2025年中考第三次模擬考試（遼寧卷）

數(shù)學(xué)?全解全析

第I卷

一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分.在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合

題目要求，請選出并在答題卡上將該項(xiàng)涂黑）

1.某市11月30日的最高氣溫為8。（2,最低氣溫為-5。。，則該市11月30日的溫差（最高氣溫與最低氣溫

的差）為（）

A.-13℃B.3℃C.-3℃D.13℃

【答案】D

【分析】本題主要考查的是有理數(shù)的減法.用最高氣溫減去最低氣溫進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：8-（-5）=13（℃）.

故選：D.

2.某幾何體的三視圖如圖所示，這個幾何體是（）

【分析】本題考查了由三視圖判定幾何體的形狀，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵.

根據(jù)主視圖、左視圖、俯視圖的概念即可求解.

【詳解】

解：根據(jù)某幾何體的三視圖可知這個幾何體是:

故選：C.

3.下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）

【答案】A

【分析】本題考查中心對稱圖形，軸對稱圖形，把一個圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與

原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形；如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能

夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形；據(jù)此進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，符合題意，

B不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，不符合題意，

C是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，不符合題意，

D不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，不符合題意，

故選：A.

4.2025年的春節(jié)檔影片《哪吒2》，以“我命由我不由天”的精神內(nèi)核和全新的中國風(fēng)審美，結(jié)合現(xiàn)代科技手

段，詮釋了中華文化的創(chuàng)新活力與獨(dú)特魅力.截止到2025年4月5日，該片票房已超.其

科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.155xlO10B.15.5xlO10C.1.55xlO10D.1.55x10"

【答案】C

【分析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為axlO"的形式，其中1＜忖＜10,〃

為整數(shù).確定n的值時,要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位,"的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同.當(dāng)

原數(shù)絕對值210時，a是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時，"是負(fù)數(shù)，據(jù)此解答即可.

［詳解］解1.55x1O10，

故選：C.

5.《九章算術(shù)》中有一道闡述“盈不足術(shù)”的問題，原文如下：今有人共買物，人出八，盈三：人出七，不足

四.問人數(shù)，物價各幾何？譯文為：現(xiàn)有一些人共同買一個物品，每人出8元，還盈余3元；每人出7元，

則還差4元.問共有多少人？設(shè)共有x個人，則可列方程為（）

A..8x—3—7x+4B.8x+3=7x+4

x—3%+4x+3x—4

C.=-------D.------=-------

8787

【答案】A

【分析】本題考查古代數(shù)學(xué)問題，涉及列一元一次方程解決應(yīng)用題，設(shè)共有x個人，根據(jù)等量關(guān)系列出方程

即可得到答案，讀懂題意，由物品總價值不變建立等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.

【詳解】解：設(shè)共有x個人，貝U可列方程為8x-3=7x+4,

故選：A.

6.若關(guān)于x的一元二次方程皿°一3x+7=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則優(yōu)的取值范圍是()

999

A.m>一B.m>0C.m<—D.m<一且

282828

【答案】D

【分析】根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)非零且結(jié)合根的判別式A〉。，即可得出關(guān)于用的一元一次不等式組，解之即可得

出山的取值范圍.本題考查了根的判別式以及一元二次方程的定義，牢記“當(dāng)AA。時，方程有兩個不相等

的實(shí)數(shù)根”是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：：關(guān)于x的一元二次方程如2_3x+7=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，

/.A=(-3)2-4/nx7>0,rn^O,

9

即加<——且

28

故答案為：D.

7.已知線段=2cm,點(diǎn)C是線段A8的黃金分割點(diǎn)，且AC>3C,則AC的長為()

A.(V5+l)cmB.(A/5-l)cmC.(3-遂)cmD.(3+>/5)cm

【答案】B

【分析】本題考查了黃金分割點(diǎn)的計(jì)算，分式方程的運(yùn)用，掌握黃金分割點(diǎn)的計(jì)算方法是關(guān)鍵.根據(jù)題意

得到紀(jì)”=好二1,由此即可求解.

AC2

【詳解】解：點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AC>BC,

=BC=AB-AC=2-AC,

AC2

.2-AC_>/5-l

?,-------------------,

AC2

角牟得，AC=V5-l(cm),

檢驗(yàn)，當(dāng)AC=?-1時，原分式方程有意義，

/.AC=A/5—l(cm),

故選：B.

8.已知直線y=2x+b過點(diǎn)(TyJ,(—3,%),則為和%的大小關(guān)系是()

A.必B.C.%=必D.不能確定

【答案】A

【分析】本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)，依據(jù)題意，先根據(jù)直線y=2x+6判斷出函數(shù)圖象的增減性，再根據(jù)點(diǎn)

的橫坐標(biāo)的大小進(jìn)行判斷即可.解題的關(guān)鍵是掌握一次函數(shù)>=6+可左*0)的性質(zhì)：當(dāng)％>o時，y隨x的

增大而增大；當(dāng)左<o時，y隨天的增大而減小.

【詳解】解：：直線y=2x+b,k=2>Q,

y隨x的增大而增大，

又—1>—3,

%.

故選：A.

9.一把精美的扇子如圖所示，扇子打開后扇形的圓心角為120。，且2Q4=AB=6,這個環(huán)形扇面的面積是

()

?B

*4

*

O

A.217rB.23兀C.24KD.25兀

【答案】C

【分析】本題考查了扇形面積公式的應(yīng)用，熟練掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵；先分別求出大扇形和小

扇形的半徑，再根據(jù)扇形面積公式求出大扇形和小扇形的面積，最后用大扇形面積減去小扇形面積得到環(huán)

形扇面

【詳解】解：v2OA=AB=6,

：.OA=-=3,05=04+AB=3+6=9,

2

二?大扇形的半徑R=O5=9,小扇形的半徑r=Q4=3,

?圓心角n=120°,大扇形半徑片9，

120^x92120^x81__120萬>32120%>9

—277T?

360360-360—360

S環(huán)=S大一S小=27萬一3萬=24萬.

故選：C.

10.如圖，將直角梯形ABCD平移得直角梯形￡FG"，若"G=10,MC=2,MG=,則圖中陰影部分的

A.30B.36C.60D.72

【答案】B

【分析】本題考查了平移的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，熟練掌握平移的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.先根據(jù)平移的性質(zhì)可

得S直角梯扁BCO=S直角梯形"GR，DC=HG=1Q,CD//HG,NEFG=NG=9Q°,再根據(jù)平移的性質(zhì)可得

ZDMG=90°,從而可得四邊形DMGH和四邊形成物都是直角梯形，然后根據(jù)圖中陰影部分的面積等于

直角梯形DWG”的面積求解即可得.

【詳解】解：由圖可知，在直角梯形ABC。中，ZB=NC=90。，

由平移的性質(zhì)可知，S直角梯形AB8=S直角梯形EFGH，DC=HG=10,CD//HG,NEFG=NG=90°,

：.ZDMG=180?！狽G=90°,

四邊形。朋GH和四邊形瓦皿0都是直角梯形,

,?MC=2,

：.DM^DC-MC^8,

,/MG=4,

..圖中陰影部分的面積為S直角梯形*BCD-$直角梯形EEMD

_（DM+HG>MG

~2

_（8+10）x4

一2

=36,

故選：B.

第n卷

二、填空題（本大題共5個小題，每小題3分，共15分）

11.若原:m+6，則，“的值為.

【答案】20

【分析】本題考查了二次根式的加減法運(yùn)算，利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡.熟練掌握二次根式的加減法

運(yùn)算，利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡是解題的關(guān)鍵.將M化簡后即可解答.

V18=3A/2=m+A/2,

；?〃？=3五一夜=2忘，

故答案為：20.

12.在平面直角坐標(biāo)系宜萬中，作點(diǎn)尸（1,-3）關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)片，再將點(diǎn)A向左平移3個單位，得到點(diǎn)外，

則點(diǎn)鳥的坐標(biāo)為.

【答案】（T-3）

【分析】此題主要考查了平移變換以及軸對稱變換，利用關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的性質(zhì)（縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)互

為相反數(shù)）得出A的坐標(biāo)，再直接利用平移的性質(zhì)得出答案.正確掌握坐標(biāo)變換的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

［詳解】解：：點(diǎn)P（i,-3）關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)pt,

???點(diǎn)［（-L-3）,

:將點(diǎn)［向左平移3個單位，得到點(diǎn)外，

.??點(diǎn)鳥的坐標(biāo)為（一1一3,-3）,即（T-3）.

故答案為：（Y,-3）

13.在如圖所示的電路圖中，各電器均能正常工作，當(dāng)隨機(jī)閉合開關(guān)段,（,仁,儲中的兩個時，能夠讓燈泡

發(fā)光的概率為.

2

【答案】j

【分析】本題主要考查了畫樹狀圖或列表法求某事件發(fā)生的，畫樹狀圖，得到所有等可能的結(jié)果，找出其

中能夠讓燈泡發(fā)光的結(jié)果，再由概率公式求解即可.

【詳解】解：由電路圖可知，當(dāng)同時閉合開關(guān)&和（，&和儲，&和（，（和儲時，燈泡能發(fā)光，

畫樹狀圖如下:

共有12種等可能的結(jié)果，其中能夠讓燈泡發(fā)光的結(jié)果有8種,

能夠讓燈泡發(fā)光的概率?g.

2

故答案為：—.

14.如圖，雙曲線y=固信＞0）的圖象經(jīng)過矩形OASC的邊BC的中點(diǎn)E,交48于點(diǎn)。，若四邊形。D3C的

X

【分析】本題考查了求反比例函數(shù)的關(guān)系式，系數(shù)上的幾何意義，矩形的性質(zhì)，先設(shè)點(diǎn)8的坐標(biāo)，可得點(diǎn)E

的坐標(biāo)，進(jìn)而得出與左的關(guān)系式，即可得出點(diǎn)。是的中點(diǎn)，再根據(jù)四邊形她^，得出女即可.

【詳解】設(shè)3（2加,2w）,

???點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，四邊形0CB4是矩形，

E（2m,n）.

k

???函數(shù)y=—（左＞0）的圖象經(jīng)過矩形OCBA的邊的中點(diǎn)

x

k=2mn.

???點(diǎn)。在函數(shù)y=上（左＞0）的圖象上，且縱坐標(biāo)為2〃，

X

.??點(diǎn)D的坐標(biāo)為0,2〃），

二點(diǎn)。是48的中點(diǎn)，

,,SA0D=§S四邊形OCB0=§x3=l=5閔,

:.k=2或k=—2（舍去）.

故答案為：2.

15.如圖，在VA5c中，ZC=90°,BC=1,AC=2,。，耳傘、282c2、&A；83c3…都是正方形，且吊、

4、&…在AC邊上，4、鳥、層…在48邊上.則線段425C2°25的長為.

【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、圖形類規(guī)律探索，正確歸納類推出一般規(guī)

律是解題關(guān)鍵.先根據(jù)正方形的性質(zhì)可得CG=8C，CA〃耳G，再證出..BBSsBAC,根據(jù)相似三角

形的性質(zhì)可得耳￡的長，同理可得與6，&C3的長，歸納類推出一般規(guī)律，由此即可得.

【詳解】解：：四邊形84G是正方形，

CC]=B[C],CAj〃B'C、,

.BB￡s,BAC,

.Bq5G

??一，

BCAC

設(shè)CC=3]G=x,

BC=1,

BC】=BC—CC】=l—xf

AC=2,

.1-x_x

'?丁一，

2

即用G=§,

42

同理可得：32G=§

2

歸納類推得：BC?=,其中〃為正整數(shù),

^2025^2025=

故答案為：.

三、解答題（本大題共8個小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

16.（10分）計(jì)算：

⑴（一1廣5+2一21f

Q—2a+1

【答案】⑴-1-0

（2）-

a

【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，分式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是：

（1）根據(jù)絕對值的意義，負(fù)整數(shù)指數(shù)幕的意義等化簡計(jì)算即可；

（2）先計(jì)算括號內(nèi)，同時把除法轉(zhuǎn)化為乘法，然后約分化簡即可.

【詳解】（1）解：原式=一1+2-0-2（3分）

=-1-0;（5分）

（7—12（a-1）

（2）解：原式（8分）

2

—.（10分）

17.（8分）為迎接暑期旅游旺季的到來，某景區(qū)商店計(jì)劃采購一批太陽帽和太陽傘進(jìn)行售賣，以便游客購

買，已知采購4頂太陽帽和3把太陽傘共需要100元，采購6頂太陽帽和4把太陽傘共需要140元.

（1）求每頂太陽帽和每把太陽傘的進(jìn)價.

（2）若該景區(qū)商店將太陽帽的售價定為15元/頂，太陽傘的售價定為30元/把，計(jì)劃購進(jìn)太陽帽和太陽傘共

600頂（把），且購進(jìn)太陽帽的數(shù)量不少于太陽傘數(shù)量的2倍，則該景區(qū)商店如何設(shè)計(jì)進(jìn)貨方案，可使銷售

所獲利潤最大？最大利潤為多少？

【答案】⑴每頂太陽帽的進(jìn)價是1。元，每把太陽傘的進(jìn)價是20元.

（2）購進(jìn)400頂太陽帽，200把太陽傘，可使銷售所獲利潤最大，最大利潤為4000元.

【分析】本題考查了一次函數(shù)、二元一次方程組和一元一次不等式的應(yīng)用.

（1）設(shè)每頂太陽帽的進(jìn)價是x元，每把太陽傘的進(jìn)價是y元，根據(jù)采購4頂太陽帽和3把太陽傘共需要100

元，采購6頂太陽帽和4把太陽傘共需要140元建立二元一次方程組求解；

（2）設(shè)購進(jìn)機(jī)頂太陽帽，則購進(jìn)太陽傘（600-〃。把，所獲利潤為w元，根據(jù)“總利潤=太陽帽的利潤+太

陽傘的利潤”建立函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】（1）解：設(shè)每頂太陽帽的進(jìn)價是x元，每把太陽傘的進(jìn)價是y元，

4x+3y=100

根據(jù)題意，得

6尤+4y=140

x=10

解得

y=20

答：每頂太陽帽的進(jìn)價是1。元，每把太陽傘的進(jìn)價是20元；（4分）

（2）解：設(shè)購進(jìn)機(jī)頂太陽帽，則購進(jìn)太陽傘（600-加）把，所獲利潤為w元，

V購進(jìn)太陽帽的數(shù)量不少于太陽傘數(shù)量的2倍，

.,.m>2（600-m）,

解得〃亞400,

根據(jù)題意，得w=（15—10）m+（30—20）（600-加）=一5m+6000,（6分）

?.--5<0,

??.w隨機(jī)的增大而減小，

當(dāng)機(jī)=400時，w取得最大值，最大值為—5x400+6000=4000,（7分）

止匕時600=600-400=200,

答：購進(jìn)400頂太陽帽，200把太陽傘，可使銷售所獲利潤最大，最大利潤為4000元.（8分）

18.（9分）為傳承國學(xué)經(jīng)典，弘揚(yáng)傳統(tǒng)文化，學(xué)期初某中學(xué)啟動了“品古典文學(xué)之美，悟中華文化之魂”經(jīng)

典誦讀活動，學(xué)生根據(jù)自己的愛好從以下四本書中選擇其中一本進(jìn)行閱讀：A.《論語》B.《楚辭》C.《西

游記》D.《紅樓夢》，為更好的了解學(xué)生選擇閱讀書目情況，通過抽樣調(diào)查方式對部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查,

根據(jù)調(diào)查所收集的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.根據(jù)以上信息，解答下列問題：

(1)學(xué)校此次被調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)為人，并根據(jù)題意補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

(2)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，A所對應(yīng)的圓心角度數(shù)是；

(3)9年級1班選派甲、乙兩位同學(xué)參加學(xué)期末全校組織的經(jīng)典誦讀匯報(bào)活動，請用畫樹狀圖或者列表法，求

甲、乙兩位同學(xué)選擇同一種經(jīng)典書籍進(jìn)行匯報(bào)的概率.

【答案】⑴100,圖見解析

(2)36°

⑶！

【分析】本題考查條形圖和扇形圖得綜合應(yīng)用，列表法求概率，從統(tǒng)計(jì)表中有效的獲取信息，是解題的關(guān)

鍵：

(I)用。的人數(shù)除以所占的比例求出總?cè)藬?shù)，進(jìn)而求出C的人數(shù)，補(bǔ)全條形圖即可；

(2)用360度乘以A的人數(shù)所占的比例，求解即可；

(3)列出表格，利用概率公式進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】(1)解：25-25%=100(人)，(2分)

100-10-20-25=45,補(bǔ)全條形圖如下:

個人數(shù)

（4分）

故答案為：100;

（2）—x360°=36°

100:

故答案為：36。（6分）

(3)

甲

ABcD

乙

A(AA)(AB)(AC)(AD)

B(氏A)（B，B）(B?（B,D）

C（C，A）(CB)(c，c)(CD)

DOR(D,B)2?(DD)

共16種結(jié)果，符合條件的有4種，所以尸（甲乙選同一種書籍）=；.（9分）

19.（8分）某藥品研究所開發(fā)一種抗菌新藥，經(jīng)過多年動物實(shí)驗(yàn)，首次用于臨床人體實(shí)驗(yàn)，測得成人服藥

后血液中藥物濃度y（ug/mL）與服藥時間x（h）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示（當(dāng)4VXV10時，》與x成反比例）.

（D根據(jù)圖象分別求出血液中藥物濃度上升和下降階段y與龍之間的函數(shù)表達(dá)式；

（2）若該藥品血液中藥物濃度不低于5ug/mL,藥效最好，求血液中藥物濃度不低于5ug/mL的持續(xù)時間為多

少小時？

【答案】⑴血液中藥物濃度上升階段的函數(shù)表達(dá)式為y=2x（OWx<4）,下降階段的函數(shù)表達(dá)式為

32

y=^（4<%<10）

x

（2）血液中藥物濃度不低于5ug/mL的持續(xù)時間為3.9h

【分析】本題考查正比例函數(shù)和反比例函數(shù)在實(shí)際中的應(yīng)用，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法是

解題的關(guān)鍵；

（1）分別設(shè)出0Wx<4以及4WXW10時函數(shù)的解析式，然后根據(jù)待定系數(shù)法，結(jié)合圖中給出數(shù)據(jù)求解即可；

（2）令上述所得兩個函數(shù)解析式中的y=5,求出對應(yīng)的X的值，然后作差即可得到結(jié)果.

【詳解】（1）解：當(dāng)0Wx<4時，設(shè)函數(shù)的表達(dá)式為y=

將（4,8）代入得8=4勺，

解得：勺=2,（1分）

.?.直線的表達(dá)式為y=2x,

當(dāng)44尤W10時，設(shè)反比例函數(shù)的表達(dá)式為>=與，（2分）

X

將（4,8）代入得8吟，解得：左2=32,（3分）

???反比例函數(shù)的表達(dá)式是y=絲32，

X

因此，血液中藥物濃度上升階段的函數(shù)表達(dá)式為y=2x（O<xv4）,下降階段的函數(shù)表達(dá)式為

y=—（4<x<10）.（4分）

X

（2）解：當(dāng)y=5時，由5=2%得x=2.5,（5分）

32

當(dāng)〉=5時，由5=—得x=6.4,（6分）

x

6.4-2.5=3.9（h）,

因此，血液中藥物濃度不低于5ug/mL的持續(xù)時間為3.9h.（8分）

20.（8分）如圖，甲、乙兩艘貨輪同時從A港出發(fā)，分別向8,。兩港運(yùn)送物資，最后到達(dá)A港正東方向

的C港裝運(yùn)新的物資.甲貨輪沿A港的東南方向航行40海里后到達(dá)8港，再沿北偏東60。方向航行一定距

離到達(dá)C港.乙貨輪沿A港的北偏東60。方向航行一定距離到達(dá)。港，再沿南偏東30。方向航行一定距離到

達(dá)C港.

（1）求A,C兩港之間的距離（結(jié)果精確到1海里）;

（2）若甲、乙兩艘貨輪的速度相同（?？?、D兩港的時間相同），哪艘貨輪先到達(dá)C港？請通過計(jì)算說明.（參

考數(shù)據(jù)：應(yīng)句.41,白處1.73,76~2.45)

【答案】（1）77.2海里

（2）甲貨輪先到達(dá)C港，理由見解析

【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用一方向角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線

是解題的關(guān)鍵.

（1）過點(diǎn)8作垂足為E,先在RtA4BE中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AE和3E的長，再

在Rt3CE中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CE的長，從而利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答；

（2）根據(jù)題意可得：NCD尸=30。，DF//AG,從而可得NG4D=/AZ*=60。，然后利用角的和差關(guān)系可得

ZADC=90°,從而在RtAACZ）中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出C￡＞和AD的長，再在Rt..BCE

中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BC的長，最后進(jìn)行計(jì)算比較即可解答.

【詳解】（1）解：過點(diǎn)3作3E_LAC,垂足為E,如圖所示：

由題可知AB=40,ZABE=45°,

.〈ABE為等腰直角三角形，（1分）

在RtAABE中，AE=AB?cos45o=20^（海里），BE=AE=2附（海里），（2分）

在Rt3CE中，CE=BEtan60°=20A/6（海里），（3分）

二.AC=AE+CE=200+20#*77.2（海里），

C兩港之間的距離約為77.2海里；（4分）

（2）解：甲貨輪先到達(dá)C港，理由如下：

如圖所示：

\西4■?東

F3

0\c南

B\

由題意得NCD尸=30。，DF//AG,

ZGAD=ZADF=60°,

ZADC=ZADF+Z.CDF=90°,（5分）

在RtZ\AC￡>中，ZCW=30°,

CD=gAC=10&+10庭（海里），AD=AC-cos30°=10A/6+3072（海里），（6分）

由條件可知BC=2BE=4（K歷（海里），

二甲貨輪航行的路程=AB+BC=40+40夜（海里），

乙貨輪航行的路程=71￡）+d）=100+106+10幾+30夜=40夜+20街（海里），（7分）

20面=j2400>J1600,即20面>40，

:.AB+BC<AD+CD,

，甲貨輪先到達(dá)C港.（8分）

21.（8分）如圖，在。中，AB,8為直徑，弦于點(diǎn)下，連接BC.

（1）若OE=8cm,BF=2cm,求（。的直徑;

（2）若/C=/。，求/C的度數(shù).

【答案】（1）10cm

（2）ZC=30°

【分析】本題考查了垂徑定理、勾股定理、圓周角定理等知識，熟練掌握垂徑定理和圓周角定理是解題關(guān)

鍵.

（1）設(shè)0。的半徑為Rm（r>o）,則OB=OD=rcm,OF=（r-2）cm,先根據(jù)垂徑定理可得DF==4cm,

再在Rtz\DO9中，利用勾股定理可得「的值，由此即可得；

（2）先根據(jù)垂直的定義可得NOFD=90。，則N。。尸+"=90。，再根據(jù)圓周角定理可得NOOR=2/C,由

此即可得.

【詳解】（1）解：設(shè)（。的半徑為花m（r>0）,則。B=OD=rcm,

BF=2cm,

OF=OB-BF=^r-2）cva,（1分）

:在。中，AB為直徑，弦DEJ.AB于點(diǎn)F,DE=8cm,

：.DF=-DE=4cm,（2分）

2

在中，OF2+DF2=OD2,BP（r-2）2+42=r2,

解得r=5,（3分）

AB=203=2廠=10cm,

即。。的直徑為10cm.（4分）

⑵解：VDEJ.AB,

：.ZOFD=90°,

ZDOF+ZD=90°,

由圓周角定理得：/DOF=2/C,（6分）

XVNC=ND,

：.2ZC+ZC=90°,

AZC=30°.（8分）

22.（12分）項(xiàng)目式學(xué)習(xí)

項(xiàng)目主題：無人機(jī)噴灑農(nóng)藥研究.

項(xiàng)目背景：無人機(jī)噴灑農(nóng)藥高效、便捷，同時可以避免作業(yè)人員直接與農(nóng)藥接觸，有利于增強(qiáng)噴藥作業(yè)的

安全性.

圖1

驅(qū)動問題：如何使無人機(jī)噴灑農(nóng)藥更高效、經(jīng)濟(jì).

建立模型：如圖1是無人機(jī)的示意圖，其中點(diǎn)。為無人機(jī)的攝像頭，A8是噴藥口，A,B,。在同一條

水平直線上，A8=60cm.如圖2,以無人機(jī)攝像頭所在位置。為坐標(biāo)原點(diǎn)，豎直方向?yàn)榱溯S，以所在

直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系.噴藥口點(diǎn)A和點(diǎn)8到點(diǎn)0的距離相等，每個噴藥口噴出的藥水在豎直方

向的最大橫截面都是形狀相同的拋物線，拋物線與丁軸的交點(diǎn)為C,OC=300cm.

（1）試確定點(diǎn)A所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式.

問題解決：

（2）啟動無人機(jī)后，無人機(jī)攝像頭距地面的初始高度為300cm,為了精準(zhǔn)噴藥，需要調(diào)整無人機(jī)的高度到

圖3位置，使相鄰田地之間的田域（寬度為的區(qū)域，且所=30cm,田域高度忽略不計(jì)）恰好不被噴灑

農(nóng)藥，求無人機(jī)應(yīng)該下降的高度.

（3）如圖4,在直線A3上再增加2個噴藥口”和N,M在A左側(cè)，N在5右側(cè)，且他4=45=硒，當(dāng)

無人機(jī)上升到距地面的高度為480cm時，直接寫出此時噴灑農(nóng)藥覆蓋區(qū)域?qū)挾萈Q的長.

【分析】本題考查了二次函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，包括根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)求二次函數(shù)表達(dá)式、利用函數(shù)性質(zhì)解

決高度和距離問題；解題關(guān)鍵是通過建立平面直角坐標(biāo)系，準(zhǔn)確找出各點(diǎn)坐標(biāo)并代入二次函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行

求解.

（1）首先根據(jù)噴藥口A、B到。距離相等且08長度，確定A點(diǎn)在x軸上的坐標(biāo)；由拋物線與y軸交點(diǎn)特征

確定C點(diǎn)坐標(biāo).設(shè)拋物線的一般式，將C點(diǎn)坐標(biāo)代入得到c的值，再利用拋物線對稱軸為y軸這一性質(zhì)得

出b的值，最后把A點(diǎn)坐標(biāo)及已得的6、c值代入一般式，求出。的值，進(jìn)而確定拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）以攝像頭為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，且明確噴藥拋物線函數(shù)表達(dá)式不變.由于田填寬度為1且關(guān)

于y軸對稱，設(shè)田填邊緣在x軸正半軸點(diǎn)的坐標(biāo)，將其代入已知拋物線表達(dá)式，求出該點(diǎn)縱坐標(biāo)，此縱坐標(biāo)

即為調(diào)整高度時無人機(jī)攝像頭距地面高度，用無人機(jī)初始高度減去調(diào)整高度時攝像頭距地面高度，得到無

人機(jī)應(yīng)下降的高度.

（3）根據(jù)已知條件求出M的坐標(biāo).設(shè)M所在拋物線表達(dá)式為y=-g（x+90）2,根據(jù)無人機(jī)相對高度對應(yīng)的

點(diǎn)坐標(biāo)代入，求出表達(dá)式.求出與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，由于覆蓋區(qū)域關(guān)于y軸對稱，用求出的橫坐標(biāo)距離乘以

2,得到噴灑農(nóng)藥覆蓋區(qū)域?qū)挾?

【詳解】解：（1）AB=60cm,點(diǎn)A與點(diǎn)8到點(diǎn)。的距離相等，

/.OA=OB=30cm,

???點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-30,0）.（1分）

OC=300cm,

.??點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,-300）.（2分）

設(shè)點(diǎn)A所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=a（x+30）2,

將點(diǎn)c（o,—300）代入得-300=900a.

解得。=-；.（3分）

19

???點(diǎn)A所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=-］（》+30）一.（4分）

（2）「以無人機(jī)攝像頭所在位置0為坐標(biāo)原點(diǎn)，豎直方向?yàn)閥軸，水平方向?yàn)闊o軸，建立平面直角坐標(biāo)系，

；?噴藥UA噴出的藥水在豎直方向的最大橫截面的拋物線的函數(shù)表達(dá)式始終不變.

￡F=30cm,由題可知點(diǎn)E和點(diǎn)尸關(guān)于V軸對稱，

.??可以設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-15,k）.

將點(diǎn)磯-15,左）代入y=-?尤+30）2,

19

得人=_§（_15+30）~=-75.（6分）

???點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-15,-75）.

此時無人機(jī)攝像頭距離地面的高度為75cm.（7分）

300-75=225（cm）.

答：無人機(jī)應(yīng)該下降的高度為225cm.（8分）

（3）VMA=AB=60,A點(diǎn)坐標(biāo)為（-30,0）,

點(diǎn)坐標(biāo)為（-90,0）.（9分）

VM所在拋物線形狀與A所在拋物線相同，二次項(xiàng)系數(shù)相同,

設(shè)M所在拋物線表達(dá)式為y=-；（》+90）2

???無人機(jī)高度為480cm,

:拋物線是從。點(diǎn)（相對高度0）,

???代入V=-480至IJy=-g（無+90>中，得

1