2024-2025學(xué)年人教版七年級(jí)下期末專題復(fù)習(xí)

專題七二元一次方程組

01知識(shí)結(jié)構(gòu)

①含有兩個(gè)未知數(shù)

二元一次方程②含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1

③是整式方程

二元一次方程的解

一［使二元一次方程兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值

①含有兩個(gè)未知數(shù)

二元一次方程組—

②一共有兩個(gè)方程，每個(gè)方程都是一次方程

③兩個(gè)方程都是整式方程

代人消元法

一［①變形；②代入;③求解;④回代；⑤寫解

加減消元法

二

變形；②加減；③求解;④回代；⑤寫解

元

一

次

方

步驟

程

組一（①審；②設(shè);③找;④列；⑤解;⑥答

設(shè)未知數(shù)，列方程組

實(shí)際--------------------［數(shù)學(xué)問題

問題解方程組

----------〔數(shù)學(xué)問題的解

檢驗(yàn)

一［實(shí)際問題的答案

①含有三個(gè)未知數(shù)

定義②含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1

③方程組中共有三個(gè)整式方程

代入消元法

解法

?加減消元法

02重難點(diǎn)突破

重難點(diǎn)1二元一次方程組的解法

【例1】?用指定的方法解下列方程組

1

x=l-y

（代入法）

2%+4y=5

3x-2y=6

（加減法）

2x+3y=17

方法指導(dǎo)

二元一次方程組通常解法兩種：代入法，加減法，我們可以根據(jù)具體的情況選擇簡

便的解法，如果方程中有未知數(shù)系數(shù)是1時(shí)，一般可以應(yīng)用代入消元法，如果兩個(gè)方程

的相同未知數(shù)系數(shù)相同或互為相反數(shù)時(shí)，一般采用加減消元法，如果方程組中系數(shù)沒有

特殊規(guī)律，采用加減消元法。

變式訓(xùn)練1

1.解二元一次方程組：

3u+2t=7

6w-2?=11

x=y—1

⑵

2y—3尤=1

3（2x+y）-2（x-2y）=263m-2n=26

2.解方程組若設(shè)2%+y=機(jī),x—2y=〃，則原方程組化為

2（2x+y）+3（x-2y）=132m+3w=13

[m=8f2x+y=8\x=3

解得所以/J解得。，我們把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)字母去替代它,

[n=-1[x-2y=-l[y=2

這種解方程組的方法叫做換元法.

[ax+by=6[x=—2

⑴關(guān)于九，y的二元一次方程組7。的解為/，則關(guān)于機(jī)力的二元一次方程組

[bx+ay=31y=4

\a（m+n}+b（m-n}=6

.z（a，其中根+77=_________，rn-n=__________,解得根=________，

[。（加+〃）+〃（加一九）=3

￡±z_q=4

⑵知識(shí)遷移：請(qǐng)用這種方法解方程組23；

2（x+y）+x—y=16

（3）拓展應(yīng)用：已知關(guān)于X，y的二元一次方程組,"的解為求關(guān)于X，y的方程組

[a2x+b2y=c2[y=-3

2a,x+3b.y=5c.

2曲+3&y除的解.

2

7

3.甲、乙兩名同學(xué)在解方程組\[m以x+一y：=5=2。時(shí)，x——

甲解題時(shí)看錯(cuò)了優(yōu)，解得2；乙解題時(shí)看錯(cuò)了

)=一2

[x=4

〃，解得請(qǐng)你根據(jù)以上兩種結(jié)果，求4帆+3〃的平方根.

4.請(qǐng)你根據(jù)王老師所給的內(nèi)容，完成下列各小題.我們定義一個(gè)關(guān)于非零常數(shù)。，6的新運(yùn)算，規(guī)

定：aob=ax+by,例如：4o5=4x+5y.

(1)如果x=5,2O4=-18,求＞的值；

⑵若lO(-2)=6,403=2,求x,y的值.

2x+y=-13x-y=6

5.已知關(guān)于x,＞的方程組和有相同的解.

ax+by=13bx—ay=9

(1)求這個(gè)相同的解;

(\\2。25

(2)求的值.

重難點(diǎn)2二元一次方程的整數(shù)解

【例2].已知二元一次方程5x+3y=22.

(1)把方程寫成用含x的代數(shù)式表示y的形式，即＞=；

(2)填表，使x,y的值是方程5x+3y=22的解；

x12345

y

(3)求方程的非負(fù)整數(shù)解.

方法指導(dǎo)

二元一次方程一般有無數(shù)組解，在特定情況下有有限的解，通常用含一個(gè)未知數(shù)的

式子表示另一個(gè)未知數(shù)，再在給定的條件下取特殊值，確定另一個(gè)未知數(shù)的值，

變式訓(xùn)練2

1.關(guān)于x,y的二元一次方程改+勿=。(a,b,。為常數(shù))，且人=々+1,c=a+2.

\x=2

(1)當(dāng)。時(shí)，求C的值;

|y=3

(2)若。為正整數(shù)，且該方程有正整數(shù)解時(shí)，求。的值.

2.張老師計(jì)劃用200元購買A,2兩種獎(jiǎng)品(兩種都要買)，A種獎(jiǎng)品每個(gè)15元，2種獎(jiǎng)品每個(gè)25

元，在錢全部用完的情況下，購買方案共有多少種？

3

3.已知小明某日攝取了7600J熱量，攝取食物的情況如下表所示:

食物谷物蔬菜水果牛奶蛋或肉

攝取份數(shù)X43y6

每份熱量/J880160240600300

小明攝取了幾份谷物、幾份牛奶（寫出一種答案即可）？

4.根據(jù)如表素材，探索解決任務(wù).

新年禮盒生產(chǎn)方案的設(shè)計(jì)

素

某工廠準(zhǔn)備在春節(jié)前生產(chǎn)甲、乙兩種型號(hào)的新年禮盒共70萬套.

材1

素甲禮盒的成本為20元/套，售價(jià)為24元/套；

材2乙禮盒的成本為25元/套，售價(jià)為30元/套.

問題解決

任該工廠計(jì)劃籌集資金1540萬元，且全部用于生產(chǎn)甲、乙兩種禮盒，則這兩種禮盒各生產(chǎn)多少

務(wù)1萬套？

經(jīng)過市場調(diào)查，該廠決定在原計(jì)劃的基礎(chǔ)上增加生產(chǎn)甲種禮盒加萬套，增加生產(chǎn)乙種禮盒，萬

任

套（機(jī)，〃都為正整數(shù)），且兩種禮盒售完后所獲得的總利潤為368萬元，請(qǐng)問該工廠有幾種

務(wù)2

生產(chǎn)方案？

任

在任務(wù)2的條件下寫出所有可行的生產(chǎn)方案.

務(wù)3

5.閱讀下面材料，完成任務(wù).

我們知道二元一次方程有無數(shù)組解，但在實(shí)際生活中我們往往只需要求出其正整數(shù)解.

y>0

4715

例：由3x+4y=15,得兀=5—（乂》為正整數(shù)），14八，則有0<y〈了.

35——y>04

44

又x=5-為正整數(shù)，.為正整數(shù)，

為3的正整數(shù)倍數(shù)，從而y=3,

4fx=1,

:.x=5--y=l,；.3x+4y=15的正整數(shù)解為

3[y=3.

4

任務(wù)：

⑴請(qǐng)你寫出方程"+3y=7的正整數(shù)解：；

(2)若號(hào)為自然數(shù)，則滿足條件的整數(shù)x有個(gè)；

(3)七年級(jí)某班為了獎(jiǎng)勵(lì)學(xué)習(xí)進(jìn)步的學(xué)生，購買了單價(jià)為每本5元的筆記本與單價(jià)為每支7元的鋼筆

兩種獎(jiǎng)品，共花費(fèi)75元，問有哪幾種購買方案？

重難點(diǎn)3二元一次方程解的概念的應(yīng)用

["3]+5v=fn+2Cl)

【例3】.若關(guān)于尤，y的二元一次方程組二"小滿足x+>=3,求機(jī)的值.

[2x+3y=m②

方法指導(dǎo)

能使方程組成立的未知數(shù)的值叫做方程組的解，如果一對(duì)對(duì)應(yīng)值能夠使方程成立，

則這一對(duì)值一定是方程的解，反過來是方程組的解，代入方程一定左右兩邊值相等。

變式訓(xùn)練3

1.閱讀與思考

對(duì)于未知數(shù)是項(xiàng)y的二元一次方程組，如果方程組的解尤，y滿足|x-y|=i,我們就說方程組的解x與

y具有“鄰好關(guān)系”.

fx+y=3

⑴方程組\:'的解1與y是否具有“鄰好關(guān)系”呢？說明你的理由.

[3x-2y=4

f2x+y=7

(2)若方程組,[?的解x與y具有“鄰好關(guān)系”，求機(jī)的值.

y=6m—l

fx+2y=k

2.已知方程組c;“，的解滿足x+y=6,求上的值.

[2x+3y=3左一1

3.計(jì)算：

(3x=2y

(1)解方程組：\'A

[x-2y=-4

(2)解方程組：J433

5(x-9)=6(y-2)

[2x-y=k+6

(3)如果關(guān)于x,y的方程組7,的解適合方程3X-y=-7,求％的值.

Ix—y=5

2x+3y=193x-2y=9

⑷關(guān)于％,y的方程組與有相同的解，求a+4b-3的值.

ax+by=-lbx+ay=-7

5

a,x+b.y=c,

（b'，2

4.對(duì)于關(guān)于*y的二元一次方程組.+如=。2其中‘"'''G是常數(shù)）'給出

如下定義：若該方程組的解滿足|x+y|=l,則稱這個(gè)方程組為“開心”方程組.

（1）下列方程組是“開心”方程組的是（只填寫序號(hào)）；

x-y=-l

①尤+k°②2fl③

2x-y=0,2x—y=23x+5y=7

2x+5y；=4左/+是3“開心”方程組,求人的值;

⑵若關(guān)于x,y的方程組5x+2=5

:二二（?。憾际恰伴_心”方程組,求"的直

⑶若對(duì)于任意的有理數(shù)機(jī)，關(guān)于x,y的方程組

2x+3y=-43犬-2y=7一

5.已知關(guān)于*y的方程組//和毆+版=-1有相同的解.

ax+by=-A

（1）求這個(gè)相同的解.

(2)求a+Z＞的值.

重難點(diǎn)4二元一次方程組解決實(shí)際問題

【例4】.根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù).

設(shè)計(jì)獎(jiǎng)項(xiàng)設(shè)置和獎(jiǎng)品采購的方案

某學(xué)校舉辦七年級(jí)數(shù)學(xué)知識(shí)競賽，需考慮獲獎(jiǎng)人數(shù)以及獎(jiǎng)品購買方案

素材1己知購買2盒水筆和1包筆記本需要320元，3盒水筆和2包筆記本需要520元.

素材2學(xué)校準(zhǔn)備出資880元購買水筆和筆記本兩種獎(jiǎng)品.

問題解決

任務(wù)1確定單價(jià)求一盒水筆和一包筆記本各多少元？

任務(wù)2確定購買數(shù)量將880元全部用完，可以購買水筆多少盒？筆記本多少包？

方法指導(dǎo)

列方程解應(yīng)用題的步驟是：（1）審題，弄清楚題目中的已知量、未知量。（2）設(shè),

設(shè)未知數(shù)，（3）根據(jù)等量關(guān)系列出符合題意的方程組。（4）解方程組。（5）檢驗(yàn)并作

答。

6

變式訓(xùn)練4

1.一列快車長為230m,一列慢車長為220m.若兩車同向而行，則快車從追上慢車開始直到完全超

過慢車需要30s；若兩車相向而行，則快車從與慢車相遇開始到完全離開慢車只需要6s.快車和慢車

的速度分別是多少？

2.某水稻實(shí)驗(yàn)基地防治病害蟲有無人機(jī)噴灑和人工打藥兩種方式.在一次作業(yè)中，一架無人機(jī)工作

2小時(shí)和一名工人工作8小時(shí)，共完成了340畝的打藥任務(wù)(不重復(fù)作業(yè))，通過測量對(duì)比發(fā)現(xiàn)無人

機(jī)每小時(shí)作業(yè)的面積恰好是人工的6倍.請(qǐng)問一架無人機(jī)和一名工人共同作業(yè)8小時(shí)能否完成960畝

的打藥任務(wù)，并說明理由.

3.某鐵件加工廠用如圖1所示的長方形和正方形鐵片(長方形的寬與正方形的邊長相等).加工成

如圖2所示的豎式與橫式兩種無蓋的長方體鐵容器.(加工時(shí)接縫材料不計(jì))

圖1圖2

(1)如果加工豎式鐵容器與橫式鐵容器各1個(gè)，則共需要長方形鐵片張，正方形鐵片張;

(2)現(xiàn)有長方形鐵片100張，正方形鐵片50張，如果加工成這兩種鐵容器，剛好鐵片全部用完，那加

工的豎式鐵容器、橫式鐵容器各有多少個(gè)？

(3)把長方體鐵容器加蓋則可以加工成為鐵盒.現(xiàn)準(zhǔn)備用33張鐵板先做成長方形鐵片和正方形鐵片，

再加工成鐵盒，每張鐵板有兩種裁法：

方法1：可以裁出3個(gè)長方形鐵片；

方法2：可以裁出4個(gè)正方形鐵片.

若充分利用這些鐵板加工成鐵盒，則可以加工成多少個(gè)鐵盒？

4.推進(jìn)中國式現(xiàn)代化，必須堅(jiān)持不懈夯實(shí)農(nóng)業(yè)基礎(chǔ)，推進(jìn)鄉(xiāng)村全面振興.某合作社著力發(fā)展鄉(xiāng)村水

果網(wǎng)絡(luò)銷售，在水果收獲的季節(jié)，該合作社用17500元從農(nóng)戶處購進(jìn)檸檬和蘋果兩種水果共1500千

克進(jìn)行銷售，其中檸檬的購進(jìn)單價(jià)為1。元/千克，蘋果的購進(jìn)單價(jià)為15元/千克.求檸檬和蘋果兩種

水果各購進(jìn)多少千克？

7

5.七年級(jí)某數(shù)理興趣小組在開展活動(dòng)中，組長小明裁剪了16張一樣大小的長方形硬紙片，組員小亮

用其中的8張恰好拼成一個(gè)大的長方形，小聰用另外的8張拼成一個(gè)大的正方形，但中間留下一個(gè)邊

長為1cm的正方形（見如圖中間的陰影方格），請(qǐng)你算出小明裁剪的每張長方形硬紙片長與寬分別是

多少cm?

小亮拼圖小聰拼圖

重難點(diǎn)5數(shù)學(xué)思想

1.建模思想

【例5-1】.為了鼓勵(lì)市民節(jié)約用水，某市居民生活用水按階梯式水價(jià)計(jì)費(fèi)，該市居民“一戶一表”生

活用水階梯式計(jì)費(fèi)價(jià)格表的部分信息如下：（水價(jià)計(jì)費(fèi)=自來水銷售費(fèi)用+污水處理費(fèi)用）

每戶每月用水量每噸自來水銷售價(jià)格/元每噸污水處理價(jià)格/元

17t及以下a0.80

超過17t不超過30t的部分b0.80

超過30t的部分6.00.80

已知小王家2024年4月份用水20t,交水費(fèi)83元；5月份用水25t,交水費(fèi)108元.

⑴求。力的值；

（2）6月份小王家用水32t,應(yīng)交水費(fèi)多少元？

方法指導(dǎo)

實(shí)際問題建立方程模型，將問題中的關(guān)鍵語句轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立方程模型。

變式訓(xùn)練5-1

1.《孫子算經(jīng)》中有這樣一題，原文：今有木，不知長短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，

不足一尺.問長木幾何？大意：用一根繩子去量一根長木，繩子還剩余4.5尺，將繩子對(duì)折再量長木,

長木還剩余1尺，問長木多少尺？

2.列二元一次方程組解決實(shí)際問題：

為豐富課余生活，加強(qiáng)體育鍛煉，七年級(jí)（1）班計(jì)劃購置跳繩和排球作為鍛煉器材.已知購買2個(gè)

8

排球和5根跳繩共需350元；購買4個(gè)排球和3根跳繩則需490元.該班共有45名學(xué)生，需為每人

配備1根跳繩，且每三名學(xué)生共用1個(gè)排球.若該班統(tǒng)一采購這兩種器材，已籌集經(jīng)費(fèi)2700元.請(qǐng)

問這筆經(jīng)費(fèi)是否能滿足本次采購需求？

3.列二元一次方程組解決下列實(shí)際問題：

每年的5月8日是國際紅十字日，這一日某校組織獻(xiàn)愛心捐款，其中初一(1)有36名同學(xué)參加，共

捐得1200元，捐款情況如下表：

捐款(元)100502010

人數(shù)24

表格中捐款50元和20元的人數(shù)不小心被墨水污染已看不清楚，請(qǐng)你根據(jù)表格提供的信息計(jì)算分別有

多少同學(xué)捐50元和20元.

2.轉(zhuǎn)化思想

【例5-2】.請(qǐng)你根據(jù)王老師所給的內(nèi)容，完成下列各小題.我們定義一個(gè)關(guān)于非零常數(shù)。，6的新

運(yùn)算，規(guī)定：aob=ax+by,例如：4o5=4x+5y.

(1)如果x=5,2O4=-18,求>的值；

⑵若lO(-2)=6,403=2,求x,y的值.

方法指導(dǎo)

把新定義問題轉(zhuǎn)化為二元一次方程組問題，解方程組得出結(jié)論。

變式訓(xùn)練5-2

1.對(duì)于有理數(shù)，規(guī)定新運(yùn)算：x^y=ax+by+xy,其中服人是常數(shù)，等式右邊的是通常的加法和乘

法運(yùn)算.已知：2X1=6,(-3蟀3=3,求保6的值.

f3x+7y=5〃7-3

2.問題：已知關(guān)于x,>的方程組L。的解滿足方程x+2y=5,求機(jī)的值.

[2%+3y=8

同學(xué)們正在討論著不同的解題思路：

f3x+7y=5m-3

甲同學(xué)說：可以先解關(guān)于％,丁的方程組。/0,再求加的值.

[2x+3y=8

[3x+7y=5m-3&

乙同學(xué)說：可以先將方程組c/。中的兩個(gè)方程相加，再求加的值；

[2x+3y=8

丙同學(xué)說：可以先解方程組c；。，再求小的值.

[2x+3y=6

9

請(qǐng)選擇一種合適的方法解決上面的問題.

%—3y=k+2

3.已知二元一次方程組c-,c的解適合方程3x+y=-8,求％的值.

2x-y=k-9

3.整體思想

蔡時(shí)，采用了一種“整體代換'’的解

【例5-3】.閱讀材料：善于思考的小軍在解方程組

法:

解：將方程②變形為4元+10y+y=5,即2（2x+5y）+y=5,（3）

把方程①代入③得2x3+y=5,

把y=-i代入①得》=4,

x=4

方程組的解為

y=T

請(qǐng)你解決以下問題:

3x—2y=5①

⑴模仿小軍的“整體代換”法解方程組

9x-4y=19@

3x?-2孫+12y?=47①八+“一,,,,_

(2)已知無，y滿足方程組?求整式尤,+4y-+沖的值.

2x2+孫+8y22=36②”

方法指導(dǎo)

所謂整體思想，就是打破從局部常規(guī)解決問題的思路，栗從整體結(jié)構(gòu)入手，觀察要

解決問題與已知條件之間的整體聯(lián)系，找到解決問題的捷徑O

變式訓(xùn)練5-3

2a-3b=13a=8.32（x+2）-3（y-l）=13

1.已知方程組3a+56=30.9的解是,求方程組3（尤+2）+5（y-l）=30.9的解，

=1.2

2.【注重閱讀理解】

先閱讀材料，然后解方程組.

x-y—1=0①

材料：解方程組:

場一月一^^②

由①，得x-y=l③.

把③代入②，得4x1->=5,解得>=-1.

10

把y=-i代入③，得x=o.

fx=O

原方程組的解為,

[y=-l

這種方法稱為“整體代入法”.你若留心觀察，有很多方程組可采用此方法解答，請(qǐng)用這種方法解方程

(x+y一2=1①

[3(x+y)-x=7②

x+2y=k-l

3.若關(guān)于的二元一次方程組，滿足x-y=5,求人的值.

2x+y=2k+l

2024-2025學(xué)年人教版七年級(jí)下期末專題復(fù)習(xí)

專題七二元一次方程組(解析版)

01知識(shí)結(jié)構(gòu)

11

①含有兩個(gè)未知數(shù)

二元一次方程②含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1

③是整式方程

二元一次方程的解

相關(guān)一c使二元一次方程兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值

定義

①含有兩個(gè)未知數(shù)

二元一次方程組

②一共有兩個(gè)方程，每個(gè)方程都是一次方程

③兩個(gè)方程都是整式方程

S__________________________________________________

代人消元法

[①變形；②代入;③求解;④回代；⑤寫解

解法

加減消元法

二

[①變形；②加減；③求解;④回代；⑤寫解

元

一

次

方

步驟

程

組I①審；②設(shè);③找;④列；⑤解;⑥答

實(shí)際應(yīng)用/---設(shè)未知數(shù)，列方程組

實(shí)際-------------------------------1數(shù)學(xué)問題

問題解方程組

---------------1數(shù)學(xué)問題的解

檢驗(yàn)

實(shí)際問題的答案

①含有三個(gè)未知數(shù)

定義②含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1

③方程組中共有三個(gè)整式方程

代入消元法

解法

加戒消元法

02重難點(diǎn)突破

重難點(diǎn)1二元一次方程組的解法

【例1】?用指定的方法解下列方程組

[x=l-y,,

（1）/\（代入法）

[o2x+4y=5

[3x—2y=6

⑵1&17（加減法）

[2x+3y=17

12

【答案】⑴3

Iy=—2

fx=4

2）穴

日=3

【分析】本題主要考查了解二元一次方程組，熟練掌握解答步驟是解題的關(guān)鍵.

331

（1）將①代入②得，y=3,進(jìn)而將y代入①得x=-],即可求解；

（2）①X3+②X2

x=1-y①

【詳解】（1）解:

2x+4y=5②

將①代入②得，2（l-y）+4y=5

3

解得：y

將y3代入①得戶心1

；?原方程組的解為：

①x3+②x2得，9x+4x=18+34

解得：％=4

將1=4代入①得，12-2y=6

解得：）=3

[x=4

???原方程組的解為：。

方法指導(dǎo)

二元一次方程組通常解法兩種：代入法，加減法，我們可以根據(jù)具體的情況選擇簡

便的解法，如果方程中有未知數(shù)系數(shù)是1時(shí)，一般可以應(yīng)用代入消元法，如果兩個(gè)方程

的相同未知數(shù)系數(shù)相同或互為相反數(shù)時(shí)，一般采用加減消元法，如果方程組中系數(shù)沒有

特殊規(guī)律，采用加減消元法。

變式訓(xùn)練1

13

1.解二元一次方程組:

J3w+2z=7

|6M-2Z=11：

x=y—1

⑵

2y—3尤=1

u=2

【答案】⑴1

t=-

l2

尤=1

⑵

j=2

【分析】本題主要考查了解二元一次方程組，熟知解二元一次方程組的方法是解題的關(guān)鍵.

(1)利用加減消元法解方程組即可；

(2)利用代入消元法解方程組即可.

3u+2t=7①

【詳解】(1)解:

6“-2t=11②

①+②得：9u=18,解得〃=2,

把〃=2代入①得：3x2+2/=7,解得/=5,

u=2

原方程組的解為1;

t=一

[2

尤=y-l①

(2)解:

2y-3x=l@

把①代入②得：2y-3(y-1)=1,解得y=2,

把>=2代入①得：x=2-l=l,

fx=l

原方程組的解為一

82

[3(2x+y]-2(x-2y}=26f3m-2n=26

2.解方程組J?！碵<若設(shè)2%+y=%x-2產(chǎn)〃，則原方程組化為。°°,

[2(2x+y)+3(x—2y)=13[2m+3n=13

[m=8f2x+y=8fx=3

解得「所以',，解得c，我們把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)字母去替代它,

[〃=-![x-2y=-l[y=2

這種解方程組的方法叫做換元法.

[ax+by=6[x=-2

(1)關(guān)于天，y的二元一次方程組八。的解為，，則關(guān)于私〃的二元一次方程組

[bx+ay=3Iy=4

14

a(m+n\+b(m-n\=6

、q，其中根+川=m-n=,解得冽=

b[m+n)+a[m-nj=3

n=

x+yx—y

=4

(2)知識(shí)遷移：請(qǐng)用這種方法解方程組23

2(x+y^+x—y=16

a,x+b,y=c.尤=4

(3)拓展應(yīng)用：已知關(guān)于天，V的二元一次方程組1J1的解為求關(guān)于X，V的方程組

a2x+b2y=c2y=-3

2a=5q

2出尤+3%丫=5。2的解.

【答案】(1)一2,4,1,-3

x=4

⑵

y=4

x=10

(3)

y=-5

【分析】本題考查了用換元法解二元一次方程組的知識(shí)，緊密結(jié)合題目給出的示例，合理換元是解答

本題的關(guān)鍵.

m+n=—2

(1)設(shè)勿2+九=龍,m-n=yf即可得”,解方程組即可求解;

m-n-4

、幾％m—n=4

(2)設(shè)-y+y-二機(jī)，亨=〃，則原方程組可化為。止,解方程組即可求解;

4Am+3n=lo

am+bn=cx=4

2xg=則原方程組可化為,xxxa1.x+b,y=G

(3)設(shè)彳=根，7,根據(jù)1i的解為

a2m+b2n=c2a2x+b2y=c2y=-3'

\2x

——=4A

m=4:,則問題得解.

可得即有

n=-3型=-3

15

ax+by=6

【詳解】(1)解：設(shè)m+〃=%,m-n=y則原方程組可化為

fbx+ay=3'

\ax+by=6x=-2

???1Q的解為

\bx+ay=3y=4

m+n=-2

m-n=4

15

m=l

解得

n=-3"

故答案為：-2,4,1,-3；

m-n=4

(2)解:設(shè)￡±2=相，0=n,則原方程組可化為

234機(jī)+3〃=16

m=4

解得

n=0

x+y.

——-=4

2

即有

3=。

I3

尤=4

解得

y=4

x=4

即：方程組的解為

y=4

(3)解：設(shè)號(hào)=機(jī)，m=%則原方程組可化為5max+5nb[=5q

5ma,+5〃仇=5c2

am+bn=q

化簡，得xx

02m+b2rl=c2

…廠的解為x=4

?.?關(guān)于x,y的二元一次方程組

a2x+b2y=c2y=-3'

2x

-=4A

m=45

」,即有

n=-33y_3

[5

x=10

解得:

y=-5'

x=10

故方程組的解為:

y=-5

7

mx+y=5x=

3.甲、乙兩名同學(xué)在解方程組4—2。時(shí),甲解題時(shí)看錯(cuò)了",解得2；乙解題時(shí)看錯(cuò)了

1丁=-2

尤—4

n,解得一，，.請(qǐng)你根據(jù)以上兩種結(jié)果，求4m+3〃的平方根.

^=-11

【答案】±5

16

【分析】本題考查了二元一次方程組的解，加減消元法解方程組，求平方根.把甲的解代入4x-〃y=20

中求出”的值，把乙的解代入如+，=5中求出租的值；把根與〃的值代入即可求得平方根.

.7

X——

【詳解】解：把《2代入4x—〃y=20得：14+2〃=20,

)=—2

解得：n=3,

[X=4

把《「代入w+y=5得：4/72-11=5,

[y=-n

解得：m=4,

4m+3n的平方根為±j4m+3〃=±716+9=±5，

即：4,71+3M的平方根為±5.

4.請(qǐng)你根據(jù)王老師所給的內(nèi)容，完成下列各小題.我們定義一個(gè)關(guān)于非零常數(shù)。，b的新運(yùn)算，規(guī)

定：aob=ax+by,例如：4o5=4x+5y.

(1)如果x=5,2O4=-18,求y的值；

⑵若10(-2)=6,403=2,求x,y的值.

【答案】⑴>=-7

(2)x=2,y=—2

【分析】本題考查解二元一次方程組，解一元一次方程，結(jié)合已知條件列得正確的方程及方程組是解

題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)題意列得一元一次方程，解方程即可；

(2)根據(jù)題意列得二元一次方程組，解方程組即可.

【詳解】(1)解：由題意可得5x2+4y=-18,

解得：y=-7；

尤_2y=6

(2)解:由題意可得

4x+3y—2

x=2

解得:

y=-2

即x=2,y--2.

2x+y=—13x-y=6

5.已知關(guān)于x,y的方程組和,c有相同的解?

ax+by=13bx—ay—9

(1)求這個(gè)相同的解;

17

2025

⑵求+0I的值.

x=l

【答案】⑴

y=-3

⑵一1

【分析】此題考查了解二元一次方程組以及代數(shù)式求值，熟練掌握解二元一次方程組是解題的關(guān)鍵.

(1)將兩方程組中的第一個(gè)方程聯(lián)立求出X與y的值;

(2)將第二個(gè)方程聯(lián)立，把x與y的值代入求出。與匕的值，進(jìn)而求出所求式子的值.

2尤+y=-1

【詳解】(1)由題意得:

3x—y—6

x=l

解得:

y=-3

x=1ax+by=13

(2)把「3代入

bx-ay=9

。-36=13

得:

b+3a=9

解得:

a=4

b=-3f

后4一3)=-1;

重難點(diǎn)2二元一次方程的整數(shù)解

【例2].已知二元一次方程5x+3y=22.

(1)把方程寫成用含x的代數(shù)式表示y的形式，即＞=

(2)填表，使x,y的值是方程5x+3y=22的解；

x12345

y

(3)求方程的非負(fù)整數(shù)解.

【答案】(1)失22-三5r

(2)填表見解析

18

x=2

⑶

y=4

【分析】本題考查了二元一次方程的解，以及方程的非負(fù)整數(shù)解，學(xué)會(huì)用含一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示

另一個(gè)未知數(shù)是解題的關(guān)鍵.

(1)要用含x的代數(shù)式表示y,就要把方程中含有x的項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，再把y的系數(shù)化

為1即可.

22-SY

(2)將尤=1,2,3,4,5分另I]代入＞=上廣，求出y的值即可；

(3)根據(jù)表格，直接寫出方程的非負(fù)整數(shù)解即可；

【詳解】(1)解：5x+3y=22,

得3y—22-5%,

故答案為：—-—;

(2)解：將x的值123,4,5分別代入丫=笥叁中得到y(tǒng)的值分別為：

填表如下：

Xi2345

1772

4

yT-1

(3)解：當(dāng)x=0時(shí)，y=亍不符合題意，

22

當(dāng)y=0時(shí)，％不符合題意，

[x=2

結(jié)合上表可知：方程的非負(fù)整數(shù)解為：

卜=4

方法指導(dǎo)

二元一次方程一般有無數(shù)組解，在特定情況下有有限的解，通常用含一個(gè)未知數(shù)的

式子表示另一個(gè)未知數(shù)，再在給定的條件下取特殊值，確定另一個(gè)未知數(shù)的值，

變式訓(xùn)練2

1.關(guān)于x,y的二元一次方程雙十力=。(a,b,c為常數(shù))，且人=〃+1,c=a+2.

[x=2

(1)當(dāng)《。時(shí)，求。的值；

[y=3

19

(2)若。為正整數(shù)，且該方程有正整數(shù)解時(shí)，求。的值.

【答案】⑴：7

4

(2)1

【分析】本題考查二元一次方程的解，消元法是求解本題的關(guān)鍵.

(=2

(1)將＜x-b=a+\,c=a+2代入方程，得到關(guān)于。的方程，求出a=-l,再代入c=a+2求解

y=3

即可；

(2)由題意得a(x+y—l)=2-y,得到y(tǒng)=l,求出。=1.

(x=2

【詳解】(1)解：將《「代入以+力=。得2a+3b=c,

y=3

*.*b=a+l,c=a+2,

/.2a+3(a+l)=a+2,

4〃=—1,

(2)解：：關(guān)于x,y的二元一次方程依+勿=c,b=a+\,c=a+2,

.,.ar+(a+l)y=a+2,

a(x+y_l)=2-y,

均為正整數(shù)，

?"+yT是正整數(shù)，

是正整數(shù)，

二2->是正整數(shù)，

?''y=i,

將>=1代入。(x+y-l)=2-y得ax=l,

..6Z—1,

Z7=2,c=3,

(x=l

方程的正整數(shù)解是，，

y=i

???當(dāng)a=l時(shí)，方程有正整數(shù)解.

20

2,張老師計(jì)劃用200元購買A,8兩種獎(jiǎng)品（兩種都要買），A種獎(jiǎng)品每個(gè)15元，8種獎(jiǎng)品每個(gè)25

元，在錢全部用完的情況下，購買方案共有多少種？

【答案】購買A種獎(jiǎng)品5個(gè)，8種獎(jiǎng)品5個(gè)；或購買A種獎(jiǎng)品10個(gè)，B種獎(jiǎng)品2個(gè)

【分析】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是讀懂題意，根據(jù)題意列出二元一次方程，然后根據(jù)

解為正整數(shù)確定出x,y的值.

設(shè)購買了4種獎(jiǎng)品尤個(gè)，8種獎(jiǎng)品y個(gè)，根據(jù)題意列出方程，再根據(jù)尤，y為正整數(shù)求出符合題意的解

即可.

【詳解】設(shè)購買A種獎(jiǎng)品x個(gè)，8種獎(jiǎng)品y個(gè).

根據(jù)題意，得15尤+25y=200.

由蒼y均為正整數(shù)，

答：購買A種獎(jiǎng)品5個(gè)，8種獎(jiǎng)品5個(gè)；或購買A種獎(jiǎng)品10個(gè)，8種獎(jiǎng)品2個(gè).

3.已知小明某日攝取了7600J熱量，攝取食物的情況如下表所