三角形知識歸納與題型突破（十類題型）

01思維導(dǎo)圖

三角形的三邊關(guān)系

定義

三角形的穩(wěn)定性的應(yīng)用

三角形的基本概念性質(zhì)

三角形的角平分線和高的有關(guān)運算

分類

利用三角形的中線性質(zhì)求面積f

三角形的內(nèi)角和有關(guān)計算角平分線

三角形的外角有關(guān)計算三角形中的三種重要線段懸）

全等三角形性質(zhì)的有關(guān)計算中線

添加條件使三角形全等

定義與性質(zhì)

全等三角形性質(zhì)與判定的綜合三角形的全等

判定定理

全等三角形的實際應(yīng)用

02知識速記

要點1：三角形的概念

由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形；

記作：AABC,如圖：其中：線段AB,AC,CA是三角形的邊，A,B,C是三角形的頂點，ZA,ZB,

ZC是相鄰兩邊組成的角，叫做三角形的內(nèi)角，簡稱三角形的角.

A

B

要點2：三角形的分類

①按角分類

銳角三角形

斜三角

鈍角三角形

直角三角形

②按邊分類

不等邊三角形

底邊和腰不相等的等腰三角形

等腰三角形

等邊三角形（正三角形）

要點3：三角形的三邊關(guān)系

三角形任意兩邊的和大于第三邊，任意兩邊的差小于第三邊。

【拓展：三邊關(guān)系的運用】

①判斷三條線段能否組成三角形；

②當(dāng)已知三角形的兩邊長時，可求第三邊的取值范圍。

要點4：三角形的穩(wěn)定性

①三角形的形狀是固定的，三角形的這個性質(zhì)叫三角形的穩(wěn)定性。三角形具有穩(wěn)定性，而四邊形沒有穩(wěn)

定性。

②三角形的穩(wěn)定性有廣泛的運用：橋梁、起重機、人字形屋頂、桌椅等

要點5：三角形的重要線段

:珀彬的41費城段概念1幾何端力衣示

，角形的△線從二角J?一一個』VADMAABC的BC

點間直的M邊所在上“找

的汽嫁作童住.修點AADXDC

口垂足之M的燒段4ZADB-ZADC-W

三角附的中線三加陽中.連結(jié)一個:?AD是的BC

ri點國它利邊中點上的中線

的線段

:.BD=CD--BC

2

三岫影的角雄三角彬個內(nèi)購嶺VAD?AABC的

T分線。它的時必NBAC的平分tt

相交.這個前夜點”WN2-；ZBAC

之內(nèi)2間的線段4

要點6：三角形的內(nèi)角

①三角形內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角的和等于180度。

②證明方法：剪拼成平角、通過做平行線構(gòu)造平角、構(gòu)造兩平行線下的同旁內(nèi)角。

測量法:剪角拼角法：

要點7：直角三角形

①直角三角形的兩個角互余。直角三角形用符號“山△”表示，如RtAABCo

②有兩個角互余的三角形是直角三角形

要點8：全等圖形

全等形：能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形。

（一）全等形的形狀相同，大小相等，與圖形所在的位置無關(guān)。

（二）兩個全等形的面積一定相等，但面積相等的兩個圖形不一定是全等形。

（三）一個圖形經(jīng)過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后，形狀、大小都沒有改變，只是位置發(fā)生了變化，即平移、翻折、

旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等。

要點9：全等三角形

（一）全等三角形：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。

（二）全等三角形中的對應(yīng)元素

1、概念：把兩個全等的三角形重合到一起，重合的頂點叫做對應(yīng)頂點，重合的邊叫做對應(yīng)邊，重合的角叫

做對應(yīng)角。

對應(yīng)頂點：點A與點D,點B與點E,點C與點F。|I）

對應(yīng)邊：AB與DE,AC與DF,BC與EF。/\/\

CE

對應(yīng)角：NA與ND,NB與NE,NC與NF。

2、對應(yīng)元素的確定方法

（1）字母順序確定法:根據(jù)書寫規(guī)范，按照對應(yīng)頂點確定對應(yīng)邊、對應(yīng)角。AA

（2）圖形位置確定法L_\L_\

BCEF

①公共邊一定是對應(yīng)邊；②公共角一定是對應(yīng)角；③對頂角一定是對應(yīng)角；

（3）圖形大小確定法:兩個全等三角形的最大的邊（角）是對應(yīng)邊（角），最小的邊（角）是對應(yīng)邊（角）。

（三）全等三角形的表示：全等用符號“三”表示，讀作“全等于"。如三角形4ABC和4DEF全等，記作

△ABCsADEFo記兩個三角形全等時，通常把表示對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)的位置上。

要點10：全等三角形的性質(zhì)

（一）全等三角形的對應(yīng)邊相等，全等三角形的對應(yīng)角相等。

（二）全等三角形對應(yīng)邊上的高、中線分別相等，對應(yīng)角的平分線相等，面積相等，周長相等。

J欠VAABC^ADEF

/\\；.AB=DE,AC=DF,BC=EF（全等三角形的對應(yīng)邊相等）。

/------\I----NA=ND,ZB=ZE,NC=NF（全等三角形的對應(yīng)角相等）。

要點1L判定全等三角形

1.邊邊邊（SSS）

1、三邊分別相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）。

447rL中.

AB-A'B',

-AC=A'C,

/.人曲^A.47J'C(SSS).

2.（邊角邊SAS）

（1）用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角（已知角NAOB,求作NAOB=4A，OE）

①以點O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA,OB于點C、D?

②畫一條射線O7V,以點O,為圓心，0C長為半徑畫弧，交07V于點C，。

③以點C，為圓心，CD長為半徑畫弧，與第2步中所畫的弧相交于點D，;

④過點D，畫射線0B,則NA，OB，=NAOB。

（2）兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”）。

AB?.l'B',

-

,BOB'C,

AWgA4WCd

3.（角邊角ASA）

兩角和它們的夾邊分別相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角邊角”或“ASA”）。

AA4447r「中.

ZA-zr.

-BC-B'C,

zc=zc,

歷'「(ASA〉

4.（角角邊AAS）

兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等（可以簡寫成"角角邊"或"AAS"）。

AAJAOA/fTTC?中.

BCB'C,

/.A_4BCg29'「(AAS).

03題型歸納

題型一三角形的三邊關(guān)系

【典例1】（24-25七年級下?全國?單元測試）下列長度的三條線段，能組成三角形的是（）

A.3,7,2B.4,9,6C.11,3,6D.9,15,5

鞏固訓(xùn)練

1.（24-25七年級下?全國?期末）已知三角形的兩邊長分別為3cm和7cm,則下列長度的四條線段中能作為第

三邊長的是（）

A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm

2.（23-24七年級下?全國?單元測試）現(xiàn)有長度分別為2cm、3cm、4cm、5cm的木棒，從中任取三根，能組

成三角形的個數(shù)是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

3.（23-24七年級下?廣東揭陽?階段練習(xí)）如圖，為估計荔香公園小池塘岸邊/、2兩點之間的距離，小亮在

小池塘的一側(cè)選取一點0,測得02=14m,OB=10m,則/、B間的距離可能是（）

A.4mB.14mC.24mD.28m

題型二三角形的分類

【典例2］（24-25七年級下?全國?課后作業(yè)）下列關(guān)于三角形按邊分類的圖示中，正確的是（）

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24七年級下?河北邢臺?期末）圖表示三角形分類，則0表示的是)

A.等邊三角形B.直角三角形C.銳角三角形D.鈍角三角形

2.（22-23七年級下?河北邢臺?階段練習(xí)）若如圖表示三角形分類，則下列說法正確的是（）

A.M表示等邊三角形B.M表示銳角三角形

C.P表示等腰三角形D.N表示三邊都不相等的三角形

3.（22-23七年級下?江蘇宿遷?期中）在一個三角形中，若三個內(nèi)角的度數(shù)之比是2:3:5,則這個三角形是（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形

題型三三角形的角平分線和高有關(guān)運算

【典例3】（2025七年級下?全國?專題練習(xí)）如圖，在△4BC中，2D是角平分線，4E是中線，力尸是高線.

(1)如果BC=10cm,求BE的長；

(2)如果N48C=40°,ZXCB=60°,求482。/。4尸的度數(shù).

鞏固訓(xùn)練

1.（24-25七年級下?全國?課后作業(yè)）如圖，4D是△ABC的角平分線，4E是△4BD的角平分線，若

4BAC=100°,貝此E4D的度數(shù)是（）

A.25°B.45°

2.（21-22八年級上?山東臨沂?期末）如圖，△48C中，4。是高，角平分線BE交4D于點尸，若4B2C=60。,

ZC=70°,貝lUDFB的度數(shù)為（）

A

3.（23-24七年級下?江蘇宿遷?階段練習(xí)）如圖，aaBC的角平分線AD、BE相交于點O,且力D1BC,已知

乙ABC=50°,貝此4。8=°,

題型四利用三角形的中線的性質(zhì)求面積

【典例4］（24-25七年級下?全國?課后作業(yè)）如圖，在△ABC中，。為BC邊上的一點，E,尸分別為AD,BE

的中點，且SOBC=16cm2,則圖中涂色部分的面積是_______cm2.

鞏固訓(xùn)練

L（23-24七年級下?甘肅蘭州?期中）如圖，在△）河中，。為4B邊上的中點,△ACD的面積為4,貝I△ABC

的面積為（）

C

ADB

A.8B.6C.4D.2

2.（20-21八年級上?天津紅橋?期中）如圖，4。是△4BC的中線，CE是△4CD的中線，若△ABC的面積為

12cm2,則的面積為（）

A.3cm2B.4cm2C.6cm2D.8cm2

3.（23-24七年級下?陜西?期中）如圖，在△48C中，延長乙4至點F,使得AF=C4延長至點D,使得

BD=2AB,延長BC至點E,使得CE=3CB,連接E爪FD、DE,^SAABC=1，貝U為.

Ex

題型五三角形的內(nèi)角和有關(guān)計算

【典例5】（2025七年級下?全國?專題練習(xí)）如圖，已知EFIICD,41=130。，Z2=50°.若DG平分立。。8,

則乙4的度數(shù)為（）

A.40°B.50°

鞏固訓(xùn)練

1.（24?25七年級下?全國?課后作業(yè)）在RtaZBC中，4:=90。,乙4=48。，則的度數(shù)為（）

A.42°B.44°C.124°D.132°

2.（24-25七年級下?全國?課后作業(yè)）俘句值場二醫(yī)堂學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)課上老師提出“請對三角形內(nèi)角和等于

180。進行說理.”

已知：N4NB/C是△ABC的三個內(nèi)角.

對乙4+N8+NC=180。進行說理.

小明給出如下說理過程，請補全過程.

解：過點/作ADIIBC.

3.（23-24七年級下?河南鄭州?期末）如圖，已知力B||CO,點E在直線CD上,BE與AD交于點G,

ZC=/.ABE.

(1)求證：AC||BE-,

(2)若“=65。,AD1BE,求〃DC的度數(shù).

題型六三角形的外角有關(guān)計算

4.（24-25七年級下?全國?單元測試）如圖，在△4EC中，點。和點尸分別是4C和4E上的兩點，連結(jié)￡（尸，交

CE的延長線于點8,若N4=25。，Z.B=45°,NC=36。，貝。ADFE=（）

A.103°B.104°

鞏固訓(xùn)練

1.（24-25七年級下?全國?單元測試）如圖，在三角形4BC中，BD平分N4BC,點E在AC邊上，EFLBC于點

F.EM平分N4EF交4B的延長線于點M.若乙CBD=NM,乙ADB=55°,貝此C的度數(shù)為（）

A.20°B.30°

2.（24-25七年級下?全國?單元測試）如圖，BP是乙48c的平分線，CP是乙4cB的鄰補角的平分線,

4ABp=20°,乙4cp=50°,則NP的度數(shù)為（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

3.（2025七年級下?全國?專題練習(xí)）如圖，在△48C中，點。在BC的延長線上，乙4=50。，BE平分乙48C,

CE平分N4CD,貝此E的度數(shù)為

4.（2025七年級下?全國?專題練習(xí)）如圖所示的是一輛嬰兒車的平面結(jié)構(gòu)示意圖，其中4BIICD,

Z1=125°,Z3=40°,則N2=

5.（24-25七年級下?全國?單元測試）如圖，已知點E,尸在直線48上，點G在線段CD上，ED與FG交于前H,

ZC=Z.EFG,/.CED=Z.GHD,若NEHF=80。，ND=30。，則NAEM=

題型七全等三角形性質(zhì)的有關(guān)計算

【典例7-1】（2025七年級下?全國?專題練習(xí)）如圖，已知圖中兩個三角形全等，則N1與N2的和為（）

A.45°B.60°C.90°D.100°

【典例7-2］（24-25七年級下?全國?課后作業(yè)）如圖，△4CE三△DBF,若AC=6,DF=3,EC=4,則△BDF

的周長等于（）

A.7B.9C.10D.13

鞏固訓(xùn)練

1.（24-25七年級下?全國?課后作業(yè)）如圖,在3X3的正方形方格中，每個小正方形的邊長都是1.已知

△ABC三4EDF,則N1和N2的關(guān)系是（）

A.zl=Z2B.z2=2Z1

C.Z2=90°+zlD.41+42=180°

2.（23-24七年級下?吉林長春?期末）如圖,AAOC^/XBOD,NC與ND是對應(yīng)角，AC與BD是對應(yīng)邊.若

AD=10cm,OC=2cm,貝l|OB的長為（）

cD

A.2cmB.4cm10cm

3.（24-25七年級下?全國?課后作業(yè)）如圖，△ABC三△CED.AACD=110°/。=25°,則NBCD的度數(shù)

為.

4.（22-23七年級下?吉林長春?期末）如圖，點￡在A8上，AC與DE相交于點凡△ABC三ADEC,

乙4=20°,Z.B=乙CEB=65°,貝此。64的度數(shù)為度.

題型八添加條件使三角形全等

【典例8］（23-24七年級下?廣東佛山?期末）如圖，在△ABC和△DEF中，點3,F,C,￡在同一直線

上.已知ABIDE,BF=CE.給出下列條件：①乙4=AD,②NB=NE,③AC=DF,（4）AC\\DF,能

判定△力BC三△DE尸的是（）

A.①②③B.①②④C.①④D.①②③④

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24七年級下?江蘇蘇州?期末）如圖，已知4B=CD.若添加一個條件后，可得△4BC三△CD4則

在下列條件中，可以添加的是（）

A.ZB=Z-DB.ADWBC

C.AB||CDD.AC平分NBCD

2.（23-24七年級下?四川成都?期末）如圖，ACAB=^DAE,AC=AD,添加下列條件后仍然不能判斷

AT4BC=()

A.AB=AEB.zC=Z.DCB=DE

3.（23-24七年級下?廣東茂名?期末）如圖點D,E分別在線段AB,4C上，BE,CD相交于點。，AE=AD,

要使△4BE三△4CD,只需添加一個條件是.（只需添加一個你認為適合的條件）.

題型九全等三角形性質(zhì)與判定的綜合

【典例9］（24-25七年級下?全國?課后作業(yè)）如圖,已知△4BC和△CDE均為直角三角形,

^ACB=^CED=90°,AC=CE,4B1CD于點F.

(1)試說明：4ABC三4CDE；

(2)連接2E,若E4平分NCED,AD=60°,求NE4B的度數(shù).

鞏固訓(xùn)練

1.(24-25七年級下?全國?單元測試)如圖，在四邊形4BCD中，AB=AD,BC=DC.

(1)試說明：△A8C三△4DC；

⑵當(dāng)NBC4=45°,乙D=105。時，求/BAD的度數(shù).

2.(24-25七年級下?全國?課后作業(yè))如圖，點B,F,C,E在一條直線上，F(xiàn)B=CE,AB||DE,ACIIDF,AD交BE

于點。.試說明：

D

⑴△ABC三△DEF；

⑵4D與BE互相平分.

3.（24-25七年級下?全國?課后作業(yè)）如圖，DB=BC,ED=AB,E是BC的中點，且AC=

⑴試說明：△ABC三△EDB；

⑵判斷AC和BD的位置關(guān)系，并說明理由.

4.（23-24七年級下?山東煙臺?期末）如圖，△ABC中，乙48c=45。/。_LBC于點。，BE_L4C于點E,AD

與BE交于點F.

（1）求證：DC=DF；

（2）若點￡恰在線段力。的垂直平分線上，求證：AB=BD+DF.

題型十全等三角形的實際應(yīng)用

【典例10］（24-25七年級下?全國?課后作業(yè)）如圖，小明和小華住在同一個小區(qū)的不同單元樓，他們想要

測量小華家所在單元樓AB的高度.首先他們在兩棟單元樓之間選定一點￡,然后小明在自己家陽臺C處

觀察E處，測得其視線（CE）與水平線之間的夾角為a,小華站在E處觀察樓頂/處，測得其視線Q4F）與

水平線之間的夾角為6,發(fā)現(xiàn)a與0互余.已知EF=1.5m,BE=CD=20m,BD=58m,試求單元樓AB

的高.

鞏固訓(xùn)練

1.（24-25七年級下?全國?課后作業(yè)）如圖，45CD表示兩根長度相等的鐵條，鐵條的長度為32cm.若。是

4B,CD的中點，AC=15cm,則容器的內(nèi)徑BD的長度是（）

A.14cmB.15cmC.16cmD.32cm

2.（24-25七年級下?全國?課后作業(yè)）如圖，4M是一段斜坡，4B是水平線.歡歡為了測量斜坡上一點C的

豎直高度CN,他在點C處立上一根竹竿CF,竹竿CF與斜坡AM垂直，在。處垂下一根繩子DE,與斜坡4M

的交點是E,繩子DE可以在竹竿CF尸上自由滑動.當(dāng)DE=4C時，測得CE=2m,則CN=m.其

中，運用到的判定三角形全等的依據(jù)是.

3.（24-25七年級下?全國?課后作業(yè)）圖①是一個單擺小球?qū)嶒炂?，圖②是擺球擺動過程中的示意圖.已知

擺線長04=OB=0C=90cm,當(dāng)擺線位于。B位置時，過點B作BD104于點D,測得AD長為10cm；當(dāng)

擺線位于。。位置時，OCL0B,則此時擺球到。4的水平距離為cm.

三角形知識歸納與題型突破（十類題型）

01思維導(dǎo)圖

三角形的三邊關(guān)系

定義

三角形的穩(wěn)定性的應(yīng)用

三角形的基本概念性質(zhì)

三角形的角平分線和高的有關(guān)運算

分類

利用三角形的中線性質(zhì)求面積f

三角形的內(nèi)角和有關(guān)計算角平分線

三角形的外角有關(guān)計算〃三角形中的三種重要線段

全等三角形性質(zhì)的有關(guān)計算中線

添加條件使三角形全等

定義與性質(zhì)

全等三角形性質(zhì)與判定的綜合三角形的全等

判定定理

全等三角形的實際應(yīng)用

02知識速記

要點1：三角形的概念

由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形；

記作：/XABC,如圖：其中：線段AB,AC,CA是三角形的邊，A,B,C是三角形的頂點，ZA,ZB,

ZC是相鄰兩邊組成的角，叫做三角形的內(nèi)角，簡稱三角形的角.

B

要點2：三角形的分類

①按角分類

銳角三角形

斜三角

鈍角三角形

直角三角形

②按邊分類

不等邊三角形

底邊和腰不相等的等腰三角形

等腰三角形

等邊三角形（正三角形）

要點3：三角形的三邊關(guān)系

三角形任意兩邊的和大于第三邊，任意兩邊的差小于第三邊。

【拓展：三邊關(guān)系的運用】

①判斷三條線段能否組成三角形；

②當(dāng)已知三角形的兩邊長時，可求第三邊的取值范圍。

要點4：三角形的穩(wěn)定性

①三角形的形狀是固定的，三角形的這個性質(zhì)叫三角形的穩(wěn)定性。三角形具有穩(wěn)定性，而四邊形沒有穩(wěn)

定性。

②三角形的穩(wěn)定性有廣泛的運用：橋梁、起重機、人字形屋頂、桌椅等

要點5：三角形的重要線段

:珀彬的41費城段概念1幾何端力衣示

，角形的△線從二角J?一一個』VADMAABC的BC

點間直的M邊所在上“找

的汽嫁作童住.修點AADXDC

口垂足之M的燒段4ZADB-ZADC-W

三角附的中線三加陽中.連結(jié)一個:?AD是的BC

ri點國它利邊中點上的中線

的線段

:.BD=CD--BC

2

三岫影的角雄三角彬個內(nèi)購嶺VAD?AABC的

T分線。它的時必NBAC的平分tt

相交.這個前夜點”WN2-；ZBAC

之內(nèi)2間的線段4

要點6：三角形的內(nèi)角

①三角形內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角的和等于180度。

②證明方法：剪拼成平角、通過做平行線構(gòu)造平角、構(gòu)造兩平行線下的同旁內(nèi)角。

測量法:剪角拼角法：

要點7：直角三角形

①直角三角形的兩個角互余。直角三角形用符號“山△”表示，如RtAABCo

②有兩個角互余的三角形是直角三角形

要點8：全等圖形

全等形：能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形。

（一）全等形的形狀相同，大小相等，與圖形所在的位置無關(guān)。

（二）兩個全等形的面積一定相等，但面積相等的兩個圖形不一定是全等形。

（三）一個圖形經(jīng)過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后，形狀、大小都沒有改變，只是位置發(fā)生了變化，即平移、翻折、

旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等。

要點9：全等三角形

（一）全等三角形：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。

（二）全等三角形中的對應(yīng)元素

1、概念：把兩個全等的三角形重合到一起，重合的頂點叫做對應(yīng)頂點，重合的邊叫做對應(yīng)邊，重合的角叫

做對應(yīng)角。

對應(yīng)頂點：點A與點D,點B與點E,點C與點F。|I）

對應(yīng)邊：AB與DE,AC與DF,BC與EF。/\/\

CE

對應(yīng)角：NA與ND,NB與NE,NC與NF。

2、對應(yīng)元素的確定方法

（1）字母順序確定法:根據(jù)書寫規(guī)范，按照對應(yīng)頂點確定對應(yīng)邊、對應(yīng)角。AA

（2）圖形位置確定法L_\L_\

BCEF

①公共邊一定是對應(yīng)邊；②公共角一定是對應(yīng)角；③對頂角一定是對應(yīng)角；

（3）圖形大小確定法:兩個全等三角形的最大的邊（角）是對應(yīng)邊（角），最小的邊（角）是對應(yīng)邊（角）。

（三）全等三角形的表示：全等用符號“三”表示，讀作“全等于"。如三角形4ABC和4DEF全等，記作

△ABCsADEFo記兩個三角形全等時，通常把表示對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)的位置上。

要點10：全等三角形的性質(zhì)

（一）全等三角形的對應(yīng)邊相等，全等三角形的對應(yīng)角相等。

（二）全等三角形對應(yīng)邊上的高、中線分別相等，對應(yīng)角的平分線相等，面積相等，周長相等。

J欠VAABC^ADEF

/\\；.AB=DE,AC=DF,BC=EF（全等三角形的對應(yīng)邊相等）。

/------\I----NA=ND,ZB=ZE,NC=NF（全等三角形的對應(yīng)角相等）。

要點1L判定全等三角形

1.邊邊邊（SSS）

1、三邊分別相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）。

447rL中.

AB-A'B',

-AC=A'C,

/.人曲^A.47J'C(SSS).

2.（邊角邊SAS）

（1）用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角（已知角NAOB,求作NAOB=4A，OE）

①以點O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA,OB于點C、D?

②畫一條射線O7V,以點O,為圓心，0C長為半徑畫弧，交07V于點C，。

③以點C，為圓心，CD長為半徑畫弧，與第2步中所畫的弧相交于點D，;

④過點D，畫射線0B,則NA，OB，=NAOB。

（2）兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”）。

AB?.l'B',

-

,BOB'C,

AWgA4WCd

3.（角邊角ASA）

兩角和它們的夾邊分別相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角邊角”或“ASA”）。

AA4447r「中.

ZA-zr.

-BC-B'C,

zc=zc,

歷'「(ASA〉

4.（角角邊AAS）

兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等（可以簡寫成"角角邊"或"AAS"）。

AAJAOA/fTTC?中.

BCB'C,

/.A_4BCg29'「(AAS).

03題型歸納

題型一三角形的三邊關(guān)系

【典例1］（24-25七年級下?全國?單元測試）下列長度的三條線段，能組成三角形的是（）

A.3,7,2B.4,9,6C.11,3,6D.9,15,5

【答案】B

【分析】本題考查了三角形的三邊關(guān)系.判斷能否組成三角形的簡便方法是看較小的兩個數(shù)的和是否大

于第三個數(shù).根據(jù)三角形的三邊關(guān)系”任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”，進行分析.

【詳解】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，知

A、2+3=5<7,不能組成三角形；

B、4+6=10>9,能組成三角形；

C、6+3=9<11,不能組成三角形；

D、9+5=14<15,不能組成三角形.

故選：B.

鞏固訓(xùn)練

1.（24-25七年級下?全國?期末）已知三角形的兩邊長分別為3cm和7cm,則下列長度的四條線段中能作為第

三邊長的是（）

A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm

【答案】D

【分析】本題考查了三角形三邊關(guān)系，三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊.

根據(jù)三角形的三邊關(guān)系逐項判斷即可.

【詳解】解：設(shè)三角形的第三條邊長xcm,

7—3VlzV7+3,

即4<%V10,

能作為第三邊長的是5cm,

故選：D.

2.（23-24七年級下?全國?單元測試）現(xiàn)有長度分別為2cm、3cm、4cm、5cm的木棒，從中任取三根，能組

成三角形的個數(shù)是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】考查了三角形的三邊關(guān)系.首先把每三根組合的所有情況列舉出來，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系

“任意兩邊之和大于第三邊”進行分析.

【詳解】解：其中每三根組合，有2,3,4；2,3,5；2,4,5；3,4,5；

其中能組成三角形的有2,3,4；2,4,5；3,4,5三組.

故選：C.

3.（23-24七年級下?廣東揭陽?階段練習(xí)）如圖，為估計荔香公園小池塘岸邊/、8兩點之間的距離，小亮在

小池塘的一側(cè)選取一點0,測得。4=14m,OB=10m,則4、3間的距離可能是（）

A.4mB.14m28m

【答案】B

【分析】本題主要考查了三角形三邊的關(guān)系，三角形中，任意兩邊之差小于第三邊，任意兩邊之和大于

第三邊，據(jù)此求出4B的取值范圍即可得到答案.

【詳解】解：由題意得，。力一OB<OA+OB,

.-.14-10<AB<14+10,

.,.4m<AB<24m,

二四個選項中，只有B選項符合題意.

故選：B.

題型二三角形的分類

【典例2】（24-25七年級下?全國?課后作業(yè)）下列關(guān)于三角形按邊分類的圖示中，正確的是（）

班

、

三

不

都

相

的

三

等腰三等

形

角形角

等邊三、/

角形/

A.B.

【答案】D

【分析】本題主要考查了三角形按邊分類，根據(jù)分類情況分為三邊不相等的三角形和等腰三角形，而等

腰三角形分為腰和底不相等的三角形、等邊三角形，根據(jù)分類的情況即可得到答案.

【詳解】解：根據(jù)三角形按邊分類情況：

等邊三角形應(yīng)該分在等腰三角形里，故選項A錯誤，不符合題意;

等腰三角形包含等邊三角形，故選項B錯誤，不符合題意；

分類混亂，故選項C錯誤，不符合題意；

分類正確，故選項D正確，符合題意.

故選項為：D.

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24七年級下?河北邢臺?期末）圖表示三角形分類，則0表示的是（）

A.等邊三角形B.直角三角形C.銳角三角形D.鈍角三角形

【答案】A

【分析】本題主要考查三角形的分類，掌握三角形按邊分類的方法是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)三角形按邊分類，即可求解.

【詳解】解：,??三角形按邊分為三邊都不等的三角形，等腰三角形，等腰三角形分為：兩邊相等的等腰

三角形，三邊相等的等邊三角形.

???0表示的是等邊三角形.

故選：A.

2.（22-23七年級下?河北邢臺?階段練習(xí)）若如圖表示三角形分類，則下列說法正確的是（）

A.M表示等邊三角形

C.P表示等腰三角形D.N表示三邊都不相等的三角形

【答案】C

【分析】本題主要考查了三角形的分類，根據(jù)三角形按邊的分類可直接選出答案.

【詳解】解：三角形根據(jù)邊分類如下:

f不等邊三角形

三角形I等腰三角形｛底和腰室翎疆三角形

由圖可知，〃表示三邊均不相等的三角形，N表示等邊三角形，尸表示等腰三角形

故選：C.

3.（22-23七年級下?江蘇宿遷?期中）在一個三角形中，若三個內(nèi)角的度數(shù)之比是2:3:5,則這個三角形是（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形

【答案】B

【分析】設(shè)其比例系數(shù)為k,利用三角形的內(nèi)角和可求得上=18。，進而可求得三角形的三個內(nèi)角，利用

三角形的分類即可求解.

【詳解】解：設(shè)其比例系數(shù)為k,貝人

2k+3k+5k=180°,

解得:k=18°,

??.這個三角形的三個內(nèi)角分別為：36。、54。、90。，

則這個三角形是直角三角形，

故選B.

【點睛】本題考查了三角形的分類，熟練掌握其分類是解題的關(guān)鍵.

題型三三角形的角平分線和高有關(guān)運算

【典例3】（2025七年級下?全國?專題練習(xí)）如圖，在△4BC中，4D是角平分線，4E是中線，4F是高線.

A

（1）如果BC=10cm,求BE的長；

（2）如果/ABC=40°,zXCB=60°,求尸的度數(shù).

【答案】（1）BE=5cm

（2）4BAD=40°,^DAF=10°

【分析】本題考查三角形的高、中線、角平分線，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握三角形的高、中線、

角平分線定義是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)三角形中線定義求解即可.

（2）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出NB4C=80。,再根據(jù)三角形角平分線定義求得NBA。=Z.DAC=40°,

然后由4F是高線，則可求得NCAF=30。，即可由Nn4F=NZMC-NC4F求解.

【詳解】⑴解：因為4E是△ABC的中線，所以BE=CE=*C.

因為BC=10cm,所以BE=5cm.

（2）解：因為N4BC=40O/ACB=60。，

所以NB4C=180°-40°-60°=80°.

因為2D是△4BC的角平分線，