一輪高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第二章§2.9對數(shù)函數(shù)§2.9對數(shù)

函數(shù)

【課標(biāo)要求】1.通過實例，了解對數(shù)函數(shù)的概念,會畫對數(shù)函數(shù)的圖象，理解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)2了解

指數(shù)函數(shù)y="（a>0,且a豐1）與對數(shù)函數(shù)y=logflx（a>0,<a#1）互為反函數(shù).

?落實主干知識?

1.對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

a>l0<a<l

]X=1

彳=1y=logax1

圖象4(1,0)

14（i,o）

1!

y=iog<fx

定義域(0,+8)

值域R

過定點(diǎn)（1,0）,即x=l時,y=0

當(dāng)x>l時,y>0；當(dāng)x>l時,y<0；

性質(zhì)

當(dāng)04<1時方〈0當(dāng)04<1時,y>0

增函數(shù)減函數(shù)

2.反函數(shù)

指數(shù)函數(shù)y=（/（a>0,且。71）與對數(shù)函數(shù)丁=108d3>0,且aWl）互為反函數(shù),它們的圖象關(guān)于直線y=x對

稱.

B自主診斷

L判斷下列結(jié)論是否正確.（請在括號中打“弋”或“X”）

⑴函數(shù)y=log“2尤（a>0,且。燈）是對數(shù)函數(shù).（x）

⑵對數(shù)函數(shù)y=logaxm>0,且61）是增函數(shù).（X）

⑶對數(shù)函數(shù)y=logaX（a>0,且aWl）的圖象恒過定點(diǎn)（1,0）.（4）

（4）函數(shù)y=logM與y=log”的圖象關(guān)于x軸對稱.（<）

2

2.函數(shù)式處=當(dāng)空的定義域為（）

A.(—0°,4)B.(3,4)

C.(—8,3)U(3,4)D.(—8,3)U(3,+8)

答案C

解析因為40=幽宗，

X~3

所以要使函數(shù)有意義，

則｛:二累解得水4且g

所以加)的定義域為(一8,3)U(3,4).

3.函數(shù)兀0=108加|+1(°>1)的圖象大致為()

答案A

解析人x)=log〃|x|+l的定義域為｛x|xNO｝,

因為八一x)=log?|—x|+l=loga|.r|+1=fix),

所以/(x)是偶函數(shù)，

當(dāng)XG(0,+8)時=\ogax+l(fi>1)單調(diào)遞增.

結(jié)合選項可知選A.

4.若對數(shù)函數(shù)兀0經(jīng)過點(diǎn)(2』),則它的反函數(shù)g(x)的解析式為.

答案g(x)=2"

解析設(shè)於)=logax(a>。且。W1),函數(shù)過點(diǎn)(2,1),即fi2)=loga2=1,即a=2<x)=logw它的反函數(shù)g(x)的解析

式為gN=2±

B微點(diǎn)提醒

L掌握三個對數(shù)函數(shù)圖象的特點(diǎn)

⑴不論a>l還是0<a<l,對數(shù)函數(shù)y=logRa>0,且aWl)的圖象都無限靠近y軸，但不會與y軸相交.

(2)不論a>l還是對數(shù)函數(shù)y=log〃x(a>0,且aWl)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)&-11(1,0),(4,1),且圖象都在誦由

右側(cè),據(jù)此可以快速畫出對數(shù)函數(shù)y=logaMa>0,且aWl)的大致圖象.

(3)對數(shù)函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中的圖象如圖所示，其中圖象(C1,C2,C3,C4對應(yīng)的底數(shù)依次為。力,c,4的相對位

置與底數(shù)大小有關(guān).圖中0<c<d<l<a<b.

2.謹(jǐn)防兩個失誤點(diǎn)

(1)凡涉及對數(shù)型函數(shù),其真數(shù)與底數(shù)的取值范圍一定不能忽略.

⑵在解決對數(shù)型復(fù)合函數(shù)時，當(dāng)?shù)讛?shù)a的范圍沒有明確時,必須分0<“<1和a>\兩種情況討論.

---------------------------探究核心題型---------------------------

題型一對數(shù)函數(shù)的概念與圖象

例1(1)(多選)下列選項正確的是()

A.若函數(shù)/(x)=loga-ix+a2—5。+6是對數(shù)函數(shù)，則a=3或a=2

_-1

B.函數(shù)<x)=；+ln(3+x)的定義域為(-3,0)U(0,+8)

C.函數(shù)兀t)=loga(4x—3)3>0,且aWl)的圖象過定點(diǎn)(1,0)

D.?=log2(^-2x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1,+8)

答案BC

(a2—5a+6=0,

解析對于AJa_1>o,

(a-1WL

解得a=3,A錯誤；

_W0,A,,

對于BJ解得x>—3且xW0,B正確；

(3十支>0,

對于C,令4x—3=L解得x=1,則式1)=log/=0,C正確；

對于D*—2x>0=xC(-8,0)u(2,+8),可知當(dāng)了>2時,2尤單調(diào)遞增,結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知人龍)

的單調(diào)遞增區(qū)間為(2,+8),D錯誤.

(2)(多選)已知函數(shù)段)=Inx,g(x)=1gx,若/(加)=g⑺，則下列結(jié)論可能成立的為()

A.m=nB.n<m<l

C.m<l<nD.l<m<n

答案ABD

解析根據(jù)題意，在同一直角坐標(biāo)系中畫出./U)=lnx與g(x)=lg尤的圖象，如圖所示,

當(dāng)x=l時，此時/(x)=g(x),即八附=g(〃)，故故A正確；

當(dāng)0<x<l時，若為")=g(")，則"<能<1,故B正確；

當(dāng)x>l時若/O)=g(〃)廁1<加<〃,故D正確.

思維升華對數(shù)函數(shù)圖象的識別及應(yīng)用方法

⑴在識別函數(shù)圖象時，要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點(diǎn)(與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、最高點(diǎn)、最低

點(diǎn)等)排除不符合要求的選項.

⑵一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解.

跟蹤訓(xùn)練1(1)(多選)函數(shù)/(x)=log°x(a>0且aWl),下列說法正確的是()

A.當(dāng)0<a<l時,函數(shù)在其定義域上是減函數(shù)

B“r)的反函數(shù)為g(.x)=ax

C.當(dāng)0<°<1且x>l時｛x)>0

D.若點(diǎn)(2,1)在式x)的圖象上，則/(￡)=-2

答案ABD

解析對于A,當(dāng)0<a<l時式x)=logd在其定義域上是減函數(shù)，故A正確；易知B正確；

對于C,當(dāng)0<?<1時m)=log°X在其定義域上是減函數(shù),所以當(dāng)X>1時&x)=logQX<logal=0,故C錯誤；

對于D,因為點(diǎn)(2,1)在加)的圖象上，所以loga2=l,則〃=2,所以段)=log2X,則/G)=log2[=k)g22-2=-2,故

D正確.

(2)若函數(shù)y=ax(a>0，，且aW1)的圖象過點(diǎn)?彳),則函數(shù)y=log/刃的大致圖象是()

AB

答案B

解析由于函數(shù)y=〃(a>0,且〃W1)的圖象過點(diǎn)

故:=az,；.a=2，

logix,x>0,

人」yg"\gj\

logi(-%),%<0,

9

該函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，且在(0,+8)上單調(diào)遞減，在(-8,0)上單調(diào)遞增，

只有B中圖象符合該函數(shù)圖象特點(diǎn).

題型二對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

命題點(diǎn)1比較對數(shù)式的大小

例2(1)(2024?延慶模擬)設(shè)a=log32,6=log96,c=^』U()

A.a>b>cB.c>b>a

C.b>c>aD.b>a>c

答案D

2

解析因為Z?=log96=log32(V6)=log3V6,fic=^=log3V3,

又遍<2<乃,函數(shù)y=log3X在(0,+8)上單調(diào)遞增，

則log3V5<log32<log3遙，所以c<a<b.

(2)(多選)(2025?黑龍江龍東聯(lián)盟聯(lián)考)已知2"=3〃=6,則a,b滿足()

A.a=log26B.a<b

i-1

C.-a+-b<1D.a+b>4

答案AD

解析A選項，由2"=6彳導(dǎo)4=log26,故A正確；

B選項，由3)=6得6=log36,：a=log26>2,b=log36<2,；.a>6,故B錯誤；

C選項,+：=心+-7=10862+10863=1，故C錯誤；

D選項,且a>0,b>0,：.由基本不等式得。+》=(。+6)&+￡)=2+5+94,故D正確.

命題點(diǎn)2解簡單的對數(shù)方程或不等式

例3(1)已知函數(shù)火x)=log2X—x+1,則不等式式x)<0的解集是()

A.(O,1)B.(0,2)

C.(l,2)D.(0,l)U(2,+°0)

答案D

解析人x)=log2_x—x+1的定義域為(0,十8),

Al)=log2l-1+1=0{2)=log22—2+1=0,

由火x)<0可得log2x<x—l,gpy=x—1的圖象在y=log2無圖象的上方,

畫出y=log2X,y=xT的圖象，如圖，

由圖可知，不等式外)<0的解集是(0,1)U(2,+8).

(2)(2025?中山模擬)設(shè)實數(shù)a>0,則“2">2”是“l(fā)oga(a+3>0”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案A

解析由2。>2可得a>L

由log“(a+0>0,

可得log°(a+0>logfll,

(a>1,JO<a<1,

',(a+|>1或<1,

解得a>l或0<冶.

因此“2〃>2”是“l(fā)og“(a+]>0”的充分不必要條件.

命題點(diǎn)3對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用

例4(1)(多選)(2024?煙臺模擬)已知函數(shù)次幻=坨標(biāo)+以一a),下列說法中正確的是()

A.若火x)的定義域為R,則a的取值范圍是(一4,0)

B.若八x）的值域為R,則a的取值范圍是（一8,—4]U。+8）

C.若。=2,則次x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（一8,一1）

D.若加）在（一2,—1）上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是（-喝]

答案ABD

解析選項A,d+ax—a>0對任意xGR恒成立，即/=〃+44<0,解得一4<a<0,A正確；

選項B,V+ar—aWO有解，因此/=/+4°20,解得aM-4或a2O,B正確；

選項C,當(dāng)a=2時次元）=坨（爐+2尤一2）,由_?+2x—2=（x+1>一3>0得x<一1一遍或x>—1+8,根據(jù)復(fù)合函

數(shù)的單調(diào)性得其單調(diào)遞減區(qū)間是（一8,—1—B）,C錯誤；

選項D段）在（一2,—1）上單調(diào)遞減,則卜與-T解得正確.

（2）（多選）（2025?岳陽模擬）關(guān)于函數(shù)段）=log2x+log2（4—x）,下列說法正確的是（）

A<x）的最大值為1

B.火x）在區(qū)間（0,2）上單調(diào)遞增

C{x）的圖象關(guān)于直線x=2對稱

D.y（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（2,0）對稱

答案BC

22

解析函數(shù)丸X）=logjx+log2（4—x）=log2（4x—x）=log2[—（%—2）+4]（0<x<4）,

當(dāng)x=2時,4x—x2取到最大值4,

故此時兀0=1082%+1082（4—苫）取到最大值log24=2,A錯誤；

/Wnogz&x—FKOaS）可以看作是由函數(shù)y=iog2",“=—x2+4尤（0<x<4）復(fù)合而成，而y=log2M是定義域上的

增函數(shù)"=-f+4x（0<x<4）在（0,2）上單調(diào)遞增，在（2,4）上單調(diào)遞減，故段）在區(qū)間（0,2）上單調(diào)遞增，在（2,4）上單

調(diào)遞減,B正確；

因為函數(shù)式4—x）=log2（4—x）+logax=/（x）,故無）的圖象關(guān)于直線尤=2對稱,C正確；

因為人4—x）+火幻=紈幻=0不恒成立，故八龍）的圖象不關(guān)于點(diǎn)（2,0）對稱,D錯誤.

思維升華求與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)值域和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題必須弄清三個問題：一是定義域；二是

底數(shù)與1的大小關(guān)系；三是復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成.

跟蹤訓(xùn)練2（1）已知。=0.5"9力=ln3,c=log3a則（）

K.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.a>c>b

答案B

9

解析因為a=0.5°,G(0,l),Z>=ln3>lne=l,c=log3|<log3l=0,^TlUb>d>c.

⑵(多選)(2025遼寧教研聯(lián)盟模擬)關(guān)于函數(shù)於)=/看-1),下列說法正確的有()

A.7(x)的定義域為(一1,1)

B.火x)的圖象關(guān)于y軸對稱

C.?的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱

D<x)在(0,1)上單調(diào)遞增

答案ACD

解析因為-1)=lg則芝^>0,解得一

所以危)的定義域為(一1,1),故A正確；

因為八一x)=lg1=—#x),所以/(X)為奇函數(shù)，

所以兀T)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故B錯誤,C正確；

因為尸匕T在(0,1)上單調(diào)遞增,y=lgx在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以於)=lg(E-1)在(0,1)上單調(diào)遞墻故D正確.

課時精練

［分值：90分］

ib知識過關(guān)

一、單項選擇題(每小題5分，共30分)

1.函數(shù)y=W三的定義域為()

1g光

A.(0,l］B.(0,l)

C.(l,+°°)D,(0,l)U(l,+~)

答案B

1—%之0,

解析由卜>0,=04<1.所以函數(shù)的定義域為(0,1).

W1

2.設(shè)a=logo.20.3,b=log23,c=log34,則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.a>b>cB.c>b>a

C.b>a>cD.b>c>a

答案D

解析因為32>23,

23

所以log23>log22,BP21og23>3,

所以8=10g23>|,

因為42<33,

23

所以log34<log33=3,BP21og34<3,

所以c=log34<|,

同時c=log34>l,

所以而a=logo.20.3<l,

所以b>^>c>l>a.

3.已知函數(shù)兀c）=loga（x—。）3>0,且力為常數(shù)）的圖象如圖，則下列結(jié)論正確的是（）

A.a>O,Z?<—1

—l<b<0

C.O<4Z<1,Z?<—1

D.O<a<l,—1<Z?<O

答案D

解析因為函數(shù)兀V）=10ga（X—力為減函數(shù),

所以0<?<1,

又因為函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)在正半軸，

所以令x—6=1,則x=l+6>0,即/?>—1,

又因為函數(shù)圖象與y軸有交點(diǎn)，

所以6<0,所以一1<6<0.

4.若函數(shù)段）=log3〃（a>0,且aWl）在［T,2］上的值域為［/”⑵，則m的值為（）

A.-4或一1B.0或一2

c.-2或一1D.—4或一2

答案A

解析因為函數(shù)y=logM，在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)尸/在［T,2］上的值域為［3"⑼，

當(dāng)Q<a<l時,y="在［—1,2］上單調(diào)遞減，

則a1=9,解得°=彳，

則3枚=儲=總得加=—4；

ol

當(dāng)a>l時,y="在［—1,2］上單調(diào)遞增，

則〃=9,解得。=3或a=一3(舍去)，

則3"'=/1=/得加=—1,

綜上,加=—4或m=-1.

5.(2024新鄉(xiāng)模擬)已知函數(shù)段)=log〃(3—x)+log〃(x+l)(0<a<l),若加)的最小值為一2,則a等于()

A.iB.遺C士D在

3322

答案c

人,^f3—x>0.

解析由工［、「得—14<3，

所以函數(shù)段)=loga(3—x)+loga(x+l)(0<a<l)的定義域為(―1,3),

因為y=loga(3—彳)+108。。+1)=108“［(3—彳)(%+1)］由外層函數(shù)了=1。8卯(。<。<1)和內(nèi)層函數(shù)f=(3—x)(x+l)復(fù)

合而成，

當(dāng)一14<1時，內(nèi)層函數(shù)單調(diào)遞增，外層函數(shù)單調(diào)遞減，所以應(yīng)r)單調(diào)遞減；

當(dāng)1<%<3時，內(nèi)層函數(shù)單調(diào)遞減，外層函數(shù)單調(diào)遞減，所以/W單調(diào)遞增，

所以/(X)min=/U)=10g?4=-2,

又因為0<a<l,所以a=1.

6.若不等式(無一l)2<logaX(a>0且aWl)在尤6(1⑵內(nèi)恒成立,則實數(shù)a的取值范圍為()

A.(l,2］B.(l,2)

C.(1,V2］D.(V2,2)

答案B

解析若此時xG（l,2],logax<0,

而（無一1）2>0,

故（X—l）2<logd無解；

若。>1,此時在（1⑵,logaX>0,而（X—1）2>0,

令/U）=iogd,g（x）=（x—1）2,

畫出函數(shù)火X）與g（x）的圖象如圖，

則log02>l,解得ae（l,2）.

二、多項選擇題（每小題6分，共12分）

7.已知函數(shù)y=log“尤與y=log從一x）的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱,則函數(shù),=就與y=log小的大致圖象可能是

（）

答案AC

解析在函數(shù)y=logax的圖象上任取點(diǎn)（x,y）廁點(diǎn)（一羽一y）在y=log從一x）的圖象上,

即『loga”于是log或=—logaX=logy對任意x>0成立，則。=工,

a

[-y=\ogbx,a

當(dāng)0<?<1時，函數(shù)y="是R上的減函數(shù)6>1,則y=10gM?是（。,十8）上的增函數(shù),C符合,D不符合；

當(dāng)a>\時，函數(shù)y=".是R上的增函數(shù)0<6<1,則y=log成是（。,十8）上的減函數(shù),A符合,B不符合

8.已知函數(shù)兀0=坨（爐一5x+4）,則下列結(jié)論正確的是（）

A.函數(shù)兀c）的定義域是R

B.函數(shù)兀0的值域是R

C.函數(shù)兀0的單調(diào)遞增區(qū)間是（4,+8）

D.不等式式x）<l的解集是（一1,6）

答案BC

解析選項A,令f—5x+4>0,解得x>4或x<l,所以函數(shù)於）的定義域為（一81）u（4,+8）,故A錯誤；

選項B,因為真數(shù)x2—5x+4能取遍所有的正實數(shù)，所以函數(shù)1x）的值域是R,故B正確；

選項C,由A項可知，函數(shù)〃=d—5x+4在（4,+8）上單調(diào)遞增，在（—8/）上單調(diào)遞減/=坨u在定義域內(nèi)為增

函數(shù)，所以函數(shù)/W的單調(diào)遞增區(qū)間是（4,+8）,單調(diào)遞減區(qū)間是（―8」）,故C正確;

選項D,由兀0=lg（d—5x+4）<1=1g10,且y=1gu在定義域內(nèi)為增函數(shù)，所以0“一5x+4<10,解得一1<x<1

或4<x<6,所以不等式人龍）<1的解集是（一1,1）U（4,6）,故D錯誤.

三、填空題（每小題5分，共10分）

9.（2025榆林模擬）函數(shù)於）=log〃（2，一且恒過的定點(diǎn)是.

答案（1,0）

解析令2」1=1,解得x=1,此時,/（l）=log“l(fā)=0,

所以函數(shù)於）=log“（2*—且a豐1）恒過的定點(diǎn)是（1,0）.

10.已知函數(shù)尸危），若在定義域內(nèi)存在實數(shù)無，使得人一此=一於）,則稱函數(shù)尸人x）為定義域上的局部奇函數(shù).

若函數(shù)人工）=1083（%+〃。是［—2,2］上的局部奇函數(shù),則實數(shù)m的取值范圍是.

答案（2,V51

解析因為兀v）=log3（x+〃z）是L2,2］上的局部奇函數(shù)，

所以x+m>0在［—2,2］上怛成立，

所以機(jī)一2>0,即m>2,

由局部奇函數(shù)的定義，存在xW［-2,2］,

使彳導(dǎo)log3（—x+m）=—log3（x+m）,

即log3（—x+〃z）+log3（x+m）=1。83（m2一—）=0,所以存在xW［-2,2］,

使得癡一爐=1即m2=x2+l,

又因為xG又2,2],所以9+1e[1,5],

所以蘇即加可一花,—

綜上,〃7的取值范圍是（2,V5],

四、解答題（共27分）

11.（13分）已知函數(shù)於）=叫R。0,且。片1）,且函數(shù)的圖象過點(diǎn)（4,2）.

（1）求函數(shù)7U）的解析式；（6分）

（2）若加2+附<1成立,求實數(shù)m的取值范圍.（7分）

解（1）：函數(shù)人》）=1（^小的圖象過點(diǎn)（4,2）,

.*?loga4=2,/.〃=4,

,.,a>0且*1,

??4=2,??—logzx.

（2）由⑴知危）=logzx,

m2+〃。<1=y2+ni）<fl2'）,

：益）在（0,+8）上單調(diào)遞增,

0<m2+m<2,—2<m<—1或0<m<1.

實數(shù)m的取值范圍為{〃z|—2<m<-1或0<m<1}.

12.（14分）已知函數(shù)人龍）=1082（渡+2工一1）,°611.

⑴若加）過定點(diǎn)（1,2）,求外）的單調(diào)遞減區(qū)間；（6分）

⑵若人尤）值域為R,求a的取值范圍.（8分）

解（1）由函數(shù)於）=log2（加+2x—1）過定點(diǎn)（1,2）,

可得log2（a+1）=2,可得。+1=4,解得。=3,所以兀r）=log2（3f+2x—1）,

令3爐+2工一1>0,解得x<—1或x>條即函數(shù)的定義域為（一8,—i）u&+8）,

設(shè)g（x）=3爐+2x-1,則函數(shù)g（x）在（一8,-1）上單調(diào)遞減，

又由函數(shù)），=10g2X在定義域上為增函數(shù)，

結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)兀0在（一8,—1）上單調(diào)遞減，

所以函數(shù)兀0的單調(diào)遞減區(qū)間為（一8,—1）.

（2）由函數(shù)為OnlogzSV+Zx—1）的值域為R.

即（0,+8）為函數(shù)/7（x）=（zr2+2x—1值域的子集，

當(dāng)。=0時，可得〃（x）=2x—1,此時函數(shù)〃⑴的值域為R,符合題意；

當(dāng)a>0時，則滿足/=22+4。20,解得。力一1,所以o>0；

當(dāng)a<0時，此時函數(shù)/z(%)=ox12+*42x—1的圖象開口向下，顯然不滿足題意，

綜上可得，實數(shù)a的取值范圍為［0,+8).

ID能力拓展

13題5分,14題6分共11分

13.函數(shù)段)=xCnx,xG(l,e)的最大值為()

11

A.e2B.eC.ezD.e*

答案D

解析設(shè)元)=%1-瓜,%?(1,6),

故Iny=(l—Inx)lnx,xG(l,e),

令Z=ln(l,e),.'.re(0,1),

則111'=_產(chǎn)+^=—?一號)+)G(0,l),

當(dāng)仁的寸,Iny=-(t-02+：取到最大值條

1

故y的最大值為e"

1

即函數(shù)=2TnC(1,e)的最大值為近

14.(多選)已知函數(shù)加)=ln(f—2x+e2+l),則下列結(jié)論正確的是()

A次x)的最小值為2

BHGR/e)+危)=4

C-Xlg2)>/g)

49

D.7(43-l)</(25-l)

答案AC

解析y=x2~2x+e2+l=(x—l)2+e2^e2>0,

其在(—8,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，故加)=—2x+e2+1)在(—8,i)上單調(diào)遞減，在(i,+8)

上單調(diào)遞增，

危)min=>⑴=2,函數(shù)圖象關(guān)于直線X=1對稱,

對選項A?r)的最小值為負(fù)1)=2,正確；

對選項8#)+以)>浜1)=4,錯誤；

對選項C,因為25<1。2,所以5ig2<2,故1g2<|<Ulg2)>f(|)=/(I),正確；

48949

對選項口,45一1=25一1>21—1>1,故/(4石-1)不(2-1),錯誤.§2.10指、

對、塞的大小比較

【重點(diǎn)解讀】函數(shù)“比大小”是非常經(jīng)典的題型，難度不定，方法無常，很受命題者的青睞.每年高考基本都會

出現(xiàn),難度逐年上升.高考命題中，常常在選擇題中出現(xiàn)，往往將嘉函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等混

在一起，進(jìn)行排序.這類問題的解法可以從代數(shù)和幾何方面加以探尋，即利用函數(shù)的性質(zhì)與圖象解答.

題型一直接法比較大小

命題點(diǎn)1利用函數(shù)的性質(zhì)

例1(2024.鄂爾多斯模擬)已知a=0.7"6=log8*c=41，()

A.b<a<cB.a<c<b

C.b<c<aD.a<b<c

答案A

解析由于y=07是R上的減函數(shù)，

貝(J0<0.7l<o.7°=1,所以0<a<l,

由于y=log&x是(0,+8)上的增函數(shù)，

則log8|<log8l=0,所以b<0,

由于y=4'是R上的增函數(shù)，

3

則444°=1,所以O(shè)1,

所以b<a<c.

命題點(diǎn)2找中間值

例2設(shè)。=0.2°5為=10853,。=5°2,則a,b,c的大小關(guān)系是()

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<b<aD.c<a<b

答案A

解析0<-0.2。5詈<等=/

±1

l>Z?=log53>log552=

c=502>5°=1,所以a<b<c.

命題點(diǎn)3特殊值法

例3已知a>6>l,0<c，則下列結(jié)論正確的是（）

A.ac<bcB.abc<bac

C.alogbC<blogacDlogac<logbC

答案C

解析取特殊值，令a=4,Z?=2,c=/

11

則。。=4必=2"."對,故A錯誤；

1913

abc=4X21=2^,bac=2X41=25,

，故B錯誤；

11

10gaC=10g4-=-l,10gfeC=10g2-=-2,

alogfec=-8,Mogflc=-2,

alogbC<61ogaC,logaC>log/>C,故C正確,D錯誤.

思維升華利用特殊值作“中間量”

在指數(shù)、對數(shù)中通常可優(yōu)先選擇“一1,0弓,1”對所比較的數(shù)進(jìn)行劃分，然后再進(jìn)行比較,有時可以簡化比較的

步驟,也有一些題目需要選擇特殊的常數(shù)對所比較的數(shù)的值進(jìn)行估計，例如log23,可知1=10g22<10g23<10g24=

2,進(jìn)而可估計log23是一個1~2之間的小數(shù)，從而便于比較.

0.3

?,c=logo.50.3,則a,b,c的大小關(guān)系為（）

A.c<b<aB.a<b<c

C.b<a<cD.c<a<b

答案B

Q3

解析因為°=2一°52=0,=2一°3,

易知函數(shù)y=2'在R上是增函數(shù)，

又一0.5<-0.3<0,所以a<b<2°=1,

又易知y=logo.5X在（0,+8）上是減函數(shù)，

所以c=logo.50.3>logo,50.5=1,

綜上,〃vb<c.

-2

⑵(2025?天津模擬)設(shè)a=log27c,Z?=login,c=7i,K!j()

2

A.a>b>cB.b>a>c

C.a>c>bD.c>b>a

答案C

解析依題意,a=log2兀>log22=1力=logyvlog工1=0,0<。=兀-2<?！?i,所以a>c>b.

22

題型二利用指數(shù)、對數(shù)及嘉的運(yùn)算性質(zhì)化簡比較大小

命題點(diǎn)1作差法

例4設(shè)a=log62力=logi23,c=log4o5^!j()

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<a<bD.a<c<b

答案D

解析?Y=log312=l+k)g34=1+胃

=1+鬻，=1唯4。

=1+log58=l+^|

lg5

=1+罌

坨5

.1_1_21g2_31g2

??bclg3lg5

_21g2xlg5-31g2xlg3

Ig3xlg5

_lg2(21g5-31g3)

Ig3xlg5

lg2(lg25-lg27)<Q

又b>0,c>0,b>c；

?*=1+log58<l+log5V125

3e2

=l+log555=3.?.c>-f

???(=log26=1+log23>l+log2V8

2.52

=1+log222=a<-,

a<c.a<c<b.

命題點(diǎn)2作商法

例?成都模擬)若號力，則a,b,c的大小關(guān)系為(

5(2025°=3=(|):c=log4)

X.a>b>cB.b>c>a

C.c>a>bD.c>b>a

答案D

1

解析因為0<a=3F<3°=l,

。<1廣徽

1,1111

令士n=J=3W+EX2-E=3^X2W,

b(1尸

而儂X2-1)12=(3^)12X(2-I)12

=3X2-4=-<1,

16

11

即3五X2一石<1，所以a<b,

又因為C=logi|=logi^>logi^=10gi|=c>b>a.

命題點(diǎn)3乘方法

例6已知a=log35,6=log57,c=1,貝?。?)

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>b>aD.a>c>b

答案D

44

解析因為53=125>(3》=81,所以5>33

4

4艮nQ>c

一r

所以log35>log333=才

44

因為73=343<（5三）3=625,所以7<53

44

所以log57<log555=，即b<c.

所以a>c>b.

思維升華求同存異法比較大小

如果兩個指數(shù)或?qū)?shù)的底數(shù)相同，則可通過真數(shù)的大小與指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷出指數(shù)或?qū)?shù)的大小

關(guān)系，要熟練運(yùn)用指數(shù)、對數(shù)公式、性質(zhì)，盡量將比較的對象轉(zhuǎn)化為某一部分相同的形式.

跟蹤訓(xùn)練2（1）已知正數(shù)。力,c滿足2024a=2025,2025匕=2024,e，=2,下列說法正確的是（）

A.logqCAlogb。B.logM>logcb

C.ac<bcD.ca<cb

答案D

解析V2024。=2025,2025“=2024,ec=2,

.'.a=log20242025>l力=log20252024<l,c=ln2<1,

a>l,0<Z?<l,0<c<1,

.*.logac<0,logz,c>0,Jlogqcvlog6G故A錯誤；

*.*0<c<l,a>b,，log4<logcbd>b；c"<c",故B,C錯誤,D正確.

1V3

(2)若a=4°g2i■力=］ogi47,c=iogi26,貝!J()

A.a>b>cB.b>c>a

C.c>b>aD.a>c>b

答案A

log221og21Og2

解析fl=4T=2T=2B=(3=*

Z?=logi47=1—logi42=1一百,c=logi26=1—logi22=1一黑,

ini4iniz

因為410gl42=logl424=logi416>l則Iogl42>:

4

所以l—logi42<l—：=*即b<a；

而In2>0,ln14>ln12>0,所以笆〈警，

lnl4lnl2

所以1一轉(zhuǎn)>1一署，即6"，

lnl4lnl2

綜上,。>b>c.

課時精練

［分值：52分］

一、單項選擇題(每小題5分，共30分)

1.(2024,湛江模擬)已知a—203,/?—30,2,c—logo.20.3,JSl!j()

A.b>c>aB.c>b>a

C.a>b>cD.b>a>c

答案D

201013

解析依題意力=3°-=9>8=2°=a>l,c=logo,20.3<logo,20.2=1，所以b>a>c.

_i

2.（2025.攀枝花模擬）若a=（7l￡b=log3e,c=（￡p^（）

A.a>c>bB.a>b>c

C.c>a>bD.c>b>a

答案A

_1

解析易知y=如在（0,十8）上單調(diào)遞增，則（國》=3E>eE=G）3,即q>c,

11

而由y=3"j=e，均為增函數(shù)彳導(dǎo)3§>3°=1,e§>e°=1,即a>c>l,

又y=log#為增函數(shù)故1=log33>log3e=Z?,

則d>c>\>b.

3.已知a=ln8力=n"c=ln赤,則a,b,c的大小關(guān)系為（）

A.b>a>cB.b>c>a

C.a>c>bD.a>b>c

答案A

解析??,（遮）6=27,（訴）6=兀2,27>712,

V3>Vfi/

0<lnVn<lnV3<lne=l,即

i

VZ?=Tie>l,

b>a>c.

4.已知a=log32,Z?=log43,c=sin，則a,b,c的大小關(guān)系為（）

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>c>aD.b>a>c

答案D

解析c=sin'="因為函數(shù)丫=1083羽了=1。84在（0,+8）上單調(diào)遞增，

oZ

則a=log32>log3V3=I，

b=Iog43>log42=-.

a_b_ln2_ln3In2xln4-（ln3）2

ln3ln4In3xln4'

因為In2>0,ln4>0廁In2+ln4>2Vln2Xln4^>ln2XIn4<^X（ln8）2<^X（ln9）2=（ln3）2.

故綜上力>a>c.

5.（2025.沈陽模擬）設(shè)a=e熱=ln共。=嗤，則（）

A.a<b<cB.c<b<a

C.b<c<aD.a<c<b

答案B

解析〃=e^>e°=1力=ln，故a>b,a>c,

io

要比較In牌與嗜的大小，即比較Ing）與In2.2的大小，

等價于比較1/°與2.2的大小，等價于比較1.P與2的大小,

又1.19=1.1X1.18=1.1X1.214>1.1X1.24=1.1X1.442>1.1X1.42=1.1X1.96>2,

故l.P>2,即In片嗤，即b>c,

故c<b<a.

6.已知log4/"=白,logi2"=；,0.9P=0.8,則正數(shù)m,n,p的大小關(guān)系為（）

Zu4

A.p>m>nB.m>n>p

C.m>p>nD.p>n>m

答案A

I9v