2024學(xué)年第二學(xué)期學(xué)業(yè)質(zhì)量發(fā)展階段性訓(xùn)練

八年級數(shù)學(xué)科問卷

本試卷共4頁，25小題，滿分120分.考試用時(shí)120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、試室號和座位號填寫在答題卡上.

2.用2B鉛筆將考生號、座位號等填涂在答題卡相應(yīng)位置上.作答選擇題時(shí)，選出每小題答

案后，用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈

后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)

相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液、

涂改帶.不按以上要求作答無效.

4.考生必須保證答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題（本大題10小題，每小題3分，共30分）

1.下列二次根式是最簡二次根式的是（）

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)最簡二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式

判斷即可.

【詳解】解：A選項(xiàng)，原式=以，故該選項(xiàng)不符合題意;

2

B選項(xiàng)，J7是最簡二次根式，故該選項(xiàng)符合題意;

C選項(xiàng)，原式=20，故該選項(xiàng)不符合題意;

D選項(xiàng),原式=,故該選項(xiàng)不符合題意;

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了最簡二次根式，解題的關(guān)鍵是掌握最簡二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母;

（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式是解題的關(guān)鍵.

2.小明想做一個(gè)直角三角形的木架，以下四組木棒中，哪一組的三條能夠剛好做成（）

111L

A.一、一、一B.5、12、13C.4、5、6D.1、后、2

345、

【答案】B

【解析】

【分析】欲求證是否為直角三角形，根據(jù)給出三邊的長，只要驗(yàn)證兩小邊的平方和是否等于最長邊的平方即

可，如果相等就是直角三角形，如果不等就不是直角三角形.

【詳解】解：A、，不能構(gòu)成直角三角形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、52+122=132,能構(gòu)成直角三角形，故此選項(xiàng)正確；

C、42+52^62,能構(gòu)成直角三角形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、V22,能構(gòu)成直角三角形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用.關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長

a,b,c滿足々2+52=02,那么這個(gè)三角形就是直角三角形.

3.在平行四邊形ABCD中，ZA+ZC=220°,則NC的度數(shù)為（）

A.70°B.80°C.110°D.150°

【答案】C

【解析】

【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)平行四邊形中，對角相等即可作答.

【詳解】在平行四邊形A3CD中，NA=NC,

又：NA+4=220。，

ZC=110°,

故選：C.

4.下列運(yùn)算正確的是（）

A.y/（-2）2=-2B.50-3虎=2C.0—收=1D,厄+6=2

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了二次根式的運(yùn)算.二次根式的性質(zhì)、二次根式的加減法和除法運(yùn)算法則計(jì)算即可判斷.

【詳解】解：A、,（—2）2=2#—2,本選項(xiàng)不符合題意；

B、50—3百=2拒#2，本選項(xiàng)不符合題意；

C、石與也不是同類二次根式，不能合并，本選項(xiàng)不符合題意；

D、7124-73=A/4=2，本選項(xiàng)符合題意；

故選：D.

5.下列說法正確的是（）

A.四條邊相等的四邊形是矩形B.有一個(gè)角是90。的平行四邊形是正方形

C.對角線互相垂直平分四邊形是菱形D.一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行

四邊形

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)菱形、矩形、正方形、平行四邊形的判定方法進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A.四條邊相等的四邊形是菱形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

B.有一個(gè)角是90。的平行四邊形是矩形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

C.對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，故選項(xiàng)正確，符合題意；

D.一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意.

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查了菱形、矩形、正方形、平行四邊形的判定，熟練掌握相關(guān)判定方法是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，有一個(gè)繩索拉直的木馬秋千，繩索A8的長度為5米，若將它往水平方向向前推進(jìn)3米（即

叱=3米），且繩索保持拉直的狀態(tài)，則此時(shí)木馬上升的高度為（）

A

【答案】A

【解析】

【分析】過點(diǎn)C作CE1.AO于點(diǎn)E易得出CF=OE=3米.由題意可知A8=AC=5米，即可利用勾股定理

求出AF的長，最后由瓦尸計(jì)算即可.

【詳解】如圖，過點(diǎn)C作CE_LAO于點(diǎn)「

，四邊形CFZ汨為矩形，

，CF=DE=3米.

：AB=AC=5米，

AF=7AC2-CF2=A/52-32=4米，

/.BF=AB—AF=1米.

，此時(shí)木馬上升的高度為1米.

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理.正確的作出輔助線是解題關(guān)鍵.

7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的頂點(diǎn)A,B,C在坐標(biāo)軸上，若點(diǎn)A、8的坐標(biāo)分別為

（0,4）、（-2,0）,則點(diǎn)。的坐標(biāo)為（）

（2點(diǎn)4）D.（4,273）

【答案】A

【解析】

【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的特點(diǎn)，根據(jù)題意求出菱形的邊長是

解題的關(guān)鍵.

根據(jù)點(diǎn)A、8的坐標(biāo)，求出的長度，根據(jù)菱形的性質(zhì)，得出==根據(jù)軸，即可

得出點(diǎn)。的坐標(biāo).

【詳解】解：???點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（0,4）、（-2,0）,

OA=4,OB-2,

AB=y/o^+OB2="2+22=2行，

?..四邊形ABCD為菱形，

，AD=A3=2?，AD//BC,即軸，

點(diǎn)。的坐標(biāo)為：（26,4）,

故選：A.

8.如圖平行四邊形A8CD的周長為20,對角線AC,80相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，BD=6,則

△■DOE的周長為（）

A.6B.7C.8D.10

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)平行四邊形的對邊相等和對角線互相平分可得，OB=OD,又因?yàn)镋點(diǎn)是CD的中點(diǎn)，可得

OE是△BC。的中位線，可得OE=；8C,所以易求△OOE的周長.

【詳解】解：：回42。。的周長為20,

.?.2（BC+C￡＞）=20,

則BC+CD=10.

:四邊形A8CQ是平行四邊形，對角線AC,相交于點(diǎn)O,BD=6,

：.OD=OB=^BD=3.

:點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)。是的中點(diǎn),

是△8。的中位線，DE二CD,

：.OE=gBC,

：.ADOE的周長=OZ)+OE+r)E=|BD+1(BC+C￡>)=5+3=8,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線定理、平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形對角線互相平

分、平行四邊形的對邊相等.

9.如圖，在VABC中，NABC=90°,AB=4,BC=3,若。E是VABC的中位線，延長。E,交VABC

的外角NA。/的平分線于點(diǎn)凡則線段。廠的長為()

,79

A.4B.—C.-D.5

22

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查的是三角形中位線定理、平行線的性質(zhì)、角平分線的定義、等腰三角形的判定，掌握三角

形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵.根據(jù)勾股定理求出

AC=VAB2+BC2=V42+32=5，根據(jù)三角形中位線定理得到

。E=,3。=1.5,。石〃3。,石。=！4。=2.5,根據(jù)角平分線的定義、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判

22

定定理得到E_F=EC=2.5,結(jié)合圖形計(jì)算，得到答案.

【詳解】解：在RtAABC中，AC=VAB2+BC2=742+32=5-

是VABC的中位線，

DE=-BC=1.5,DE//BC,EC=-AC=2.5,

22

ZEFC=ZFCM,

是NA。/的平分線，

/.ZECF=ZFCM,

：.ZEFC=ZECF,

/.EF=EC=2.5,

：.DF=DE+EF=1.5+2.5=4,

故選：A.

10.如圖，在AABC中，ZACB=90°,ZABC=60°,AB=4,頂點(diǎn)A,&分別在尤正半軸和y軸正半軸上

滑動(dòng)，連接OC.當(dāng)。C的長度最大時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）

A.（2,2白）B.（4,2白）C.（2,白）D.（4,白）

【答案】A

【解析】

【分析】首先取線段AB的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角線斜邊上的中線和斜邊的關(guān)系，三角形三邊關(guān)系，可以得

到OC最大時(shí)，0C=A2,然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和直角三角形的判定，可以得到△。4c是直角三角

形，再根據(jù)勾股定理，即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo).

【詳解】解：取AB的中點(diǎn)連接M。，MC,如圖1所示，

則OM+MOOC,

故當(dāng)OM+MC=OC時(shí)，OC取得最大值，如圖2所示，

,.?/ACB=NAOB=90。，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，AB=4,

：.CM=BM=AM=OM^2,

?：ZABC=60°,

.?.△BMC是等邊三角形，

，NBMC=ZAMO=60°,

.?.△AMO是等邊三角形，

；.OA=AM=2,ZOAM=60°,

又ZAMO=ZMAC+ZMCA,

：.ZMAC=30°,

：.ZOAC=ZOAM+ZMAC=60°+30o=90°,

：OC=A/O+A/C=2+2=4,

???AC=A/OC2-OL42=^42-22=y/12=2A/3，

...點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2,26），

即當(dāng)0C的長度最大時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2,26），

故選：A.

圖1

【點(diǎn)睛】此題考查了直角三角線斜邊上的中線和斜邊的關(guān)系，三角形三邊關(guān)系，等邊三

圖2

角形的判定與性質(zhì)和勾股定理，有一定的綜合性.

二、填空題（本大題6小題，每小題3分，共18分）

11.函數(shù)y=Jx—2中,自變量》的取值范圍是

【答案】x>2

【解析】

【分析】根據(jù)被開方式是非負(fù)數(shù)列式求解即可.

【詳解】解：依題意，得％—220,

解得：x>2,

故答案為1之2.

【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)自變量的取值范圍，函數(shù)有意義時(shí)字母的取值范圍一般從幾個(gè)方面考慮：①當(dāng)函

數(shù)解析式是整式時(shí)，字母可取全體實(shí)數(shù)；②當(dāng)函數(shù)解析式是分式時(shí)，考慮分式的分母不能為0；③當(dāng)函數(shù)

解析式是二次根式時(shí)，被開方數(shù)為非負(fù)數(shù).④對于實(shí)際問題中的函數(shù)關(guān)系式，自變量的取值除必須使表達(dá)

式有意義外，還要保證實(shí)際問題有意義.

12.一棵大樹在離地面6米處折斷，樹的頂部落在離根部8米處，則大樹折斷前有米.

【答案】16

【解析】

【分析】此題涉及的知識(shí)點(diǎn)是直角三角形，根據(jù)勾股定理可以求出樹的折斷部分長度，進(jìn)而可以得到樹的總

長

【詳解】大樹在離地面6米，樹的頂部落在離根部8米處，根據(jù)勾股定理，樹折斷部分長為10米，大樹總

長10米+6米=16米

故答案為16

【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查學(xué)生對直角三角形的理解，勾股定理是解題的關(guān)鍵

13.已知y=Jx-2+A/2-X+3,則肛=.

【答案】6

【解析】

【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，求不等式組的解集，先根據(jù)二次根式有意義的條件求出x的

值，進(jìn)而求出y的值，然后代入門計(jì)算即可.

【詳解】解：由題意，得

x-2>0

2-x>Q

解得x=2,

y=O+O+3=3,

：.xy=2x3=6,

故答案為：6.

14.如圖，矩形ABCD的對角線AC,3。的交點(diǎn)為。，點(diǎn)E為3C邊的中點(diǎn)，ZOCB=30°,如果

OE=2,那么對角線BD的長為.

AD

【答案】8

【解析】

【分析】本題主要考查對矩形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì).由30。角直角三角形的性質(zhì)求得

OC=2OE=4,然后根據(jù)矩形的兩條對角線相等且平分來求的長度.

【詳解】解：?.,在矩形ABCD中，對角線AC,的交點(diǎn)為。，

:.OC=OA,AC=BD,ZABC=90。.

又；點(diǎn)E為5c邊的中點(diǎn)，

:.OE±BC,

?.?NOC8=30°,OE=2,

:.OC=2OE=4,

AC=20c=8,

:.BD=8.

故答案為：8.

15.如圖，四個(gè)全等的直角三角形和中間的小正方形可以拼成一個(gè)大正方形，若直角三角形的較長直角邊

長為。，較短直角邊長為b,大正方形面積為10,小正方形面積為4,則（a+b）2的值為.

【解析】

【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用以及完全平方公式的運(yùn)算，通過正方形的面積等于四個(gè)直角三角形的

面積和一個(gè)小正方形的面積，進(jìn)行列式，即可作答.正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：設(shè)直角三角形的斜邊為c,

因?yàn)榇笳叫蚊娣e為10,小正方形面積為4,

則+82=10，=々2+〃2一2［人=4,

2ab=10—4=6,

=a~+2ab+b2=10+6=16,

故答案為：16.

16.如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD的邊5c延長線一點(diǎn)，連接AE交CD于R作NAEG=NA￡B,EG

交CD的延長線于G,連接AG,當(dāng)CE=5C=4時(shí)，作"/LAG于H,連接貝U：①點(diǎn)尸是。

的中點(diǎn)；②DH=1；③AH=M；?ZADH=45°.其中正確的結(jié)論有.

【答案】①③④

【解析】

【分析】本題考查正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)；

△CEF^AZMF(ASA),推出石戶=4/，CF=DF,長①正確；過點(diǎn)A作A7LEG于點(diǎn)J,根據(jù)HL證

明RtA4G7當(dāng)Rt&lGD和Rt4ABE當(dāng)RtAVE,推出"http:///是等腰直角三角形，由勾股定理計(jì)算得出

AH=^10,得出③正確；證明△幽2且4所，推出尸，得到印)是NADG的平分線，

ZADH=45°，得出④正確;推出AQ=DF+^-HD，再由A。=AQ+=DF+應(yīng)HD，得出,

即可判定②錯(cuò)誤.

【詳解】解：：四邊形ABCD是正方形，CE=BC,

：.CE=AD,AD//BC,

NCEF=ZDAF,NECF=ZADF=90°,

ACEF均DAF(ASA),

：.EF=AF,CF=DF,即點(diǎn)尸是CD的中點(diǎn)，故①正確；

過點(diǎn)A作A/_LEG于點(diǎn)J,如圖所示：

四邊形ABCD是正方形,

:.AD=AB,

\'ZAEG=ZAEB,

AJ=AB,

AJ=AD,

在RtAAGJ與RtAAGD中,

AJ=AD

AG=AG

RtAAG/^RtAAGD（HL）,

:.JG=GD,

在RtAABE與RtAATE中，

AJ=AB

<AE=AE'

RUABE^RtAA7E（HL）,

EJ=BE,

延長AZ）交EG于點(diǎn)M,作HQLAD,HPLCD,

?.?△AG/^AAGD,AD//BC,

:.ZAMG=2ZCEF,ZJAM=2ZGAM,

.?.在AAZM中，2（ZCEF+ZGAM）=90°,

:.ZCEF+ZGAM=45°.

-：AD//BC,

:.NCEF=ZDAF,

ZCEF+ZGAM=ZDAF+ZGAM=ZUAF=45°,

：.AH=HF,即△AHF是等腰直角三角形，

CE=BC=4,

：.AB=4,BE=8,

AE="+8?=4石，

AF=-AE=2s/5,

2

.—

AAH=—AF=^[0,故③正確；

2

???在△AH。與尸中，

ZPFH=90°-ZFGH=ZHAQ,

?：AH=HF，

：.Z\AHQ^^FHP,

：.HQ=HP,

VHQ1AD,HPLCD,

.??HD是NAQG的平分線，

AZADH=45°,故④正確；

在等腰Rt△m)P與等腰RtAH^D中，

■PD=HQ=QD=-^-HD,

PF=DF+PD=DF+^-HD=AQ,

:.AD=AQ+DQ=DF+^HD+^HD=DF+-/2HD,

?.,四邊形ABCD是正方形，CE=BC=4,Z\CEF^/\DAF,

,-.DF=CF=2,AD=AB=BC=4,

4=2+血HD，

:.DH=拒，故②錯(cuò)誤，

綜上分析可知，①③④正確.

故答案為：①③④.

三、解答題(本大題共9小題，共72分，解答題要有必要的解答過程或文字說明)

17.計(jì)算:回—左義疝+5.

【答案】4+276

【解析】

【分析】先算二次根式的乘除法，再算加減法，即可解答.

【詳解】解：原式=4—癡+3#

=4+2而

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

18.先化簡，再求值：(a+—2),其中&=，5+5.

【答案】2a-5,2A/2-4

【解析】

【分析】本題考查了單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式、平方差公式計(jì)算，二次根式的運(yùn)算，掌握整式乘法運(yùn)算法則是解

題關(guān)鍵.

先按照整式乘法運(yùn)算法則化簡，然后將a=后+2代入計(jì)算即可.

2

【詳解】解：+2)

―/—5—a2+2a

=2a—5

將4=四+工代入2a—5得

2

21V5

=2拒+1-5

=272-4.

19.如圖，在菱形A2C。中，AC,2。相交于點(diǎn)。，過B,C兩點(diǎn)分別作AC,8。的平行線，相交于點(diǎn)E,

求證：四邊形BOCE是矩形.

【答案】見解析.

【解析】

【分析】先證四邊形2。”是平行四邊形，再由菱形的性質(zhì)得NBOC=90°,即可得出結(jié)論.

【詳解】證明：-：BE//AC,EC//BD,

四邊形BOCE是平行四邊形，

:四邊形ABC。是菱形，

J.ACYBD,

：.ZB0C=9Q°,

.?.oBOCE是矩形.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握矩形的判定是

解題的關(guān)鍵.

20.如圖，在由邊長為1的小正方形組成的5x6的網(wǎng)格中，AABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，請按要求解決

下列問題：

（1）通過計(jì)算判斷AABC的形狀；

（2）在圖中確定一個(gè)格點(diǎn)。，連接A。、CD,使四邊形ABC。為平行四邊形，并求出以BCD的面積.

【答案】（1）ZkABC是直角三角形；（2）28CD的面積為10.

【解析】

【分析】（1）在朋△中根據(jù)勾股定理求出的長，同理，根據(jù)勾股定理求出BC、AC的長，然后利

用勾股定理的逆定理即可判斷448c為直角三角形；

（2）根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形可得過點(diǎn)A作AO〃BC,過點(diǎn)C作CO〃A2,直線AD

和C。的交點(diǎn)就是D的位置.根據(jù)平行四邊形A3CZ）的面積為△ABC面積的2倍即可得出平行四邊形的面

積.

【詳解】解：（1）由題意可得，AB=&+22=有,AC=也2+4?=2下,BC="+4?=5,

HQ君）2=25=52,即AB2+AC2=BC2,

...△ABC是直角三角形；

（2）過點(diǎn)A作AO〃BC,過點(diǎn)C作?！ˋB,直線和CD的交點(diǎn)就是。的位置，格點(diǎn)。的位置如圖,

，平行四邊形ABC。的面積為：ABxAC=^x2節(jié)=10.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的應(yīng)用，以及利用平行四邊形的概念作平行四邊形，解

題時(shí)注意：若三角形48C的三邊滿足々2+爐=02,則三角形A8C是直角三角形.

21.已知直角三角形的三邊為a,b,c.其中b,c滿足(c—6)?+J口=0.

(1)求a；

(2)先化簡再求值：(Ja-6)+y/a~-16tz+64.

【答案】(1)10或2s

(2)2a—14,6

【解析】

【分析】本題考查了非負(fù)性、二次根式的性質(zhì)以及勾股定理，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

(1)先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出c=6,〃=8,再根據(jù)勾股定理即可得出答案；

(2)先根據(jù)二次根式的性質(zhì)得出再根據(jù)實(shí)數(shù)的大小比較得出a=10,然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)及二

次根式的性質(zhì)化簡，最后將值代入即可得出答案.

【小問1詳解】

v(c-6)2+^/^8=0

c—6=0,b—8—0

c=6,b=8

當(dāng)。為直角三角形的斜邊時(shí)，a7b2苛7?+*=14

2222

當(dāng)。為直角三角形的一條直角邊時(shí)，a=ylc-b=A/8-6=277

綜上所述，a值為10或2近；

【小問2詳解】

解：由題意得Q-6N0

:.a>6

2A/7<6

a=10

=a—6+a—8

=2a—14

=2x10-14

=6

22.如圖，點(diǎn)。是VA3C內(nèi)一點(diǎn)，連結(jié)08、0C,并將A3、OB、0C.AC的中點(diǎn)。、E、F、

G依次連結(jié)，得到四邊形。石FG.

（1）求證：四邊形。石FG是平行四邊形；

（2）如果NO3C=45。，ZOCB=3Q°,0C=4,求△03C的面積.

【答案】（1）證明見解析

⑵2+2退

【解析】

【分析】（1）根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得OG〃3C,DG=-BC,

2

EF//BC,EF=-BC,從而得到OG〃EF,DG=EF,根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平

2

行四邊形證明即可；

（2）過點(diǎn)。作于由含30。的直角三角形的性質(zhì)可得。加=,0。=2,根據(jù)勾股定理求

2

得CM=26，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得==2,即可求得結(jié)果.

【小問1詳解】

證明：：將AB、OB、OC.AC的中點(diǎn)分別為。、E、F、G,

：.DG//BC,DG=-BC,EF//BC,EF=-BC,

22

：.DG〃EF,DG=EF,

...四邊形DEFG是平行四邊形.

【小問2詳解】

解：過點(diǎn)。作0/0，5c于如圖:

A

在Rt^OCM中，ZOCM=30°,OC=4,

：.OM=-OC=2,

2

CM=yIOC2-OM2=J42—2?=273，

在RtAOBM中，Z.OBM=ZBOM=45°，

：.BM=OM=2,

3c=2+2后，

/.△Q3C的面積=；x3CxOM=gx（2+2班）x2=2+26.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中位線的性質(zhì)，平行四邊形的判定，含30。角的直角三角形性質(zhì)，勾股定

理，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握以上判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

23.在四邊形ABCD中，AB//DC,AB=AD,對角線AC,BD交于點(diǎn)、0,AC平分NA4O,過點(diǎn)C

作CE〃加交的延長線于點(diǎn)E，連接OE.

（1）求證：四邊形ABCD是菱形；

（2）若NDAB=60?,且OE=2#i，求菱形ABC。面積.

【答案】（1）詳見解析

（2）8囪

【解析】

【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)與判定，勾股定理，三角形中位線定理，等角對等邊等等:

（1）先由平行線的性質(zhì)和角平分線的定義證明NZ）C4=NZMC,得到DC=ZM,進(jìn)而證明

AB=CD,再由A5〃CE>,即可證明結(jié)論；

(2)先證明為等邊三角形，ZCAB=30°,設(shè)AB=x,則。0=03=!尤，

2

A0=C0=—x，再證明四邊形"BEC是平行四邊形，NOCE=ZAOB=90°,得到。8為△ACE

2一

的中位線，則CE=2Ofi=x,由勾股定理得：CO2+CE2=(2A/7)2.解得x=4,則

S四邊形Meo=5ACBD=—x4x4^/3=8^3.

【小問1詳解】

證明：-.AB\\CD,

ZCAB=ZDCA,

AC平分NAM),

:.ZCAB=ZDAC,

..ZDCA^ZDAC,

DC—DA,

\AB=AD,

AB=CD,

;ABIICD,AB=CD,

..?四邊形A3CD是平行四邊形，

-.AB=AD，

四邊形ABC。是菱形；

【小問2詳解】

解：四邊形ABCD是菱形，

■'.ZAOB=90°,

-.AD=AB，NDAB=60°,

.?.△DW為等邊三角形，ZC4B=30°,

設(shè)=

DO=OB=—x,

2

n

AO=CO=—x，

2

,/DB//CE,DC//AE,

四邊形DBEC是平行四邊形，ZOCE=ZAOB=90°,

/.BE—DC—AB，

:.OB為AACE中位線，

CE—2OB—x，

在RtA(9CE中，CO=xCE=x，

2

???OE=2

???由勾股定理得：CO?+CE2=(26了.

解得x=4,

???5四邊形神沖=34。.8°=3乂4乂4如=8上?

24.如圖，在四邊形ABC。中，AB//CD,ZA=90°,AB=12cm,AD=4cm,CD=15cm,點(diǎn)p從點(diǎn)

A出發(fā)，以Icm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)，以2cm/s秒的速度問點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，規(guī)定其中一個(gè)

點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)。點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為f秒.

(1)若P,。兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā).

①當(dāng)f為何值時(shí)，四邊形尸?？跒槠叫兴倪呅危?/p>

②當(dāng)f為何值時(shí)，PQ=BC1

(2)若P點(diǎn)先運(yùn)動(dòng)3秒后停止運(yùn)動(dòng)，此時(shí)。點(diǎn)從C點(diǎn)出發(fā)，到達(dá)。點(diǎn)后運(yùn)動(dòng)立即停止，則f為何值時(shí),

VDPQ為直角三角形.

【答案】(1)①/=4②/=4或￡=6

(2)/=6或

3

【解析】

【分析】(1)①四邊形PQCB為平行四邊形時(shí)，根據(jù)。。=網(wǎng)即可得到答案；

②分點(diǎn)Q在P的右邊和左邊兩種情況計(jì)算即可；

(2)分NDPQ=90°和ZDQP=90°兩種情形進(jìn)行討論求解即可.

本題主要考查了四邊形的動(dòng)點(diǎn)問題，矩形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理等，解題的

關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.

【小問1詳解】

①根據(jù)題意，得。。=2/,/%=心

?/ZA=90°,AB=12cm,AD=4cm,CD=15cm,

/.PB=AB-PA=(12

V四邊形PQCB為平行四邊形，

/.QC=PB,

2/=12—，，

解得f=4,

故當(dāng)f=4秒時(shí)，四邊形尸。CB為平行四邊形.

②當(dāng)Qi在點(diǎn)P的右邊時(shí)，根據(jù)①四邊形尸。為平行四邊形時(shí)，PQ=BC,

此時(shí)，=4.

當(dāng)。2在點(diǎn)P左邊時(shí)，過點(diǎn)8作3￡，8于點(diǎn)反

ZA=90°,AB=12cm,AD=4cm,CD=15cm,

四邊形ABE。是矩形，

/.DE=AB=12cm,BE=AD=4cm,CE=3cm,

BC=y/CE2+BE2=5cm,

過點(diǎn)。2作GAB于點(diǎn)R

四邊形人尸。2。是矩形，

AF=Q2D,AD=Q2F=4cm,

Q2c-2t,PA=t,

AF=Q2D=15—2t,

PF=t-(15-2t)=3t-15,

,:PQ2=BC=5cm,

,,PF=\/52—42=3cm,

/.3f—15=3,

解得/=6(s),

故當(dāng)f=4秒或f=6(s)時(shí)，PQ=BC.

【小問2詳解】

當(dāng)NOQ2P=90°時(shí),

根據(jù)題意，得Q2c=2f,PA=3,四邊形APQ2。是矩形,

:.Q2D=PA=3,

??.Q2c=15-3=12,

2t—12,

解得f=6(s),

過點(diǎn)Qi作QG，AB于點(diǎn)G,過點(diǎn)8作BE，CD于點(diǎn)E,

四邊形GBEQ1是矩形，

GB=Q、E,EC=3,

,:QXC=2t,PA=3,

.?.GB=Q.E=2t-3,PG=12-3-2t+3=12-2t,DQl=15-2tf

：.AD=Q1G=4,.￡)=)32+42=5,

(15—27)2=52+42+(12-2?)2,

解得/=§(s).

綜上所述，當(dāng)r=T(s)或，=6⑸時(shí)，VDPQ為直角三角形.

25.在正方形ABCD中，對角線AC,BD交于點(diǎn)O,E,尸是3C上的兩點(diǎn)，連接OE,分別過點(diǎn)8,F

作OE的垂線FM，垂足分別為H,M.

(1)若NCOE=22.5°,求證：AOBH會(huì)AEBH；

⑵若OH