單元檢測卷（二）函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I

（分值:150分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分堆每小題給出的四個選項中，

只有一項是符合題目要求的.

1.[2025?鄭州模擬]函數(shù)八的定義域為（）

A.（—8,0]B.（—8,1）

C.[0,1）D.[0,+8）

2.[2025?廣州模擬]若募函數(shù)五x）=（m2—機一I）/”-3在（0,+8）上單調遞增，則實

數(shù)m的值為（）

A.2B.1

C-1D.-2

3.[2024?合肥三模]函數(shù)八x)=^——L的圖象大致是()

AB

MV

17V7\R

CD

A.AB.B

C.AD.D

4.[2024-邵陽三模]下列函數(shù)對于任意xi,X2^(0,+°°),都有

成立的是()

A:/(x)=lnxB{x)=，+l

4

C?=2-D?=x|

5.[2025,泰安模擬]已知4=108().20.3,6=lna,c=2a,則a,b,c的大小關系為

A.c>b>aB.a>b>c

C.b>a>cD.c>a>b

6.[2025?鹽城模擬]函數(shù)y=cosx與y=lg|x|的圖象的交點個數(shù)是()

A.2B.3

C.4D.6

7.[2024?鹽城質檢]一般地，設Z,3分別為函數(shù)了=/)的定義域和值域，如果由

函數(shù)歹=/3)可解得唯一的x=9(y)也是一個函數(shù)(即對任意一個^?5,都有唯一的

與之對應)，那么就稱x=0(y)是函數(shù)了=/)的反函數(shù)，記作》=尸。)在x=/

F。)中，y是自變量，x是了的函數(shù)，習慣上改寫成y=/i(x)的形式.例如函數(shù)人x)

-V—I—14丫

=2x—1的反函數(shù)為r1(x)=---.設g(x)=------(x>1),則函數(shù)〃(x)=x+g—i(x)的值

2x—1

域為()

A.[8,+8)B.(8,+8)

8.(2025?泰州模擬)已知函數(shù)八x)=log2tx+lj+b,若函數(shù)人乃的圖象關于點(1,

0)對稱，則log力=()

A.l3B.—2

八

C.1L).

23

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，

有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.[2025-鄭州模擬]溶液酸堿度是通過pH來計量的.pH的計算公式為pH=-lg[H+],

其中耳+]表示溶液中氫離子的濃度，單位是摩爾/升例如純凈水中氫離子的濃度為

10一7摩爾/升，則純凈水的pH是7.當pH<7時，溶液呈酸性，當pH>7時，溶液

呈堿性，當pH=7(例如：純凈水)時，溶液呈中性.我國規(guī)定飲用水的pH值在6.5?

8.5之間，則下列選項正確的是(參考數(shù)據：坨2Q0.3)()

A.若蘇打水的pH是8,則蘇打水中的氫離子濃度為lor摩爾/升

B.若胃酸中氫離子的濃度為2.5X10-2摩爾/升，則胃酸的pH約為1.6

C.若海水中的氫離子濃度是純凈水的10F6倍，則海水的pH是8.6

D.若某種水中氫離子的濃度為4X10-7摩爾/升，則該種水適合飲用

10J2025?溫州模擬］已知函數(shù)Xx)=/p則()

A.不等式風初<；的解集是(一1,1)

B.VxGR,有八一x)=/(x)

C/x)在R上單調遞減

D/)的值域為(一1,1)

11J2025?浙江名校聯(lián)考］已知於)是定義在｛x|xWO｝上的奇函數(shù)，當X2>xi>0時，

X1X2［/(X1)—/(X2)］+X1—X2>0恒成立，貝U()

A.y=/(x)在(一8,0)上單調遞增

8.》=/3)—―-在(0,+8)上單調遞減

2x

(2/2)+八一3)>J

O

D<2)—A—3)>:

o

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12J2024?廣州三模］函數(shù)/(x)=-'',其中a>0且aWl,若函數(shù)是

lax2-13x+31,x>2

單調函數(shù)，則。的一個可能取值為.

13.［2024?西安三模］已知函數(shù)於)=，一+Inf^+l-x),若<a—1)+/(2a2)>2,

e'+1

則a的取值范圍為.

14J2025?青島模擬偌xo是方程式g(x))=g(/(x))的實數(shù)解，則稱xo是函數(shù)y=/(x)與

y=g(x)的“復合穩(wěn)定點”.若函數(shù)於)=a(z>0且。#1)與g(x)=2x—2有且僅有兩

個不同的“復合穩(wěn)定點”，則。的取值范圍為.

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步

驟.

Ax

15.(13分)［2025?邢臺模擬］已知函數(shù)加)=^^+a,且川g2)+*g5)=3.

4%+2

(1)求Q的值；

(2)當丁￡［—1,1］時，<工)24%+加恒成立，求加的取值范圍.

16.(15分)[2025?濟南模擬]若｛x)=logd(a>0,aWl).

(1?=加)過(4,2),求人2x—2)</(x)的解集；

(2)存在x使得人x+1),>x),/(x+2)成等差數(shù)列，求。的取值范圍.

17.(15分)[2024?西安二模]設函數(shù)八x)=3x—2一|x—1|.

(1)求不等式道x)<4的解集；

(2)若方程五x)=/+ax—1有兩個不等實數(shù)根，求a的取值范圍.

18.(17分)[2025??？谫|檢]已知函數(shù)八x)=log?二也為奇函數(shù).

2x—1

⑴求常數(shù)上的值;

(2)當x>l時，判斷外)的單調性；

(3)若函數(shù)g(x)=/(x)—([)>+機，且g(x)在區(qū)間[3,4]上沒有零點，求實數(shù)機的取值

范圍.

19.(17分)[2024?荷澤質檢]設a,b?R,若函數(shù)人x)定義域內的任意一個x都滿足

f(x)+J(2a—x)=2b,則函數(shù)人x)的圖象關于點(a,b)對稱，反之，若函數(shù)義工)的圖

象關于點(a,5)對稱，則函數(shù)義x)定義域內的任意一個x都滿足〃)十/(2a—x)=26.

已知函數(shù)g(x)=^4x——1.

x+1

(1)證明：函數(shù)g(x)的圖象關于點(一1,4)對稱；

(2)已知函數(shù)〃(x)的圖象關于點(1,2)對稱，當x￡[0,1]時,h(x)=x2—mx+m+\.

若對任意的xi￡[0,2],總存在超包2,4],使得〃(xi)Wg(X2)成立，求實數(shù)機的

取值范圍.

單元檢測卷(二)函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I

I--------------1-x>0,

1.A[函數(shù)加)=4ln(1—x)有意義，等價于,解得xWO,故函

[in(1—x)三0,

數(shù)的定義域為(-8,0].]

2.A[因為黑函數(shù)寅x)=(小一機一1)/加-3在(0,+8)上是增函數(shù)，所以

=1,

,解得加=2.故選A.]

2m—3>0,

3.D[由題八%)定義域為(-8,0)U(0,+8)關于原點對稱，且火一%)=

2

|(-X)-4|=故〃)是奇函數(shù)，故A錯；

—XX

當x>2時，兀t)=^——=-―^=x—4是增函數(shù)，故BC錯.]

XXX

4A「『H]>/3)+/(X2)……又卅

4.A[滿足次2J次----；-----,則函數(shù)為上凸函數(shù)，

對于A,/(x)=lnx的圖象在(0,+8)上是上凸的，符合題意；

對于B,五x)=f+l的圖象(0,+8)上是下凸的，不符合題意；

對于C,道x)=2云的圖象(0,+8)上是下凸的，不符合題意；

4

對于D,小)=》3的圖象(0，+8)上是下凸的，不符合題意；]

a

5.D[因為logo,21<logo,20.3<logo,20.2,即0<a<l，所以Ina<ln1,即b<0,又2>2°,

即c>l,綜上，c>a>b.]

6.D[函數(shù)y=cosx與y=lg|x|都是偶函數(shù)，其中cos2?i=cos4兀=1,

lg4ji>lg10=1>lg2兀,

在同一坐標系中，作出函數(shù)y=cosx與y=lg|x|的圖象，如圖，

A

y二Iglxly=cosx

?z-11>

_4rr一?!!、^.[、^27T4TT]

由圖可知，兩函數(shù)的交點個數(shù)為6.]

7.D［由題意可得g-i(x)=±<x>4),

x—4

xx2—3x(x—4)2+5(%—4)+44

則A(x)=x4(x-4)+——+5(x>4),

x—4x—4x—4x—4

由X—4>0,根據基本不等式，/%)>2xW+5=9,當且僅當x=6時，等號成立,

故〃(%)的值域為[9,+8).故選D.]

8.C[依題意八%)十八2—x)=0恒成立，代入得

x)=2Z?+k)g2[x+lj+log2〔3—xJ=0

aa

化簡得，26+log2[a2-------------)]=0

3—xx+1(3-x)(x+1)

aa.3—x+x+1_

整理得:2Z?+log2[tz2?————H----------------)]=0

3—xx+14(3—x)(x+1)

1—4〃1—4〃

即"儂”+…r+…7L°(*)'依題意’此式在函數(shù)的定義域內

恒成立，故須使1—4a=0,則得a=；,代入(*)可得，26—4=0,即6=2,故log。、

V

9.ABC[對于A,若蘇打水的pH是8,則8=—lg[H+],所以耳+]=

10F摩爾/升，所以A正確；

對于B,若胃酸中[H+]=2,5X1(T2摩爾/升，則pH=—坨耳+]=

lg--f-Jg10

-lg(2.5XW2)=-Ip2m4J=-(lg5-lg2-2)=

-(1-21g2-2)=l+21g2^1+2X0.3=1.6,所以B正確；

對于C,若海水中的氫離子濃度是純凈水的10=6倍，則海水中的氫離子濃度月+]

=10-7乂10-1.6=10-8.6摩爾/升，所以海水的pH=-lg[H+]=—lg(l()-8.6)=8.6,所

以C正確；

對于D,若某種水中氫離子的濃度為4X10-7摩爾/升，即月+]=4X10-7摩爾/升，

則其pH=—lg[H+]=—lg(4X10-7)=-(21g2—7)心7—2X0.3=6.4<6.5,所以該種

水不適合飲用，所以D錯誤.綜上，選ABC.]

10.AD[對于A,即一^<1,即一1<1—Z—<—即1<--<—,

八力332^+1332*+1332^+13

Q1

即Y2*+1<3,即一<2工<2,所以一故A正確;

22

2~x—11—2%

對于B,火-x)=——=^—=-?,故B錯誤;

2~x+l1+2》

77

對于C,兀t)=l一—，因為M=2*+1在R上單調遞增，且M>1,y=1—在u>\

2X+1"u

時單調遞增，所以小)在區(qū)上單調遞增，故C錯誤；

對于D,記尸兀v)=l-2,顯然則2、=」一由2Ao得，——^0,

2X+1y-1y-1

解得一1勺<1,所以函數(shù)寅X)的值域為(一1,1),故D正確.綜上，選AD.]

11.BC[因為當X2>Xl>0時，X1X2[/(X1)—於2)]+修一X2>0,可以化簡為小。一道血)

>———>0,所以函數(shù)在(0,+8)上單調遞減.因為函數(shù)人X)是定義在｛x,W0｝

X1X2

上的奇函數(shù)，所以函數(shù)義X)在(一8,0)上單調遞減，所以選項A錯誤；

由於1)一->0可得

XlX2

LLLL

>1)-9-[AX2)-9]>9-9>O,

2x12x22xi2x2

所以函數(shù)y=/(x)—；在(0,+8)上單調遞減，所以選項B正確；

2x

取陽=2,也=3,則義2)一

236

因為函數(shù)寅X)是定義在｛x|xW0｝上的奇函數(shù)，所以八—3)=一八3),

所以大2)+八一3)>J,所以選項C正確；

6

人X)在(0,+8)上單調遞減，但函數(shù)解析式不確定，所以可取

人2)=4,寅3)=—1，則人2)—A—3)寸2)+寅所以選項D

12o12612o

錯誤.故選BC.]

12.4(答案不唯一)[因為。>0且QWI,若函數(shù)是單調函數(shù)，結合二次函數(shù)可知：

a>\,

1312

益)在R上單調遞增，解得?WM5.可取值為4(答案不唯一)]

2a4

〃2W4Q+5,

13.[—1'J[由條件知x?R,令g(x)=/(x)—1

=ln(^x2+l-X)-1,

ex+l

則g(—x)=——+ln(^x2+l+x)—1=―—L+lnbk+l+x),易知g(x)+g(—x)

e'+le^+l

=0,即g(x)為奇函數(shù)，又道x)=/7+ln[x>l+J易知

e^+le^+l\x2+l+x

在x>0時單調遞減，由復合函數(shù)的單調性及奇函數(shù)的性質得g(x)=/(x)—1在R上

單調遞減，

對于處/-l)+y(2a2)>2Qg(a—l)+g(2q2)>0Qg(a—l)>g(-2a2),

所以a—1<—2a2=>aG(—1,^).]

14.&2,+8)「."(乃二或伍〉。且aWl)與g(x)=2x—2有且僅有兩個不同的''復

合穩(wěn)定點”，

：^^~2=2^-2,即(K)2—2層/+2a2=o有兩個不同實根，令4心則於一2屋/

+2a2=0

在(0,+8)上有兩個不同實根,

222

p=(2a)—8a>0,n屋啦,

L屋>0>20a>

則。的取值范圍為(S,+8).]

AxAxAi~xAX

15.解⑴因為於)=E+。，所以義乃+八1—x)=E+a+軍"+a=E

4

卜2cl=1+2Q

4+2X4^9

因為Ig2+lg5=l,所以次lg2)+火lg5)=l+2a=3,則。=1.

(2)由(1)可知，｛工)24、+加等價于(4%)2+加?4%+2加一2W0.

1,J「1,4一、

令,=4"則/￡上」，原不等式等價于祥+皿+2加-2W0在上」上怛成立，

11

----1m+2m—2^0,7

則」64解得加?一：，

?16+4機+2機一2W0,3

r7]

故機的取值范圍為〔53」.

16.解(1)因為(=危)的圖象過(4,2),故log“4=2,故層=4即。=2(負值舍去),

所以麻：)=logzx,

而X%)=log2X在(0,+8)上為增函數(shù),故人2x—2)勺(x)，等價于0<2x—2<x即1<x<2,

故人2%一2)</(x)的解集為｛x|l<x<2｝.

(2)因為存在x使得加+1),興")，道x+2)成等差數(shù)列，

故被ax)=/(x+l)+/(x+2)有解，故21oga(ax)=loga(x+l)+loga(x+2),

因為a>0,aWl,故x>0,故/%2=。+l)(x+2)在(0,+8)上有解，

由q2=￡zb^^2=i+3+N=21+j2—：在(0,十8)上有解，令/=1?((),十

x2xx8x

8),而了=21'+'2-1在(0,+8)上的值域為(1,+8),故/>1即

8

故實數(shù)。的取值范圍是(1,+°°).

2x一[X、]

17.解(1)因為人x)=3x—2—|x—1|=?'y,

4x~3,x<l

..,lx—1<4,[4x—3<4,

所以不等式於)<4即?、或?

61,lx<l,

解得或x<l,所以不等式於）<4的解集為（一8,I）,

（2）因為方程八%）=》2+辦一I有兩個不等實數(shù)根，即方程3x—1—I%—l|=x2+tzx有

兩個不等實數(shù)根，顯然X=0不是方程的根，故q=—>+3x—1一|x一1|,

X

令g（X）=f2+3Ll—|L1|=

X

—x+2,[1,+00),

x+-

+4,xe(—8,o)U(0,1),

當x<0時，一x—?+4=[—J+4223+4,當且僅當x=—也時取等號,

X

又g（i）=i,且對勾函數(shù)y=x+2的單調遞減區(qū)間為（一出，0）,（0,他），單調遞

X

增區(qū)間為（一8,—也），（/，+8）,作出g（x）的圖象，如圖所示：

要使方程段）=/+辦一1有兩個不等實數(shù)根，

即y=a與y=g（x）有兩個交點，由圖可知或。>2他+4,

即實數(shù)。的取值范圍為（一8,l）U（2W+4,+8）.

18.解（1）由八一x）=一Ax）,

,11+kx.11—kx

即1"二TTog2一

用111+kx1%—1

付logK-log；

221—kx

\~\~kx%—1

所以9

—X—11~kx

故k2x2~1=x2—1,則用=±1,

1—V

當k=l時，"=—1顯然不符合題意;

X—1

經驗證人=—1符合題意，所以左=—1.

11—I—V

(2)由(1)知：八月=10go—

若>X2>L

則加1)一寅X2)

111+xi[11+x2

=log--------log——

2xi—l2x2~1

1(1+xi)(X2—1)

=log-------------------

2(X1—1)(1+x2)

11X1X2—X1+X2—1

=10g-------------------------,

2x1X2+xi-X2—1

而0<Xl%2-X1+X2-1<X1X2+X1-X2—1,

即0<X1X2—陽+上―1<[,

X\X1~\~X\—X2—1

所以於1)一段2)>0,

故於)在(1,+8)上單調遞增.

11—I—V

(3)由g(x)=l0go—-m,

令g(x)=0，所以機=(；)》—log廠

2Zx—1

由(2)知道x)在［3,4］上單調遞增,

而在［3,4］上單調遞減,

所以/z(x)=dr—log，^在［3,4］上單調遞減,

22%—1

則3)￡總+1吧1*。

10JO

又加=〃(%)在區(qū)間［3,