專題10動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問題（中考?jí)狠S題?？碱}）（解析版）

題目精選自：2023、2024年上海名校及一二模真題，包含因動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)產(chǎn)生的相似三角形相關(guān)問題12道。

一、解答題

1.（2023?上海浦東新??？家荒＃┤鐖D，已知拋物線>=辦2+桁-3與x軸交于A,3兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,

。是坐標(biāo)原點(diǎn)，已知點(diǎn)5的坐標(biāo)是（3,0）,tan^OAC=3.

（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）點(diǎn)尸在x軸上方的拋物線上，AZPAB=ZCAB,求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

⑶點(diǎn)。是了軸上一動(dòng)點(diǎn)，若以。、C、8為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似，求出符合條件的點(diǎn)。的坐標(biāo).

【答案】⑴了=尤2-2x-3

⑵（6,21）

⑶0（0,1）或小，（］

【分析】（1）根據(jù)正切可得A點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法求出函數(shù)關(guān)系式即可；

（2）根據(jù)正切，可設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x,則縱坐標(biāo)為3（x+l）,根據(jù)圖像上的點(diǎn)滿足函數(shù)解析式，可得關(guān)

于x的方程，解方程可得答案；

（3）根據(jù)兩組對(duì)應(yīng)邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似，可得關(guān)于y的方程，解之即可.

【詳解】（1）解：令尸0,貝疝=-3,

???C點(diǎn)坐標(biāo)為：（0,-3）,

OC=3,

tan/。4c=3

???OA=1

???A在負(fù)半軸，

???A（-l,0）

把（3,0）和（—1,0）代入y=4+云_3得:

儼+3。-3=0

]tz-Z?-3=0

解得：]f一a=1

???拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y=x2-2x-3

（2）,：ZPAB=ZCAB,

：.tanZPAB=twZCAB=3

??,點(diǎn)P在x軸上方

設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為羽則縱坐標(biāo)為3（%+1）,

3（x+l）=X2—2x—3,

解得：x=-1（舍去）或尤=6

當(dāng)％=6時(shí)，y=21

???點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（6,21）；

（3）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0,y）,

?；OC=OB=3

???^ABC=45°

???.ABC為/ABCH5。的銳角三角形，

???△DC5也是銳角三角形，

J/DCB=45。,

???ZABC=ZDCB

AB=4,BC=372,DC=y+3

①當(dāng)0c8sAsc時(shí)，告=笠，則岑=斗，

ABBC43V2

...y=l,即點(diǎn)0(0,1),

②當(dāng)aBCDsAge時(shí)，—,則耳=辿，

7BCAB3724

；.y=|,即點(diǎn)

綜上所述，0（0,1）或。

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，相似三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)，根據(jù)三

角函數(shù)轉(zhuǎn)化為線段的比值是解題的關(guān)鍵，注意分類討論時(shí)不要遺漏情況.

2.（2023?上海?一模）如圖，已知拋物線y=o?+bx-3與無軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,O是坐標(biāo)

原點(diǎn)，已知點(diǎn)2的坐標(biāo)是（3,0）,tan^fOAC=3；

（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）點(diǎn)尸在無軸上方的拋物線上，S.ZPAB^ZCAB,求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)。是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，若以。、C、8為頂點(diǎn)的三角形與二ABC相似，求出符合條件的點(diǎn)。的坐標(biāo).

【答案】⑴尸「2X-3

（2）（6,21）

⑶（。，1）或（。，|]

【分析】（1）根據(jù)正切函數(shù)，可得A點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；

（2）根據(jù)正切函數(shù)，可得尸點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)圖像上的點(diǎn)滿足函數(shù)解析式，可得關(guān)于x的方程，根據(jù)解方程,

可得答案；

（3）根據(jù)兩組對(duì)邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似，可得關(guān)于y的方程，根據(jù)解方程，可得答案.

【詳解】（1）解：:拋物線y=以2+版一3與>軸交于點(diǎn)C,

???點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,-3）,

???。。=3,

tan/Q4c=3,

：.OA=1,即點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1。），

又???5（3,0）,

.（a-b-3=0

?19a+3〃-3=0'

ftz=1

解得，、，

[b=-2

二拋物線的函數(shù)表達(dá)式是y=x2-2x-3；

（2）解：,：ZPAB=ZCAB,

tan/PAB=tanZCAB=3,

?.?點(diǎn)尸在X軸上方，

設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為X,則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為3（X+1）,

3（x+1）=f—2x—3,

Wx=—l（舍去）或x=6,

當(dāng)％=6時(shí)y=21,

???點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6,21）；

（3）解3：如圖，

。

。

設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為（0,y）,

?：OB=OC=3,400=90。,

???ZCBO=-x90°=45°,

2

???ABC為^ABC=45°的銳角三角形,

△DCB也是銳角三角形，

.?.點(diǎn)。在點(diǎn)C的上方，

NDCB=45°,

：.ZABC=NDCB,

■：AB=4,8C=3后，OC=y+3,

；.y=l,即點(diǎn)D(O,1),

.?.y=|,即點(diǎn)。|o,￡].

綜上分析可知：符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,1)或.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)求函數(shù)解析式；利用正切函數(shù)得出尸點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)

鍵，又利用圖像上的點(diǎn)滿足函數(shù)解析式得出P點(diǎn)坐標(biāo)；利用兩組對(duì)邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形

相似得出關(guān)于y的方程是解題關(guān)鍵，要分類討論，以防遺漏.

3.(2023上?上海普陀?九年級(jí)?？计谥?如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQy中，拋物線y=^2-2x+c與直線

y=+3分別交于x軸、y軸上的8、C兩點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)。.

x

(1)求拋物線的解析式；

(2)連接3￡),求證：NCBO=NDBO；

(3)連接CO交x軸于點(diǎn)E,點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，若CEB與點(diǎn)尸、B、。組成的三角形相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】(l)y=J/-2x+3

4

(2)見解析

⑶(1,0)或(5,0)

【分析】(1)先根據(jù)一次函數(shù)的解析式求出B和C的坐標(biāo)，運(yùn)用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式;

(2)求出頂點(diǎn)。的坐標(biāo)，然后求出tan/O8O=tan/CBO,即可證明結(jié)論；

(3)求出直線C。的解析式，然后計(jì)算出點(diǎn)E的坐標(biāo)，然后分兩種情況：,CEBsDPS和CEBsPQg計(jì)

算解題.

【詳解】(1)解：當(dāng)x=0時(shí)，y=3,

???點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3),

令V=0,則-gx+3=0,解得x=6,

???點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6,0),

把（0,3）,（6,0）代入y=ox?_2%+c得

「2[1

c=3a=—

Lg_八，解得：-

[36。-12+c=0

i[c=3

1

??y=-X9—2x+3；

11?

（2）解：y——X2—2x+3=—（%—4）—1,

44V7

二點(diǎn)D的坐標(biāo)為

過點(diǎn)。作OF垂直08于點(diǎn)凡連接8。，

則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（4,0）,

DF=1,BF=OB—OF=6—4=2,

DF1

AtmZDBO=——=—,

BF2

OC31

XVtanZCBO=——,

OB62

??tanZ.DBO=tanZ.CBO,

：.ZDBO=ZCBO；

(3)設(shè)直線co的解析式為丁=丘+人，代入得:

fb=3[k=-l

\A1K?，解得人「

[4k+b=-l[b=3

?*,y=~x+3,

令y=。，則x=3,

???點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3,o）,

BE=OB-BE=6-3=3,

BC=Sc?+OB?=打+6?=3君,CE=JoC?+OE。=打+3?=30,

BD=4DF2+BF2=A/12+22=V5>

NDBO=NCBO,

.?.當(dāng)CEBsDPB時(shí),—,

CBBE

即厘="，解得3尸=1,

3A/53

OP=OB-BP=6-1=5,

二點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（5,0）,

PB_DB

當(dāng)aCEBspng時(shí),

CB一EB

即與=好，解得PB=5,

3A/53

OP=OB—BP=6—5=L

；?點(diǎn)P的坐標(biāo)為（l，0）,

綜上所述，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（1，0）或（5,0）.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖像和解析式，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，作輔

助線夠構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

4.（2023?上海徐匯?上海市第四中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，二次函數(shù)y=gf+6x+c的圖象交坐標(biāo)軸于點(diǎn)4（4,0）,

以0,-2）,點(diǎn)p為x軸上一動(dòng)點(diǎn).

(2)將線段PB繞點(diǎn)尸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段尸￡>,若。恰好在拋物線上，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(3)過點(diǎn)P作尸軸分別交直線48,拋物線于點(diǎn)。C,連接AC.若以點(diǎn)8、。、C為頂點(diǎn)的三角形與

△AP。相似，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).

［答案］⑴y=，尤2_與-2

66

⑵。(3,-1)或。(-8,10)

(3)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-11,0)或(1,0).

【分析】(1)將4(4,0),3(0,-2)代入，=32+公+。，即可求解.

(2)設(shè)尸&0),過點(diǎn)。作x軸垂線交于點(diǎn)N,可證明△PNO絲ABO尸(AAS),則。。+2,V),將。點(diǎn)代

11

入拋物線解析式得T='(/+2)9-?+2)-2,求得D(3,-l)或￡>(-8,10).

(3)分當(dāng)ZBCQ=90。和NQ3C=90。時(shí)，兩種情況討論，據(jù)此求解即可.

【詳解】(1)解：將4(4,0),3(0,-2)代入〉=：尤2+次+。，

(2)解：設(shè)尸&0),

如圖，過點(diǎn)。作x軸垂線交于點(diǎn)N,

/.ZOPB+ZNPD=90°,Z-OPB+ZOBP=90°,

:?/NPD=/OBP,

,:BP=PD,

：.△RVD0ABOP（AAS）,

：.OP=ND,BO=PN,

。（/+2,一/），

i9i

—/=—（?+2）——（?+2）—2,解得（=］或/=_10,

66

.??。（3,-1）或￡＞（一8,10）.

（3）W：-：PQ±x,

???△APQ是直角三角形，且ZAPQ=90。，

?..以點(diǎn)8、。、C為頂點(diǎn)的三角形與△AP。相似，

△BCQ也是直角三角形，

顯然NBQCw90。，

二點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為1,

.??點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（l，o）；

當(dāng)NQBC=90。時(shí)，止匕時(shí)3CLAB,如圖，設(shè)BC與x軸交于點(diǎn)E,

A(4,0),8(0,-2),

OA=4,OB=2,

ZEOB=ZAOB=ZEBA=90°,

ZOEB+ZOBE=ZOBA+NOBE=90°,

ZOEB=ZOBAf

△OEBs^OBA,

OEOBnnOE2

OBOA24

OE=1,

：.E(-LO),

設(shè)直線EB的解析式為y=kx-2,

：.0=-k-2,

二左=—2,

/.直線EB的解析式為y=-2x-2,

y——2%—2

x=0x=-ll

聯(lián)立11c，解得I或

y--x2——x-2y=20

66

二點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為-11,

二點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（TL。）；

綜上，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(-11,0)或(1,0).

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)圖象及性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式

是解題的關(guān)鍵.

3

5.(2023?上海浦東新?統(tǒng)考一模)如圖，在Rt^ABC中，ZABC=90°,AC=10,tanC=-，點(diǎn)。是斜邊

4

AC上的動(dòng)點(diǎn)，連接BO,EF垂直平分出)交射線區(qū)4于點(diǎn)凡交邊BC于點(diǎn)E.

(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)。是斜邊AC上的中點(diǎn)時(shí)，求E尸的長(zhǎng);

(2)連接OE,如果DEC和：ABC相似，求CE的長(zhǎng);

(3)當(dāng)點(diǎn)尸在邊54的延長(zhǎng)線上，且AF=2時(shí)，求AD的長(zhǎng).

【答案】(1)所=一

(2)DEC和ASC相似，CE的長(zhǎng)為了或5

-6+16指

(3)A￡)的長(zhǎng)是

3

【分析】(1)連接DP,DE,由ZABC=90。，AC=10,tanC=-,得AB=6,BC=8,而。是AC中

4

I1533

點(diǎn)，，知BD=zAC=5,從而/)6=彳2。=彳，證明DGF^ABC^EGD,可得，一或，EG_^,解

222VI

MFG=—,EG=—,即可得防=FG+EG="；

3824

R—rnvyi

(2)分兩種情況：①當(dāng)‘DECsABC時(shí)，設(shè)CE=m,貝。fiE=8—機(jī)=DE,有^―=工，解得m=一；

687

②當(dāng)△EDCSA4BC時(shí)，設(shè)CE=〃，則BE=OE=8-〃，可得?==，解得"=5,即可得出答案；

610

3

(3)連接過。作于K,由NADK=NC,有一=-,設(shè)AK=3f,則。K=4r,在Rt_DK/

DK4

中,得(旬2+(3.2)2=82,解方程即可得到答案.

【詳解】(1)解：連接。尸，DE,如圖:

A

3

VZABC=90°,AC=10tanC=-

94

/.AB=6,BC=8,

???。是AC中點(diǎn)，

BD」AC=5,

2

石尸是BD的垂直平分線，

.?.DG=-BD=-

22f

:。是AC中點(diǎn)，ZABC=90°,

：.AD=BD=CD,

AZA=ZDBA,NC=NDBC,

石尸是BD的垂直平分線，

：?DF=BF,DE=BE,

:?/FDG=/DBA,/EDG=/DBC,

：.ZFDG=ZA,/EDG=NC,

NDGF=ZABC=9Q°=ZEGD,

:…DGFsaABCsEGD,

,DGFGEGDG

?布―茄'AB-BC

55

1=FG,空=2,

6-86-8

解得FG=：,EG=?

3o

125

EF=FG+EG=—

24

(2)①當(dāng)，￡>ECsABC時(shí)，如圖:

li

設(shè)CE=m,則班=8—機(jī)=OE,

..DECE

?Afi-BC?

.8—mm

??-----—一,

68

解得加=亍32，

32

???CE=—；

7

②當(dāng)△EDCsAMC時(shí)，如圖:

設(shè)CE=〃，貝|JB￡=Q￡=8-〃，

..DECE

?AB-AC?

.8-nn

??=，

610

解得n=5,

：.CE=5；

32

綜上所述，一DEC和二ABC相似，C￡的長(zhǎng)為了或5；

(3)連接。尸，過。作DK_LAB于K,如圖:

:,DK〃BC,

：.ZADK=ZC,

3

tanZADK=tanC=—,

4

口nAK3

即---=-，

DK4

設(shè)業(yè)=3人則0K=4/,

VAB=6,AF=2,

:?BF=8=DF,KF=AK+AF=3t+2,

在Rt中，DK2+KF2=DF2.

(4f)2+(3f+2)2=82,

解得/=-6+16#或仁-6766(舍去)，

2525

22

/.AD=yjAK+DK=J(3()2+(4/)2=5t=-6+；6#,

..,AD的長(zhǎng)是-6+]6?.

5

【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形中的相似問題，涉及勾股定理及應(yīng)用，線段的垂直平分線等知識(shí)，解題的關(guān)

鍵是掌握相似三角形的判定定理及應(yīng)用.

6.(2022?上海松江??？既?如圖，拋物線y=x2-bx+c過點(diǎn)2(3,0),C(0,3),。為拋物線的頂點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式以及頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)連接BC,CD,DB,求/C3D的正切值;

(3)點(diǎn)C關(guān)于拋物線y=x2-bx+c對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為E點(diǎn)，連接旗，直線BE與對(duì)稱軸交于點(diǎn)M,在(2)

的條件下，點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)尸使△CD8和BMP相似，若存在，求點(diǎn)尸坐標(biāo)，

若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)12—,D(1,4)

⑵1

3

(3)存在，(1,0)或(1,-)

【分析】(1)將點(diǎn)8、C的坐標(biāo)代入y=Y-bx+c,即可得到拋物線的解析式，然后利用配方法可求得拋

物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)求得BC,CD,的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理的逆定理可得是直角三角形，ZBCD=90°,利用銳

角三角函數(shù)的定義求解即可；

(3)根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性得￡(2,-3),可得直線班為y=3x-9,則/(1,-6),由(2)可知△CDB是直

角三角形，/BCD=9。。,若△CDB和,BMP相似，可分NMP3=/3CD=90。和/MBP=/3CD=90。兩種

情況進(jìn)行分析，借助相似三角形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】(1)解：將點(diǎn)夙C的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，

0=9-36+cb=2

可得,解得

c=-3c=-3

故拋物線的解析式為產(chǎn)尤2-2x-3；

,/y=x2-2x-3=(x-l)2-4,

：.D(IT)；

(2)解：如下圖，連接BC,CD,DB,

3(3,0),C(0,-3),0(1,T),

/.BC2=32+32=18,BC=3A/2,

C￡>2=l2+(4-3)2=2,CD=Q，

必=4?+(3-1)2=20,BD=2y[5,

BD2=BC2+CD2,

/.ABCD是直角三角形，/BCD=90°,

???3”如黑斐4

(3)解：：點(diǎn)C關(guān)于拋物線y=x?-2x-3對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為E點(diǎn)，y=x?-2尤-3的對(duì)稱軸為x=l,

二￡(2,-3),

又?.?8(3,0),可設(shè)直線BE的解析式為y=h+%，將點(diǎn)8、E的坐標(biāo)代入,

-3=2k+b

得

0=3k+b

伏=3

解得%

[b=-9

,直線班'為y=3%-9,當(dāng)％=1時(shí)，y=3xl-9=-6,

M(1,—6),

由(2)知△CDB是直角三角形，NBCD=90。，

若△€!汨和一技質(zhì)相似，可分兩種情況進(jìn)行解析：

①NMP3=NBCD=90。時(shí)，點(diǎn)尸在犬軸上，

?.?M(l,-6),B(3,0),

PM=6,BP=2,

-BP_2_1

一PM一不一記

.BPCD

??麗―沃'

9：ZMPB=ZBCD=90°,

，和PBM,

：.Pd,O）；

②ZMBP=/BCD=90°時(shí),

：?MB=而+(3-1)2=2瓦,

,/和ABPM,

.PMDB

.PM26

"2M-3A/2'

解得PM=m20，

202

???點(diǎn)MP的縱坐標(biāo)為丁-6=彳，

33

2

綜上所述，存在，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(L0)或

【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式、勾股定理及逆定理的應(yīng)用、求正切值、

相似三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)，用分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想分析問題是解題關(guān)鍵.

7.(2022上?上海青浦?九年級(jí)校考期中)如圖，對(duì)稱軸為直線x的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(6,0)和3(0,4).

(1)求拋物線解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo);

(2)點(diǎn)E在第四象限拋物線的圖像上，當(dāng)平行四邊形*S的面積為24時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

(3)在直線A3是否存在一點(diǎn)P,使得，AOP與A03相似，如存在求出點(diǎn)P坐標(biāo)，如果不存在請(qǐng)說明理由.

【答案】⑴拋物線解析式為戶/2一°萬14、+4'頂點(diǎn)坐標(biāo)為<［7萬,-2不5

⑵(3,-4)或(4,T)

2436

(3)在直線AB存在一點(diǎn)P,P13513

【分析】(1)可設(shè)拋物線解析式為y=+k,將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入求出。，上的值即可，進(jìn)而

可寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)可設(shè)E點(diǎn)的坐標(biāo)為，〃,§/一了"?+4),由OE4F的面積為24,可知△OAE的面積為12,列方程

求出m即可得E點(diǎn)坐標(biāo)；

(3)由于&A03是直角三角形，要使與A03相似，貝kAOP也為直角三角形，因此直線。尸與直

線43垂直，可先求出直線的解析式，再寫出直線0P的解析式，然后聯(lián)立兩條直線的解析式求出交點(diǎn)

坐標(biāo)即為尸點(diǎn)的坐標(biāo).

【詳解】(1)解：設(shè)拋物線解析式>=。，=［+左，

把4(6,0)和3(0,4)代入+k,

257八

--4+%=0

4

得

49

——a+k=4

14

2

ci———

3

解得

k=_"

6

???拋物線解析式為y=——個(gè)，

BPy=—%2--x+4,

33

頂點(diǎn)坐標(biāo)為V；

(214

(2)解：設(shè)￡1點(diǎn)的坐標(biāo)為［九7-ym+4

sOEAF=2SOAE=24,

??SOAE=12，

即:QA|yJ=12,

1,2214,c

—x6--m---機(jī)+4=12

233

???點(diǎn)￡在第四象限，

./曰2214/4

.?得—利---m+4=—4,

33

化簡(jiǎn)得4-7m+12=0,

解得叫=3,加2=4,

???E點(diǎn)的坐標(biāo)為（3,Y）或（4,-4）；

（3）解：在直線存在一點(diǎn)P,理由如下：

?.'AOP與4Aoe相似，且JOB是直角三角形,

“AOP也是直角三角形，

二OP1AB,

設(shè)直線AB的解析式為y=px+q,

__2

6〃+4=0

則解得°=一§

q=4

q=4

2

?,?直線AB的解析式為j=--x+4,

3

?,?直線OP的解析式為y=

y=——x+4

3

聯(lián)立3

y二-x

12

24

13

解得

尸點(diǎn)的坐標(biāo)為

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)與幾何圖形的綜合運(yùn)用，題目綜合性較強(qiáng)有一定難度，熟練掌握求二次

函數(shù)的解析式以及平行四邊形的性質(zhì)，相似三角的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.

8.（2023上?上海靜安?九年級(jí)上海市市北初級(jí)中學(xué)校考期中）在矩形A8CD中，AB=6,AD=8,點(diǎn)尸是

線段80上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)8、。重合），過點(diǎn)P作交射線DC于點(diǎn)E,連接BE.

圖1圖2備用圖

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，求的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)直線BE與直線AD交于點(diǎn)尸時(shí)，設(shè)3P=x,AF=>；

①如圖2,點(diǎn)尸在線段ZM的延長(zhǎng)線上，求〉關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域;

②如果5PE與△54F相似，求3P的長(zhǎng).

【答案】（l）3P=q32；

_14432_

（2）@（0<x<—）；②5P的值為4或8.

32-5x5

【分析】（1）證明利用相似三角形的性質(zhì)求解；

（2）①證明一BDCs/DP,可得娑=冬，推出即=。（10一打，由筋〃DE,推出獸=蘭，由此構(gòu)

DCDB3DEDr

建關(guān)系式，可得結(jié)論；

②分兩種情形：當(dāng)點(diǎn)尸在線段ZM的延長(zhǎng)線上；當(dāng)點(diǎn)尸在線段AO的延長(zhǎng)線上，分別求解即可.

【詳解】（1）:四邊形ABCD是矩形，AB=6,AD=8,

：?CD=6,BC=8,BD=10,ZA=90°fAD//CBf

：.ZADB=ZCBP,

9：CD工BD,

ZCPB=ZA=90°,

：.ACPB^ABAD,

.BPBCBnBP_8

ADDB810

32

（2）①PE±BD,

：.ZDPE=NDCB=90°,

?:/BDC=/EDP,

：,BDCsEDP,

.DP_ED

?：BP=x,DB=10,DP=10—x,CD=6,

.10-xEDw口,八5/r八、

??^=--解得：￡D=-（10-x）,

o1U3

AB//DE,

/\ABFs^DEF,

.AB_AF

??DE-DF'

6_y

j（io-x）y+8'

.144小32、

??.=”「（0<><二）；

32—5%5

@VZFAB=ZBPE=90°,且點(diǎn)尸不可能在線段AD上,

???5DE與△&1尸相似有兩種可能：

當(dāng)點(diǎn)尸在線段ZM的延長(zhǎng)線上（如圖2中）

,/ZPBE^ZAFB,

：.ZPBE=ZABF

,/AB//DE,

:.ZABF=ZDEB,

：.ZPBE=ZDEB,

：.DE=DB=10f

：.DP=DC=6,

???BP=4

當(dāng)點(diǎn)尸在線段AD的延長(zhǎng)線上（如圖3中），

ADF

圖3

,/ZABF^ZPBE,

ZABF=ZPEB,

'：AB//CD,

：.ZABF=NCEB,

：.ZPEB=ZCEB,

ZBPE=ZBCE=90°,

：.BP=BC=8,

綜上所述，BP的值為4或8.

【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類

討論的思想思考問題.

9.(2023?上海長(zhǎng)寧?統(tǒng)考一模)己知拋物線＞=加+法+。(。＞0)與x軸交于點(diǎn)4(1,0)和3(4,0),與〉軸交

于點(diǎn)C,0為坐標(biāo)原點(diǎn)，且OB=OC.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,點(diǎn)尸是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)3、C重合)，過點(diǎn)尸作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)Q,連

接OQ.當(dāng)四邊形OCPQ恰好是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(3)如圖2,在(2)的條件下，。是OC的中點(diǎn)，過點(diǎn)。的直線與拋物線交于點(diǎn)E,RZDQE=2ZODQ,

在直線QE上是否存在點(diǎn)尸，使得與"DC相似？若存在，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】⑴拋物線的解析式為y=l-5x+4；

⑵。(2,-2)

(3)存在,耳(4,2),'J

【分析】(1)設(shè)拋物線的解析式為y=q(x-i)(x-4),利用待定系數(shù)法即可求解；

(2)先求得直線BC的解析式，利用CO=PQ,得出方程，解方程即可求解；

(3)證明/mC=4EB,分兩種情況討論，當(dāng)時(shí)，當(dāng)△DACs^BEF時(shí),利用相似三

角形的性質(zhì)列式計(jì)算，即可求解.

【詳解】⑴解:設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-l)(x-4),

VOB=OC=4,a>0,

：.C(0,4)

代入C(0,4),得4=4。,

解得a=1,

2

二拋物線的解析式為y=x-5x+4;

(2)解：設(shè)直線BC的解析式為，=笈+4,

代入3(4,0)得0=4左+4,

左=—1,

?,?直線BC的解析式為y=-%+4,

設(shè)，P(p,-p+4)(O<p<4),則Q(p,p2-5p+4),

貝UQP=-p+^-p2+5p-4=-p2+4p,

VCOQ尸是平行四邊形，

CO=PQ,即-p?+4p=4,

P=2,

。(2,-2)；

(3)解：由題意得0(0,2),Q(2,—2),A(l,0),

；?點(diǎn)。、A、。在同直線上，

設(shè)NODA=?,ZOAD=x,

tan,tanx=2,

2

作。軸，故QG〃y軸，則G（2,0）,

.?.NAQG=NODQ=6,

?.,ZDQE=20,

.?.NAQG=NHQG,

可知AG=GH=1,

：.H（3,0）,

同理可得直線QH的解析式為y=2x-6,

角星方程2%—6=/一5%+4,得x=2或%=5,

￡（5,4）,

連接砥，作軸，

可知：tanZBEI=—=tanZOCA,

4

；?NBEI=NOCA,

9：NHEI=NODA=9,

：.NOCA+NDAC=NHEB+NBEI,

即/ZMC=/HEB,故尸在E的左側(cè)，

此時(shí)：NFEB=NDAC,

設(shè)廠（力2/-6）（/<5）,

?：AD=6AC=V17,BE=4n,EF=V5（5-/）,

I.當(dāng)△ZMCsZ^FEB時(shí),

ADAC

FE~EB'

:.EF=也,/=4,

.??耳(4,2),

II.當(dāng)時(shí),

ADAC

BE一EF'

【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、平行四邊形的判定和

相似三角形的性質(zhì)等.解題的關(guān)鍵是會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的

意義表示線段的長(zhǎng)度，從而求出線段之間的關(guān)系.

10.(2023?上海徐匯?統(tǒng)考一模)如圖，已知在RtAABC中，ZACB=90°,AB=BC=4,點(diǎn),D為邊BC上

一動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)夙C不重合)，點(diǎn)E為上一點(diǎn)，ZEDB^ZADC,過點(diǎn)E作斯工AD,垂足為點(diǎn)G,

交射線AC于點(diǎn)?

⑴如果點(diǎn)。為邊BC的中點(diǎn)，求的正切值；

(2)當(dāng)點(diǎn)尸在邊AC上時(shí)，設(shè)CD=x,CF=y,求y關(guān)于尤的函數(shù)解析式及x的取值范圍;

(3)連接OE,如果CDF與‘AGE相似，求線段8的長(zhǎng).

【答案】(l)g

(2)y=4-2x(0vxV2)

⑶4A歷-4或8-4石或空

【分析】(1)過點(diǎn)。作?！盻LAB于解直角三角形求出OH,A"即可解決問題.

(2)如圖2中，過點(diǎn)A作AT_LAC,延長(zhǎng)FE交AT于T,直線DE交AT于K,交AC的延長(zhǎng)線于R.想

CDAC1

辦法證明科=,=8,再證明,可得而二五可推出M=2CDS,可得結(jié)論.

⑶利用與?皿相似,可得器=器或第=器,由此構(gòu)建方程求出。,當(dāng)點(diǎn)尸在BC下方

時(shí)，同法可求CD.

【詳解】(1)解：如圖1中，過點(diǎn)。作。H_LAB于H,

圖1

QC4=CB=4,ZACB=90°,

AB=yjAC2+BC2

=742+42=4A/2>

CD=DB=2,4=45°,ZDHB=90°,

:.DH=BH=—DB=yf2,

2

:.AH=AB-BH=3y/2,

r)j-[1

tmZDAB=——

AH3

(2)解：如圖2中，過點(diǎn)A作AT,AC,延長(zhǎng)比交4r于T,直線。石交AT于K,交AC的延長(zhǎng)線于A.

ATLAC,BC±AC,

/.AT//BC,

:.ZADC=ZDAK,ZEDB=ZAKD,

ZADC=/EDB,

.\ZDAK=ZDKA,

；.DA=DK,

NH+NDKA=90。，ZDAC+ZDAK=90°,

:./DAC=/R,

\DA=DR,

DCLAR,

：.AC=CR=4f

ZAFE-^-ZCAD=90°,ZAKE+NR=90。，

ZAFE=ZAKE,

在aAEF和^AEK中

ZAFE=ZAKE

<ZEAF=ZEAK

AE=AE

AEF^.AEK(AAS),

.\AF=AK,

在，43?和/XAFT中

ZRAK=ZTAF=90°

<AK=AF

ZAKR=ZAFT

:.AKR沿AFT(ASA),

,\AR=AT=S.ZR=ZT=ZDAC,

ZACD=ZTAF,

ACD^TAF,

CDAC_1

'AF~TA~2"

AF=2CD=2x,

CF+AF=4,

y+2x=4,

y=4-2X(0<X<2).

(3)解：如圖3中，連接。尸，作?！癓AB于巴

圖3

ZGAE=ZDAH,ZAGE=ZAHD,

AG石sAHD,

CD方與.AGE相似，

;CD尸與1Mz汨相似，

.CFCDCF_CD

**DH-AHAH-DH?

4-2x_x4-2x_x

f("x)4應(yīng)-￡(4T)或40-f(4r)f("x)'

整理得：%2+8%-16=0或f—16x+16=0,

解得：西=40—4,%=T行一4（舍去）或毛=8—4A/5,%4=8+4\后（舍去）

.?.8=4&-4或8-45

當(dāng)點(diǎn)尸在BC下方時(shí)，同理可求，CO=tg,

3

綜上所述，滿足條件的CD的值為40-4或8-或￥.

【點(diǎn)睛】本題屬于相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角

三角形的性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形或相似三角形

解決問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題.

11.（2023上?上海閔行?九年級(jí)統(tǒng)考期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中（如圖），已知直線/：y=x+4交x軸

于點(diǎn)4交y軸于點(diǎn)3,點(diǎn)C在x軸正半軸上，且OC=2.點(diǎn)。在線段AC上，且/C7%=NABC,過點(diǎn)

C作3C的垂線，交8。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接AE.

(1)求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(2)求證：AELAB；

(3)如果點(diǎn)P是直線CE上的動(dòng)點(diǎn)，連接。尸，當(dāng)一。EP與,.ABC相似時(shí)，求點(diǎn)P坐標(biāo).

【答案】(I)1：。［

⑵見解析

⑶點(diǎn)尸坐標(biāo)是或(O,T)

【分析】(1)根據(jù)直線解析式即可求出A(TO),8(0,4),從而得出。4=4,03=4,進(jìn)而可求出

BC=2卮證△ACBSABCD,即得出三二.，代入數(shù)據(jù)可求出CD=；,進(jìn)而可求出。。=彳，即得出

CBAC33

點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)由相似三角形的性質(zhì)可得出NCBD=45。，從而可得出NCEB=NCBD=45。，CE=3C.作EHLAC

2

于點(diǎn)H,證"CEgQBC(AAS),即得出HC=O3=4,HE=OC=2,即E(-2,-2),分別求出AE?,AE,

AB2,結(jié)合勾股定理逆定理即可求解；

(3)由NCE￡>=NC4B=45。，DEP"ABC可確定點(diǎn)P只能在射線EC上.又可求出43=40，

DE=3M,CE=2卮分類討論①當(dāng)孚=段時(shí)，即代入數(shù)據(jù)可求出即=述，

3EDAC9

CP=CE-EP=~45.過點(diǎn)尸作DP軸于點(diǎn)f利用待定系數(shù)法可求出直線CE的解析式為

y=1x-l.設(shè)小,，1)貝CF=2-t,再利用勾股定理即可求出此時(shí)(■!，3)；②

ppA「

當(dāng)時(shí)，同理求解即可?

EDAB

【詳解】(1)解：對(duì)于y=x+4,令y=0,則x=T,

令x=0,貝ijy=4,

.?.A(T,0),3(0,4),

???O4=4,03=4.

,:OC=2,

：.C(2,0),AC=6.

?：ZACB=/BCD,ZCDB=ZABC,

：.AACBsABCO,

,CD_BC

**CBAC'

又??,在Rt5。。中，由勾股定理得BC=+oc=26，

.CD_2A/5

.?WT'

CD=—,

3

4

??.OD=CD-OC=-,

3

.??點(diǎn)o坐標(biāo)是

(2)證明：?：z\ACBs^CD,ABAC=45°,

：.NCRD=45。.

VCE1BC,

AZCEB=ZCBD=4509CE=BC.

作于點(diǎn)H,如圖，

?；NECH+NBCO=90。,ACBO+ZBCO=9G0,

：.NECH=ZCBO.

又丁ZEHC=ZCOB=90°,

???一HCE空OBC(AAS),

/.HC=OB=4,HE=OC=2,

E(-2,-2),

AE2=[-4-(-2)J+[0-(-2)]2=8,A￡2=[0-(-2)]2+[4-(-2)]2=40.

AB2^62=36,

AE2+AB2^AE2，

：.ZEAB=90°,即

(3)解：VZCED=ZCAB=45°,DEP^,ABC,

，點(diǎn)P只能在射線EC上.

???A(T,0),8(0,4),E(-2,-2),C(2,0),

???A8=40，DE=,M,C￡=2A/5.

FPAD

①當(dāng)一=—時(shí)，即△D￡P(guān)s\c4B,

EDAC2

EP4A/2

2M-6，

3

解得：政=述，

9

CP=CE-EP=-45.

9

過點(diǎn)P作DP_Lx軸于點(diǎn)F.

設(shè)直線CE的解析式為y=kx+b,

-2=-2k+bk=-

則2,

0=2k+b,

b=-l

，直線CE的解析式為y=；x-l.

設(shè)尸，g-l],則尸產(chǎn)=1一1;t,CF=2-t,

2

在RtACP尸中，CF-+PF-=CP",

②當(dāng)色=任時(shí)，即△DEPSABAC,

EDAB

EP6

/.2A/10—40,

3

解得：EP=y[5,

CP=CE-EP=6

同理可求出P(O,-1).

綜上可知：點(diǎn)P坐標(biāo)是-或

【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)綜合題，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用一次函數(shù)

的性質(zhì)、三角形的相似、兩點(diǎn)之間的距離公式和分類討論的方法解答.

12.(2022下.上海虹口?九年級(jí)?？计谥?如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQy中，直線＞=x-3分別交x軸、y軸

于A、B兩點(diǎn)，拋物線y=Y+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)8,且其頂點(diǎn)為。，點(diǎn)C為拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)求1的正切值；

(3)點(diǎn)P在拋物線上，若=求點(diǎn)P的坐標(biāo).

(4)連接BC,延長(zhǎng)OB交x軸于點(diǎn)E,點(diǎn)。是直線＞=x-3上的動(dòng)點(diǎn)，如果△QBC與△皿)是相似三角形,

求點(diǎn)。的坐標(biāo).

【答案】⑴12-21

【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)y=尤-3可以求出A點(diǎn)和B點(diǎn)坐標(biāo)，把A點(diǎn)和B點(diǎn)坐標(biāo)代入＞=/+法+。即可

求出拋物線的表達(dá)式；

（2）先利用（1）中所得到的拋物線的表達(dá)式求出點(diǎn)C和頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，再利用勾股定理分別求出AB.A