章§8.3圓的方程§8.3圓的

方程

【課標(biāo)要求】1.理解確定圓的幾何要素，在平面直角坐標(biāo)系中，掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.2.能根據(jù)圓的

方程解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題與實際問題.

---------------------------落實主干知識---------------------------

1.圓的定義和圓的方程

定義平面上到定點的距離等于珪的點的集合叫做圓

圓心C(a9b)

標(biāo)準(zhǔn)(x-Q)2+(y—A)2=/(r>0)

半徑為E

方程圓心c(4,-f)

x1+y2+Dx+Ey+F=0

一般

(D2+E2~4F>0)半徑r=IJD2+￡2~4F

2.點與圓的位置關(guān)系

平面上的一點M(xo，yo)與圓C：(x—ap+Q—6)2=/之間存在著下列關(guān)系：

W\MC\>r^M在圓處，即(沏-4+(y0-在圓外；

(2)|MC|=r^M在圓上，即(xo—a)2+-Z?)2=在圓上；

2

(3)|MC|<r?M在圓內(nèi)，即(沏-o)+(y0—bf<r^M在圓內(nèi).

B自主診斷

L判斷下列結(jié)論是否正確.(請在括號中打“4”或“X”)

⑴確定圓的幾何要素是圓心與半徑.(q)

(2)(x—2>+?+1)2=〃("0)表示以(2,1)為圓心，a為半徑的圓.(X)

(3)方程"2+8孫+32+.+項+尸=0表示圓的充要條件是4=(?/0,8=0,。2+片2—44冷0.(()

(4)若點M(xo,yo)在圓/+、2+為+切+尸=0外，則賄+y,+￡)xo+￡Iyo+F>O.(?)

2.已知圓/+產(chǎn)+2%—4.+1=0關(guān)于直線％—y+f=O對稱，則實數(shù)1等于()

A.13B.1

D.3

答案D

解析由爐+9+2彳―4y+l=0得(x+l)2+。-2)2=4,

則圓心坐標(biāo)為(一1,2),

又因為圓X2+/+2x-4y+1=0關(guān)于直線x—y+t=0對稱,

故由圓的對稱性可知，圓心(一1,2)在直線x—y+f=0上,

則/=y一尤=2—(-1)=3.

3.(多選)已知圓C：/+/一4尤+6'+11=0與點4(0,-5),貝女)

A.圓C的半徑為2

B.點A在圓C外

C.點A在圓C內(nèi)

D.點A與圓C上任一點距離的最小值為魚

答案BD

解析因為%2+r-4x+6j+ll=0,即(X—2)2+(y+3)2=2,所以圓心為C(2,—3),半徑r=&，故A錯

誤；

又|AC|=J(2-0)2+(-3+5)2=2V2>r,所以點A在圓C外,故B正確，C錯誤；

因為|AC|=2/,所以點A與圓C上任一點距離的最小值為|AC|—r=&,故D正確.

4.以點A(0,-1),B(2,1)為直徑端點的圓的方程為.

答案(x-l)2+/=2

解析由題意可知，圓心為線段A3的中點(1,0),且|A3|=J(0-2)2+(—1—1)2=2/,

所以圓的半徑『嚶=魚，

因此，所求圓的方程為(x—l)2+y2=2.

3微點提醒

L掌握圓的兩個性質(zhì)

(1)圓心在過切點且垂直于切線的直線上；

(2)圓心在任一弦的中垂線上.

2.牢記兩個相關(guān)結(jié)論

(1)圓的“直徑式”方程：以A(?,yi),Bgm)為直徑端點的圓的方程為(%—%D(x—%2)+(y-yi)(y—m)=0.

(2)圓的參數(shù)方程：圓心為(4,6),半徑為r的圓的參數(shù)方程為『二°十"°S仇其中。為參數(shù)，可用來設(shè)圓上

[y=b+rsind,

的點的坐標(biāo).

探究核心題型

題型一圓的方程

例1設(shè)。M的圓心M在直線2x+y-l=0上，點(3,0)和(0,1)均在。M上，則OM的方程

為.

答案(x—l)2+(y+1)2=5

解析方法一設(shè)。M的方程為(Lap+Cy—6)2=/(->0),

2a+b—1=0,(a=L

(3-。)2+廬=產(chǎn),解得卜=_1,

{a2+(l-b)2—r2,(*=5,

二?！ǖ姆匠虨?x—1)2+&+1)2=5.

方法二設(shè)。M的方程為/+/+為+￡、+產(chǎn)=0(￡)2+E2—4F>0),

則M(H，-)

+勻-1=。,『=-2,

,J9+3D+F=0,解得JE=2,

ll+E+F=0,(9=-3,

。"的方程為x1+y1-2x+2y-3=0,

即(尤一1)2+。+1尸=5.

方法三設(shè)A(3,0),8(0,1),的半徑為r,

則08=言=一J線段AB的中點坐標(biāo)為(|,0,

二線段A3的垂直平分線方程為廠：3(久-|),

即3兀一y—4=0.

宜=_^_(3%—y—4=0,(x=l,

聯(lián)立解得/.Md,-1),

(2x+y-1=0,(y=-1,

/.^=|M4|2=(3-l)2+[0-(-l)]2=5,

：??！钡姆匠虨?x-1)2+&+1)2=5.

思維升華求圓的方程的常用方法

⑴直接法：直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，寫出方程.

(2)待定系數(shù)法

①若已知條件與圓心(。,加和半徑廠有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出。，「的值；

②選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D,E,產(chǎn)的方程組，進(jìn)而求出D.E,/的值.

跟蹤訓(xùn)練1(2024?南昌模擬)設(shè)圓心在x軸的圓C過點(1,1),且與直線y=2x—l相切，則圓C的標(biāo)

準(zhǔn)方程為.

答案(x-3)2+y2=5

解析方法一設(shè)圓C的圓心為(〃z,0),

則由于該點到直線尸2x—1的距離

J22+(-1)2

結(jié)合圓C與直線相切,知圓C的半徑為安.

V5

所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是(X—附2+產(chǎn)=四產(chǎn)

而圓C過點(1,1),所以(1—〃。2+12=生產(chǎn),解得〃7=3.

所以圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x—3)2+y2=5.

方法二因為點(1,1)在直線y=2x—1上,

所以圓C與直線y=2x—1的切點為(1,1),

則過圓心C和切點(1,1)的直線方程為廠1=一打-1),即y=一1x+|,

又因為圓心C在x軸上,則0=—]+|，得x=3,

即C(3,0),圓C的半徑為J(3—1)2+(0-,故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x—3)2+y=5.

題型二與圓有關(guān)的軌跡問題

命題點1直接法

例2已知線段A3的長度為4,動點M與點A的距離是它與點3的距離的四倍，則面積的最

大值為（）

A.8V2B.8

C.4V2D.y

答案A

解析以線段AB的中點。為坐標(biāo)原點，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,

設(shè)Mx，y),且A(—2,0),B(2,0),

由|MA|=A/I|M3|,得0+2)2+/=2(%-2)2+29,

化簡得M的軌跡方程為圓(x—6)2+V=32&W0),半徑-4魚,

如圖，有SAMAB\AB\-r=8A/2.

所以△MA3面積的最大值為8V2.

命題點2定義法

例3已知圓C：(x—l)2+(y—1)2=1,點M是圓上的動點，AM與圓相切，且|AM|=2,則點A的軌跡

方程是()

A.y2=4x

B..?+j2-2x-2y-3=0

C.x2+/-2y-3=0

D.y2=-4x

答案B

解析因為圓C：(x-l)2+(j-l)2=l,

所以圓心C(1,D,半徑r=l,

因為點M是圓上的動點，所以|MC|=1,

又AM與圓相切，且|AM=2,

則以C|=J|MC|2+|XM|2=V5,

設(shè)A(x,y)，則(%—1)2+。-1)2=5,

即爐+產(chǎn)一2x—2y—3—0,

所以點A的軌跡方程為x2+y2—2x—2y—3=0.

命題點3相關(guān)點代入法

例4(2024.新課標(biāo)全國II)已知曲線C：x2+y2=16(y>0),從C上任意一點P向x軸作垂線段尸尸，P,

為垂足，則線段尸P的中點”的軌跡方程為()

V-2y2

A二+竺=go)B.-+y=l(J>0)

164

77

C.匕十二D.匕+土=1。>。)

1641687,

答案A

解析設(shè)點M(x,j),

則P(x,yo),P'(x,0),

因為M為PP的中點，

所以y°=2y,即P(x,2y),

又P在曲線/十丁=i6(y>0)上,

所以爐+仃?："?！?。),

?y2”2

即三+彳=1(丫>。)，

22

即點M的軌跡方程為高+3=1?>0).

164

思維升華求與圓有關(guān)的軌跡問題的常用方法

⑴直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程.

⑵定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程.

(3)相關(guān)點代入法：找到要求點與已知點的關(guān)系，代入已知點滿足的關(guān)系式.

跟蹤訓(xùn)練2已知RtAA3C的斜邊為A3,且4(一1,0),3(3,0).求:

(1)直角頂點C的軌跡方程；

(2)直角邊BC的中點M的軌跡方程.

解⑴方法一設(shè)C(x,y),因為A,B,C三點不共線，所以產(chǎn)0.

因為AC1BC，且AC,BC斜率均存在,

所以kAc-kBc=-1,

又—=%，

所以W■一看=一1，

x+1x-3

化簡得x1+/一2x—3—0.

因此，直角頂點C的軌跡方程為％2+y2—2x—3=o(產(chǎn)0),即(x—l)2+y2=4(產(chǎn)0).

方法二設(shè)線段AB的中點為D,由中點坐標(biāo)公式得D(1,0),由直角三角形的性質(zhì)知|CD|=T|AB|=2.由圓

的定義知，動點C的軌跡是以￡>(1,0)為圓心，2為半徑的圓(由于A,B,C三點不共線,所以應(yīng)除去與x

軸的交點).

所以直角頂點C的軌跡方程為

(%—l)2+y2=4(y^0).

⑵設(shè)M(x,y),C(x0,yo),

因為B(3,0),且M是線段3c的中點,

所以由中點坐標(biāo)公式得了=第，>=空,

所以xo=2x—3,yo=2y.

由⑴知，點C的軌跡方程為

(x-l)2+y2=4(y^0),

將沏=2元一3,yo=2y代入得(2x—4)2+(2y)2=4(yW0),即(無一2)z+;/=1。片0).

因此直角邊BC的中點M的軌跡方程為

(X—2)2+J2=1(J^0).

■微拓展?

阿波羅尼斯圓

“阿波羅尼斯圓”的定義：平面內(nèi)到兩個定點A(-a,0),8(。，0)3>。)的距離之比為正數(shù)如#1)的點的軌跡是

以(Ua，0)為圓心，|含|為半徑的圓，即為阿波羅尼斯圓?

典例⑴設(shè)A,B是平面上兩點，則滿足翳=?其中k為常數(shù)，k>0且陽)的點P的軌跡是一個圓，已知A(V6,

0),網(wǎng).，0),且k=&,則點P所在圓〃的方程為.

答案/+產(chǎn)=3

解析設(shè)P(x,y),由題意可得，=魚，

BPIPAI=y/2\PB\,

2

則(％-V6)2+y2=2-y)+y2,

整理得%2+,2=3.

(2)已知在△ABC中，角A,8,C的對邊分別為a,b,c,sinA=2sinB,QCOSB+bcosA=2f則△ABC面積的

最大值為.

4

答案-

3

解析依題，目，ESsinA=2sinB,

得田C|=2\AC\tacosB+bcosA

a2+c2-b2b2+c2-a2

-----------+------------=c=2,

2c

即|A8|=2,以A8邊所在的直線為x軸，線段A8的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，

由18cl=2|AC|,則。的軌跡為阿波羅尼斯圓，其方程為(％-|丫+丁=￡,,

邊A8上的高的最大值為1,

所以(S&4BC)颯='

題型三與圓有關(guān)的最值問題

命題點1利用幾何性質(zhì)求最值

例5(多選)已知實數(shù)y滿足爐+9一4y+3=0,貝！J()

A.當(dāng)xNO時，上的最小值是一B

X

Bf十9的最小值是1

C.y—x的最小值是2—V2

D.|%+y+3］的最小值為2

答案BC

2

解析由f+y—4y+3=0，得f+0一2產(chǎn)=1.該方程表示圓心為C(Oz2),半徑廠=1的圓.

設(shè),則左表示圓上的點(除去點(0,1)和(0,3))與原點0(0,0)連線的斜率,

由y=/cx(x7^0),則/?2|^=W],

JH+(-I)2

解得k及有或kW-V3,故A錯誤；

因為f+V表示圓上的點到原點的距離的平方，又圓心在y軸上，

所以當(dāng)x=o，尸1時，/十丁取得最小值,且最小值為1,故B正確；

設(shè)y—x=＞，貝!]y=x+6,6表示當(dāng)直線y=x+b與圓有公共點時，直線在y軸上的截距，

則JTwi,

J12+(-氏

解得2—V5WZ?W2+迎，

即y—x的最小值是2—V2z故C正確；

|x+y+3|表示圓上的點到直線x+y+3=0距離的近倍，

圓心(0,2)到直線x+y+3=0的距離為d=^=,

則|x+y+3的最小值為金X(/-1)=5—四,故D錯誤.

命題點2利用對稱性求最值

例6已知A(0,2),點尸在直線x+y+2=0上，點。在圓C：xz+y2-4x-2y=0±,則1PAi+|PQ|的

最小值是.

答案2遍

解析因為圓C：x2+y2-4.x-2y=0,

即(x—2)2+?！?y=5,

所以圓C是圓心為C(2,1),半徑r=代的圓.

設(shè)點4(0,2)關(guān)于直線x+y+2=0的對稱點為,n),

fm+0n+2

所以渡一,

扃=L

解得F=—4'故4(—4,-2).

ln=-2,

連接AC交圓C于Q(圖略),交直線x+y+2=0于尸，此時，|尸4|十闿|取得最小值，

由對稱性可知I尸川+\PQ\=\PA]+\PQ\=\A'Q\=\A'C\-r=2V5.

命題點3利用函數(shù)求最值

例7設(shè)點P(x,y)是圓X2+(J-3)2=1上的動點，定點A(2,0),B(—2,0).則方?麗的最大值

為.

答案12

解析方法一由題意，得刀=(2—尤,-y),

PB=(一2—x,—y),

所以對.麗=f+y2—4,

由于點P(x,y)是圓上的點，故其坐標(biāo)滿足方程

^+?一3)2=1,故/=一(>—3/+1,

所以麗.麗=一。-3)2+1+/一4

=6廠12.

易知20W4,所以當(dāng)y=4時，萬?麗的值最大，最大值為6X4-12=12.

方法二(極化恒等式)

由題意知線段的中點為。(0,0),BA=(4,0),

PA-PB=^[(PA+PB)2-(PA-PB)2]

=PO2-JBX2=|W-4,

易知I而F的最大值為[J(0-0)2+(3-0)2+1]2=16,

所以福?麗的最大值為12.

思維升華與圓有關(guān)的最值問題的求解方法

(1)借助幾何性質(zhì)求最值：形如幺=j尤+勿，(x—。戶+?一A)?形式的最值問題.

X—CL

⑵建立函數(shù)關(guān)系式求最值：列出關(guān)于所求目標(biāo)式子的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)關(guān)系式的特征選用配方法、判

別式法、基本不等式法等求最值.

⑶求解形如『M+FW(其中M,N均為動點)且與圓C有關(guān)的折線段的最值問題的基本思路：①“動化

定”，把與圓上動點的距離轉(zhuǎn)化為與圓心的距離；②“曲化直”，即將折線段之和轉(zhuǎn)化為同一直線上的兩

線段之和，一般要通過對稱性解決.

跟蹤訓(xùn)練3(1)(2024?商洛模擬)已知P(x0，四)是圓C：爐+V一2x—2y+l=0上任意一點，則小的最

%0—3

大值為()

A.-2B--2

C-4—\/7D-4+V7

.3.3

答案D

解析設(shè)女=吟，

欠0-3

變形可得網(wǎng)司一3)一加一1=0,則空的幾何意義為直線十一3)一廠1=0的斜率，

圓C：f+y2—2x—2y+1=0可化為(x—l)2+(y—1)2=1,所以圓。的圓心為C(1,1),半徑為1.

因為尸(%0,必)是圓C：%2+產(chǎn)一2x—2y+l=0上任意一點,

所以圓。與直線左(%—3)—y—1=0有公共點，

即圓C的圓心C(1,1)到直線依L3)一廠1=0的距離不大于圓C的半徑，

所以如言口W］,

JH+1

解得耳saw手,

即筆的最大值為耳.

XQ-33

(2)已知圓C：(x—3)2+。-4)2=1,設(shè)點P是圓C上的動點.記d=|P3|2+|PA|2,其中4(0,1),B(0,一

1),則d的最大值為.

答案74

22

解析設(shè)尸(xo,Jo),則d=\PB\+\PA\=x^+(y0+iy+x^+(y0—lf=2(x^+y^+2,密+羽表示圓上任一

點到原點距離的平方，二(詔+y,)max=(5+l)2=36,.,.〃max=74.

課時精練

［分值：90分］

IC^知識過關(guān)

一、單項選擇題(每小題5分，共30分)

1.(2024.北京)圓x1+y2-2x+6y=Q的圓心到直線x-y+2=Q的距離為()

A.V2B.2

C.3D.3V2

答案D

解析將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，

得(X—1)2+3+3)2=10,

所以該圓的圓心(1,一3倒直線X—y+2=0的距離為7-3)+2「指=371

心+(-1)2V2

2.圓心在y軸上，半徑為2,且過點(2,4)的圓的方程為()

A.JT+(J—1)2=1

B.(x-2)2+y2=4

C.(^-2)2+(y-4)2=4

D.%2+CV-4)2=4

答案D

解析依題意設(shè)圓心坐標(biāo)為(0,b)，則圓的方程為f+(y—6)2=4,又2?+(4—6)2=4,解得6=4,所以圓

的方程為爐+。一41=4.

3.(2024?西安模擬)若過點P(0,1)可作圓元2+y2—2x—4y+q=0的兩條切線，則”的取值范圍是()

A.(3,+8)3)

C.(3,5)D,(5,+8)

答案C

解析圓f+y2—2x—4y+a=0,即圓(x—1)2+。-2>=5—a,則5—a>0,解得a<5,又過點尸(0,1)有兩

條切線，則點P在圓外，J(1-0)2+(2-1)2>V5-a,即2>5—a,解得。>3,故3<a<5.

4.已知A(—1,0),BQ,0),若點尸滿足PAL尸8,則點P到直線/：加(%—百)+"。-1)=0的距離的最大

值為()

A.lB.2

C.3D.4

答案C

解析由PALPB可得點P的軌跡為以線段AB為直徑的圓(去除點A和點B),圓心坐標(biāo)為(0,0),半徑為

1,又直線/：租(x—B)+"(y—1)=0,其過定點(遮,1),故距離的最大值為j^1+l=3.

5.(2024.南寧模擬)已知坐標(biāo)原點。在直線點一2y=2m+8上的射影為點P(xo,刈)，貝U以必然滿足的關(guān)

系是()

AGo+1)2+仇—2)2=5

22

B.(x0-l)+(y0+2)=5

C.g+l)2+(y°—2y=20

22

D.(xo-l)+(yo+2)=2O

答案B

解析直線1：iwc—2y=2m+?>,

即〃z(x—2)—2。+4)=0恒過定點A(2,-4),

由原點O在直線/上的射影為點P,得OP，/,

則點P在以O(shè)A為直徑的圓上(去除點(2,0)),

該圓圓心為(1,-2),半徑為r=Jl2+(-2)2=V5,

所以Xo,yo必然滿足的關(guān)系是(久0-1)2+(7O+2)2=5.

6.已知機(jī)GR,直線乙：加+3=0與直線L：x+〃zy—〃L5=0相交于點尸，則P到直線2x+y+7=

0的距離的取值范圍是()

A.[V5,3V51B.(V5,3V51

C.[2V5,4V5]D.(2V5,4場

答案D

解析因為+l)-7w=0,

所以直線(與/2始終垂直，

又由條件可得直線恒過定點M(1,3),直線/2恒過定點N(5,1),

所以兩直線的交點尸在以線段MN為直徑的圓上，

該圓的圓心坐標(biāo)為(3,2),半徑為%WV|=2J(5—1)2+(1-3)2=、

/5,

所以該圓的方程為(x—3)2+。-2)2=5,

圓上點(1,1)是過定點M(1,3)且斜率不存在的直線與過定點N(5,.1)且斜率為0的直線的交點，故點尸的

軌跡不經(jīng)過點(1,1).

圓心(3,2)到直線2x+y+7=0的距離d=RS=3遙,

J2Z+12

所以圓上的點到直線2x+y+7=0的距離的最大值和最小值分別為4遍和2V5,

又點(1,1)到直線2尤+y+7=0的距離為2V5,應(yīng)舍去,

所以P到直線2x+y+7=0的距離的取值范圍是(2花，4V5].

二、多項選擇題(每小題6分，共12分)

7.設(shè)圓C：(x—Q2+(y—G)2=4aGR),則下列命題正確的是()

A.任意ZGR,圓的面積都是4兀

B.存在kGR,使得圓C過點(3,0)

C.經(jīng)過點(2,2)的圓C有且只有一個

D.不論看如何變化，圓心C始終在一條直線上

答案AD

解析由于對任意kWR,圓的半徑都是2,故面積都是4兀,A正確；

由于(3—牙+(0—⑥2=2於—6%+9=26—|)+|^|>4,故圓C必定不過點(3,0),B錯誤；

對左=2-&和左=2+e,均有(2—左)2=2,故(2—左>+(2—左)2=4,即圓C經(jīng)過點(2,2),C錯誤；

圓心C(k,左)始終在直線y=x上,D正確.

8.(2024丹東模擬)已知曲線E：^+y2-2W-2|y|=0(x,y不同時為0),貝女)

A.曲線E圍成圖形的面積為8+4兀

B.曲線E的長度為4V27T

C.曲線E上的點到原點的最小距離為企

D.曲線E上任意兩點間最大距離為4V2

答案ABD

解析當(dāng),y^O,且x,y不同時為0時，曲線E：(%—l)2+(y-1)2=2;

當(dāng)x20,y<0時，曲線E：(x-l)2+(y+1)2=2；

當(dāng)x<0,y》0時,曲線E：(x+1)2+。-1/=2；

當(dāng)x<0,產(chǎn)0時,曲線E：(x+l)2+(y+1)2=2.

畫出曲線E的圖形，如圖所示.

對于A,曲線E圍成的圖形可分割為一個邊長為2四的正方形和四個半徑為魚的半圓，

故面積為2魚X2A+2TIX(VI)2=8+47I,故A正確；

對于B,曲線E由四個半徑為魚的半圓組成，故周長為2X27rXV2=4V27r,故B正確；

對于C,曲線E上的點到原點的最小距離為2,故C錯誤；

對于D,當(dāng)曲線E上任意兩點的連線過圓心及原點時，距離最大，最大為4V2,故D正確.

三、填空題(每小題5分，共10分)

9.已知尸(加，〃)是圓C：丁十丁―8x—6y+23=0上一點，則—1)2+幾2的最小值是.

答案2V2

解析-1)2+n2表示圓上的點p(m,〃)到點(1,0)的距離，

由丁十丁一8年—6丫+23=0可化為(了一4)2+仃-3)2=2,

則圓心為(4,3),半徑為魚，點(1,0)到圓心的距離為14產(chǎn)乜0^3)2=3魚,

所以點P(m,"倒點(1,0)的距離的最小值為3V2-V2=2V2,

即-1)2+n2的最小值是2代.

10.已知圓C以C(l,1)為圓心，且與直線如一y—2相=0(〃zGR)相切，則滿足以上條件的圓C的半徑最大

時，圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

答案(X-1)2+CV-1)2=2

解析直線如一y—2加=0可化為m(x—2)—y=0,

所以f—2=°，解得［=2,

l-y=0,ly=0,

所以直線過定點A(2,0),

當(dāng)C4與直線mx—y—2〃z=0垂直時，圓C的半徑最大，半徑為J(2—1)2+(0_1)2=a,

所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(尤一1)2+(廠1)2=2.

四、解答題(共27分)

11.(13分)已知圓C的圓心在x軸上，并且過4(1，3),3(3,3)兩點.

(1)求圓C的方程；(6分)

⑵若P為圓C上任意一點，定點M(8,0),點。滿足麗=3。而，求點。的軌跡方程.(7分)

解⑴由題意可知，線段AB的中點為(2,3),4=0,所以線段AB的垂直平分線方程為x=2,

它與x軸的交點為圓心C(2,0),

又半徑r=\AC\=V10,

所以圓c的方程為(x—2)2+y2=10.

(2)設(shè)P(xo,yo),Q(x,y),

由兩=3兩,得(8—xo,-y0)=3(8-x,-y),

所以卜［3久—16,

又點尸在圓C上,故(尤0—2)2+羽=10,

所以(3x—18)2+(3y)2=10,

化簡得點Q的軌跡方程為(x—6)2+丁=?

12.(14分)已知圓Ci經(jīng)過點A(l,3)和3(2,4),圓心在直線2x—y—1=0上.

⑴求圓G的方程；(6分)

(2)若N分別是圓Ci和圓C2：(x+3)2+(y+4)2=9上的點，點P是直線x+y=0上的點，求|PM|+|PN|

的最小值，以及此時點P的坐標(biāo).(8分)

解⑴由題意知線段A3的中點坐標(biāo)為(|,1),

4—3

kAB=—=l,

Z—1

???線段AB的垂直平分線方程為y-l=

即y=5一%,

聯(lián)立,=5—尤，解得『=2,

(,y=2x-1,1y=3,

即圓G的圓心為Ci(2,3),半徑r=|ACi|=l,

其方程為(x-2)2+(y_3)2=l.

⑵注意到點Ci(2,3)和點C2(-3,-4)在直線x+y=0的兩側(cè)，

直線x+y=O與兩圓分別相離，如圖所示.

.,.|PM|+|PN|^|PCI|-1+|PC2|-3^|CIC2|-4=V74-4,

當(dāng)且僅當(dāng)M,N,P,C1:C2五點共線且M,N在Ci,C2之間時等號成立，

則FM+I尸川的最小值為丁有一4,

此時點P為直線CC2與x+y=O的交點，

過G,C2的直線方程為7x-5y+l=0,

聯(lián)立尸尸°'解得卜；

(7x-5y+l=0,[y=—,

???點P的坐標(biāo)為(一行，?

10能力拓展

13題6分，14題5分，共11分

13.(多選)已知圓C：/+?―2y=2,點P是圓C上的一個動點，點A(2,0),貝女)

A,V2<|AP|^3V2

B./PAC的最大值為g

C.ZkPAC面積的最大值為2

D.前?萬的最大值為12

答案ACD

解析圓C的圓心為C(0,2),半徑r=V2,

圓心C(0,2)到A(2,0)的距離J=2V2,

/.2V2-z<|AP|^2V2+r,

即魚<|4尸其3聲,故A正確；

根據(jù)題意，如圖，當(dāng)CPLAP時，NR4C取得最大值，

此時△APC為直角三角形，由于|AC|=2|CP|=2企,

：.ZPAC=-,

6

故NPAC的最大值為，故B錯誤；

由于|AC|=2|CP|=2班,

.?.當(dāng)ACLCP時，的面積最大，

即△出（7面積的最大值為已271><a=2,故C正確；

如圖，當(dāng)前與希同向共線時，近?存取最大值，

\AC\=2y[2,|XP|=3V2,

：.AC-AP=12,故D正確.

14.（2024.佳木斯模擬）已知圓幺+丁=8上兩點A。1，與）,以如以），0為坐標(biāo)原點，若NAOB=120。，則民

十%一自+咫+9一4|的最大值是（）

A.8B.6V2

C.8V2D.12

答案D

解析由圓V=8上兩點A（xi,yi）,3（X2,>2）,

得|O4|=|0B|=2/,

設(shè)弦AB的中點為E,則OE1AB,

由/AOB=120。,得NABO=/8AO=30°,

所以|。月=m。4|=魚,

所以點E的軌跡是以魚為半徑，。為圓心的圓，

ki+yi-4|+|x2+y2-4|=V2

表示A/5兩點到直線x+y—4=0的距離之和的倍,

因為石為弦AB的中點，

故A,3兩點到直線%+廠4=0的距離之和等于點石到直線x+廠4=0的距離的2倍,

圓心O到直線x+y—4=0的距離為詈=2魚,

J1+1

所以點E到直線工+廠4=0的距離的最大值為2V2+V2=3V2,

所以阮+%—4|+僅2+以一4|的最大值是四義3迎乂2=12.§8.4直線與圓、

圓與圓的位置關(guān)系

【課標(biāo)要求】1.能根據(jù)給定直線、圓的方程判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系2能用直線和圓的方程解決一

些簡單的數(shù)學(xué)問題與實際問題.

?落實主干知識?

1.直線與圓的位置關(guān)系（圓心到直線的距離為d,圓的半徑為r）

相離相切相交

◎

圖形力

方程觀點J<0zl=0J>0

量化

幾何觀點d>rd=rd<r

2.圓與圓的位置關(guān)系（OOi，的半徑分別為Xmt/=|OiO2|）

圖形量的關(guān)系

外離0?〃＞片+廠2

外切承1=r1+廠2

相交1〃一為＜/〈口+r2

內(nèi)切〃=卜1-同

內(nèi)含d<|———21

3.直線被圓截得的弦長

（1）幾何法：弦心距小半徑廠和弦長依3|的一半構(gòu)成直角三角形，弓玄長L48=2Ur2一&2.

（2）代數(shù)法：設(shè)直線m與圓彳2+,2+,+3+尸=。相交于點〃，N,代入，消去y,得關(guān)于x的

一元二次方程，則］MNI=J1+卜21QM+%N）2-4XM%N-

B自主診斷

1.判斷下列結(jié)論是否正確.（請在括號中打“q”或“x”）

（1）若兩圓沒有公共點，則兩圓一定外離.（x）

⑵若兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交.（x）

⑶若直線的方程與圓的方程組成的方程組有且只有一組實數(shù)解，則直線與圓相切.（q）

（4）在圓中最長的弦是直徑.（勺）

2.直線3x+4y=5與圓V+V=16的位置關(guān)系是（）

A.相交且直線經(jīng)過圓心

B.相切

C.相離

D.相交且直線不經(jīng)過圓心

答案D

解析圓心到直線的距離d=5=1<4,且直線3x+4y=5不經(jīng)過點(0,0),所以直線與圓相交且不經(jīng)

過圓心.

3.直線2x—y+l=0與圓/十9=2交于A,臺兩點，則弦A3的長度為()

4

AA.——V2Bn.——6V5

55

C塢D.公

55

答案B

解析設(shè)圓f+丁=2的圓心為C(0,0),半徑r=V2,

因為C(0,0)到直線2x-y+1=0的距離d=^==當(dāng)，

M+i,

所以AB|=2〃2一d2=2(2=釁.

4.圓Ci：/+丁=4與圓C2：f+丁一8x—6y+16=0的位置關(guān)系是()

A.外切B.相交

C.外離D.內(nèi)切

答案A

解析圓G的圓心G(0,0),半徑n=2,

圓G可化為(x—4)?+(y—3)2=9,

二圓心C2(4,3),半徑〃=3,

2

.,.|CIC2|=J(4-0)+(3-0)2=5=n+/2,

故兩圓外切.

3微點提醒

1.牢記三個相關(guān)結(jié)論

2

(1)過圓/十丁二於上一點「(沏，州)的圓的切線方程為xox+yoy=r.

(2)過圓(X—a)2+。一力2=/上一點尸a。，%)的圓的切線方程為(祝―q)(x—q)+Do—

(3)過圓/+9二/外一點M(x(),加)作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為％0%+州匹=上

注意：求該類直線的方程亦可以用“留一代一”的方式進(jìn)行，即將^用玄。替換，丁用?。替換，x用亍

替換,y用手替換.

2.靈活應(yīng)用兩圓相交時公共弦的性質(zhì)

圓Cl：f+y2+D]x+Eu+/1=0與C2：f+y2+0M+E2y+戶2=0相交時：

(1)將兩圓方程直接作差，得到兩圓公共弦所在直線方程；

(2)兩圓圓心的連線垂直平分公共弦；

(31十V+。述十03；+77]+，/+9+。>+￡^十/2)=0(2W一1)表示過兩圓交點的圓系方程(不包括C2).

---------------------------探究核心題型---------------------------

題型一直線與圓的位置關(guān)系

命題點1位置關(guān)系的判斷

例1(多選)已知圓C：(x—2)2+9=16,直線/：mx+j—3m—1=0,則下列結(jié)論中正確的是()

A.直線/恒過定點(3,1)

B.直線/與圓C相切

C.直線/與圓C相交

D.直線/與圓C相離

答案AC

解析圓C：(X-2)2+/=16的圓心C(2,0),半徑r=4,直線I：加(x—3)+y—1=0恒過定點(3,1),顯

然J(3-2)2+l2=V2<4=r,因此點(3,1)在圓C內(nèi)，直線/與圓C相交，B,D錯誤，A,C正確.

思維升華判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法

(1)幾何法：利用】與廠的關(guān)系判斷.

(2)代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用/判斷.

⑶點與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點且定點在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交.

命題點2弦長問題

例2已知直線I：y=kx+3與圓C：(x—1)2+。-1)2=4交于A,B兩點，若|AB|=2VI,貝!J左等于

()

33

A]B.

C.-D.--

22

答案A

解析圓c：(X—1)2+。-1)2=4的圓心C(1,1),r=2,

所以圓心C(1,1)到直線1：y=kx+3的距離

公野,

Jl+fc2

而〃=卜—(啜2=退

力=1,

所以4=詈工=1,解得2一*

J1+H

思維升華弦長的兩種求法

(1)代數(shù)法：將直線和圓的方程聯(lián)立方程組，根據(jù)弦長公式求弦長.

⑵幾何法：若弦心距為d,圓的半徑長為r,則弦長/=2必二■港.

命題點3切線問題

例3(多選)過點A(4,—3)作圓(x—3)2+(y—1>=1的切線，所得切線方程為()

A.x=4B.15x+8y-36=0

C.y=13D.8x—15y—3=0

答案AB

解析由圓心為(3,1),半徑為1,當(dāng)過點4(4,—3)的切線斜率存在時，設(shè)切線方程為y=k(x~4)~3,

=1,可得左=謂，

則圓心到切線的距離O

i+fc2

所以y=—84)—3,即15x+8y—36=0；

當(dāng)切線斜率不存在時，切線方程為尤=4,顯然與圓相切，

綜上，切線方程為15x+8y-36=0或x=4.

思維升華當(dāng)切線方程斜率存在時，圓的切線方程的求法

⑴幾何法：設(shè)切線方程為y-y0=Kx-x0),利用點到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離一，然后令

d=r,進(jìn)而求出k.

(2)代數(shù)法：設(shè)切線方程為y-y0=k(x-x0),與圓的方程組成方程組，消元后得到一個一元二次方程，然后

令判別式j(luò)=0進(jìn)而求得左

注意驗證斜率不存在的情況.

命題點4直線與圓位置關(guān)系中的最值問題

例4已知尸是直線3x+4y+8=0上的動點，PA,P3是圓C：爐十9一23一2y+1=0的兩條切線，A,

B是切點，則四邊形PACB面積的最小值為.

答案2四

解析圓C:f+y2—2x—2j+1=0,

即圓C：(X—1>+。-1>=1,

所以圓心C(l,l),半徑r=l,

如圖，連接PC,

因為S四邊形PACB=2SAPAC=2X|X|AP|.|AC|=|AP|=7|PC|2-1,

所以求s四邊形PACE的最小值就是求|Pq的最小值，而IPQ的最小值就是圓心c到直線3x+4y+8=0的距離d,

即4旱筌=3,

卜+嫉

所以四邊形PACB面積的最小值為回工=2企.

思維升華涉及與圓的切線有關(guān)的線段長度范圍(最值)問題，解題關(guān)鍵是能夠把所求線段長表示為關(guān)于圓

心與直線上的點的距離的函數(shù)的形式，利用求函數(shù)值域的方法求得結(jié)果.

跟蹤訓(xùn)練1(1)(多選)已知圓C：(x-lA+Cx—2)2=25,直線/：(2加+l)x+(〃?+l)y—1m—4=0.則下列

命題正確的有()

A.直線/恒過定點(3,1)

B.y軸被圓C截得的弦長為26

C.直線/與圓C恒相交

D.直線/被圓C截得弦長最短時，直線/的方程為2元一y—5=0

答案ACD

解析由已知可得，圓心C(1,2),半徑r=5,

直線方程可化為I:加(2%+廠7)+尤+廠4=0,

,(2x+y-7=0fx=3,

由可得

lx+y-4=0,(y=l,

所以直線/恒過定點(3,1),A正確；

將x=0代入圓的方程有1+(J—2F=25,解得尸2±2乃,

所以>軸被圓C截得的弦長為4V6,B錯誤；

因為點(3,1)到圓心C(1,2)的距離為一3/+(2-l)*2=V5<5=r,

所以點(3,1)在圓內(nèi),直線/與圓C恒相交，C正確；

當(dāng)圓心C(1,2)與定點(3,1)的連線恰好與/垂直時，圓心到直線的距離最大，

直線/被圓C截得的弦長最短，則/的斜率z應(yīng)滿足三灰=一1,所以左=2,

代入點斜式方程有y—l=2(x—3),即2尤一廠5=0,D正確.

(2)(多選)(2024?南京模擬)已知點尸在圓O：x2+y2=4±,直線I：4x+3y—12=0分另U與x軸、y軸交

于A,3兩點，貝1」()

A.過點3作圓O的切線，則點3到切點的距離為28

B.滿足詞.而=0的點P僅有1個

C.點P到直線/距離的最大值為募

D.|同+而|的最小值是1

答案ACD

解析點A(3,0),點B(0,4),設(shè)圓。的半徑為r,過點B作圓0的切線，所以點B到切點的距離為

y/\OB\2-r2=<16-4=2V3,故A正確；

由中點坐標(biāo)公式得線段AB的中點為M(|,2),由兩點間距離公式得|AB|=5,則以線段AB為直徑的圓M

2

的方程為(久_|)+(y-2)2=^,

因為|OM|=+4=|,

而；2=J升2=]

滿足利君,所以圓M與圓。相交，