因?yàn)镽=5,c=（x,y）,

所以+=5,即尤2+丁=25,

因?yàn)榉?（一2,1）,c=（x,j）,所以5-c=（-2-x,l-y）,

又向量與Z共線，=（-1,1）,

所以-2-x+l-y=0,

所以x=-y-l,

所以（一打1）2+產(chǎn)=25,

所以＞=3或y=-4,

[x=-4fx=3

所以二或,,

3=3卜=-4

故答案為：-4；3（答3；T也對）

11.也0

2

【分析】根據(jù)網(wǎng)格寫出向量的模，再平移向量"求出％,"與瓦"的夾角的余弦值，應(yīng)用向量的數(shù)量積

公式求解即可.

【詳解】平移向量"與B共起點(diǎn)，易看出瓦"的夾角為45。，

--A/2

cos<b,c>=cos45°=---；

2

同二百，M=血，|c|=i,

的夾角的余弦值cos<Z,Z>=3=無，瓦"的夾角為45。，

755

(h-b^c=a-c-b-C=同同cos伍同一忖同cos(5,j

=y/5xlx-^2xlxcos45°=0.

故答案為：—；0.

2

八兀

12.3；0,-.

_o

【分析】根據(jù)不等式B+'v同+|5|，即可直接求得B+耳的最大值；設(shè)加=(cosasine),將Z+石與々的夾

角余弦值用坐標(biāo)表達(dá)，通過求其值域，即可求得夾角的范圍.

【詳解】由題可知，同=2,故R+抬同+忖=2+1=3,當(dāng)且僅當(dāng)府同向時(shí)取得等號，故B+q的最大值

為3；

不妨設(shè)石=(cos0,sine),ee[0,2兀)，滿足什=1；

貝!J萬+5=(2+cos6,sine),|a+&|=^(2+cos0)2+sin20=V5+4cos^,M-(〃+5)=4+2cos，，

設(shè)萬+B與M的夾角為夕，則夕目0,可，

則cos/=+"2c°secosO+24,

同口+B2xj5+4cos6J4cos6+54J4cos6+5

________3

令f=j4cos6+5e[l,3],故3力=；"=；1力，

根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性可知，y=f+；在(1,6)單調(diào)遞減，在(退,3)單調(diào)遞增，

又當(dāng)"豆時(shí)，cos0=三,當(dāng)/=1或3時(shí)，cos/=l,故cos￡e與,1,又月式0,可，故6e0常.

7T

故答案為：3；0,-.

O

13.6

|UUH|「

【分析】先求出卜q=0,由通?南=0可得ABL3C,進(jìn)而結(jié)合勾股定理求解即可.

【詳解】由福=。,1),得網(wǎng)=?+12=0,

因?yàn)楦?前=0，所以荏_L宓，即AB_L3C,

所以匹=]正:-由2=6方=后

故答案為：73.

14.-2

【分析】由已知求得tana=-：3,tan￡=51,再根據(jù)兩角差的正切公式計(jì)算即可.

【詳解】因?yàn)閍是第四象限角且sine=-=3,所以cosa==4,tana=-31,

554

因?yàn)?sin/—cos/?=0,所以tanQ=；,

31

tana-tan0

則tan(a_/7)=

1+tanatan0

故答案為：-2.

15.⑴走

2

（2）答案見解析

【分析】（1）利用三角恒等變換化簡函數(shù)解析式即可求解；

（2）關(guān)于條件①，從函數(shù)的周期，以及單調(diào)區(qū)間兩方面限制。求出。的取值范圍；關(guān)于條件②求出函數(shù)

對稱中心表達(dá)式，將go］代入，確定。的取值；關(guān)于條件③根據(jù)已知條件確定/［曰=1,從而確定。的

取值；再從選條件①②、①③、②③三種情況分別確定。的值，再利用函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】（1）因?yàn)?（x）=sin,%-J5coss：3>0）,

所以/(%)=sincoxcos-coscoxsin+73coscox

1.G.(TI\

=—sm〃zx+——coscox=sincox+—,

22I3)

所以/(0)=sing=與.

⑵對于條件①：八%)在聯(lián)，得上是單調(diào)函數(shù)，

因?yàn)椤癤)在上7T是7TT單調(diào)函數(shù)，所以言77r一］T|T<5T,

ITTT

所以石毛，又因?yàn)椤?gt;。，解得°<r2,

因?yàn)橐唬?2匕兀WGX+］<'|'+2A17IGZ）,

解得一包++的（￡eZ）,

6a）co6coco

所以函數(shù)/（尤）=5皿（0工+4）的單調(diào)單調(diào)遞增區(qū)間為:

--+^<x<—+^（kleZ）,

6a）co6coco

0<69<2

7177r5兀2匕兀71/

若函數(shù)在上單調(diào)遞增,貝IJ----+——<—(匕rGZ),

6。。12I」)

7t2km7兀

——十——>——

、6。co12

0<69<2

整理有《—10+24%(匕wZ),

224k.

a)<—+-----L

77

0<a)<2

2

當(dāng)仁=0時(shí),co—10,解得0<G(一,

7

2

a)<—

7

0<2

當(dāng)％i=l時(shí),。214無解，《得其他值時(shí)不等式無解;

26

co<——

7

7T

因?yàn)椋?24二2兀Wox+§V-■F242兀(k2sZ),

2m兀,,7兀

解得;+——<x<—+eZ),

6G①6a)CD

71

所以函數(shù)〃尤）=sinCDX+—的單調(diào)單調(diào)遞減區(qū)間為:

71+2k2式<x<7兀+2k它2n的eZ),

6a)CD6GCD

0<a)<2

IT77r712k2冗71

若函數(shù)在上單調(diào)遞減,則<——+<(左2￡Z),

6。CD12

7兀2kTl7兀

——+2>

6(ocon

0<(t)<2

整理有《說2+2422(左2WZ),

24k2

a)<2+-T-

0<^<2

當(dāng)左2=。時(shí)，<。22,解得a)=2,

co<2

0<a）<2

當(dāng)％2=1時(shí)，，。226無解，內(nèi)得其他值時(shí)不等式無解;

38

CD<——

7

對于條件②：y=〃x）圖象的一個(gè)對稱中心為與0），

因?yàn)镚X+巴=左3兀（匕￡Z）,解得％=--t+&E（匕￡Z）,

33a>a>

71

所以函數(shù)，（x）=sin6?X+—的對稱中心為X=---F—(^3eZ),

3coco

若仁，0）是y=/（x）圖象的一個(gè)對稱中心,

n,.兀71紅，解得。=-1+3匕；

則§=一森+

CD

71

對于條件③: